全系列路线
从量纲与测量出发，依次学习力学、场、热、量子、相对论与计算物理。
本路线不要求额外的站内先修，可从第一个精选章节开始。
路线按阶段连续组织正文；章节原有教材位置和书内顺序保持不变。
物理量、测量与数学建模围绕第一编 物理量与单位、第二编 测量与不确定度、第三编 建模与综合复习建立连续章节顺序。
物理量、量纲与单位制要求区分量本身、数值和单位；本章用 SI 基本量与导出单位表达测量结果，并以量纲齐次性检查公式和换算。
未开始尺度分析、数量级与估算把未知参数拆成可判断的因子，借助十进数量级、上下界、尺度律和无量纲比比较系统，同时说明纯数系数不能由量纲分析决定。
未开始测量误差、分辨率与校准围绕仪器读数的可信度展开：区分随机波动与系统偏差，建立重复测量和校准链，并规范报告准确度、精密度与不确定度。
未开始不确定度传播与数据拟合从测量方程出发处理独立或相关输入，比较最坏界与标准不确定度，再以残差和权重检验直线模型的假设。
未开始理想化、守恒量与模型边界把研究对象、系统边界、状态量、相互作用和近似写成可检验假设，利用守恒与对称组织方程，并用极限情形识别适用域。
未开始测量、量纲与数学建模综合复习以一项完整实验为线索，串联单位选择、尺度估算、校准、测量方程、不确定度传播、残差诊断和模型修订。
未开始经典力学围绕第一编 运动与力、第二编 守恒定律、第三编 转动、引力与综合复习建立连续章节顺序。
质点运动学与参考系用位置、位移、速度和加速度描述一维及二维运动，连接图像、导数、积分与相对运动，并持续核对分量和单位。
未开始Newton 定律、受力分析与约束从惯性系中的三条定律出发建立自由体图，区分相互作用力与约束力，并求解摩擦、斜面、绳张力和圆周运动。
未开始功、势能与机械能守恒由力的路径积分定义功并推导动能定理，再以保守力和势能组织能量账目，同时保留非保守力做功与功率。
未开始动量、冲量与碰撞借助冲量—动量定理和系统内力抵消建立守恒关系，并在实验室系与质心系中比较一维、二维、弹性和非弹性过程。
未开始刚体转动、角动量与转动惯量从角运动学过渡到力矩和转动动力学，以角动量守恒处理耦合过程，并比较纯滚动的平动与转动能量。
未开始引力、轨道与经典力学综合复习选取轨道、碰撞和刚体系统，联合运用运动学、受力、功—能、动量、角动量与万有引力，并检查参考系和系统边界。
未开始分析力学与非线性动力学围绕第一编 Lagrange 力学、第二编 Hamilton 力学、第三编 非线性动力学与综合复习建立连续章节顺序。
最小作用量原理与 Euler–Lagrange 方程从泛函的一阶变分推导运动方程，把经典轨迹表述为固定端点下的作用量驻值，并核对自然边界条件。
未开始广义坐标、约束与 Noether 定理使用虚位移和 Lagrange 乘子处理完整约束，再从连续对称的无穷小变换推导对应守恒量。
未开始Legendre 变换与 Hamilton 方程在 Hessian 非退化条件下由 Lagrangian 引入共轭动量和 Hamiltonian，并把二阶构型空间动力学改写为相空间中的一阶方程。
未开始Poisson 括号与正则变换用括号代数表达可观测量的演化与守恒，比较各类生成函数，并以辛形式是否保持判定坐标变换的正则性。
未开始相空间、Poincaré 截面与混沌从固定点、线性稳定性和相流出发，引入截面、Lyapunov 指数与分岔图，并辨别确定性混沌、不可积和随机性。
未开始分析力学与非线性动力学综合复习围绕受约束系统，串联变分原理、对称守恒、Legendre 变换、Hamilton 方程、Poisson 括号和相空间诊断。
未开始振动、波与光学围绕第一编 振动、第二编 波动、第三编 光学与综合复习建立连续章节顺序。
简谐振子、阻尼与受迫振动由线性回复力建立基准模型，以相位和能量描述自由运动，再比较阻尼衰减、受迫响应、共振峰与瞬态。
未开始耦合振子与简正模把多自由度线性系统写成质量矩阵与刚度矩阵的广义本征问题，利用正交模态解耦运动并解释拍频和能量交换。
未开始行波、相位、叠加与色散以振幅、频率、波数和相位参数化传播过程，通过叠加构造干涉与波包，并由色散关系区分相速度和群速度。
未开始一维波动方程与边界条件从弦微元受力推导偏微分方程，比较行波、固定端模态和能量流，并用边界条件与有限差分稳定性核验解。
未开始干涉、衍射与傅里叶光学由相干叠加推导双缝及多缝条纹，再用 Huygens–Fresnel 思想和 Fourier 变换分析单缝、光栅与远场图样。
未开始几何光学、偏振与波动综合复习以光学测量为任务，串联振动模态、行波色散、波动方程、干涉衍射、偏振和几何光学近似的适用范围。
未开始电磁学围绕第一编 静电学、第二编 磁场与感应、第三编 Maxwell 理论与综合复习建立连续章节顺序。
Coulomb 定律、电场与 Gauss 定律由点电荷作用和叠加原理定义电场，推广到连续电荷分布，再用电通量求解高对称场。
未开始电势、Poisson 方程与边值问题从保守静电场定义电势和势能，推导 Poisson 与 Laplace 方程，并结合导体边界、唯一性定理和镜像法求解。
未开始稳恒电流、磁场与矢势从电流密度及连续性出发，联系 Lorentz 力、Biot–Savart 与 Ampère 定律，并以磁通和矢势表征场结构。
未开始电磁感应、位移电流与电路响应依据 Faraday 定律和 Lenz 方向分析两类感应电动势，建立电感及 RC/RL/RLC 动态，并补入位移电流。
未开始Maxwell 方程与电磁波统一比较积分形式和微分形式，由真空方程导出横向电磁波、传播速度、能量密度及 Poynting 向量。
未开始介质、能流与电磁学综合复习围绕边界条件和能量传输，贯通静电势、稳恒磁场、感应、极化磁化、Maxwell 方程、电磁波及守恒律。
未开始热力学围绕第一编 状态与能量、第二编 熵与不可逆性、第三编 热力学势与综合复习建立连续章节顺序。
平衡态、状态方程与准静态过程：定义系统、环境、状态量和热平衡，区分广延与强度量，并用状态方程和过程路径描述准静态变化及其限制。
未开始热力学第一定律与能量传递：统一约定热与功的符号，由能量守恒建立封闭系统第一定律，分析定容、定压、等温和绝热过程以及热容与焓。
未开始热力学第二定律与 Carnot 循环：比较 Kelvin–Planck 与 Clausius 表述，构造可逆 Carnot 循环，推导热机和制冷机效率上限及热力学温标。
未开始熵、不可逆过程与熵产生：由 Clausius 关系定义熵差，区分熵传递与内部熵产生，使用熵平衡分析自由膨胀、有限温差传热和耗散过程。
未开始自由能、Maxwell 关系与相平衡：通过 Legendre 变换构造焓、Helmholtz 与 Gibbs 自由能，由全微分推导 Maxwell 关系和自发判据，并进入化学势与相平衡。
未开始响应函数、相变与热力学综合复习：围绕热力过程和相变联合使用状态方程、第一与第二定律、熵产生、自由能、响应函数和 Clapeyron 关系。
未开始统计物理围绕第一编 系综与配分函数、第二编 量子统计、第三编 相变与综合复习建立连续章节顺序。
微正则系综与熵的统计解释：从微观态、宏观约束与等概率先验建立微正则系综，用态数定义熵，并由复合系统最概然条件导出温度和平衡。
未开始正则系综、配分函数与涨落：由小系统与热库的能量交换推导 Gibbs 权重，用配分函数计算自由能、平均能量和响应，并建立能量涨落关系。
未开始巨正则系综与化学势：允许系统与热粒子库交换能量和粒子，从最大熵条件得到巨正则权重，以巨配分函数计算平均粒子数、压强与涨落。
未开始Bose–Einstein 与 Fermi–Dirac 统计：由全同粒子的对称性和占据数建立 Bose 与 Fermi 分布，比较经典极限，并分析光子气体、简并费米气和 Bose 凝聚。
未开始相变、序参量与临界现象：使用序参量和 Landau 自由能描述对称性破缺，研究关联长度、临界指数、尺度律与普适性，并给出重整化群的概念图景。
未开始输运、涨落与统计物理综合复习：围绕粒子系统串联微正则、正则和巨正则系综、量子统计、涨落—响应、Boltzmann 输运、相变和临界尺度。
未开始量子力学围绕第一编 量子态与测量、第二编 量子动力学、第三编 对称性与综合复习建立连续章节顺序。
Hilbert 空间、量子态与可观测量：从复 Hilbert 空间中的射线建立纯态，以自伴算符表示可观测量，连接谱分解、期望值、概率振幅和表象变换。
未开始测量、对易关系与不确定性：用 Born 规则、投影测量和密度算符描述统计预言与测后态，推导对易子控制的 Robertson 不确定关系并辨析测量误差。
未开始Schrödinger 方程与时间演化：从 Hamilton 算符生成幺正时间演化，比较 Schrödinger、Heisenberg 与相互作用表象，并分析守恒量、定态和概率流。
未开始一维势阱、隧穿与散射：通过无限深与有限深势阱、势垒和分段常势求解一维定态方程，计算束缚态、透射反射和量子隧穿的适用边界。
未开始角动量、自旋与全同粒子：由旋转生成元和角动量代数构造轨道角动量与自旋，使用加法规则和对称化原理分析复合系统及全同粒子。
未开始微扰、变分与量子力学综合复习：围绕态、测量、时间演化、一维体系、角动量和全同粒子，联合使用定态微扰、变分原理与选择定则解决近似量子问题。
未开始狭义相对论与广义相对论基础围绕第一编 狭义相对论、第二编 时空几何、第三编 场方程与综合复习建立连续章节顺序。
Lorentz 变换与时空间隔：从相对性原理与光速不变建立 Lorentz 变换，以 Minkowski 图和不变量分析同时性、时间膨胀、长度收缩及因果结构。
未开始四矢量、相对论动力学与电磁场：用四速度、四动量和能量动量不变量重写动力学，分析碰撞与衰变，并由电磁场张量理解不同惯性系中的电磁场变换。
未开始张量、联络与曲率：从坐标变换下的不变量要求建立度量、协变导数、Christoffel 符号和 Riemann 曲率，区分坐标效应与真实时空曲率。
未开始等效原理、测地线与引力红移：由等效原理进入局部惯性系和测地线方程，使用固有时分析自由落体、潮汐效应、引力红移及弱场极限。
未开始Einstein 场方程与典型解：由局域能量动量守恒和几何恒等式理解 Einstein 场方程，检验 Newton 极限，并分析 Schwarzschild 解与 FLRW 时空的对称性约化。
未开始黑洞、宇宙学与相对论综合复习：串联时空间隔、四动量、曲率、测地线和场方程，比较黑洞视界、轨道效应、引力波与膨胀宇宙中的可观测量和模型边界。
未开始流体力学与连续介质围绕第一编 连续介质基础、第二编 流体方程、第三编 流动与综合复习建立连续章节顺序。
连续介质运动学、应变与应力：从物质与空间描述建立速度梯度、应变率和体积变化，用 Cauchy 应力张量及牵引定理连接内力、法向应力和剪切应力。
未开始质量、动量与能量守恒方程：由控制质量和控制体积表述推导连续性方程、Cauchy 动量方程与能量方程，明确通量、源项、边界条件和单位。
未开始Euler 方程、Bernoulli 定理与涡量：在无黏假设下由动量守恒得到 Euler 方程，沿流线推导 Bernoulli 关系，并用涡量、环量和势流辨析其适用条件。
未开始Navier–Stokes 方程与黏性流：以 Newton 黏性本构闭合动量方程，分析不可压 Navier–Stokes 方程、无量纲化、Reynolds 数及 Couette、Poiseuille 等精确流动。
未开始边界层、相似性与流动不稳定性：由高 Reynolds 数尺度分析得到边界层方程，使用相似变量和线性扰动研究分离、剪切层失稳以及稳定性判据的限制。
未开始波、湍流与连续介质综合复习：串联运动学、应力、守恒律、无黏与黏性流，比较表面波、可压缩效应、湍流统计和连续介质模型中的尺度与闭合问题。
未开始固体物理与凝聚态基础围绕第一编 晶体与晶格振动、第二编 固体中的电子、第三编 集体现象与综合复习建立连续章节顺序。
晶体结构、倒易点阵与衍射：从 Bravais 点阵、基元和对称操作描述晶体，以倒易点阵和结构因子推导 Laue、Bragg 衍射条件并解释系统消光。
未开始晶格振动、声子与热容：由一维单原子与双原子链的耦合振动得到色散关系，将正规模量子化为声子，并比较 Einstein、Debye 热容模型。
未开始自由电子气与输运：用 Sommerfeld 自由电子模型和 Fermi–Dirac 分布计算态密度、Fermi 能及低温热容，并以弛豫时间近似分析电导与热导。
未开始能带理论、半导体与费米面：由周期势中的 Bloch 定理建立能带，比较近自由电子与紧束缚图景，使用 Fermi 面和有效质量解释金属、绝缘体与半导体。
未开始磁性、超导与序参量：从局域磁矩、交换作用和自发对称性破缺理解磁性，以 London、Ginzburg–Landau 与 BCS 图景连接超导序参量和可观测效应。
未开始拓扑相与凝聚态基础综合复习：串联晶格、声子、电子能带、输运和序参量，比较对称性破缺与拓扑分类，并明确有效准粒子模型及测量证据的边界。
未开始计算物理围绕第一编 数值建模、第二编 随机模拟与分子动力学、第三编 计算实验与综合复习建立连续章节顺序。
离散化、误差预算与模型验证：把物理模型转为可计算离散问题，区分建模误差、离散误差、舍入误差和统计误差，并用收敛研究、守恒检查及基准解验证实现。
未开始粒子系统与场方程计算：比较粒子推进、网格场求解和粒子—网格耦合，分析时间积分、边界条件、邻域搜索、稳定性和守恒量监测。
未开始Monte Carlo、重要性采样与误差估计：由随机样本均值建立 Monte Carlo 估计，使用重要性采样和 Metropolis–Hastings 处理稀有区域与系综采样，并诊断自相关和有效样本量。
未开始分子动力学与统计量计算：由相互作用势和 Newton 方程构建分子动力学，比较 Verlet 积分、边界条件与恒温方法，并从轨迹估计热力学和输运统计量。
未开始并行计算、可复现性与性能测量：用任务与数据分解设计并行计算，区分强弱扩展、吞吐和延迟，记录随机种子、环境、输入、版本与硬件以支持结果复现。
未开始计算物理综合项目与复习：围绕一个可审计计算实验串联模型、离散化、误差预算、确定性与随机算法、性能测量、数据产物和可复现报告。
未开始粒子物理与场论导论围绕第一编 相对论性场、第二编 量子场与相互作用、第三编 规范理论与综合复习建立连续章节顺序。
经典场、作用量与 Noether 流：把有限自由度作用量推广到场的 Lagrange 密度，推导 Euler–Lagrange 场方程和能量动量张量，并由连续对称性得到 Noether 流。
未开始Klein–Gordon 场与 Dirac 场：由相对论色散关系建立 Klein–Gordon 方程，线性化得到 Dirac 方程，分析 Lorentz 协变性、守恒流、反粒子和自旋结构。
未开始自由场量子化与粒子解释：将自由场分解为动量模并施加正则对易或反对易关系，以产生湮灭算符、Fock 空间和传播子建立粒子与反粒子解释。
未开始相互作用、散射与 Feynman 图：由相互作用表象和 Dyson 展开组织微扰论，将 Wick 收缩编码为 Feynman 图，并连接散射振幅、截面、衰变率与近似阶数。
未开始规范对称性与标准模型结构：从局域相位不变性引入规范场和协变导数，概述非 Abel 规范结构、自发对称性破缺以及标准模型粒子与相互作用表示。
未开始粒子物理与场论导论综合复习：串联场作用量、相对论波动方程、自由场量子化、微扰散射和规范对称性，并以量纲、守恒律和实验可观测量限制有效理论解释。
未开始完成指定教材章节后，用自己的推导回答；检查点不替代正文证明。
完成《物理量、测量与数学建模》复习章后，逐项核对本册学习目标，并用一个反例或边界情形说明方法的适用范围。
完成《经典力学》复习章后，逐项核对本册学习目标，并用一个反例或边界情形说明方法的适用范围。
完成《分析力学与非线性动力学》复习章后，逐项核对本册学习目标，并用一个反例或边界情形说明方法的适用范围。
完成《振动、波与光学》复习章后，逐项核对本册学习目标，并用一个反例或边界情形说明方法的适用范围。
完成《电磁学》复习章后，逐项核对本册学习目标，并用一个反例或边界情形说明方法的适用范围。
完成《热力学》复习章后，逐项核对本册学习目标，并用一个反例或边界情形说明方法的适用范围。
完成《统计物理》复习章后，逐项核对本册学习目标，并用一个反例或边界情形说明方法的适用范围。
完成《量子力学》复习章后，逐项核对本册学习目标，并用一个反例或边界情形说明方法的适用范围。
完成《狭义相对论与广义相对论基础》复习章后，逐项核对本册学习目标，并用一个反例或边界情形说明方法的适用范围。
完成《流体力学与连续介质》复习章后，逐项核对本册学习目标，并用一个反例或边界情形说明方法的适用范围。
完成《固体物理与凝聚态基础》复习章后，逐项核对本册学习目标，并用一个反例或边界情形说明方法的适用范围。
完成《计算物理》复习章后，逐项核对本册学习目标，并用一个反例或边界情形说明方法的适用范围。
完成《粒子物理与场论导论》复习章后，逐项核对本册学习目标，并用一个反例或边界情形说明方法的适用范围。
先独立作答，再展开提示与分步解答；每题附可重复的结果核验。
难度 3/5
用 L=(0.600±0.001)m、T=(1.555±0.004)s 计算单摆给出的 g=4π²L/T² 及其独立标准不确定度，并判断哪个输入主导。
先算中心值；相对不确定度平方和中，周期项要乘系数 2。
中心值 g=4π²·0.600/1.555²≈9.80m/s²。相对贡献为 u(L)/L=0.00167 与 2u(T)/T=0.00514，所以 u(g)/g=√(0.00167²+0.00514²)=0.00540，得到 u(g)≈0.053m/s²。周期项较大并约占方差的九成。
结果核验：单位 m/s² 与加速度一致；用 9.80×0.00540 得 0.0529，与四舍五入后的 0.053 相符。
难度 4/5
质量 2kg 的小车从静止无摩擦下降 5m 后，与静止的 1kg 小车完全非弹性碰撞。取 g=9.8m/s²，求碰撞前速度、碰撞后共同速度和损失的动能。
下降段用机械能守恒，碰撞瞬间用动量守恒；完全非弹性碰撞不守恒动能。
下降段有 2gh=v²，所以碰撞前速度 v=√98≈9.90m/s。动量守恒给共同速度 V=2v/(2+1)≈6.60m/s。碰撞前动能等于 mgh=98J，碰撞后动能为 (1/2)·3·6.60²≈65.3J，所以损失约 32.7J。
结果核验：碰撞前后动量分别为 2·9.90≈19.8kg·m/s 与 3·6.60≈19.8kg·m/s；损失为正且能量账 65.3+32.7=98J 闭合。
难度 5/5
对 m=k=1 的简谐振子 H=(p²+q²)/2，给定 q(0)=1、p(0)=0，解 Hamilton 方程并写出相轨道与能量。
Hamilton 方程为 q'=∂H/∂p、p'=-∂H/∂q；再消去 p 得 q''+q=0。
方程为 q'=p、p'=-q，因此 q(t)=cos t、p(t)=-sin t。相轨道满足 q²+p²=1，是相平面上的单位圆；沿轨道 H=(sin²t+cos²t)/2=1/2，能量不随时间改变。
结果核验：对 q=cos t 求导得到 p=-sin t，再求 p'=-cos t=-q；任取 t 代入 q²+p² 都等于 1。
难度 4/5
一根长 1m、两端固定的弦上波速为 100m/s。求前三个本征频率，并写出第三模态的空间因子及内部节点位置。
固定端允许波长 λ_n=2L/n，频率 f_n=nv/(2L)，空间因子可取 sin(nπx/L)。
基频 f1=100/(2·1)=50Hz，所以 f2=100Hz、f3=150Hz。第三模态空间因子为 sin(3πx)，除两个固定端外，在 x=1/3m 与 2/3m 处为零，故有两个内部节点。
结果核验：第三模态波长为 2/3m，v/λ=100/(2/3)=150Hz；把 x=1/3、2/3 代入正弦分别得 sinπ、sin2π=0。
难度 4/5
点电荷 Q=2.00nC 位于半径 r=0.100m 的高斯球中心。取 ε0=8.854×10^-12C²/(N·m²)，求球面电场大小与总通量。
球面对称使 E 恒定且径向；用 E=Q/(4πε0r²) 与 Φ=Q/ε0。
电场大小 E=2.00×10^-9/[4π·8.854×10^-12·(0.100)²]≈1.80×10³N/C，方向径向向外。总通量 Φ=Q/ε0≈2.26×10²N·m²/C，也等于 E·4πr²。
结果核验：用 1.80×10³ 乘球面积 4π·0.01≈0.1257 得约 226，与 Q/ε0 的结果一致。
难度 4/5
可逆 Carnot 热机在 Th=600K、Tc=300K 间工作，每循环吸热 Qh=1200J。求效率、做功、放热，并核对两个热源的总熵变。
Carnot 效率为 1-Tc/Th；可逆循环满足 Qc/Qh=Tc/Th。
效率 η=1-300/600=1/2，所以每循环做功 W=ηQh=600J，向冷源放热 Qc=Qh-W=600J。热源熵变为 -Qh/Th=-2J/K，冷源熵变为 Qc/Tc=+2J/K，总熵变为 0。
结果核验：第一定律账目 1200=600+600J 闭合；可逆循环的总熵变为零，与 Carnot 假设一致。
难度 5/5
两能级系统能量为 0 与 ε，且 βε=ln3。求正则配分函数、激发态概率、平均能量和能量方差。
把 e^{-βε}=1/3 代入 Z=1+e^{-βε}；能量只取 0 或 ε。
Z=1+1/3=4/3。激发态概率为 (1/3)/(4/3)=1/4，基态概率为 3/4。平均能量为 ε/4；E[E²]=ε²/4，所以方差为 ε²/4-(ε/4)²=3ε²/16。
结果核验：两态概率 3/4+1/4=1；方差也可由二点分布 p(1-p)ε²=(1/4)(3/4)ε² 得到。
难度 5/5
量子比特处于 |ψ⟩=(√3/2)|0⟩+(1/2)|1⟩。求 σz 测量的结果概率、期望与方差，并估算 400 次独立测量样本均值的标准误。
σz 的结果为 +1、-1；概率是振幅模平方，样本均值标准误为 √(Var/N)。
测得 +1 的概率为 3/4，测得 -1 的概率为 1/4。期望为 3/4-1/4=1/2；因结果平方恒为 1，方差为 1-(1/2)²=3/4。400 次样本均值标准误为 √[(3/4)/400]=√3/40≈0.0433。
结果核验：振幅平方和 3/4+1/4=1；二值结果的期望必在 [-1,1] 内，且计算出的方差非负。
难度 5/5
用 ct 与 x 同单位表示事件 (ct,x)=(5km,3km)。对沿 x 方向 β=0.6 的惯性系求变换后坐标，并核对时空间隔。
γ=1/√(1-β²)=1.25，ct'=γ(ct-βx)，x'=γ(x-βct)。
ct'=1.25(5-0.6·3)=4km，x'=1.25(3-0.6·5)=0。原系间隔平方为 (ct)²-x²=25-9=16km²；新系为 4²-0²=16km²，保持不变。
结果核验：对结果施加速度 -0.6 的逆变换可恢复 ct=5km、x=3km；两个系的间隔平方都为 16km²。
难度 5/5
水平管中不可压水流从截面积 2.0cm²、速度 3.0m/s 的截面进入 0.50cm² 的细管。取 ρ=1000kg/m³，求细管速度与理想 Bernoulli 压强降。
先用 A1v1=A2v2，再用 p1+ρv1²/2=p2+ρv2²/2。
连续性给 v2=(2.0/0.50)·3.0=12m/s。水平无黏情形下 p1-p2=(ρ/2)(v2²-v1²)=500(144-9)=67500Pa。细管流速更高、静压更低。
结果核验：体积流量两侧分别为 2.0cm²·3.0m/s 与 0.50cm²·12m/s，数值相同；压强降为正。
难度 5/5
一维单原子链色散为 ω(k)=2√(K/M)|sin(ka/2)|。若 K/M=100s^-2、k=π/(3a)，求角频率和正 k 支上的群速度。
在给定 k 下 sin(π/6)=1/2；正支群速度为 dω/dk=a√(K/M)cos(ka/2)。
√(K/M)=10s^-1，故 ω=2·10·sin(π/6)=10rad/s。群速度 vg=10a·cos(π/6)=5√3a/s。这里 a 保留长度单位，因此群速度单位为长度每秒。
结果核验：在 k=0 时公式给 ω=0、vg=10a/s；在布里渊区边界 k=π/a 时 vg=0，符合色散曲线斜率。
难度 5/5
对 q''=-q，取 q0=1、p0=0、步长 h=0.1，执行一步 velocity-Verlet，并比较步前后 H=(p²+q²)/2。
先 p_{1/2}=p0-hq0/2，再 q1=q0+hp_{1/2}，最后用新位置完成另半步动量。
p_{1/2}=-0.05，q1=1+0.1(-0.05)=0.995，p1=-0.05-0.1·0.995/2=-0.09975。初始能量 H0=0.5；一步后 H1=[0.09975²+0.995²]/2≈0.4999875，能量误差约 -1.25×10^-5。
结果核验：固定 q0、p0、h 后三步更新完全确定；把 h 改为 -0.1 并从 (q1,p1) 反向执行可在舍入误差内返回初态。
难度 5/5
在 ħ=c=1 单位制中，自由 Klein–Gordon 平面波质量 m=2、三动量大小 |p|=3。求正频能量并验证色散关系；再说明低能有效描述为何要求比较能标与截断。
质量壳条件为 E²-|p|²=m²；正频支取平方根。
正频能量 E=√(p²+m²)=√(9+4)=√13。代回得到 E²-p²=13-9=4=m²，满足质量壳条件。若有效理论截断为 Λ，则展开只在 E/Λ 足够小时受控；本题需另给 Λ 才能判断低能近似是否可靠。
结果核验：√13 的平方减去 3² 恰为 4；没有给出 Λ 时不声称近似成立，避免把质量壳计算误当成有效理论误差界。