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P09 · 第 4 章 · 第二编 流体方程

Navier–Stokes 方程与黏性流

以 Newton 流体应力闭合控制体动量守恒，区分动力与运动黏度及其单位，建立不可压缩 Navier–Stokes 方程、边界条件和能量耗散，再由无量纲化与 Couette、Poiseuille、Stokes 流判断惯性、黏性和数值尺度。

难度 5/5约 200 分钟最近修订 2026-07-14
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预备知识Euler 方程、Bernoulli 定理与涡量质量、动量与能量守恒方程偏微分方程尺度分析、数量级与估算

本章目标

  1. 用 Cauchy 应力和 Newton 流体本构写出黏性控制体动量平衡，并保持法向方向一致。
  2. 区分压力、动力黏度、运动黏度、密度和应力的 SI 单位。
  3. 从质量守恒与本构得到不可压缩 Navier–Stokes 方程及压力约束。
  4. 使用 Reynolds、Strouhal 与黏性扩散尺度判断可忽略项和边界层风险。
  5. 求解 Couette、平面 Poiseuille 和低 Reynolds 数问题并检查边界与耗散。
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本页目录

从应力分解开始

沿用固定控制体 VV、外法向 n\boldsymbol n 和外向通量为正的约定。密度 ρ\rho 单位 kg m−3\mathrm{kg\,m^{-3}}，速度 u\boldsymbol u 单位 m s−1\mathrm{m\,s^{-1}}，压力 pp 与应力分量单位均为

Pa=N m−2=kg m−1 s−2.\mathrm{Pa}=\mathrm{N\,m^{-2}}=\mathrm{kg\,m^{-1}\,s^{-2}}.

采用拉伸为正的 Cauchy 应力，把总应力写成

σ=−pI+τ.\boldsymbol\sigma=-p\boldsymbol I+\boldsymbol\tau.

边界上外侧部分对控制体内流体的牵引为 t=σn\boldsymbol t=\boldsymbol\sigma\boldsymbol n。压力项 −pn-p\boldsymbol n 指向控制体内部，黏性项 τn\boldsymbol\tau\boldsymbol n 可含法向和切向分量。压力不是“黏性应力的一部分”；它在不可压缩模型中还承担维持散度约束的作用。

速度梯度分解为对称应变率与反对称旋转率：

D=12[∇u+(∇u)T],W=12[∇u−(∇u)T].\boldsymbol D=\frac12[\nabla\boldsymbol u+(\nabla\boldsymbol u)^T], \qquad \boldsymbol W=\frac12[\nabla\boldsymbol u-(\nabla\boldsymbol u)^T].

各向同性 Newton 流体的线性本构为

τ=2μD+λ(∇⋅u)I.\boldsymbol\tau=2\mu\boldsymbol D+\lambda(\nabla\cdot\boldsymbol u)\boldsymbol I.

动力黏度 μ\mu 和第二黏度系数 λ\lambda 单位都是 Pa s=kg m−1 s−1\mathrm{Pa\,s}=\mathrm{kg\,m^{-1}\,s^{-1}}。运动黏度

ν=μρ\nu=\frac\mu\rho

单位为 m2 s−1\mathrm{m^2\,s^{-1}}。不能把标为 cP 的动力黏度直接当作 ν\nu，也不能在密度变化明显时把二者用一个固定倍数替换。不可压缩流有 ∇⋅u=0\nabla\cdot\boldsymbol u=0，体积黏性项消失；可压缩流还需状态方程、能量方程和合适的体积黏度模型。

控制体动量与局部方程

固定控制体的动量平衡是

ddt∫Vρu dV+∮Sρu(u⋅n) dA=∮Sσn dA+∫Vρb dV.\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\int_V\rho\boldsymbol u\,\mathrm dV +\oint_S\rho\boldsymbol u(\boldsymbol u\cdot\boldsymbol n)\,\mathrm dA =\oint_S\boldsymbol\sigma\boldsymbol n\,\mathrm dA +\int_V\rho\boldsymbol b\,\mathrm dV.

动量通量、表面牵引合力和体力的单位都是 N。入口处 u⋅n<0\boldsymbol u\cdot\boldsymbol n<0，出口处为正；求弯管或喷流反力时还要保留速度方向，不能只守恒速率大小。

局部质量和动量方程为

∂ρ∂t+∇⋅(ρu)=0,\frac{\partial\rho}{\partial t}+\nabla\cdot(\rho\boldsymbol u)=0,
ρDuDt=−∇p+∇⋅τ+ρb.\rho\frac{D\boldsymbol u}{Dt} =-\nabla p+\nabla\cdot\boldsymbol\tau+\rho\boldsymbol b.

若 ρ\rho、μ\mu 为常数且流动不可压缩，∇⋅u=0\nabla\cdot\boldsymbol u=0，于是

ρ(∂u∂t+u⋅∇u)=−∇p+μ∇2u+ρb.\rho\left(\frac{\partial\boldsymbol u}{\partial t} +\boldsymbol u\cdot\nabla\boldsymbol u\right) =-\nabla p+\mu\nabla^2\boldsymbol u+\rho\boldsymbol b.

惯性项、压力梯度、黏性项和体力密度单位均为 N m−3\mathrm{N\,m^{-3}}。若黏度随温度或位置变化，不能把 ∇⋅(2μD)\nabla\cdot(2\mu\boldsymbol D) 简化为 μ∇2u\mu\nabla^2\boldsymbol u，梯度作用在黏度上会产生附加项。

非线性对流项必须与局部时间导数合成物质加速度。换到以恒定速度 V\boldsymbol V 平移的惯性系时，u′=u−V\boldsymbol u'=\boldsymbol u-\boldsymbol V，局部时间导数和对流导数各自改变，但 Du/DtD\boldsymbol u/Dt 作为质点加速度保持正确变换。只保留 (u⋅∇)u(\boldsymbol u\cdot\nabla)\boldsymbol u 而漏掉 ∂tu\partial_t\boldsymbol u，会在本来相同的两个惯性系中得到不同物理预测。

不可压缩压力是全局约束变量

不可压缩方程没有独立的压力状态方程。对动量方程取散度，并使用 ∇⋅u=0\nabla\cdot\boldsymbol u=0，常密度、常黏度时得到压力 Poisson 关系

∇2p=−ρ ∂iuj ∂jui+ρ∇⋅b.\nabla^2p =-\rho\,\partial_i u_j\,\partial_j u_i +\rho\nabla\cdot\boldsymbol b.

压力会即时调整，使更新后的速度保持无散。只给速度初值而不满足散度和边界通量相容条件，不能构成合法不可压缩初值。若所有边界只给速度，压力常只确定到一个加性常数；可固定一点压力或规定零均值作为规范，速度和压力差不受该常数影响。

数值投影法先预测一个未必无散的速度，再解压力 Poisson 方程并投影到无散空间。Poisson 边界条件必须由原动量边界推导，不能在同一边界同时任意指定全部速度分量和压力值。

边界条件与初值

黏性固壁常用无滑移、不可穿透条件

u=uwall.\boldsymbol u=\boldsymbol u_{\rm wall}.

它把流体速度固定为壁面速度，使切向速度梯度产生剪切应力。另一类边界给牵引 σn\boldsymbol\sigma\boldsymbol n，例如自由表面的法向应力和切向应力条件。入口可给相容速度分布或质量流率，出口可给压力或近似牵引；具体组合取决于流向、可压缩性和方程类型。随意同时给速度与牵引会过度约束，完全不约束净通量又会破坏质量守恒。

初值 u(x,0)\boldsymbol u(\boldsymbol x,0) 要满足 ∇⋅u=0\nabla\cdot\boldsymbol u=0 和壁面法向条件。几何尖角处无滑移数据可能不光滑，使局部应力很大；理想尖角解的发散不必等同于真实材料中无限力，应结合圆角、微观长度和网格收敛判断。

黏性耗散与机械能

用速度点乘不可压缩动量方程并积分，黏性应力的体耗散率为

εv=2μD:D≥0,\varepsilon_v=2\mu\boldsymbol D:\boldsymbol D\ge0,

单位 W m−3\mathrm{W\,m^{-3}}。黏性把有序机械能转化为内能；等温模型虽不求温度，能量去向仍存在。压力在不可压缩体积内部主要重新分配机械能，并可经边界做功；开口控制体中不能笼统说“压力不做功”。稳态流也可持续耗散，只要泵功、压差或移动壁不断供能。

例 1：平面 Couette 流

两无限平板位于 y=0y=0 与 y=hy=h。下板静止，上板以 UU 沿 +x+x 运动；取稳态、不可压缩、充分发展、无压力梯度，速度为 u=(u(y),0,0)\boldsymbol u=(u(y),0,0)。方程化为 μu′′=0\mu u''=0，边界 u(0)=0u(0)=0、u(h)=Uu(h)=U 给

u(y)=Uhy,τxy=μUh.u(y)=\frac Uh y, \qquad \tau_{xy}=\mu\frac Uh.

若 μ=0.10 Pa s\mu=0.10\,\mathrm{Pa\,s}、U=0.50 m s−1U=0.50\,\mathrm{m\,s^{-1}}、h=2.0 mmh=2.0\,\mathrm{mm}，剪切应力为 25 Pa25\,\mathrm{Pa}。上板维持运动所需单位面积功率为 τU=12.5 W m−2\tau U=12.5\,\mathrm{W\,m^{-2}}，等于流体层内耗散积分。

压力驱动的 Poiseuille 流

两固定平板位于 y=±hy=\pm h，流动沿 xx，设稳态、不可压缩、充分发展且 dp/dx\mathrm dp/\mathrm dx 为常数。xx 动量方程为

0=−dpdx+μd2udy2.0=-\frac{\mathrm dp}{\mathrm dx}+\mu\frac{\mathrm d^2u}{\mathrm dy^2}.

由 u(±h)=0u(\pm h)=0 得

u(y)=−12μdpdx(h2−y2).u(y)=-\frac1{2\mu}\frac{\mathrm dp}{\mathrm dx}(h^2-y^2).

单位宽度体积流量与平均速度为

q′=∫−hhu dy=2h33μ(−dpdx),uˉ=q′2h=h23μ(−dpdx).q'=\int_{-h}^{h}u\,\mathrm dy =\frac{2h^3}{3\mu}\left(-\frac{\mathrm dp}{\mathrm dx}\right), \qquad \bar u=\frac{q'}{2h} =\frac{h^2}{3\mu}\left(-\frac{\mathrm dp}{\mathrm dx}\right).

压力沿流向下降时 dp/dx<0\mathrm dp/\mathrm dx<0，速度为正。中心最大速度 umax⁡=3uˉ/2u_{\max}=3\bar u/2，壁面剪切应力大小为 h∣dp/dx∣h|\mathrm dp/\mathrm dx|。

例 2：平行板间压降给出的流量

水取 μ=1.0×10−3 Pa s\mu=1.0\times10^{-3}\,\mathrm{Pa\,s}，半间隙 h=1.0 mmh=1.0\,\mathrm{mm}，压力梯度 dp/dx=−1000 Pa m−1\mathrm dp/\mathrm dx=-1000\,\mathrm{Pa\,m^{-1}}。则

umax⁡=1000(10−3)22(10−3)=0.50 m s−1,uˉ=0.333 m s−1.u_{\max}=\frac{1000(10^{-3})^2}{2(10^{-3})}=0.50\,\mathrm{m\,s^{-1}}, \qquad \bar u=0.333\,\mathrm{m\,s^{-1}}.

单位宽度流量 q′=2huˉ=6.67×10−4 m2 s−1q'=2h\bar u=6.67\times10^{-4}\,\mathrm{m^2\,s^{-1}}。结果依赖入口已充分发展、平板足够宽且黏度恒定；短通道入口段不能直接采用抛物线分布。

圆管中同样可得到 Hagen–Poiseuille 关系。半径为 RR、长度为 LL 的直圆管在稳态、轴对称、充分发展条件下满足

u(r)=Δp4μL(R2−r2),Q=πR48μLΔp.u(r)=\frac{\Delta p}{4\mu L}(R^2-r^2), \qquad Q=\frac{\pi R^4}{8\mu L}\Delta p.

水力阻力 Δp/Q=8μL/(πR4)\Delta p/Q=8\mu L/(\pi R^4) 对半径极敏感；半径减半使同流量所需压差增大十六倍。这个线性压差—流量关系依赖 Newton 黏度和层流充分发展，不能外推到湍流或明显入口效应。

例 3：细圆管的流量与 Reynolds 数复核

水流过 R=0.50 mmR=0.50\,\mathrm{mm}、L=0.10 mL=0.10\,\mathrm m 的圆管，压差 Δp=100 Pa\Delta p=100\,\mathrm{Pa}，取 μ=10−3 Pa s\mu=10^{-3}\,\mathrm{Pa\,s}。流量为

Q=π(5.0×10−4)4(100)8(10−3)(0.10)≈2.45×10−8 m3 s−1.Q=\frac{\pi(5.0\times10^{-4})^4(100)}{8(10^{-3})(0.10)} \approx2.45\times10^{-8}\,\mathrm{m^3\,s^{-1}}.

平均速度 uˉ=Q/(πR2)≈0.0313 m s−1\bar u=Q/(\pi R^2)\approx0.0313\,\mathrm{m\,s^{-1}}。以直径为长度，Re=ρuˉ(2R)/μ≈31\mathrm{Re}=\rho\bar u(2R)/\mu\approx31，与层流假设相容。若计算所得 Re 已进入强惯性区，就应回头否定 Poiseuille 前提，而不是只保留流量数字。

无量纲化与流动区间

取速度尺度 UU、长度 LL、时间尺度 TT，压力尺度 ρU2\rho U^2。无量纲不可压缩方程可写成

St ∂u∗∂t∗+u∗⋅∇∗u∗=−∇∗p∗+1Re∇∗2u∗+1Fr2bg∗,\mathrm{St}\,\frac{\partial\boldsymbol u^*}{\partial t^*} +\boldsymbol u^*\cdot\nabla^*\boldsymbol u^* =-\nabla^*p^*+\frac1{\mathrm{Re}}\nabla^{*2}\boldsymbol u^* +\frac1{\mathrm{Fr}^2}\boldsymbol b_g^*,

其中

Re=ρULμ=ULν,St=LUT,Fr=UgL.\mathrm{Re}=\frac{\rho UL}{\mu}=\frac{UL}{\nu}, \qquad \mathrm{St}=\frac L{UT}, \qquad \mathrm{Fr}=\frac U{\sqrt{gL}}.

Reynolds 数比较惯性与黏性，Strouhal 数比较局部非稳态与对流，Froude 数比较惯性与重力。Re≪1\mathrm{Re}\ll1 时可忽略惯性，得到线性 Stokes 方程；Re≫1\mathrm{Re}\gg1 时主体区可能近似 Euler 流，但壁面边界层、剪切层和尾迹仍由黏性控制。层流或湍流不能由一个脱离几何与扰动环境的固定 Re 阈值普遍判定。

黏性扩散跨越长度 LL 的时间尺度为

tν∼L2ν.t_\nu\sim\frac{L^2}{\nu}.

它与对流时间 L/UL/U 的比值正是 Re。振荡流还可用 Womersley 参数 α=Lω/ν\alpha=L\sqrt{\omega/\nu} 比较振荡周期和黏性扩散；α\alpha 大时，速度剖面来不及在每周期内扩散到全截面。

例 4：动量扩散时间

水的运动黏度约 ν=1.0×10−6 m2 s−1\nu=1.0\times10^{-6}\,\mathrm{m^2\,s^{-1}}。速度扰动跨越 L=1.0 mmL=1.0\,\mathrm{mm} 的扩散时间约

tν=(10−3)210−6=1.0 s.t_\nu=\frac{(10^{-3})^2}{10^{-6}}=1.0\,\mathrm s.

若尺度增为 1.0 cm1.0\,\mathrm{cm}，时间增为 100 s100\,\mathrm s。扩散时间按长度平方增长，所以大尺度高 Re 流中黏性影响常先局限在薄层，而微流道可迅速建立黏性速度剖面。

低 Reynolds 数与 Stokes 流

当 Re≪1\mathrm{Re}\ll1 且非稳态可忽略时，

0=−∇p+μ∇2u+ρb,∇⋅u=0.0=-\nabla p+\mu\nabla^2\boldsymbol u+\rho\boldsymbol b, \qquad \nabla\cdot\boldsymbol u=0.

方程线性，可叠加解，并在固定边界运动反向时呈运动学可逆性。惯性虽小，压力梯度和黏性仍彼此平衡。半径 aa 的刚性球以速度 UU 在无界 Newton 流体中缓慢运动，经典阻力为 FD=6πμaUF_D=6\pi\mu aU，方向与相对运动相反；条件包括 2ρaU/μ≪12\rho aU/\mu\ll1、远场足够远、无滑移和球形刚体。

例 5：微球的 Stokes 阻力与适用性

水中半径 a=10 μma=10\,\mu\mathrm m 的微球相对速度 U=100 μm s−1U=100\,\mu\mathrm{m\,s^{-1}}。取 ρ=1000 kg m−3\rho=1000\,\mathrm{kg\,m^{-3}}、μ=10−3 Pa s\mu=10^{-3}\,\mathrm{Pa\,s}，直径 Reynolds 数

Re=2ρaUμ=0.002.\mathrm{Re}=\frac{2\rho aU}{\mu}=0.002.

Stokes 近似可靠，阻力

FD=6πμaU≈1.9×10−11 N.F_D=6\pi\mu aU\approx1.9\times10^{-11}\,\mathrm N.

若微球接近固壁，壁面会改变速度场和阻力，不能继续使用无界公式。

涡量的输运、拉伸与扩散

对常密度、不可压缩、保守体力的 Navier–Stokes 方程取旋度，得到

DωDt=(ω⋅∇)u+ν∇2ω.\frac{D\boldsymbol\omega}{Dt} =(\boldsymbol\omega\cdot\nabla)\boldsymbol u +\nu\nabla^2\boldsymbol\omega.

第一项是三维涡量拉伸和倾斜，第二项是黏性扩散。压力在常密度情形中不直接出现在旋度方程，但它仍通过速度约束影响流动。无滑移壁面能产生涡量，随后由扩散和对流带入主体；因此即使来流最初无旋，绕物体流动也可形成边界层和尾迹。

二维不可压缩流没有沿涡量方向的速度变化，拉伸项消失，涡量只被平流和扩散。三维中涡管被拉长时截面缩小、涡量增强，形成更细尺度并提高解析和数值分辨率要求。高 Re 并不删除 ν∇2ω\nu\nabla^2\boldsymbol\omega 的全部作用，因为速度梯度可随黏度减小而变陡，使局部黏性项保持有限。

Newton 流体模型的材料边界

本章假定应力在当前应变率下瞬时、线性且各向同性。聚合物溶液、血液、泥浆和悬浮液可能有剪切变稀、屈服应力、记忆或法向应力差，需要额外内部变量和本构方程。仅把 μ\mu 改成一个任意常数不能表达这些效应。气体尺度接近分子平均自由程时，无滑移和连续介质假设也会失效，应以 Knudsen 数检查稀薄效应。

模型选择还要核对热耦合。黏度常随温度变化，强耗散会加热流体，密度和黏度随之改变；此时需联立能量方程。把等温常黏度解用于高剪切、绝热或大温差系统，应先估算温升和物性变化，而不是把解析抛物线速度剖面视为材料普遍定律。

数值离散必须保留物理收支

有限体积法直接离散控制体面上的质量、动量和应力通量，邻接单元共享同一面通量时较易保持离散守恒。显式时间推进常同时受对流尺度和黏性尺度限制：

UΔtΔx≲Ca,νΔtΔx2≲Cν,\frac{U\Delta t}{\Delta x}\lesssim C_a, \qquad \frac{\nu\Delta t}{\Delta x^2}\lesssim C_\nu,

常数取决于维数和离散格式。网格加密一倍时，扩散限制可能使时间步缩小约四倍。隐式处理可缓解稳定性限制，但不能消除空间分辨率、线性求解误差或错误边界条件。

可信计算至少报告质量残差、动量或压降收支、网格与时间步收敛，并用 Couette、Poiseuille 等解析解验证实现。压力图看起来平滑、迭代器返回“收敛”或速度场视觉合理，都不能替代守恒和误差检查。

常见误区

黏度只让流体变慢
黏性扩散动量并产生耗散，也可把壁面运动传入流体；Couette 流正由黏性驱动。
不可压缩表示压力恒定
不可压缩约束速度散度，压力可有显著空间变化并负责满足动量和边界条件。
高 Reynolds 数可直接删除黏性和无滑移
高 Re 极限通常是奇异极限；薄边界层中的微小黏度可决定分离、阻力和涡量生成。

练习

练习 1：黏度单位
所属知识
本构
难度
2/5
从剪切本构推导 μ\mu 与 ν\nu 的 SI 单位。
查看提示
由 τ=μ∂u/∂y\tau=\mu \partial u/\partial y，速度梯度单位为 s−1s^{-1}。
查看解答
μ=τ/(∂u/∂y)\mu=\tau/(\partial u/\partial y)，单位 Pa⋅sPa\cdot s；ν=μ/ρ\nu=\mu/\rho，单位 m2⋅s−1m^{2}\cdot s^{-1}。二者分别是动力黏度和运动黏度。
练习 2：Couette 功率
所属知识
精确解
难度
3/5
验证平面 Couette 流的边界功率等于体耗散。
查看提示
先求 τ=μU/h\tau=\mu U/h，再乘上板速度。
查看解答
单位面积功率为 μU2/h\mu U^{2}/h；流体内耗散积分 ∫0hμ(U/h)2dy=μU2/h\int_{0}ʰ \mu(U/h)^{2}dy=\mu U^{2}/h，与边界输入相等。
练习 3：Poiseuille 标度
所属知识
压降流
难度
3/5
平行板半间隙减半时，为保持流量速度不变需怎样改变压力梯度？
查看提示
平均速度与 h2(−dp/dx)/μh^{2}(-dp/dx)/\mu 成正比。
查看解答
保持平均速度和黏度不变，h 减半需要把压力梯度放大四倍；壁面剪切 h|dp/dx| 因而放大两倍。
练习 4：压力规范
所属知识
不可压缩约束
难度
3/5
解释为何封闭不可压缩速度边界下压力只确定到常数。
查看提示
动量方程只含 ∇p\nabla p。
查看解答
若边界全给速度，p 与 p+C 产生同一速度；固定一点压力或零均值可去除加性自由度，压力差不受影响。
练习 5：Reynolds 数
所属知识
尺度分析
难度
3/5
计算给定微流道参数的 Reynolds 数并判断主导平衡。
查看提示
使用 Re=UL/νRe=UL/\nu，并同时检查壁面位置。
查看解答
U=0.01 m⋅s−1U=0.01\,\mathrm{m}\cdot s^{-1}、L=100μmL=100 \mu m、ν=10−6m2⋅s−1\nu=10^{-6} m^{2}\cdot s^{-1} 时 Re=1；惯性和黏性同阶，不能仅按低 Re 或无黏极限删项。
练习 6：显式时间步
所属知识
数值尺度
难度
4/5
写出显式求解同时受对流与黏性限制的时间步选择流程。
查看提示
分别估计 Δx/U\Delta x/U 与 Δx2/ν\Delta x^{2}/\nu，并取更严格者乘格式常数。
查看解答
对流尺度 Δx/U\Delta x/U，扩散尺度 Δx2/ν\Delta x^{2}/\nu；网格加密时后者按平方缩小，低 Re 或细网格下常成为限制。实际常数需由离散格式稳定性分析确定。

关系与资源

课程 · 2013

Advanced Fluid Mechanics

Gareth McKinley

用于核对 P09 的守恒方程符号、应力量纲、无黏与黏性流推导、边界层尺度和流动稳定性例题。

打开官方来源
课程 · 2015

Numerical Fluid Mechanics

Pierre Lermusiaux

用于核对 P11 的离散化误差、场方程网格算法、时间步稳定性、边界条件和数值验证流程。

打开官方来源

MIT OpenCourseWare 2.25 可用于核对黏性应力、精确解和尺度平衡，2.29 提供有限体积、压力耦合、稳定性与验证方法。两类资料分别回答物理模型和离散模型问题，不能以数值收敛替代物理假设检查。