一张可执行的电磁学地图
综合题通常不是缺公式，而是对象和边界没有分清。稳定的分析顺序是：先画出源与材料区域，再声明坐标和法向；判断场是否随时间变化以及变化尺度；选择积分定律、势方程或微分方程；施加边界与初始条件；最后用力、能量或功率检验结果。任何一步省略，都可能得到量纲正确但方向或适用范围错误的答案。
本章统一采用右手坐标系。界面单位法向 n ^ \hat{\mathbf n} n ^ V m − 1 \mathrm{V\,m^{-1}} V m − 1 A m − 1 \mathrm{A\,m^{-1}} A m − 1 W m − 2 \mathrm{W\,m^{-2}} W m − 2
真空量与介质量不能混用
介质中的极化强度 P \mathbf P P C m − 2 \mathrm{C\,m^{-2}} C m − 2 M \mathbf M M A m − 1 \mathrm{A\,m^{-1}} A m − 1
D = ε 0 E + P , H = B μ 0 − M . \mathbf D=\varepsilon_0\mathbf E+\mathbf P,
\qquad
\mathbf H=\frac{\mathbf B}{\mu_0}-\mathbf M. D = ε 0 E + P , H = μ 0 B − M . D \mathbf D D C m − 2 \mathrm{C\,m^{-2}} C m − 2 H \mathbf H H A m − 1 \mathrm{A\,m^{-1}} A m − 1
∇ ⋅ D = ρ f , ∇ ⋅ B = 0 , \nabla\cdot\mathbf D=\rho_f,
\qquad
\nabla\cdot\mathbf B=0, ∇ ⋅ D = ρ f , ∇ ⋅ B = 0 , ∇ × E = − ∂ B ∂ t , ∇ × H = J f + ∂ D ∂ t . \nabla\times\mathbf E=-\frac{\partial\mathbf B}{\partial t},
\qquad
\nabla\times\mathbf H=\mathbf J_f+\frac{\partial\mathbf D}{\partial t}. ∇ × E = − ∂ t ∂ B , ∇ × H = J f + ∂ t ∂ D . 这些方程还没有封闭。材料的本构关系提供额外信息。最简单的线性、各向同性、均匀模型为
D = ε E , B = μ H , J f = σ E . \mathbf D=\varepsilon\mathbf E,
\qquad
\mathbf B=\mu\mathbf H,
\qquad
\mathbf J_f=\sigma\mathbf E. D = ε E , B = μ H , J f = σ E . ε \varepsilon ε μ \mu μ σ \sigma σ F m − 1 \mathrm{F\,m^{-1}} F m − 1 H m − 1 \mathrm{H\,m^{-1}} H m − 1 S m − 1 \mathrm{S\,m^{-1}} S m − 1
束缚电荷可写成 ρ b = − ∇ ⋅ P \rho_b=-\nabla\cdot\mathbf P ρ b = − ∇ ⋅ P σ b = P ⋅ n ^ o u t \sigma_b=\mathbf P\cdot\hat{\mathbf n}_{\mathrm{out}} σ b = P ⋅ n ^ out D \mathbf D D E \mathbf E E
静电问题：先看对称性，再选场或势
静电场满足 ∇ × E = 0 \nabla\times\mathbf E=0 ∇ × E = 0
E = − ∇ V , ∇ 2 V = − ρ ε 0 \mathbf E=-\nabla V,
\qquad
\nabla^2V=-\frac{\rho}{\varepsilon_0} E = − ∇ V , ∇ 2 V = − ε 0 ρ （真空或把总电荷写入 ρ \rho ρ ∇ 2 V = 0 \nabla^2V=0 ∇ 2 V = 0
导体达到静电平衡时，导体内部 E = 0 \mathbf E=0 E = 0
例 1：同轴导体的场与电势差
无限长同轴结构的内导体半径 a = 1.0 m m a=1.0\,\mathrm{mm} a = 1.0 mm b = 4.0 m m b=4.0\,\mathrm{mm} b = 4.0 mm λ = 20 n C m − 1 \lambda=20\,\mathrm{nC\,m^{-1}} λ = 20 nC m − 1 r = 2.0 m m r=2.0\,\mathrm{mm} r = 2.0 mm V ( a ) − V ( b ) V(a)-V(b) V ( a ) − V ( b )
取半径 r r r L L L + r ^ +\hat{\mathbf r} + r ^
E ( 2 π r L ) = λ L ε 0 , E ( r ) = λ 2 π ε 0 r r ^ . E(2\pi rL)=\frac{\lambda L}{\varepsilon_0},
\qquad
\mathbf E(r)=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0r}\hat{\mathbf r}. E ( 2 π r L ) = ε 0 λ L , E ( r ) = 2 π ε 0 r λ r ^ . 因此
E ( 2.0 m m ) ≈ 1.80 × 10 5 V m − 1 . E(2.0\,\mathrm{mm})\approx1.80\times10^5\,\mathrm{V\,m^{-1}}. E ( 2.0 mm ) ≈ 1.80 × 1 0 5 V m − 1 . 电势差按 V ( a ) − V ( b ) = − ∫ b a E ⋅ d ℓ V(a)-V(b)=-\int_b^a\mathbf E\cdot\mathrm d\boldsymbol\ell V ( a ) − V ( b ) = − ∫ b a E ⋅ d ℓ
V ( a ) − V ( b ) = λ 2 π ε 0 ln b a ≈ 4.98 × 10 2 V . V(a)-V(b)=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln\frac ba
\approx4.98\times10^2\,\mathrm V. V ( a ) − V ( b ) = 2 π ε 0 λ ln a b ≈ 4.98 × 1 0 2 V . 正内导体电势较高，电场沿径向外指。若积分上下限或径向线元方向改变，负号也要同步处理。
稳恒磁场：电流连续性与方向
稳恒电流满足 ∂ ρ / ∂ t = 0 \partial\rho/\partial t=0 ∂ ρ / ∂ t = 0 ∇ ⋅ J = 0 \nabla\cdot\mathbf J=0 ∇ ⋅ J = 0
∮ C B ⋅ d ℓ = μ 0 I e n c \oint_C\mathbf B\cdot\mathrm d\boldsymbol\ell=\mu_0I_{\mathrm{enc}} ∮ C B ⋅ d ℓ = μ 0 I enc 只在足够对称时把未知场提出积分号。长直导线的磁场沿方位角方向，方向由电流和右手定则确定；长螺线管内部近似 B = μ 0 n I a ^ \mathbf B=\mu_0nI\,\hat{\mathbf a} B = μ 0 n I a ^ a ^ \hat{\mathbf a} a ^
带电粒子的 Lorentz 力为
F = q ( E + v × B ) . \mathbf F=q(\mathbf E+\mathbf v\times\mathbf B). F = q ( E + v × B ) . 磁力与瞬时速度垂直，因此单独磁场不改变粒子动能；它改变动量方向。对负电荷，先按正电荷计算 v × B \mathbf v\times\mathbf B v × B d F = I d ℓ × B \mathrm d\mathbf F=I\,\mathrm d\boldsymbol\ell\times\mathbf B d F = I d ℓ × B
磁矢势 B = ∇ × A \mathbf B=\nabla\times\mathbf A B = ∇ × A ∇ ⋅ B = 0 \nabla\cdot\mathbf B=0 ∇ ⋅ B = 0 A \mathbf A A A \mathbf A A
时变磁通、Lenz 方向与电路暂态
Faraday 定律为
E = ∮ C E ⋅ d ℓ = − d Φ B d t , Φ B = ∫ S B ⋅ d a . \mathcal E=\oint_C\mathbf E\cdot\mathrm d\boldsymbol\ell
=-\frac{\mathrm d\Phi_B}{\mathrm dt},
\qquad
\Phi_B=\int_S\mathbf B\cdot\mathrm d\mathbf a. E = ∮ C E ⋅ d ℓ = − d t d Φ B , Φ B = ∫ S B ⋅ d a . 先选曲面法向，再由右手定则确定正环路，最后计算带符号磁通。负号说明感应电动势驱动的效应反抗磁通变化，不是永远反抗原磁场。若正向磁通正在减小，感应电流会尝试维持正向磁场。
集总电感模型定义磁链 N Φ B = L i N\Phi_B=Li N Φ B = L i v L = L d i / d t v_L=L\,\mathrm di/\mathrm dt v L = L d i / d t
U L = 1 2 L i 2 . U_L=\frac12Li^2. U L = 2 1 L i 2 . 电容储能为 U C = C V 2 / 2 U_C=CV^2/2 U C = C V 2 /2
例 2：RL 接通过程的电压与能量方向
直流电源 V s = 12.0 V V_s=12.0\,\mathrm V V s = 12.0 V t = 0 t=0 t = 0 R = 8.0 Ω R=8.0\,\Omega R = 8.0 Ω L = 0.400 H L=0.400\,\mathrm H L = 0.400 H t = 0.100 s t=0.100\,\mathrm s t = 0.100 s
由 L d i / d t + R i = V s L\,\mathrm di/\mathrm dt+Ri=V_s L d i / d t + R i = V s
τ = L R = 0.0500 s , i ( t ) = V s R ( 1 − e − t / τ ) . \tau=\frac LR=0.0500\,\mathrm s,
\qquad
i(t)=\frac{V_s}{R}(1-e^{-t/\tau}). τ = R L = 0.0500 s , i ( t ) = R V s ( 1 − e − t / τ ) . 在 t = 0.100 s = 2 τ t=0.100\,\mathrm s=2\tau t = 0.100 s = 2 τ
i = 1.50 ( 1 − e − 2 ) ≈ 1.30 A , i=1.50(1-e^{-2})\approx1.30\,\mathrm A, i = 1.50 ( 1 − e − 2 ) ≈ 1.30 A , v L = L d i d t = V s e − 2 ≈ 1.62 V . v_L=L\frac{\mathrm di}{\mathrm dt}
=V_se^{-2}\approx1.62\,\mathrm V. v L = L d t d i = V s e − 2 ≈ 1.62 V . 沿正电流方向跨过电感时取电压降 v L v_L v L R i ≈ 10.38 V Ri\approx10.38\,\mathrm V R i ≈ 10.38 V 12.0 V 12.0\,\mathrm V 12.0 V v L v_L v L v L → 0 v_L\to0 v L → 0 L I 2 / 2 = 0.450 J LI^2/2=0.450\,\mathrm J L I 2 /2 = 0.450 J
界面条件：一个法向贯穿四式
令 n ^ \hat{\mathbf n} n ^ σ f \sigma_f σ f K f \mathbf K_f K f
n ^ ⋅ ( D 2 − D 1 ) = σ f , n ^ ⋅ ( B 2 − B 1 ) = 0 , \hat{\mathbf n}\cdot(\mathbf D_2-\mathbf D_1)=\sigma_f,
\qquad
\hat{\mathbf n}\cdot(\mathbf B_2-\mathbf B_1)=0, n ^ ⋅ ( D 2 − D 1 ) = σ f , n ^ ⋅ ( B 2 − B 1 ) = 0 , n ^ × ( E 2 − E 1 ) = 0 , n ^ × ( H 2 − H 1 ) = K f . \hat{\mathbf n}\times(\mathbf E_2-\mathbf E_1)=\mathbf 0,
\qquad
\hat{\mathbf n}\times(\mathbf H_2-\mathbf H_1)=\mathbf K_f. n ^ × ( E 2 − E 1 ) = 0 , n ^ × ( H 2 − H 1 ) = K f . 这里假设界面上没有需要保留的奇异时变磁通或电通量。法向分量用点积，切向跳跃用叉积。E \mathbf E E D n D_n D n B n B_n B n H t H_t H t
例 3：介质界面两侧的电场分量
平面界面为 z = 0 z=0 z = 0 z < 0 z<0 z < 0 ε 1 = 2 ε 0 \varepsilon_1=2\varepsilon_0 ε 1 = 2 ε 0 z > 0 z>0 z > 0 ε 2 = 5 ε 0 \varepsilon_2=5\varepsilon_0 ε 2 = 5 ε 0 n ^ = + z ^ \hat{\mathbf n}=+\hat{\mathbf z} n ^ = + z ^
E 1 = ( 300 x ^ + 100 z ^ ) V m − 1 . \mathbf E_1=(300\hat{\mathbf x}+100\hat{\mathbf z})\,\mathrm{V\,m^{-1}}. E 1 = ( 300 x ^ + 100 z ^ ) V m − 1 . 切向电场连续，所以 E 2 x = 300 V m − 1 E_{2x}=300\,\mathrm{V\,m^{-1}} E 2 x = 300 V m − 1
ε 2 E 2 z = ε 1 E 1 z , E 2 z = 2 5 ( 100 ) = 40.0 V m − 1 . \varepsilon_2E_{2z}=\varepsilon_1E_{1z},
\qquad
E_{2z}=\frac25(100)=40.0\,\mathrm{V\,m^{-1}}. ε 2 E 2 z = ε 1 E 1 z , E 2 z = 5 2 ( 100 ) = 40.0 V m − 1 . 故
E 2 = ( 300 x ^ + 40.0 z ^ ) V m − 1 . \mathbf E_2=(300\hat{\mathbf x}+40.0\hat{\mathbf z})\,\mathrm{V\,m^{-1}}. E 2 = ( 300 x ^ + 40.0 z ^ ) V m − 1 . 若另有 σ f > 0 \sigma_f>0 σ f > 0 D 2 n − D 1 n = σ f D_{2n}-D_{1n}=\sigma_f D 2 n − D 1 n = σ f D D D
Maxwell 方程决定传播，Poynting 定理负责记账
无源均匀介质中的电磁波速度 v = 1 / μ ε v=1/\sqrt{\mu\varepsilon} v = 1/ μ ε E ⊥ H ⊥ k ^ \mathbf E\perp\mathbf H\perp\hat{\mathbf k} E ⊥ H ⊥ k ^ E / H = μ / ε E/H=\sqrt{\mu/\varepsilon} E / H = μ / ε k ⋅ r − ω t \mathbf k\cdot\mathbf r-\omega t k ⋅ r − ω t k \mathbf k k
在线性、无色散、无损介质中，常用能量密度和能流为
u = 1 2 E ⋅ D + 1 2 B ⋅ H , S = E × H . u=\frac12\mathbf E\cdot\mathbf D
+\frac12\mathbf B\cdot\mathbf H,
\qquad
\mathbf S=\mathbf E\times\mathbf H. u = 2 1 E ⋅ D + 2 1 B ⋅ H , S = E × H . 相应能量方程为
∂ u ∂ t + ∇ ⋅ S = − J f ⋅ E . \frac{\partial u}{\partial t}+\nabla\cdot\mathbf S
=-\mathbf J_f\cdot\mathbf E. ∂ t ∂ u + ∇ ⋅ S = − J f ⋅ E . 在色散、有损或非线性材料中，简单的瞬时 u u u J ⋅ E \mathbf J\cdot\mathbf E J ⋅ E
例 4：同轴线中的能量从哪里流过
理想同轴线内导体半径 a = 1.0 m m a=1.0\,\mathrm{mm} a = 1.0 mm b = 5.0 m m b=5.0\,\mathrm{mm} b = 5.0 mm V = 50.0 V V=50.0\,\mathrm V V = 50.0 V I = 2.00 A I=2.00\,\mathrm A I = 2.00 A + z ^ +\hat{\mathbf z} + z ^
导体间的场为
E ( r ) = V r ln ( b / a ) r ^ , H ( r ) = I 2 π r ϕ ^ . \mathbf E(r)=\frac{V}{r\ln(b/a)}\hat{\mathbf r},
\qquad
\mathbf H(r)=\frac{I}{2\pi r}\hat{\boldsymbol\phi}. E ( r ) = r ln ( b / a ) V r ^ , H ( r ) = 2 π r I ϕ ^ . 由于 r ^ × ϕ ^ = z ^ \hat{\mathbf r}\times\hat{\boldsymbol\phi}=\hat{\mathbf z} r ^ × ϕ ^ = z ^
S ( r ) = V I 2 π r 2 ln ( b / a ) z ^ . \mathbf S(r)=\frac{VI}{2\pi r^2\ln(b/a)}\hat{\mathbf z}. S ( r ) = 2 π r 2 ln ( b / a ) V I z ^ . 它位于导体之间并沿线路方向。对垂直于 z z z
P = ∫ a b S z ( 2 π r d r ) = V I ln ( b / a ) ∫ a b d r r = V I = 100 W . P=\int_a^bS_z(2\pi r\,\mathrm dr)
=\frac{VI}{\ln(b/a)}\int_a^b\frac{\mathrm dr}{r}
=VI=100\,\mathrm W. P = ∫ a b S z ( 2 π r d r ) = ln ( b / a ) V I ∫ a b r d r = V I = 100 W . 场论功率与电路功率一致。若把电流方向反向而保持电势极性不变，H \mathbf H H S \mathbf S S
静电、准静态还是全波
设系统特征长度为 L L L T T T v v v L / ( v T ) ≪ 1 L/(vT)\ll1 L / ( v T ) ≪ 1
选择模型时可用以下分流：
源不随时间变化且几何高度对称：优先 Gauss 或 Ampère 积分定律。
静电边界给定但对称性不足：求解 Laplace 或 Poisson 方程。
变化缓慢且导线尺寸远小于波长：使用集总 RC、RL、RLC，并保留 Faraday 符号。
尺寸接近波长或关心辐射：使用完整 Maxwell 方程、界面条件和 Poynting 能流。
材料响应显著：先写本构关系及频率范围，再决定 ε \varepsilon ε μ \mu μ σ \sigma σ
每种简化都要注明被忽略的量。所谓“理想导体”“无限长”“无损介质”是模型条件，不是现实物体的永久属性。
容易发生的系统性错误
有介质就把 ε₀ 全部替换成 ε
只有线性、均匀、各向同性并且自由源定义一致时，某些公式可作这种替换。分层、各向异性或非线性介质必须使用本构关系和边界条件重新求解。
Lenz 定律说明感应场总与外磁场反向
感应效应反抗的是磁通变化。外磁通减小时，感应磁场可以与外磁场同向，以延缓减小。
Gauss 面包围电荷就一定能求出 E
Gauss 定律始终成立，但只有对称性足以确定面上 E ⋅ n ^ \mathbf E\cdot\hat{\mathbf n} E ⋅ n ^
导线中的电流是唯一能量通道
电流描述电荷输运，能量流由 E × H \mathbf E\times\mathbf H E × H
综合练习
练习 1：带电实心球的内外场
所属知识 Gauss 定律
难度 3/5 半径 R R R Q > 0 Q>0 Q > 0 E ( r ) \mathbf E(r) E ( r )
查看提示 半径 r 小于 R 时包围电荷按体积比例
r 3 / R 3 r^{3}/R^{3} r 3 / R 3 ；外部包围全部电荷。
查看解答 若总电荷为 Q 且均匀分布，则
r ≤ R r\le R r ≤ R 时
E = Q r / ( 4 π ϵ 0 R 3 ) E=Qr/(4\pi \epsilon_{0}R^{3}) E = Q r / ( 4 π ϵ 0 R 3 ) ，方向对 Q>0 为径向外；
r ≥ R r\ge R r ≥ R 时
E = Q / ( 4 π ϵ 0 r 2 ) E=Q/(4\pi \epsilon_{0}r^{2}) E = Q / ( 4 π ϵ 0 r 2 ) 。两式在 r=R 相等，中心场为零。场单位为
V ⋅ m − 1 V\cdot m^{-1} V ⋅ m − 1 。若电荷集中在薄壳表面，内部场会改为零。
练习 2：有自由面电荷的介质界面
所属知识 边界条件
难度 3/5 两线性介质介电常数为 ε 1 \varepsilon_1 ε 1 ε 2 \varepsilon_2 ε 2 σ f \sigma_f σ f E 1 \mathbf E_1 E 1
查看提示 固定
n ^ \hat{n} n ^ 从介质 1 指向介质 2；切向 E 连续，法向 D 的跳跃等于
σ f \sigma_f σ f 。
查看解答 切向分量满足
E 2 t = E 1 t E_{2}t=E_{1}t E 2 t = E 1 t 。法向分量满足
ϵ 2 E 2 n − ϵ 1 E 1 n = σ f \epsilon_{2}E_{2}n-\epsilon_{1}E_{1}n=\sigma_f ϵ 2 E 2 n − ϵ 1 E 1 n = σ f ，因此
E 2 n = ( σ f + ϵ 1 E 1 n ) / ϵ 2 E_{2}n=(\sigma_f+\epsilon_{1}E_{1}n)/\epsilon_{2} E 2 n = ( σ f + ϵ 1 E 1 n ) / ϵ 2 。若把法向反向，
E i n E_{in} E in 和
σ f \sigma_f σ f 的带符号表示也要同步改变。不能在
σ f \sigma_f σ f 非零时令
D 2 n = D 1 n D_{2}n=D_{1}n D 2 n = D 1 n 。
练习 3：运动电荷的受力方向
所属知识 Lorentz 力
难度 2/5 电子以速度 v x ^ v\hat{\mathbf x} v x ^ B z ^ B\hat{\mathbf z} B z ^
查看提示 先对正电荷算
v × B v\times B v × B ，再乘带符号电荷 q；磁力不改变速率。
查看解答 v × B = ( + x ^ ) × ( + z ^ ) = − y ^ v\times B=(+\hat{x})\times(+\hat{z})=-\hat{y} v × B = ( + x ^ ) × ( + z ^ ) = − y ^ 。电子
q = − e q=-e q = − e ，所以磁力沿
+ y ^ +\hat{y} + y ^ ，大小 evB。因为
F ⋅ v = 0 F\cdot v=0 F ⋅ v = 0 ，理想匀强磁场只弯曲轨迹，不改变动能。若另有电场，电场分量 qE 可以做功。
练习 4：减小磁通时的感应方向
所属知识 Faraday–Lenz 定律
难度 3/5 匀强磁场垂直纸面向外并随时间减小。圆线圈固定不动，说明感应电流方向；若线圈面积为 A A A R R R
查看提示 先令线圈法向指向纸外，并按右手定则规定逆时针为正，再写带符号磁通。
查看解答 纸外磁场正在减小，即正磁通导数为负，因此
ϵ = − d Φ B / d t \epsilon=-d\Phi_B/dt ϵ = − d Φ B / d t 为正，感应电流沿正环路逆时针。它产生纸外磁场以延缓原磁通减小。若线圈电阻为 R 且自感可忽略，电流大小为 A|dB/dt|/R。
练习 5：同轴线功率的局部与整体
所属知识 Poynting 向量
难度 4/5 推导理想同轴线导体间的 S ( r ) \mathbf S(r) S ( r ) V I VI V I
查看提示 用
E = V / [ r ln ( b / a ) ] E=V/[r \ln(b/a)] E = V / [ r ln ( b / a )] 、
H = I / ( 2 π r ) H=I/(2\pi r) H = I / ( 2 π r ) ，再对环形截面
2 π r d r 2\pi r dr 2 π r d r 积分。
查看解答 S = E × H = V I / [ 2 π r 2 ln ( b / a ) ] z ^ S=E\times H=VI/[2\pi r^{2}\ln(b/a)] \hat{z} S = E × H = V I / [ 2 π r 2 ln ( b / a )] z ^ 。积分 a 到 b 得
P = V I P=VI P = V I 。S 随
r − 2 r^{-2} r − 2 变化，说明局部能流密度不均匀；面积权重
2 π r d r 2\pi r dr 2 π r d r 使每个对数半径区间贡献相等。方向由电势极性与电流方向共同确定。
练习 6：判断准静态近似
所属知识 模型尺度
难度 4/5 长度 L = 2.0 m L=2.0\,\mathrm m L = 2.0 m 2.0 × 10 8 m s − 1 2.0\times10^8\,\mathrm{m\,s^{-1}} 2.0 × 1 0 8 m s − 1 100 M H z 100\,\mathrm{MHz} 100 MHz
查看提示 比较传播时间 L/v 与源变化时间 T；也可比较尺寸与波长 vT。
查看解答 传播时间约为
2 / ( 2 × 10 8 ) = 1.0 × 10 − 8 s 2/(2\times 10^{8})=1.0\times 10^{-8} s 2/ ( 2 × 1 0 8 ) = 1.0 × 1 0 − 8 s ，变化时间为
1 / ( 100 × 10 6 ) = 1.0 × 10 − 8 s 1/(100\times 10^{6})=1.0\times 10^{-8} s 1/ ( 100 × 1 0 6 ) = 1.0 × 1 0 − 8 s ，二者同量级，
L / ( v T ) = 1 L/(vT)=1 L / ( v T ) = 1 。传播延迟不能忽略，应使用分布参数或全波模型并考虑反射。若频率降至 100 kHz，该比值约
10 − 3 10^{-3} 1 0 − 3 ，准静态近似通常更合理，但仍需检查具体精度和损耗。
前后知识连接
已登记课程资源
课程 · 2007 Physics II: Electricity and Magnetism 用于核对 P04 的场与势定义、积分定律方向、边界条件、电路暂态、Maxwell 方程和波动例题。
打开官方来源 MIT OpenCourseWare 8.02 系统覆盖静电、导体与电容、电流和磁场、Faraday 感应、Maxwell 方程及电磁波。本章将它作为统一课程脉络和进一步习题来源；正文中的方向约定、推导与数值结果均可独立复算。
最终自检流程
完成一道综合题后，用五个问题收尾：所有有量纲量是否写出 SI 单位；界面法向、环路和电流正向是否固定；使用的是自由源还是总源；材料本构和静态、准静态或全波假设是否写明；能量、功率或边界极限是否闭合。若答案在真空极限、零频极限或远离源的极限下不能回到已知结果，应回到模型和符号约定检查，而不是先调整数值。