电磁感应、位移电流与电路响应

本章路线

稳恒磁场讨论不随时间变化的电流；一旦磁场、回路形状或回路姿态改变，电荷会在没有普通电池的情况下获得沿闭合路径的净驱动。本章把这种每单位电荷的闭合路径功定义为电动势，单位为伏特 $\mathrm V=\mathrm{J\,C^{-1}}$。电动势不是机械力，符号 $\mathcal E$ 也不是某一点的电势。

先给闭合回路 $C$ 选择正向，再由右手定则选择曲面法向 $\hat{\boldsymbol n}$：右手四指沿 $C$ 正向，拇指指向法向。磁通定义为

单位为韦伯 $\mathrm{Wb}=\mathrm{T\,m^2}=\mathrm{V\,s}$。正电动势表示正电荷沿所选回路正向获得净驱动。若同时反转回路和法向， $\Phi_B$ 与 $\mathcal E$ 都变号，预测的物理电流方向不变。

固定回路的 Faraday–Lenz 定律

对空间中固定不动的回路，

负号是 Lenz 规律的定量表达：感应电流所产生的磁效应反抗原磁通的变化，而不是一律反抗原磁场。若正磁通正在增加， $\mathrm d\Phi_B/\mathrm dt>0$，则电动势为负，驱动方向与所选正向相反；感应磁场倾向于负法向。若正磁通正在减小，电动势为正，感应磁场倾向于正法向。

在局部形式中，

时间变化的磁场产生有旋电场，其闭合线积分可以非零，所以不能在整个区域写成单值静电势 $\boldsymbol E=-\boldsymbol\nabla V$。电路图中的“感应电压”是对路径和端口约定后的集总描述，不应把非保守电场强行压缩成一个无条件的全局势差。

例 1：先定法向，再由负号判断电流

面积 $A=0.0200\,\mathrm{m^2}$ 的单匝平面线圈固定在 $xy$ 平面。取从 $+z$ 方向看逆时针为回路正向，所以法向为 $+z$。均匀磁场为

$$\boldsymbol B(t) =(0.800\,\mathrm T-0.250\,\mathrm{T\,s^{-1}}\,t) \hat{\boldsymbol z}.$$

磁通变化率 $\mathrm d\Phi_B/\mathrm dt =A(-0.250\,\mathrm{T\,s^{-1}}) =-5.00\times10^{-3}\,\mathrm{Wb\,s^{-1}}$，故

$$\mathcal E=+5.00\times10^{-3}\,\mathrm V.$$

若线圈总电阻为 $R=4.00\,\Omega$ 且忽略自感，电流 $I=\mathcal E/R=1.25\,\mathrm{mA}$，方向为所选逆时针。它产生 $+z$ 磁场，反抗原有 $+z$ 磁通的减小。

运动电动势与通量规则

若导体以局部速度 $\boldsymbol u$ 运动，导体内正电荷还受到 $q\boldsymbol u\times\boldsymbol B$。沿瞬时闭合回路的电动势为

在回路边界随材料一起运动、曲面光滑且拓扑不变等条件下，它可写成

导数同时包含磁场随时间改变、面积改变和法向转动。固定回路中的 $\boldsymbol E$ 项常称变压器电动势；导体运动产生的 $\boldsymbol u\times\boldsymbol B$ 项称运动电动势。二者可同时存在，不能看到“磁通变化”就默认只由磁场大小变化造成。

例 2：滑动导杆的电动势、方向和功率

两条水平导轨沿 $x$，间距 $\ell=0.400\,\mathrm m$。导杆沿 $y$ 跨接导轨并以 $v=3.00\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 沿 $+x$ 移动；均匀磁场 $B=0.500\,\mathrm T$ 沿 $+z$。取从 $+z$ 看逆时针为回路正向，移动导杆上的正向线元沿 $+y$。但

$$\boldsymbol v\times\boldsymbol B =\hat{\boldsymbol x}\times\hat{\boldsymbol z} =-\hat{\boldsymbol y},$$

所以电动势相对所选正向为负，大小

$$|\mathcal E|=B\ell v=0.600\,\mathrm V.$$

若总电阻为 $2.00\,\Omega$，电流大小 $0.300\,\mathrm A$，从 $+z$ 看为顺时针。导杆电流沿 $-y$， $I\boldsymbol\ell\times\boldsymbol B$ 沿 $-x$，反抗运动。磁阻力大小 $F=I\ell B=0.0600\,\mathrm N$；外力维持恒速所需功率 $Fv=0.180\,\mathrm W$，恰等于 $I|\mathcal E|=I^2R$。

转动线圈与发电机相位

$N$ 匝面积为 $A$ 的线圈在均匀磁场中以角速度 $\omega$ 转动。若法向与磁场夹角 $\theta(t)=\omega t+\theta_0$，则磁链

电动势为

最大电动势 $NBA\omega$ 的单位为 $\mathrm{T\,m^2\,s^{-1}}=\mathrm V$。在磁通达到极值时，瞬时变化率为零，电动势也为零；磁通过零时变化最快，电动势达到极值。机械输入功经电磁力矩转为电功率，Lenz 方向确保负载力矩反抗驱动，而不是自动加速转子。

例 3：转动线圈的峰值、相位与有效值

线圈有 $N=200$ 匝，每匝面积 $A=5.00\times10^{-3}\,\mathrm{m^2}$，在 $B=0.400\,\mathrm T$ 的均匀场中以 $f=50.0\,\mathrm{Hz}$ 转动。取 $t=0$ 时法向与磁场同向，并把该法向与线圈正向按右手定则配套。

$$\omega=2\pi f=314\,\mathrm{rad\,s^{-1}}, \qquad \mathcal E_{\max}=NBA\omega=126\,\mathrm V.$$

$t=0$ 时磁链为正最大，变化率为零，所以电动势为零。四分之一周期 $t=T/4=5.00\,\mathrm{ms}$ 时磁链第一次过零，按所选正向 $\mathcal E=+126\,\mathrm V$。理想正弦波的有效值为 $\mathcal E_{\rm rms}=\mathcal E_{\max}/\sqrt2=88.9\,\mathrm V$。 若把线圈法向和回路正向同时反转，带符号磁链与电动势都反号，但接到同一物理端子的实测波形不因重新命名而改变。

自感、互感与磁能

在给定几何、线性磁介质且漏磁可按固定比例处理时，线圈磁链与自身电流成正比：

自感 $L$ 的单位为亨利 $\mathrm H=\mathrm{Wb\,A^{-1}}=\mathrm{V\,s\,A^{-1}}$。 线圈自身产生的感应电动势为

，前提是 $L$ 不随时间改变。若几何或磁导率改变，完整导数是 $-\mathrm d(LI)/\mathrm dt$。

在电路被动符号约定中，电流从元件标记正端流入，理想电感端电压写成 $V_L=L\,\mathrm dI/\mathrm dt$。它与 Faraday 负号并不矛盾：前者是元件电压降约定，后者是沿回路驱动方向的电动势。混用两套箭头才会产生伪矛盾。

建立电流需要外源做功。瞬时功率 $P=V_LI=LI\,\mathrm dI/\mathrm dt$，从零积分到 $I$ 得磁能

单位核对为 $\mathrm{H\,A^2}=\mathrm{V\,s\,A}=\mathrm J$。两个线圈的互感可写成 $\Lambda_2=M I_1$，于是线圈一变化在线圈二产生 $\mathcal E_2=-M\,\mathrm dI_1/\mathrm dt$。互感符号要由两线圈法向或点标记共同规定，不能只凭匝数比猜正负。

RL 电路：电感阻止电流突变

直流电源 $V_0$、电阻 $R$ 和电感 $L$ 串联。取电流沿电源升压后的回路方向为正，接通后满足

解为

$L/R$ 的单位为秒。$t=0^+$ 时电流仍为零，电感承担全部源电压；很久以后 $\mathrm dI/\mathrm dt\to0$，理想电感电压趋零，电流趋 $V_0/R$。若断开电源但保留闭合的 $RL$ 放电路径，则 $I(t)=I_0e^{-t/\tau}$。若粗暴切断所有路径，理想模型会要求很高电压维持电流连续，真实系统可能出现电弧或寄生电容响应。

例 4：RL 接通暂态的电流、电压和能量

$V_0=12.0\,\mathrm V$、$R=6.00\,\Omega$、 $L=0.300\,\mathrm H$，从零电流接通。时间常数 $\tau=L/R=0.0500\,\mathrm s$，稳态电流 $I_\infty=2.00\,\mathrm A$。在 $t=0.100\,\mathrm s=2\tau$，

$$I=2.00(1-e^{-2})=1.73\,\mathrm A.$$

电感电压 $V_L=V_0e^{-2}=1.62\,\mathrm V$，电阻电压 $V_R=RI=10.4\,\mathrm V$，两者之和为 $12.0\,\mathrm V$。储能

$$U_B=\frac12(0.300)(1.73)^2=0.448\,\mathrm J.$$

电源已提供的能量还包括电阻耗散，不能把全部输入都等同于磁能。

LC 与 RLC：能量交换和阻尼

串联 $RLC$ 回路令电容电荷为 $q$，正电流 $I=\mathrm dq/\mathrm dt$ 沿选定回路方向。无外源自由响应满足

无阻尼时固有角频率

电容能 $q^2/(2C)$ 与电感能 $LI^2/2$ 周期交换。$R>0$ 时总电磁能变化率为

特征方程 $Ls^2+Rs+1/C=0$。当 $R^2<4L/C$ 时为欠阻尼振荡；等号是临界阻尼；大于时为过阻尼。实际线圈还有绕组电阻、寄生电容和频率相关损耗，不能用一个常量 $L$ 覆盖任意频率。

Ampère–Maxwell 定律与位移电流

稳恒 Ampère 定律若直接用于正在充电的电容器，会遇到曲面选择矛盾：同一边界回路可以选一张穿过导线的曲面，也可选一张鼓入极板间隙、不穿过导线的曲面。Maxwell 补充电通量变化项：

曲面法向仍由回路正向按右手定则确定。传导电流 $I_{\rm cond}=\int_S\boldsymbol J\cdot\hat{\boldsymbol n}\,\mathrm dA$； 位移电流定义为 $I_{\rm d}=\varepsilon_0\,\mathrm d\Phi_E/\mathrm dt$，单位同为安培。位移电流不表示自由电荷穿过理想电介质，而是变化电场对磁场环量的贡献。

对忽略边缘效应的平行板电容， $E=Q/(\varepsilon_0A)$，所以板间整个面积上的

这样穿过导线与穿过间隙的两张曲面给出同一磁场环量。它也保证电荷连续性与场方程相容。

例 5：充电电容器极板间的磁场

圆形平行板半径 $R=0.0500\,\mathrm m$，充电电流 $I=0.500\,\mathrm A$，忽略边缘效应。取与轴同心、半径 $r=0.0200\,\mathrm m<R$ 的圆形 Ampère 回路，从 $+z$ 看逆时针，因此法向为 $+z$；电场沿 $+z$ 增强。均匀电通量使所包围位移电流按面积比例为

$$I_{\rm d,enc} =I\frac{r^2}{R^2} =0.0800\,\mathrm A.$$

圆周上磁场沿正方位方向，大小

$$B(2\pi r)=\mu_0I_{\rm d,enc}, \qquad B=8.00\times10^{-7}\,\mathrm T.$$

若把回路正向改为顺时针，法向、电通量变化率和环量一起变负，实际 $\boldsymbol B$ 方向不变。

互感、变压器与涡流的能量观点

若两个线圈共享近似相同的交变磁通，理想变压器满足

相位正负仍取决于线圈法向与点标记。理想无损条件下输入输出平均功率相等，所以升高电压伴随电流降低。真实装置有漏磁、绕组电阻、磁滞和涡流损耗。

导体内部的变化磁通会驱动闭合涡流。根据 Lenz 规律，涡流磁效应反抗变化并把电能耗散为热。铁芯叠片通过切断大尺度电流路径减小涡流，但材料选择和频率仍决定损耗。Lenz 规律说明能量从机械源或电源流向场和热，不意味着系统总在“拒绝磁场存在”。

感应题的方向审计顺序

先选回路正向并用右手确定法向；再计算带符号磁通，而不是只算 $BA$ 的大小；第三步求 $-\mathrm d\Phi_B/\mathrm dt$，由正负号把驱动映射回回路箭头；最后用 Lenz 规律和能量收支独立复核。运动导体还应直接计算正电荷的 $\boldsymbol u\times\boldsymbol B$。若两种方法给出相反方向，应检查移动边在所选回路上的线元方向，以及面积增加对应的法向是否一致。

电路方程则先为每个元件标电流和端电压。被动约定下 $V_L=L\,\mathrm dI/\mathrm dt$ 是压降，而 $\mathcal E_L=-L\,\mathrm dI/\mathrm dt$ 是沿原回路正向的感应驱动；二者箭头不同。列式后令 $t\to0^+$ 与 $t\to\infty$，分别核对电感电流连续和直流稳态，可在求解前发现多数符号错误。

常见误区与边界

常见误区

“负号表示感应磁场总与原磁场反向。”负号反抗的是磁通变化。原正磁通减小时，感应磁场与原场同向；原正磁通增加时才反向。

常见误区

“只要回路内有磁场就有感应电流。”固定回路中恒定磁通给 $\mathrm d\Phi_B/\mathrm dt=0$。还需闭合导电路径才有持续电流；开路也可存在电动势和电荷重新分布。

常见误区

“理想电感不允许电压突变。”有限电压下，电感电流不能瞬时跳变；电感端电压可以随开关条件迅速改变。理想电容则是电压不能在有限电流下瞬时跳变。

磁场变大不必然使磁通变大

均匀磁场垂直回路时 $\Phi_B=BA$。若 $B$ 增大而可动回路面积按 $A\propto1/B$ 缩小，磁通可保持常量，通量规则给总电动势为零。感生电场项与运动电动势项可以相消；只检查 $\partial B/\partial t$ 会漏掉边界运动。

数据探索：由采样磁通估计电动势

某单匝固定线圈的带符号磁通在 $t=0,0.010,0.020,0.030\,\mathrm s$ 时依次为 $0,1.8,3.2,4.2\,\mathrm{mWb}$。用相邻点差分

可得三个区间的平均电动势 $-0.180,-0.140,-0.100\,\mathrm V$。负号相对预先选定的正回路方向，且绝对值逐渐变小，说明正磁通仍增加但增速下降。

进一步把时间步减半并比较差分值；若变化显著，不能把粗采样斜率称为瞬时电动势。报告必须保留回路方向、法向、磁通单位、时间间隔和差分位置。若只有磁场大小而没有面积与夹角，就无法重建磁通。

练习

练习标记完成

所属知识

Faraday–Lenz 方向

难度

2/5

面积 $0.0300\,\mathrm{m^2}$ 的固定线圈位于 $xy$ 平面，取从 $+z$ 看逆时针为正。均匀 $+z$ 磁场以 $0.400\,\mathrm{T\,s^{-1}}$ 增强。求单匝电动势及其方向。

查看提示

从 +z 看逆时针对应 +z 法向；先算 $d\Phi/dt$，再使用负号。

查看解答

$\mathrm d\Phi_B/\mathrm dt =A\,\mathrm dB/\mathrm dt =0.0120\,\mathrm{Wb\,s^{-1}}$，所以 $\mathcal E=-0.0120\,\mathrm V$。负号表示沿顺时针驱动正电荷；其感应磁场沿 $-z$，反抗 $+z$ 磁通增加。

练习标记完成

所属知识

运动电动势

难度

3/5

长度 $0.250\,\mathrm m$ 的导杆沿 $+x$ 以 $4.00\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 运动，磁场 $0.300\,\mathrm T$ 沿 $+z$。求杆两端电动势大小，并判断杆上哪一端正电势较高。

查看提示

大小用 Bℓv；方向由正电荷的 $v\times B$ 决定，并用 Lenz 规律复核。

查看解答

$|\mathcal E|=B\ell v=(0.300)(0.250)(4.00) =0.300\,\mathrm V$。 $\boldsymbol v\times\boldsymbol B=-\hat{\boldsymbol y}$，正电荷被推向 $-y$ 端，所以杆的 $-y$ 端电势较高。

练习标记完成

所属知识

自感电动势

难度

3/5

$L=0.0800\,\mathrm H$ 的线圈电流沿正向从 $1.50\,\mathrm A$ 在 $0.0200\,\mathrm s$ 内线性降到 $0.500\,\mathrm A$。求平均自感电动势。

查看提示

固定 L 时使用 ℰ$=-L dI/dt$；负号相对预设电流正向。

查看解答

$\Delta I/\Delta t=(0.500-1.50)/0.0200 =-50.0\,\mathrm{A\,s^{-1}}$，故 $\mathcal E=-L\Delta I/\Delta t =+4.00\,\mathrm V$。正号表示感应驱动沿原正电流方向，反抗电流减小。

练习标记完成

所属知识

RL 暂态

难度

3/5

$V_0=9.00\,\mathrm V$、$R=3.00\,\Omega$、 $L=0.150\,\mathrm H$ 的串联回路从零电流接通。求 $t=0.0500\,\mathrm s$ 的电流和电感电压。

查看提示

先算 $\tau=L/R$ 和 $I\infty=V/R$，再代入 $I=I\infty(1-e^{-t/\tau})$。

查看解答

$\tau=L/R=0.0500\,\mathrm s$， $I_\infty=3.00\,\mathrm A$。在一时间常数处 $I=3.00(1-e^{-1})=1.90\,\mathrm A$。 $V_L=V_0e^{-1}=3.31\,\mathrm V$，而 $V_R=5.69\,\mathrm V$，两者相加为 $9.00\,\mathrm V$。

练习标记完成

所属知识

RLC 阻尼

难度

4/5

$L=0.200\,\mathrm H$、$C=50.0\,\mathrm{\mu F}$、 $R=40.0\,\Omega$ 的串联自由回路属于欠阻尼、临界还是过阻尼？求 $\omega_0$。

查看提示

比较 $R^{2}$ 与 4L/C，并用 $\omega_{0}=1/\sqrt{LC}$ 求无阻尼角频率。

查看解答

$4L/C=4(0.200)/(50.0\times10^{-6}) =1.60\times10^4\,\Omega^2$， $R^2=1.60\times10^3\,\Omega^2$，所以 $R^2<4L/C$，为欠阻尼。 $\omega_0=1/\sqrt{(0.200)(50.0\times10^{-6})} =316\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$。

练习标记完成

所属知识

位移电流

难度

4/5

圆形极板半径 $R=0.0600\,\mathrm m$，充电电流 $I=0.900\,\mathrm A$。忽略边缘效应，求板间 $r=0.0300\,\mathrm m$ 处磁场大小。

查看提示

板间均匀场下，半径 r 所包位移电流是 $I(r^{2}/R^{2})$，再用 $B2\pi r=\mu_{0}I_{enc}$。

查看解答

$I_{\rm d,enc}=I(r^2/R^2) =0.900(0.0300/0.0600)^2 =0.225\,\mathrm A$。 $B=\mu_0I_{\rm d,enc}/(2\pi r) =(4\pi\times10^{-7})(0.225)/(2\pi\times0.0300) =1.50\times10^{-6}\,\mathrm T$。

关系、资源与后续学习

• 稳恒电流、磁场与磁矢势 提供磁通、载流导线受力和 Ampère 环路方向约定。
• 线积分 区分沿回路的电动势、局部电场和端口电压。
• 常微分方程 给出 RL 一阶响应与 RLC 二阶阻尼分类。
• Green、Stokes 与 Gauss 定理 连接 Faraday 和 Ampère–Maxwell 定律的积分与微分形式。
• Maxwell 方程与电磁波 会由两条含时间导数的旋度方程推导传播场。
• 介质、能流与电磁学综合复习 将电感能、介质响应、Poynting 能流和完整系统边界统一起来。

课程 · 2007

Physics II: Electricity and Magnetism

用于核对 P04 的场与势定义、积分定律方向、边界条件、电路暂态、Maxwell 方程和波动例题。

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MIT OpenCourseWare 8.02《Physics II: Electricity and Magnetism》覆盖 Faraday 感应、运动电动势、电感、暂态电路、位移电流和 Maxwell 方程，可用于复习本章推导并继续学习完整的 Maxwell 理论。

下一章学习 Maxwell 方程与电磁波，把 $\boldsymbol\nabla\times\boldsymbol E=-\partial\boldsymbol B/\partial t$ 和含位移电流的磁场旋度方程联立，得到真空传播速度。之后进入

介质、能流与电磁学综合复习 ，在同一问题中追踪源、场、回路、边界、储能、耗散和能流方向。