稳恒电流、磁场与磁矢势

学习目标、对象与方向约定

静电学把静止电荷作为源；本章研究时间上不变的电荷流怎样产生磁场，以及磁场怎样改变运动电荷的方向。“稳恒”指宏观电流密度 $\boldsymbol J(\boldsymbol r)$ 不随时间改变，并不表示导体内载流子静止。电流单位为安培 $\mathrm A=\mathrm{C\,s^{-1}}$，电流密度单位为 $\mathrm{A\,m^{-2}}$，磁感应强度 $\boldsymbol B$ 的单位为特斯拉 $\mathrm T=\mathrm{N\,A^{-1}\,m^{-1}}$。

全文采用右手直角坐标系。叉积方向按右手定则；“电流方向”取正电荷定向运动方向。给闭合回路 $C$ 选定正向后，与它配套的曲面法向 $\hat{\boldsymbol n}$ 由右手四指沿回路正向弯曲、拇指所指确定。反转回路会同时反转法向，环量与穿过曲面的带符号电流一起变号，物理定律本身不变。每次计算都要先写方向，不能在最后凭图形补符号。

Lorentz 力：磁场改变方向而不直接做功

电荷 $q$ 以速度 $\boldsymbol v$ 运动时受到

磁力大小为 $|q|vB\sin\theta$，其中 $\theta$ 是 $\boldsymbol v$ 与 $\boldsymbol B$ 的夹角。正电荷按 $\boldsymbol v\times\boldsymbol B$ 定向，负电荷方向相反。因为

纯磁力的瞬时功率为零，不能单独改变粒子速率或动能；它可以改变速度方向。若粒子同时受电场、碰撞或辐射影响，动能仍可能改变。

例 1：带电粒子的方向、力和轨道半径

质子电荷 $q=+1.60\times10^{-19}\,\mathrm C$、质量 $m=1.67\times10^{-27}\,\mathrm{kg}$，以 $\boldsymbol v=(3.00\times10^6\,\mathrm{m\,s^{-1}})\hat{\boldsymbol x}$ 进入 $\boldsymbol B=(0.200\,\mathrm T)\hat{\boldsymbol z}$。 由于 $\hat{\boldsymbol x}\times\hat{\boldsymbol z}=-\hat{\boldsymbol y}$，

$$\boldsymbol F_B =-(9.60\times10^{-14}\,\mathrm N)\hat{\boldsymbol y}.$$

速度与磁场垂直，轨道为圆，磁力提供向心力：

$$r=\frac{mv}{|q|B} =0.157\,\mathrm m.$$

角频率为 $\omega_c=|q|B/m=1.92\times10^7\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$。 若换成负电荷而质量、速率不变，半径不变，弯曲方向反转。

稳恒电流、电流密度与守恒

穿过定向曲面 $S$ 的电流定义为

$I>0$ 表示正电荷净流向所选法向。若载流子数密度为 $n$、单个电荷为 $q$、平均漂移速度为 $\boldsymbol v_d$，则 $\boldsymbol J=nq\boldsymbol v_d$。电子的 $q<0$，所以电子漂移方向与约定电流方向相反。

局域电荷守恒写成

稳恒条件给 $\partial\rho/\partial t=0$，因此 $\boldsymbol\nabla\cdot\boldsymbol J=0$。它表示任意小体积内流入与流出平衡；若一根导线突然变细，稳恒总电流仍连续，但 $J=I/A$ 会因横截面积减小而增大。忽略接头处的电荷重排会破坏这一结论的物理来源。

Biot–Savart 定律与方向

细导线中的稳恒电流 $I$ 在场点 $\boldsymbol r$ 产生

源元方向 $\mathrm d\boldsymbol\ell'$ 沿约定电流，$\boldsymbol R$ 从源点指向场点。真空磁导率 $\mu_0$ 的单位为 $\mathrm{N\,A^{-2}}$。交换叉积次序会让方向错误；把 $\boldsymbol R$ 指向源点也会额外反号。

对沿 $+z$ 的无限长直导线，圆柱对称性使磁场沿方位方向。积分得到

这里 $r$ 是到导线轴的垂直距离，单位为米。公式假设导线足够长、观察点离端点很远且可忽略导线半径；靠近有限导线端部必须回到 Biot–Savart 积分。

例 2：直导线磁场的大小与方向

一根电流 $I=8.00\,\mathrm A$ 的长直导线沿 $+z$ 方向。场点位于 $x=+0.0400\,\mathrm m$、$y=0$。右手拇指沿 $+z$，在 $+x$ 处弯曲方向为 $+y$，故

$$\boldsymbol B =\frac{(4\pi\times10^{-7}\,\mathrm{N\,A^{-2}})(8.00\,\mathrm A)} {2\pi(0.0400\,\mathrm m)} \hat{\boldsymbol y} =(4.00\times10^{-5}\,\mathrm T)\hat{\boldsymbol y}.$$

若只把电流反向，磁场为 $-(4.00\times10^{-5}\,\mathrm T)\hat{\boldsymbol y}$；距离和大小不变。

Ampère 环路定律：先选回路，再数带符号电流

稳恒电流的 Ampère 定律为

回路正向与曲面法向必须按右手规则配套。穿过法向的电流为正，反向穿过为负；位于曲面之外的电流不计入 $I_{\rm enc}$。定律对任意闭合回路成立，但只有高度对称时，才能把 $B$ 从积分中提出。不能因为画了圆，就擅自假设实际磁场在圆上处处等大且切向。

对理想无限长螺线管，取跨越内外区域的矩形回路。外场近似为零，端部效应忽略，内部场为

其中 $n=N/\ell$ 是每米匝数，单位 $\mathrm{m^{-1}}$。场方向由右手四指沿线圈电流、拇指沿内部场确定。对理想环形螺线管，在半径 $r$ 处 $B=\mu_0NI/(2\pi r)$，仅在绕组包围的环形区域内采用这一近似。

例 3：理想螺线管的场和方向

长螺线管每米 $n=1.20\times10^3\,\mathrm{m^{-1}}$，电流 $I=0.750\,\mathrm A$。从 $+z$ 端看，线圈电流逆时针，因此右手拇指指向 $+z$。内部场为

$$\boldsymbol B =\mu_0nI\,\hat{\boldsymbol z} =(1.13\times10^{-3}\,\mathrm T)\hat{\boldsymbol z}.$$

若取 Ampère 回路的法向为 $+z$，穿过所跨绕组的电流应按回路几何逐段计数；直接写“总电流等于 $NI$”而不说明回路跨过多少匝，会把总匝数与每单位长度匝数混淆。

圆电流轴线场、载流导线受力

半径 $R$ 的圆电流位于 $xy$ 平面，电流从 $+z$ 方向看逆时针。轴线上横向分量成对抵消，Biot–Savart 积分给

中心场为 $\mu_0I/(2R)$。若有 $N$ 个紧密同轴线圈且可忽略轴向厚度，结果乘 $N$。量纲核对： $\mu_0I/R$ 的单位是 $\mathrm{N\,A^{-1}\,m^{-1}}=\mathrm T$。

从线元积分核对轴线公式

把圆环源点写成 $\boldsymbol r'=(R\cos\varphi,R\sin\varphi,0)$，则沿逆时针电流的线元为

轴上场点为 $(0,0,z)$，从源到场点的矢量是 $\boldsymbol R=(-R\cos\varphi,-R\sin\varphi,z)$，长度在整个圆环上恒为 $\sqrt{R^2+z^2}$。叉积的 $z$ 分量为 $R^2\,\mathrm d\varphi$；$x,y$ 分量分别含 $\cos\varphi$ 或 $\sin\varphi$，从 $0$ 到 $2\pi$ 积分为零。因此

这个推导同时给出方向与大小。若先靠“对称”断定全部分量都消失，会错误地把轴向分量也删掉；对称性只让相反源元的横向分量抵消。当 $z\gg R$ 时，分母近似为 $z^3$，所以远场按 $1/z^3$ 衰减，与磁偶极远场一致，而不是继续按直导线的 $1/r$ 衰减。

外磁场对细载流线元的力为

对两根相距 $d$ 的平行长直导线，单位长度力的大小为

同向电流相吸，反向电流相斥。判断方向时应分两步：先求导线一在导线二处产生的 $\boldsymbol B_1$，再算 $I_2\mathrm d\boldsymbol\ell_2\times\boldsymbol B_1$，不要把“同向相吸”扩展到任意弯曲导线。

例 4：平行电流之间的力

两根平行长导线相距 $d=0.0200\,\mathrm m$，同向电流分别为 $I_1=5.00\,\mathrm A$、$I_2=3.00\,\mathrm A$。单位长度吸引力为

$$\frac FL =\frac{(4\pi\times10^{-7})(5.00)(3.00)} {2\pi(0.0200)} =1.50\times10^{-4}\,\mathrm{N\,m^{-1}}.$$

对长度 $L=0.500\,\mathrm m$ 且端部效应可忽略的平行段，力为 $7.50\times10^{-5}\,\mathrm N$。两导线受力大小相等、方向相反。

磁偶极矩、力矩与势能

$N$ 匝平面线圈面积为 $A$，电流为 $I$。定义磁偶极矩

单位为 $\mathrm{A\,m^2}$；法向由线圈电流方向按右手定则确定。均匀外场中的力矩和势能为

力矩倾向让 $\boldsymbol m$ 与 $\boldsymbol B$ 对齐。非均匀场还可能产生净力；仅用 $\boldsymbol\tau$ 不能判断线圈是否平移。

例如 $N=100$、$I=0.200\,\mathrm A$、 $A=4.00\times10^{-3}\,\mathrm{m^2}$ 的线圈有 $m=0.0800\,\mathrm{A\,m^2}$。在 $B=0.300\,\mathrm T$ 的均匀场中，若两矢量夹角为 $30.0^\circ$，则 $\tau=0.0120\,\mathrm{N\,m}$， $U=-0.0208\,\mathrm J$。力矩方向由 $\boldsymbol m\times\boldsymbol B$ 决定，而不是由势能正负直接判断。

磁矢势与磁通

因为磁场无孤立源，满足

可以局部引入磁矢势

$\boldsymbol A$ 的 SI 单位为 $\mathrm{T\,m}=\mathrm{Wb\,m^{-1}}$。由 Stokes 定理，

磁通单位为韦伯 $\mathrm{Wb}=\mathrm{T\,m^2}$。边界回路方向必须与 $\hat{\boldsymbol n}$ 配套。

矢势不唯一： $\boldsymbol A'=\boldsymbol A+\boldsymbol\nabla\chi$ 给出同一 $\boldsymbol B$。选择 $\boldsymbol\nabla\cdot\boldsymbol A=0$ 等规范是简化方程，不是增加可测场。对局域稳恒电流，常用表示为

它与静电势积分形式相似，但源是矢量电流密度，最后还要取旋度得到磁场。

局部方程与电流薄层边界

稳恒真空场的两条局部方程是

第二式经 Stokes 定理在定向曲面上积分，就得到 Ampère 环路定律；第一式经 Gauss 定理说明任意闭合曲面的净磁通为零。它并不要求闭合曲面上每一点的磁场为零，而是所有带符号法向分量积分相消。

若一张理想电流薄层的面电流密度为 $\boldsymbol K$，单位 $\mathrm{A\,m^{-1}}$，令法向 $\hat{\boldsymbol n}$ 从区域一指向区域二。取跨越薄层、长边与场切向的小矩形 Ampère 回路，并把高度趋于零，可得

同时 $\hat{\boldsymbol n}\cdot(\boldsymbol B_2-\boldsymbol B_1)=0$： 磁场法向分量连续，切向分量可因面电流跳变。这里的下标表示从哪一侧取极限；若反转 $\hat{\boldsymbol n}$ 并交换区域编号，方程保持一致。有限厚导体应使用体电流 $\boldsymbol J$ 求解，不能把所有内部结构都压成无厚度边界。

这些局部式仍是假定场和源不随时间变化。若电场通量随时间改变，只写 $\boldsymbol\nabla\times\boldsymbol B=\mu_0\boldsymbol J$ 将与充电电容器中的电荷连续性冲突；下一章会加入位移电流项。

单位、方向与极限的三重核验

磁场计算最常见的错误不是积分本身，而是源点、场点和方向混在一起。可按固定顺序审计：先在图上标出约定电流；再从每个源点画 $\boldsymbol R=\boldsymbol r-\boldsymbol r'$；随后用 $\mathrm d\boldsymbol\ell'\times\hat{\boldsymbol R}$ 判断局部贡献，最后才利用对称性相加。若改用 Ampère 定律，也要先画回路箭头和配套法向，再给每股穿面电流赋正负号。

数值结果至少接受三个极限检查。把 $I$ 取零时磁场必须为零；远离有限电流分布时场应衰减；把圆环轴线公式取 $z=0$ 时必须回到中心值 $\mu_0I/(2R)$。量纲上，Biot–Savart 式中的 $\mu_0I\,\mathrm d\ell/R^2$ 必须化为特斯拉，载流导线式中的 $I\,\mathrm d\ell\,B$ 必须化为牛顿。

方向还可用相互作用复核：同向平行电流应相吸；磁矩在均匀场中的力矩应降低 $U=-\boldsymbol m\cdot\boldsymbol B$。若叉积算出的方向让系统在微小转动后势能上升，却又声称这是稳定方向，通常说明回路法向或叉积次序已经反了。

常见误区与边界

常见误区

“磁场线是带电粒子的轨迹。”粒子切向速度与磁场平行时磁力为零；垂直时轨迹绕磁场线弯曲。场线只表示 $\boldsymbol B$ 的方向和相对密度，不是材料细线。

常见误区

“Ampère 定律总能直接写成 $BL=\mu_0I$。”环路定律总成立，但把 $B$ 提出积分需要场在所选段上等大且与线元夹角已知。有限导线、偏心回路和不对称电流通常不满足。

常见误区

“磁矢势是唯一的物理速度。”$\boldsymbol A$ 不是速度，单位也不是 $\mathrm{m\,s^{-1}}$；规范变换能改变其数值而不改变 $\boldsymbol B$。必须把规范选择和可观测场区分开。

环路包围零净电流不推出每点磁场为零

一条 Ampère 回路可能同时穿过大小相等、方向相反的两股电流，所以 $I_{\rm enc}=0$，只得到 $\oint\boldsymbol B\cdot\mathrm d\boldsymbol\ell=0$。回路各处磁场仍可非零，正负切向贡献在积分中相消。

数据探索：检验直导线的反距离律

设长直导线电流固定为 $I=2.00\,\mathrm A$，计算 $r=0.0100,0.0200,0.0400,0.0800\,\mathrm m$ 处的 $B=\mu_0I/(2\pi r)$。结果依次为 $40.0,20.0,10.0,5.00\,\mathrm{\mu T}$。把 $\log_{10}(B/\mathrm T)$ 对 $\log_{10}(r/\mathrm m)$ 作图，理论斜率为 $-1$。

若使用磁强计实测，应先记录环境背景矢量，再在相同位置把电流反向；两次读数之差的一半可抑制近似恒定背景。每个点都要报告电流、距离、传感器轴向和不确定度。导线有限、位置未对准、附近铁磁物和传感器零偏都会破坏理想 $1/r$ 关系，不能只挑最接近理论的数据。

练习

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所属知识

Lorentz 力

难度

2/5

电子以 $2.00\times10^6\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 沿 $+y$ 运动，磁场 $0.150\,\mathrm T$ 沿 $+z$。取电子电荷 $-1.60\times10^{-19}\,\mathrm C$，求磁力矢量。

查看提示

先用右手定则求 $v\times B$，再乘带符号电荷；磁力大小含 $\sin\theta$。

查看解答

$\hat{\boldsymbol y}\times\hat{\boldsymbol z} =\hat{\boldsymbol x}$，正电荷会受 $+x$ 力；电子为负，所以方向为 $-x$。大小 $|q|vB=(1.60\times10^{-19})(2.00\times10^6)(0.150) =4.80\times10^{-14}\,\mathrm N$，故 $\boldsymbol F=-4.80\times10^{-14}\hat{\boldsymbol x}\,\mathrm N$。

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所属知识

电流密度

难度

2/5

半径 $R=1.00\,\mathrm{mm}$ 的圆导线中电流密度均匀，大小为 $J=2.50\times10^6\,\mathrm{A\,m^{-2}}$，方向沿截面法向。求总电流。

查看提示

均匀且垂直截面时 $I=JA$；圆面积是 $\pi R^{2}$。

查看解答

$A=\pi(1.00\times10^{-3})^2 =3.14\times10^{-6}\,\mathrm{m^2}$， $I=JA=7.85\,\mathrm A$。若把曲面法向反转而电流物理方向不变，带符号结果为 $-7.85\,\mathrm A$。

练习标记完成

所属知识

直导线磁场

难度

3/5

电流 $I=6.00\,\mathrm A$ 沿 $-z$ 的长直导线，在 $x=+0.0300\,\mathrm m$ 处产生多大、何方向的磁场？

查看提示

先算 $\mu_{0}I/(2\pi r)$，再用电流方向和场点位置判定方位方向。

查看解答

$B=(4\pi\times10^{-7})(6.00)/(2\pi\times0.0300) =4.00\times10^{-5}\,\mathrm T$。若电流沿 $+z$，该点场沿 $+y$；题中电流反向，所以 $\boldsymbol B=-(4.00\times10^{-5}\,\mathrm T)\hat{\boldsymbol y}$。

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所属知识

圆电流轴线场

难度

3/5

半径 $R=0.100\,\mathrm m$ 的单匝线圈电流 $I=4.00\,\mathrm A$，从 $+z$ 看逆时针。求轴上 $z=0.100\,\mathrm m$ 处磁场。

查看提示

使用 $B=\mu_{0}IR^{2}/[2(R^{2}+z^{2})^(3/2)]$；方向由线圈电流的右手法向确定。

查看解答

$B=(4\pi\times10^{-7})(4.00)(0.100)^2/ \{2[(0.100)^2+(0.100)^2]^{3/2}\} =8.89\times10^{-6}\,\mathrm T$。右手法向为 $+z$，所以磁场沿 $+z$。

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所属知识

Ampère 定律

难度

3/5

理想长螺线管每米 $900\,\mathrm{m^{-1}}$ 匝，电流 $1.50\,\mathrm A$。求内部场大小。若从右端看电流顺时针，场指向哪端？

查看提示

理想长螺线管内部 $B=\mu_{0}nI$；先由电流绕向确定轴向。

查看解答

$B=\mu_0nI=(4\pi\times10^{-7})(900)(1.50) =1.70\times10^{-3}\,\mathrm T$。从右端看顺时针时，右手拇指指向远离观察者的左端，因此内部场从右端指向左端。

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所属知识

磁偶极力矩

难度

4/5

$50$ 匝线圈面积 $2.00\times10^{-3}\,\mathrm{m^2}$，电流 $0.400\,\mathrm A$，其法向与 $0.250\,\mathrm T$ 均匀磁场夹角 $60.0^\circ$。求力矩大小和势能。

查看提示

先由 m=NIA 求磁矩，再分别用 $\tau=mB\sin \theta$ 与 $U=-mB\cos \theta$。

查看解答

$m=NIA=50(0.400)(2.00\times10^{-3}) =0.0400\,\mathrm{A\,m^2}$。 $\tau=mB\sin60^\circ =8.66\times10^{-3}\,\mathrm{N\,m}$； $U=-mB\cos60^\circ=-5.00\times10^{-3}\,\mathrm J$。 力矩矢量沿 $\boldsymbol m\times\boldsymbol B$。

关系、资源与后续学习

• Coulomb 定律、电场与 Gauss 定律 提供场、源、通量与叠加的基本语言。
• 线积分 使 Ampère 环量和磁矢势的边界积分具有明确方向。
• Green、Stokes 与 Gauss 定理 连接环路积分、旋度和定向曲面。
• 电磁感应、位移电流与电路响应 将本章的磁通推广到随时间变化的场和回路。
• Maxwell 方程与电磁波 会把稳恒 Ampère 定律补充为包含位移电流的完整形式。

课程 · 2007

Physics II: Electricity and Magnetism

用于核对 P04 的场与势定义、积分定律方向、边界条件、电路暂态、Maxwell 方程和波动例题。

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MIT OpenCourseWare 8.02《Physics II: Electricity and Magnetism》覆盖电流、Lorentz 力、Biot–Savart 定律、Ampère 定律、磁偶极与后续感应内容，可作为复习本章模型并衔接电磁感应的课程入口。

下一章进入 电磁感应、位移电流与电路响应，把固定磁通改为随时间变化的磁通，并保持同一套回路正向、法向和带符号积分约定。随后学习 Maxwell 方程与电磁波，理解为何时间变化的电场也必须成为磁场环量的来源。