辛结构、生成函数与 Hamilton–Jacobi 方法

本章路线

在 Newton 力学中，笛卡尔坐标换成极坐标后方程外观会改变；在 Hamilton 力学中，我们希望找到更严格的一类变量替换，使新变量 $(Q_i,P_i)$ 仍满足

这样的变换称为正则变换。它可以把运动常数变成新动量、把周期运动变成匀速转角，甚至把新的 Hamiltonian 化为零，从而把微分方程的求解转化为寻找合适变量。并非所有可逆坐标替换都正则：它必须同时变换坐标与共轭动量，并保持相空间特有的辛结构。

本章继续采用 SI。每一对变量必须使 $p_i\,\mathrm dq_i$ 具有作用量单位 $\mathrm{J\,s}$。若 $q_i$ 是位置，$p_i$ 用 $\mathrm{kg\,m\,s^{-1}}$；若 $q_i$ 是无量纲角度，$p_i$ 用 $\mathrm{kg\,m^2\,s^{-1}}$。生成函数也具有 $\mathrm{J\,s}$ 单位。矩阵公式中的数字缩放因子默认无量纲；若混合不同单位的变量，必须先引入明确的参考尺度。

辛二形式与 Poisson 括号保持性

把相空间坐标按 $z=(q_1,\ldots,q_n,p_1,\ldots,p_n)^{\mathsf T}$ 排列，并定义

Hamilton 方程可紧写为 $\dot z=J\nabla_z H$。相空间中对应的二形式为

它记录每一对坐标与动量的有向面积，而不是欧氏距离或普通内积。

正则变换的等价判据

光滑可逆变换 $(q,p)\mapsto(Q,P)$ 若满足下列任一等价条件，就称为正则变换：

1. 保持辛二形式：$\sum_i\mathrm dQ_i\wedge\mathrm dP_i=\sum_i\mathrm dq_i\wedge\mathrm dp_i$；
2. 保持基本 Poisson 括号：$\{Q_i,Q_j\}=0$、$\{P_i,P_j\}=0$、$\{Q_i,P_j\}=\delta_{ij}$；
3. 对线性变换 $Z=Mz$，矩阵满足 $M^{\mathsf T}JM=J$。

为什么辛保持足以保留 Hamilton 方程

若变换与时间无关，并以 Jacobian $M=\partial Z/\partial z$ 表示，辛条件 $M^{\mathsf T}JM=J$ 可推出 $MJM^{\mathsf T}=J$。对改写后的函数 $K(Z)=H(z(Z))$ 使用链式法则，

因此新变量仍满足正则方程。含时变换多出 $\partial Z/\partial t$，它不能被同一矩阵等式吸收，必须由生成函数的 $\partial F/\partial t$ 修正 $K$。这也解释了“每个固定时刻都辛”为什么还不足以令新旧 Hamiltonian 数值相同。

正则变换因此保持任意 Poisson 括号：若 $F$ 与 $G$ 改写为新变量函数，则用 $(q,p)$ 或 $(Q,P)$ 计算得到相同结果。对线性辛矩阵取行列式可得 $(\det M)^2=1$，连续连接恒等变换的分支有 $\det M=1$。但当自由度多于一时，体积保持只是必要条件，不足以保证每一对共轭方向都正确配对。

例 1：位置放大与动量缩小必须成对出现

令无量纲常数 $\alpha=2.00$，定义

$$Q=\alpha q, \qquad P=\frac p\alpha.$$

因为 $\{Q,P\}=\alpha(1/\alpha)\{q,p\}=1$，且 $\mathrm dQ\wedge\mathrm dP=\mathrm dq\wedge\mathrm dp$，该变换正则。若 $q=0.300\,\mathrm m$、$p=4.00\,\mathrm{kg\,m\,s^{-1}}$，则 $Q=0.600\,\mathrm m$、$P=2.00\,\mathrm{kg\,m\,s^{-1}}$，而 $p\,\mathrm dq=P\,\mathrm dQ$ 的作用量单位不变。

对 $H=p^2/(2m)+kq^2/2$，新 Hamiltonian 是

$$K(Q,P)=\frac{\alpha^2P^2}{2m} +\frac{kQ^2}{2\alpha^2}.$$

若只令 $Q=2q$ 却保持 $P=p$，则 $\{Q,P\}=2$，不是正则变换，直接套用正则方程会把时间尺度算错。

生成函数：从正则一形式构造变换

保持二形式意味着在局部单连通区域内，两套正则一形式之差至多相差一个全微分。对可能显含时间的变换，可写成

比较 $\mathrm dq_i$、$\mathrm dQ_i$ 和 $\mathrm dt$ 的系数得到

若希望以旧坐标 $q$ 和新动量 $P$ 为独立变量，对 $F_1$ 再作一次 Legendre 变换，使用 $F_2(q,P,t)$：

四类生成函数的导数规则

$$\begin{array}{c|cc} \text{类型}&\text{旧变量关系}&\text{新变量关系}\\ \hline F_1(q,Q,t)&p_i=\partial F_1/\partial q_i&P_i=-\partial F_1/\partial Q_i\\ F_2(q,P,t)&p_i=\partial F_2/\partial q_i&Q_i=\partial F_2/\partial P_i\\ F_3(p,Q,t)&q_i=-\partial F_3/\partial p_i&P_i=-\partial F_3/\partial Q_i\\ F_4(p,P,t)&q_i=-\partial F_4/\partial p_i&Q_i=\partial F_4/\partial P_i \end{array}$$

四种情形都满足 $K=H+\partial F_a/\partial t$。生成函数的混合二阶导数还必须允许局部反解；写出一个可微函数并不自动得到全局可逆变换。

例 1 的缩放可由 $F_2(q,P)=\alpha qP$ 生成： $p=\alpha P$、$Q=\alpha q$。生成函数不是额外的物理能量；它的单位是作用量，只有其时间偏导才具有能量单位并进入 $K$。

例 2：匀速移动坐标系中的时间项

对一维自由粒子，取速度 $v=3.00\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 的移动坐标系，并选

$$F_2(q,P,t)=(q-vt)P.$$

括号内单位为 $\mathrm m$，故 $F_2$ 单位为 $\mathrm{J\,s}$。导数给

$$p=P, \qquad Q=q-vt, \qquad K=\frac{P^2}{2m}-vP.$$

新方程为 $\dot Q=P/m-v$、$\dot P=0$。若 $m=2.00\,\mathrm{kg}$、$P=6.00\,\mathrm{kg\,m\,s^{-1}}$，粒子的实验室速度正好为 $3.00\,\mathrm{m\,s^{-1}}$，于是 $\dot Q=0$。若漏掉 $\partial F_2/\partial t=-vP$，会错误地得到粒子仍以 $3.00\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 穿过移动坐标系。

局部构造与全局障碍：一张公式不一定覆盖整个相空间

辛条件是局部微分条件，生成函数则把这个条件积分成标量函数。若研究区域足够小且拓扑简单，闭的一形式可以写成全微分，前述 $F_a$ 就能存在。然而在带孔区域、周期角变量或跨越转折点的轨道族上，同一个生成函数可能必须分成多张局部表达。角度增加 $2\pi$ 后代表同一点，却可能使作用量函数改变一个常数；这不破坏局部导数关系，但说明不能把 $S$ 当作全局单值普通函数。

生成函数类型的选择也受投影是否可逆控制。例如某个正则变换本身完全光滑，但从 $(q,p)$ 投影到 $(q,Q)$ 时 Jacobian 退化，就无法在该处使用 $F_1(q,Q)$；改用 $(q,P)$ 为独立变量的 $F_2$ 可能仍然有效。这不是四类生成函数描述四种不同物理变换，而是同一辛关系在不同坐标图中的表达。实际计算前应检查所选混合 Hessian 的行列式，而不能只验证最终公式在一个样本点数值相等。

正则变换可复合，逆变换也正则，因此它们形成保持辛结构的变换类。生成函数却不唯一：增加与相空间变量无关的常数不会改变变换；若增加只依赖时间的函数 $c(t)$，坐标与动量关系不变，但新 Hamiltonian 会增加 $\mathrm dc/\mathrm dt$。这只改变作用量的零点，不改变正则方程。判断两个生成函数是否物理等价时，应比较它们产生的变量关系与 Hamilton 方程，而不是要求函数值逐点完全相同。

Hamilton–Jacobi 方程：让新的 Hamiltonian 消失

生成函数最强的一种用法，是寻找 $F_2=S(q,P,t)$ 使新 Hamiltonian $K$ 为零。由 $p_i=\partial S/\partial q_i$ 与 $K=H+\partial S/\partial t$，得到

Hamilton–Jacobi 方程

$$\boxed{ H\left(q_1,\ldots,q_n, \frac{\partial S}{\partial q_1},\ldots, \frac{\partial S}{\partial q_n},t\right) +\frac{\partial S}{\partial t}=0 }.$$

$S$ 称为 Hamilton 主函数，单位为 $\mathrm{J\,s}$。若 $S(q,\alpha,t)$ 含 $n$ 个独立常数 $\alpha_i$，且 $\det[\partial^2S/(\partial q_i\partial\alpha_j)]\ne0$，它构成局部完整积分。此时新动量 $P_i=\alpha_i$ 与新坐标 $Q_i=\partial S/\partial\alpha_i$ 都是常数，反解这些代数关系即可得到轨道。

Hamilton–Jacobi 方程仍是一阶非线性偏微分方程，不保证比原方程容易。完整积分可能只在局部存在；不同轨道投影交叠时，$S$ 可能多值，焦散处混合 Hessian 会退化。分离变量、连续对称性和已知守恒量通常是构造 $S$ 的关键。

例 3：自由粒子的 Hamilton–Jacobi 完整积分

一维自由粒子的 $H=p^2/(2m)$。令新动量常数为 $P$，尝试

$$S(q,P,t)=qP-\frac{P^2}{2m}t.$$

则 $\partial S/\partial q=P$、 $\partial S/\partial t=-P^2/(2m)$，恰满足 Hamilton–Jacobi 方程。新坐标

$$Q=\frac{\partial S}{\partial P}=q-\frac Pm t$$

是常数，所以 $q(t)=Q+(P/m)t$。若 $m=0.500\,\mathrm{kg}$、 $P=1.00\,\mathrm{kg\,m\,s^{-1}}$、 $Q=0.200\,\mathrm m$，则 $q(1.50\,\mathrm s)=3.20\,\mathrm m$。这里 $qP$ 和 $P^2t/(2m)$ 都具有 $\mathrm{J\,s}$ 单位。

作用量—角变量：周期轨道变成匀速转动

对一维闭合相轨道，作用量变量常定义为

单位是 $\mathrm{J\,s}$。若能把 Hamiltonian 写成仅依赖 $J$ 的函数 $H=H(J)$，共轭角变量 $\theta$ 满足

复杂的闭合曲线因此变成圆柱上的匀速角运动。

例 4：谐振子的作用量—角变量

谐振子 $H=p^2/(2m)+m\omega^2q^2/2$ 可用

$$q=\sqrt{\frac{2J}{m\omega}}\sin\theta, \qquad p=\sqrt{2m\omega J}\cos\theta$$

表示。直接计算得 $\mathrm dq\wedge\mathrm dp=\mathrm d\theta\wedge\mathrm dJ$，所以 $(\theta,J)$ 是正则对；代回可得 $H=\omega J$。

取 $m=0.500\,\mathrm{kg}$、 $k=8.00\,\mathrm{N\,m^{-1}}$，则 $\omega=\sqrt{k/m}=4.00\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$。若能量 $E=0.320\,\mathrm J$，则 $J=E/\omega=0.0800\,\mathrm{J\,s}$，位置振幅为 $\sqrt{2J/(m\omega)}=0.283\,\mathrm m$，最大动量为 $\sqrt{2m\omega J}=0.566\,\mathrm{kg\,m\,s^{-1}}$。$J$ 保持不变，$\theta$ 每秒增加 $4.00\,\mathrm{rad}$。在 $J=0$ 的平衡点角度没有定义，故这套坐标并不覆盖整个相平面。

Liouville 体积保持与完整辛条件

Hamilton 相流的散度为

只要 $H$ 的相应二阶偏导连续。故相空间体积随 Hamilton 流保持，这就是 Liouville 定理的局部形式。但“体积不变”不会自动保持每个二维共轭面积。两个以上自由度时，一个可逆变换即使行列式为 $1$，仍可能把 $q_1$ 的缩放错误地补偿到另一对变量上。

探索实验：用括号矩阵审查候选变换

准备四个同单位归一化变量 $z=(q_1,q_2,p_1,p_2)$；归一化前可取参考长度 $L_0=1.00\,\mathrm m$ 与参考动量 $p_0=1.00\,\mathrm{kg\,m\,s^{-1}}$。考察

先算 Jacobian 行列式，确为 $1$；再逐项算基本括号，会得到 $\{Q_1,P_1\}=2$、$\{Q_2,P_2\}=1/2$，所以它不正则。把变换改为 $P_1=p_1/2$、$P_2=2p_2$ 后重算，六类基本括号才全部正确。

可把两个 $4\times4$ Jacobian 记为 $M$，分别计算 $R=M^{\mathsf T}JM-J$，记录 $R$ 的每个元素而非只看行列式。若用有限差分估计非线性变换的 Jacobian，应依次使用无量纲步长 $10^{-4}$、$5\times10^{-5}$、$2.5\times10^{-5}$，确认残差随步长收敛；固定输入点和步长表，使审查可复现。

实际使用前的四步适用性检查

第一步检查变量域与单位：每个 $P_i\,\mathrm dQ_i$ 都应具有 $\mathrm{J\,s}$ 单位，周期角需要注明取值区间和识别关系。第二步检查局部可逆：候选变换的完整 Jacobian 以及所用生成函数的混合 Hessian 在目标区域都不能退化。第三步检查辛保持：解析计算基本 Poisson 括号；数值实现再以 $M^{\mathsf T}JM-J$ 的残差交叉核对，不能只看行列式。第四步检查时间与边界：显含时间时重算 $K=H+\partial F/\partial t$；跨越转折点、分离曲线、碰撞点或坐标奇点时，重新选择局部坐标图。

若系统含非完整约束、耗散力或退化 Lagrangian，原本的相空间本身可能不是简单的 $(q,p)$ 全空间。此时先确定约束面和正确的括号结构，再谈正则变换；把无约束公式直接限制到一个方程表面，未必保持真实自由度上的辛形式。正则方法强大，正因为它保留了明确结构，而不是因为它能绕过建模条件。

常见误区与适用边界

1. 把任意可逆变换都称为正则。 可逆只保证没有丢失状态，辛条件还要求保持共轭配对。
2. 只检查行列式为 $1$。 多自由度下必须检查 $M^{\mathsf T}JM=J$ 或全部基本 Poisson 括号。
3. 只改变 $q$ 而忘记改变 $p$。 坐标放大时，共轭动量通常要按倒数缩放。
4. 在含时变换中写 $K=H$。 正确公式含 $\partial F/\partial t$，该项可改变参考系中的能量表达。
5. 混用四类生成函数的符号。 先写清独立变量，再从全微分比较系数。
6. 认为 Hamilton–Jacobi 解必然全局单值。 转折点、焦散、周期角和分离支路都可能要求多张局部坐标图。
7. 在分离曲线或平衡点盲用作用量—角变量。 闭合轨道拓扑改变时，周期可能发散，角变量也可能失去定义。

练习：从辛检验到 Hamilton–Jacobi

练习 1：动量剪切标记完成

所属知识

Poisson 括号

难度

3/5

令 $Q=q$、$P=p+\lambda q$，其中 $\lambda$ 的单位为 $\mathrm{kg\,s^{-1}}$。证明变换正则，并给出一个 $F_2(q,P)$。

查看提示

计算 {Q,P}；再寻找满足 $p=\partial F_{2}/\partial q$、$Q=\partial F_{2}/\partial P$ 的二次函数。

查看解答

$\{Q,P\}=\{q,p+\lambda q\}=1$，其余同类基本括号为零。由 $p=P-\lambda q$，可取

$$F_2(q,P)=qP-\frac12\lambda q^2.$$

确有 $\partial F_2/\partial q=P-\lambda q=p$、 $\partial F_2/\partial P=q=Q$。两项单位均为 $\mathrm{J\,s}$。

练习 2：体积保持为何不够标记完成

所属知识

辛矩阵

难度

3/5

对两自由度变换 $Q_1=3q_1$、$P_1=p_1$、 $Q_2=q_2/3$、$P_2=p_2$，判断它是否正则。

查看提示

分别计算两对 ${Q_{i},P_{i}}$，不要停在 Jacobian 行列式。

查看解答

Jacobian 行列式是 $3\times1\times(1/3)\times1=1$，但 $\{Q_1,P_1\}=3$、$\{Q_2,P_2\}=1/3$，均不等于 $1$。变换只保持四维体积，没有保持各共轭平面的辛面积，因此不正则。

练习 3：非线性生成函数标记完成

所属知识

生成函数

难度

4/5

给定 $F_2(q,P)=qP+aq^3$，其中 $a=2.00\,\mathrm{kg\,m^{-1}\,s^{-1}}$。求 $(Q,P)$ 与 $(q,p)$ 的关系，并核对 $aq^3$ 的单位。

查看提示

直接对 $F_{2}$ 分别按 q 和 P 求偏导，再反解 P。

查看解答

$$p=\frac{\partial F_2}{\partial q}=P+3aq^2, \qquad Q=\frac{\partial F_2}{\partial P}=q.$$

故 $P=p-3aq^2$。$a q^3$ 的单位是 $\mathrm{kg\,m^{-1}\,s^{-1}}\,\mathrm m^3 =\mathrm{kg\,m^2\,s^{-1}}=\mathrm{J\,s}$。这是随位置变化的动量剪切，局部 Jacobian 非奇异，并由生成函数保证正则。

练习 4：移动坐标系中的静止条件标记完成

所属知识

含时变换

难度

3/5

质量 $m=1.50\,\mathrm{kg}$ 的自由粒子使用 $F_2=(q-vt)P$，其中 $v=4.00\,\mathrm{m\,s^{-1}}$。求粒子相对新坐标静止时的 $P$ 与 $K$。

查看提示

使用 $K=P^{2}/(2m)-vP$，再令 $\partial K/\partial P=0$。

查看解答

$\dot Q=\partial K/\partial P=P/m-v$。令其为零得 $P=mv=6.00\,\mathrm{kg\,m\,s^{-1}}$。此时

$$K=\frac{P^2}{2m}-vP =12.0\,\mathrm J-24.0\,\mathrm J=-12.0\,\mathrm J.$$

$K$ 可因含时正则变换而与实验室动能相差参考系项；负值不表示实验室动能为负。

练习 5：验证 Hamilton–Jacobi 解标记完成

所属知识

Hamilton–Jacobi

难度

4/5

匀强重力中取竖直坐标 $q$ 向上， $H=p^2/(2m)+mgq$。验证

$$S(q,P,t)=q(P-mgt)-\frac{P^2t}{2m} +\frac12Pg t^2-\frac16mg^2t^3$$

是否满足 Hamilton–Jacobi 方程；若不满足，指出问题。

查看提示

分别计算 $\partial S/\partial q$ 和 $\partial S/\partial t$，代入 $H+\partial S/\partial t$。

查看解答

先得 $p=\partial S/\partial q=P-mgt$。代入 $H=(P-mgt)^2/(2m)+mgq$。而

$$\frac{\partial S}{\partial t} =-mgq-\frac{P^2}{2m}+Pgt-\frac12mg^2t^2.$$

展开 $H$ 可得 $P^2/(2m)-Pgt+mg^2t^2/2+mgq$，与上式逐项抵消，所以该 $S$ 满足方程。每一项都具有 $\mathrm{J\,s}$ 单位；常数 $P$ 的单位为 $\mathrm{kg\,m\,s^{-1}}$。

练习 6：由作用量求周期标记完成

所属知识

作用量—角变量

难度

4/5

一维谐振子质量 $m=0.200\,\mathrm{kg}$、劲度系数 $k=5.00\,\mathrm{N\,m^{-1}}$，能量 $E=0.100\,\mathrm J$。求 $\omega$、$J$ 与周期 $T$。

查看提示

先写 $H(J)=\omega J$，再由角速度 $\partial H/\partial J$ 求周期。

查看解答

$$\omega=\sqrt{\frac km} =\sqrt{\frac{5.00\,\mathrm{N\,m^{-1}}}{0.200\,\mathrm{kg}}} =5.00\,\mathrm{rad\,s^{-1}}.$$

因为 $H=\omega J$， $J=E/\omega=0.0200\,\mathrm{J\,s}$。角变量以速率 $5.00\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$ 匀速变化，故 $T=2\pi/\omega=1.257\,\mathrm s$。周期与能量无关是理想谐振子的特殊性质。

关系、资源与后续学习

• Legendre 变换与 Hamilton 方程 给出本章要求保持的正则方程和 Poisson 括号结构。
• 偏导数 支撑生成函数、全微分、混合 Hessian 与 Hamilton–Jacobi 方程。
• 线性变换 提供 Jacobian、矩阵可逆性和 $M^{\mathsf T}JM=J$ 的计算语言。
• 相空间、Poincaré 截面与混沌 将使用辛面积保持、周期轨道和截面映射研究非线性系统。
• 分析力学与非线性动力学综合复习 将联合使用变分、守恒、正则变换和相空间诊断。

课程 · 2014

Classical Mechanics III

Iain Stewart

用于核对 P02 的变分条件、约束处理、Hamilton 形式、Poisson 括号、正则变换和混沌例题。

打开官方来源

该课程资源可用于复核正则变换、Poisson 括号、Hamilton–Jacobi 方程与作用量—角变量之间的推导链。建议先独立重做每个生成函数的微分，再对照课程材料检查符号和局部可逆条件。

下一步进入相空间的定性与数值分析：固定点附近可用正则线性化研究稳定性，周期轨道可用 Poincaré 截面降维，而不可积扰动会让作用量缓慢漂移并产生共振岛与混沌层。辛结构仍是区分真实动力学与数值伪影的基准。