分析力学与非线性动力学综合复习

本章路线

分析力学不是把 Newton 方程换成一组更长的符号。它提供一条从“系统允许怎样运动”到“哪些结构在运动中保持”的连续路线：先明确系统边界与约束，用最少的广义坐标写出作用量；再从变分得到运动方程，从对称性得到守恒量；若速度—动量映射可逆，则进入 Hamilton 相空间；必要时用正则变换寻找更合适的变量；最后才对不能解析化简的非线性部分做数值诊断。

这条路线的每一步都可能失败，而且失败本身含有信息。约束不独立会使自由度计数错误；速度 Hessian 奇异会阻止普通 Legendre 变换；看见一个守恒量不等于系统可积；一张复杂相图也不等于混沌证明。综合解题的关键不是机械地用完所有工具，而是知道每个工具的输入条件、输出结论和核对方式。

本章统一采用 SI。Lagrangian 与 Hamiltonian 的单位为焦耳，作用量为焦耳秒，线动量为千克米每秒，角动量为千克米平方每秒，力矩为牛顿米。弧度量纲为一，但角速度仍以弧度每秒报告。广义坐标可以有不同单位，因此共轭动量的单位必须由 $p_i=\partial L/\partial\dot q_i$ 逐项推导。

七步建模与验证工作流

分析力学七步工作流

1. 划定系统与近似。 写明研究对象、参考系、时间区间、理想约束、外部驱动和忽略项。
2. 选择构型与约束。 从笛卡尔坐标出发核对约束独立性，再选能自动满足约束的广义坐标。
3. 构造 $L=T-V$ 或更一般的 Lagrangian。 每项必须有焦耳单位，并检查显含时间与速度依赖。
4. 实施容许变分。 写清固定端点和允许扰动，推导 Euler–Lagrange 方程，不跳过边界项。
5. 寻找对称与守恒。 识别循环坐标、时间平移和连续群作用，用 Noether 定理或直接求导核对守恒量。
6. 进入相空间并简化。 先检查速度 Hessian，再做 Legendre 变换；用 Poisson 括号检验正则变量。
7. 解析或数值诊断。 先利用积分降维；若仍非可积，再报告相图、Poincaré 截面、Lyapunov 指数及误差边界。

这七步不是只能单向通过的流水线。若数值能量持续漂移，应回到第三步检查势能符号，也应回到第七步检查积分器；若声称某坐标循环却算出相应动量变化，应回到第二步检查约束和参考系。可靠解答总包含至少两条独立核对链。

从约束到作用量：先减少冗余，再做变分

若 $N$ 个质点在三维空间由 $k$ 个彼此独立的完整约束 $f_a(r,t)=0$ 限制，则局部自由度为 $3N-k$。用广义坐标 $q_1,\ldots,q_n$ 参数化约束面，可以把理想约束力从运动方程中消去；这不是说约束力不存在，而是其虚功对容许位移为零，不必作为未知量逐项求解。若还需要支撑力或绳张力，须在求出运动以后回到 Newton 方程恢复。

作用量

对固定端点容许变分的一阶变化为零，给出

“驻值”只表示一阶变分为零，不保证作用量是全局最小。约束含时间时，约束装置可以与系统交换能量；即使没有摩擦，机械能也不必守恒。因此在写 $L$ 前声明参考系与约束是否随时间变化，是后续守恒判断的前提。

例 1：竖直圆环上的质点——约束消元、变分与能量核对

质量 $m=0.200\,\mathrm{kg}$ 的小珠在半径 $R=0.500\,\mathrm m$ 的固定光滑竖直圆环上滑动。以最低点方向为 $\theta=0$，用 $x=R\sin\theta$、$z=-R\cos\theta$ 自动满足 $x^2+z^2=R^2$。动能、势能和 Lagrangian 为

$$T=\frac12mR^2\dot\theta^2, \qquad V=mgR(1-\cos\theta), \qquad L=T-V.$$

每项单位均为焦耳。Euler–Lagrange 方程给出

$$mR^2\ddot\theta+mgR\sin\theta=0, \qquad \ddot\theta+\frac gR\sin\theta=0.$$

$L$ 不显含时间，能量 $E=mR^2\dot\theta^2/2+mgR(1-\cos\theta)$ 守恒。若 $\theta(0)=0.300\,\mathrm{rad}$、 $\dot\theta(0)=0.200\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$，取 $g=9.81\,\mathrm{m\,s^{-2}}$，则

$$E_0=\tfrac12(0.200)(0.500)^2(0.200)^2 +(0.200)(9.81)(0.500)(1-\cos0.300) =4.48\times10^{-2}\,\mathrm J.$$

方程回代、焦耳量纲和能量守恒构成三重核对。若还要求圆环支持力，则需把所得 $\theta(t)$ 代回径向 Newton 方程，不能从已消去约束力的方程直接读出。

对称性先于求解：Noether 守恒帮助降维

若无穷小变换 $q_i\mapsto q_i+\varepsilon\xi_i$ 使 Lagrangian 至多改变一个全时间导数，则 Noether 定理给出相应守恒量。最常用的快速判断是循环坐标：若 $\partial L/\partial q_j=0$，则 $p_j=\partial L/\partial\dot q_j$ 守恒。空间平移对应线动量，转动对应角动量；当 $L$ 不显含时间时，能量函数

守恒。只有对自然系统的常规坐标，$E_L$ 才可直接辨认为 $T+V$。

守恒量的实用价值是降维。每得到一个与其他积分相容的独立守恒量，便可把一个速度或动量写成坐标和常数的函数。然而，“方程不含某个坐标”必须在完整 Lagrangian 上检查；仅凭势能的几何外观猜测对称性，可能忽略动能度规或外部驱动。

例 2：中心力——循环角、Hamiltonian 与有效势

质量 $m=1.00\,\mathrm{kg}$ 的粒子在平面势 $V(r)=-\kappa/r$ 中运动，取 $\kappa=4.00\,\mathrm{J\,m}$。极坐标 Lagrangian 为

$$L=\frac12m(\dot r^2+r^2\dot\phi^2)+\frac{\kappa}{r}.$$

$\phi$ 是循环坐标，所以 $p_\phi=mr^2\dot\phi=\ell_z$ 守恒，单位为 $\mathrm{kg\,m^2\,s^{-1}}$。径向动量 $p_r=m\dot r$，Hamiltonian 为

$$H=\frac{p_r^2}{2m}+\frac{p_\phi^2}{2mr^2}-\frac{\kappa}{r} =\frac{p_r^2}{2m}+V_{\mathrm{eff}}(r).$$

取 $\ell_z=2.00\,\mathrm{kg\,m^2\,s^{-1}}$，圆轨道由 $\mathrm dV_{\mathrm{eff}}/\mathrm dr=0$ 给出

$$r_c=\frac{\ell_z^2}{m\kappa}=1.00\,\mathrm m.$$

其能量为 $E_c=-\kappa/(2r_c)=-2.00\,\mathrm J$，角速度 $\dot\phi=\ell_z/(mr_c^2)=2.00\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$。直接核对向心加速度： $r_c\dot\phi^2=4.00\,\mathrm{m\,s^{-2}}$，而中心力除以质量为 $\kappa/(mr_c^2)=4.00\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。对称守恒、Hamilton 有效势和 Newton 向心关系给出一致答案。

Legendre 变换：检查可逆性以后再进入相空间

定义共轭动量 $p_i=\partial L/\partial\dot q_i$。只有速度 Hessian

在研究区域可逆，才能局部把速度表示为 $(q,p,t)$ 的函数，并定义 $H=\sum_i p_i\dot q_i-L$。Hamilton 方程

把 $n$ 个二阶方程改写为 $2n$ 个一阶方程。它没有增加自由度，而是把位置和速度初值重组为相空间点。若 $W$ 奇异，动量之间出现约束；强行反解会制造虚假的自由度，需要另行处理约束 Hamilton 系统。

Hamilton 形式还提供统一演化公式

因此一个不显含时间的量 $F$ 守恒，当且仅当它与 $H$ 的 Poisson 括号为零。这个判据把 Noether 守恒和相空间几何连接起来。

正则变换：换变量但保持动力学骨架

变量替换 $(q,p)\mapsto(Q,P)$ 只有在保持基本 Poisson 括号 $\{Q_i,Q_j\}=0$、$\{P_i,P_j\}=0$、 $\{Q_i,P_j\}=\delta_{ij}$ 时才是正则变换。线性变换也不能仅凭形式对称就认定正则；必须计算括号或验证辛矩阵条件。正则变换的目标可能是分离自由度、把循环变量显露出来，或构造作用量—角变量，而不是改变可观测物理。

例 3：两个耦合振子的正则正常模变换

两个质量均为 $m=1.00\,\mathrm{kg}$ 的滑块，各由劲度系数 $k_0=4.00\,\mathrm{N\,m^{-1}}$ 的弹簧连到墙，并以 $k_c=2.00\,\mathrm{N\,m^{-1}}$ 的弹簧相连。Hamiltonian 是

$$H=\frac{p_1^2+p_2^2}{2m} +\frac{k_0}{2}(x_1^2+x_2^2) +\frac{k_c}{2}(x_1-x_2)^2.$$

定义

$$Q_+=\frac{x_1+x_2}{\sqrt2},\quad Q_-=\frac{x_1-x_2}{\sqrt2},\quad P_+=\frac{p_1+p_2}{\sqrt2},\quad P_-=\frac{p_1-p_2}{\sqrt2}.$$

直接计算得 $\{Q_+,P_+\}=\{Q_-,P_-\}=1$，其余基本括号为零，所以变换正则。代入后

$$H=\left(\frac{P_+^2}{2m}+\frac{k_0Q_+^2}{2}\right) +\left(\frac{P_-^2}{2m}+\frac{(k_0+2k_c)Q_-^2}{2}\right).$$

系统分成两个独立振子，频率分别为 $\omega_+=\sqrt{k_0/m}=2.00\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$ 与 $\omega_-=\sqrt{(k_0+2k_c)/m}=2.83\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$。两模能量分别守恒，提供两个独立对易积分，系统可积。若加入 $\gamma x_1^2x_2^2$，其中 $\gamma$ 的单位为 $mathrm{J\,m^{-4}}$，上述模态一般重新耦合；这只提示可能非可积，不能仅凭出现非线性项便宣告混沌。

从可积结构到非线性诊断

对 $n$ 自由度自治 Hamilton 系统，Liouville 可积需要 $n$ 个函数独立、两两 Poisson 对易的运动常数。找到能量和角动量时，先检查它们是否独立、是否足够；数量不足才需要研究剩余动力学。非可积系统也可能拥有规则岛，混沌轨道也可能只占某个参数和能量区域。

推荐的数值顺序是：先对短时轨道做方程残差和守恒量核对；再做步长或容差收敛；然后绘相轨道；对周期系统规定固定相位的 Poincaré 截面；最后用重标定算法估计有限时间 Lyapunov 指数。每一步只增加必要复杂度。相图用于发现结构，Lyapunov 指数用于量化邻轨分离，两者都不能替代误差分析。

探索实验：双摆的完整证据链

取两根长度 $\ell_1=\ell_2=1.00\,\mathrm m$ 的无质量杆和两个质量 $m_1=m_2=1.00\,\mathrm{kg}$ 的质点，以竖直向下为 $\theta_1=\theta_2=0$。位置约束已由两个角坐标自动满足。Lagrangian 为

先独立对两个角做 Euler–Lagrange 运算，并核对每项是牛顿米。用初值 $\theta_1(0)=1.20\,\mathrm{rad}$、 $\theta_2(0)=-0.400\,\mathrm{rad}$、两角速度均为 $0\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$ 积分；第二条轨道只把 $\theta_1(0)$ 改为 $1.200001\,\mathrm{rad}$。保存总能量相对误差，逐次减半步长，直到观测时间内主要结构稳定。

随后在 $\theta_2=0$ 且 $\dot\theta_2>0\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$ 时记录 $(\theta_1,p_1)$，形成 Poincaré 截面；再以角尺度 $1\,\mathrm{rad}$、角动量尺度 $1.00\,\mathrm{kg\,m^2\,s^{-1}}$ 无量纲化距离，每隔 $1.00\,\mathrm s$ 重标定扰动并估计有限时间 Lyapunov 指数。报告初值、积分器、步长、总时长、事件方向和拟合区间。若能量不收敛或指数随步长剧变，结论应是“数值证据不足”，而不是挑选更好看的截面。

常见综合误区

1. 先写方程，后补模型。 未声明参考系、约束是否理想或参数是否随时间变化，守恒结论无从核对。
2. 把约束力消去理解为约束力为零。 广义坐标只让其不出现在切向运动方程；求支撑力仍需恢复法向动力学。
3. 看见循环坐标便跳过单位。 其共轭动量可能是线动量、角动量或其他量，必须由定义决定。
4. 不查 Hessian 就写 Hamiltonian。 退化 Lagrangian 的速度不能普通反解。
5. 任意可逆变换都叫正则。 正则性要求保持 Poisson 括号或辛形式，而非只要求 Jacobian 非零。
6. 非线性等于混沌。 单摆方程非线性却在一自由度自治情形可积；混沌需要额外动力学证据。
7. 数值守恒量近似恒定便宣称算法正确。 还应检查方程残差、收敛阶和独立实现；某些错误会偶然保持一个量。

练习：贯通六种工具

练习 1：约束与自由度标记完成

所属知识

构型建模

难度

2/5

质量 $m=0.300\,\mathrm{kg}$ 的质点被限制在半径 $R=0.800\,\mathrm m$ 的固定球面上。求自由度数，给出一组能自动满足约束的广义坐标，并写出动能。

查看提示

一个质点在三维有三个坐标；球面方程提供一个独立完整约束。

查看解答

三维位置有三个坐标，约束 $x^2+y^2+z^2=R^2$ 独立，因此自由度为 $2$。可用球坐标角 $(\theta,\phi)$，位置为 $R(\sin\theta\cos\phi,\sin\theta\sin\phi,\cos\theta)$。动能

$$T=\frac12mR^2(\dot\theta^2+\sin^2\theta\,\dot\phi^2),$$

单位为焦耳；两个角均以弧度表示。

练习 2：循环坐标与 Noether 守恒标记完成

所属知识

对称性

难度

3/5

在上一题中加入均匀重力势 $V=mgR\cos\theta$，其中 $g=9.81\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。指出一个循环坐标及对应守恒量，并给出其单位。

查看提示

检查上一题的动能和重力势能是否显含 $\phi$。

查看解答

$L=T-V$ 不含 $\phi$，所以绕竖直轴转动是连续对称，

$$p_\phi=\frac{\partial L}{\partial\dot\phi} =mR^2\sin^2\theta\,\dot\phi$$

守恒。它是竖直角动量，单位为 $\mathrm{kg\,m^2\,s^{-1}}$。$\theta$ 不是循环坐标，因为动能度规和势能都依赖它。

练习 3：Legendre 变换与单位标记完成

所属知识

Hamiltonian

难度

3/5

忽略重力，只考虑半径 $R=0.500\,\mathrm m$ 圆环上的质量 $m=2.00\,\mathrm{kg}$ 质点， $L=mR^2\dot\theta^2/2$。求速度 Hessian、共轭动量和 Hamiltonian。

查看提示

先由 $p\theta=mR^{2}\dot{\theta}$ 反解角速度，再代入 $p\theta \dot{\theta}-L$。

查看解答

速度 Hessian 是 $mR^2=0.500\,\mathrm{kg\,m^2}$，非零，故可反演。 $p_\theta=mR^2\dot\theta$，单位为 $\mathrm{kg\,m^2\,s^{-1}}$。因此

$$H=\frac{p_\theta^2}{2mR^2},$$

单位为焦耳，并给出 $\dot\theta=p_\theta/(mR^2)$、$\dot p_\theta=0$。

练习 4：检验正则缩放标记完成

所属知识

正则变换

难度

3/5

一维相空间中令 $Q=ax$、$P=p/a$，其中 $a\neq0$ 为无量纲常数。证明该变换正则；再判断 $Q=ax$、$P=ap$ 是否总是正则。

查看提示

直接计算 {Q,P}；a 是非零无量纲常数。

查看解答

第一组满足 $\{Q,P\}=(\partial Q/\partial x)(\partial P/\partial p)=a(1/a)=1$，且自括号为零，所以正则。第二组满足 $\{Q,P\}=a^2$，只有 $a=\pm1$ 时为正则。可逆性本身不足以保证正则性。

练习 5：双摆初态能量标记完成

所属知识

守恒量核对

难度

4/5

对探索实验的双摆参数，若 $\theta_1(0)=0.600\,\mathrm{rad}$、 $\theta_2(0)=0.200\,\mathrm{rad}$ 且两角速度均为零，求初始总能量 $E_0=T+V$。

查看提示

使用探索实验给出的势能零点；初始角速度为零，所以 T=0。

查看解答

初态 $T=0\,\mathrm J$，所以

$$E_0=-(2)(1.00)(9.81)(1.00)\cos0.600 -(1.00)(9.81)(1.00)\cos0.200 =-25.8\,\mathrm J$$

（三位有效数字）。能量零点取两质点与悬点同高时的势能为零；换一个常数零点不改变运动方程，但数值比较时必须保持同一约定。

练习 6：给数值混沌结论设门槛标记完成

所属知识

证据边界

难度

4/5

某报告展示双摆的彩色轨迹并写道“因为轨迹复杂，所以系统在所有初值下都混沌”。列出至少四处逻辑或证据缺口，并给出更可辩护的结论句式。

查看提示

分别检查模型、离散收敛、守恒误差、截面定义和独立分离指标。

查看解答

缺口包括：未限定参数和初值区域；未说明积分器、步长和收敛；未报告能量误差；构型轨迹不是 Poincaré 截面；未给有限时间 Lyapunov 指数或邻轨分离复核；有限样本不能覆盖所有初值。更可辩护的表述是：“在所列参数与初值邻域内，步长减半后稳定的截面点云和正的有限时间 Lyapunov 平台共同支持存在混沌轨道；该计算不证明整个相空间或所有初值均混沌。”

关系、资源与后续学习

• 最小作用量原理与 Euler–Lagrange 方程 提供从路径变分得到局部运动方程的基础。
• 广义坐标、约束与 Noether 定理 负责自由度计数、容许位移与连续对称守恒。
• Legendre 变换、Hamilton 方程与 Poisson 括号 把构型空间问题重组为相空间一阶流。
• Poisson 括号与正则变换 用保持辛结构的变量替换暴露可分结构和运动常数。
• 相空间、Poincaré 截面与确定性混沌 给出解析积分不足时的几何和数值诊断，同时限定证据范围。

课程 · 2014

Classical Mechanics III

Iain Stewart

用于核对 P02 的变分条件、约束处理、Hamilton 形式、Poisson 括号、正则变换和混沌例题。

打开官方来源

MIT OpenCourseWare 8.09《Classical Mechanics III》可用于复核变分原理、Lagrange 与 Hamilton 形式、正则方法和非线性动力学之间的课程脉络。正文中的数值参数、练习答案和双摆实验协议均独立陈述，不把未经逐项核对的细节归于课程资源。

完成本章后，面对新的力学系统应先交付一份可审计的建模说明：自由度与约束、作用量及单位、运动方程、对称与守恒、Legendre 可逆性、所用正则变量，以及解析或数值结论的适用范围。后续学习可继续进入作用量—角变量、微扰理论、KAM 现象和约束 Hamilton 系统；这些主题都建立在本章的条件检查与证据纪律之上。