测量误差、分辨率与校准

学习目标：把“测了多少”与“知道得多准”分开

实验记录写成“长度为 $25.4\,\mathrm{cm}$”仍可能缺少关键信息：用的是什么仪器，零点是否偏移，末位是直接读出的还是估读的，重复测量怎样波动，结果是否经过校准修正？测量不是从物体上抄出一个完美数字，而是让被测对象、仪器、环境、操作步骤和数学处理共同产生信息。

本章建立一套不混词的语言。误差是一个测得量值与参考量值之差；不确定度描述现有信息下对被测量可赋量值的分散程度。误差可以为正或负，若已知可用修正值抵消；标准不确定度是非负量，不能简单从结果中“减掉”。准确度是定性评价，精密度描述重复结果的接近程度。把这些概念分开，才能知道增加重复次数、换高分辨率仪器或重新校准各自在解决什么问题。

被测量、示值、误差与修正

被测量、示值、误差与修正

被测量是打算测量的量，必须连同条件定义。例如“室温下金属棒的长度”还应说明端点、温度和受力状态。仪器给出的读数称为示值 $x_{\mathrm{ind}}$。若有可接受的参考量值 $x_{\mathrm{ref}}$，测量误差可写成

$$e=x_{\mathrm{ind}}-x_{\mathrm{ref}}.$$

用于补偿已知系统影响的修正值为

$$C=-e, \qquad x_{\mathrm{corr}}=x_{\mathrm{ind}}+C.$$

$e$、$C$ 与 $x$ 具有相同单位。参考量值本身通常也有不确定度，因此修正后不等于获得了无误差的“真值”。

“真值”在理想定义中可以存在，但实际测量通常无法精确知道它。实验中应说明参考来自哪里，例如一只经校准的 $100.000\,\mathrm g$ 标准砝码，而不是把自己的读数当作真值。被测量定义也可能主导结果：测“桌面长度”时，木材在 $20.0\,{}^\circ\mathrm C$ 与 $35.0\,{}^\circ\mathrm C$ 下的长度并非严格相同；若温度条件未写，读数再多也不能消除定义含糊。

随机误差、系统误差与不确定度

三类不能互换的概念

• 随机误差是在规定重复条件下，误差中不可预知地改变符号或大小的部分。它使读数散开，可由重复观测研究。
• 系统误差是在重复测量中保持不变或按可预测方式变化的误差部分，例如未修正的零点偏移或温度相关灵敏度偏差。
• 测量不确定度是根据已有信息表征被测量量值分散性的非负参数。以标准差表示时称为标准不确定度 $u(x)$，单位与 $x$ 相同。

设尺的零点整体右移 $0.8\,\mathrm{mm}$。同一物体测十次可能得到非常集中、因而精密度很高的结果，但所有结果都比参考长度大约 $0.8\,\mathrm{mm}$，准确度仍差。反过来，一把平均没有明显偏差、但每次读数波动 $\pm5\,\mathrm{mm}$ 的尺可能在许多次平均后接近参考值，却对单次测量不精密。

随机与系统不是误差原因的永久标签。环境温度在一次短实验中缓慢上升，可能表现为时间趋势；跨越许多日期后，温度变化也可能在样本中像随机波动。分类取决于规定的测量条件和时间尺度。未识别的系统误差尤其危险，因为重复相同程序只会稳定地重现偏差。增加测量次数主要降低均值受随机波动的影响，不能自动消除零点偏移、错误刻度或共同的模型偏差。

准确度不是一个可直接代入公式的数。表达“准确度为 $0.2\,\mathrm{mm}$”时，应追问厂家究竟给的是最大允许误差、校准修正范围、标准不确定度还是某个覆盖概率下的区间。只有先识别量的定义，后续计算才有意义。

分辨率与量化：末位从哪里来

仪器分辨率

分辨率是能引起示值可察觉变化的最小被测量变化。数字仪表的显示步进若为 $\Delta=0.1\,\mathrm{V}$，读数 $3.4\,\mathrm V$ 通常代表某个量化区间，而不是电压恰好等于无限精确的 $3.400\ldots\,\mathrm V$。

若显示器按最接近值舍入、阈值稳定，且真实输入在一个步进内没有更可信的偏好，可把量化误差建模为区间 $[-\Delta/2,\Delta/2]$ 上的均匀分布。此时由分辨率贡献的标准不确定度为

例如电子秤步进为 $\Delta=0.1\,\mathrm g$，则 $u_{\mathrm{res}}=0.1/\sqrt{12}\,\mathrm g\approx0.029\,\mathrm g$。这个结论依赖“舍入且区间内均匀”的模型；若仪器总向下截断，区间变成 $[0,\Delta)$ 的非对称情形，需要先修正平均偏移，再评估剩余分散。若显示值在相邻数字间跳动，重复性也可能比单纯量化更重要。

模拟刻度的“最小分格”也不必等于分辨率。视差、线宽、指针摩擦和观察者估读能力会改变可分辨变化。报告时应写“最小分格为 $1\,\mathrm{mm}$，按读数程序采用分辨率区间 $\pm0.5\,\mathrm{mm}$”，而不是把所有尺都机械地赋予半格误差。

例 1：数字电压表的末位意味着什么

电压表显示步进为 $0.01\,\mathrm V$，稳定显示 $U_{\mathrm{ind}}=5.27\,\mathrm V$。若采用最邻近舍入模型，未量化电压对应的显示区间约为

$$5.265\,\mathrm V\le U<5.275\,\mathrm V.$$

量化半宽为 $0.005\,\mathrm V$，按均匀分布得到

$$u_{\mathrm{res}}(U)=\frac{0.01\,\mathrm V}{\sqrt{12}} \approx0.0029\,\mathrm V.$$

不能把 $0.01\,\mathrm V$ 同时说成“误差”“标准不确定度”和“最大偏差”：它首先只是显示步进；区间半宽与标准不确定度来自额外的舍入模型。

重复测量：均值、残差与重复性

对同一被测量在规定重复条件下获得 $n$ 个读数 $x_1,\ldots,x_n$，算术平均值、残差与样本标准差分别为

$s(x)$ 描述单个读数的重复性分散。若读数独立、来自稳定的同一分布，且被测量在重复期间不变，均值的标准不确定度可估为

这称为利用统计分析得到的 A 类评定。厂家规格、校准证书、分辨率模型和既有数据也可提供 B 类评定；“A 类”不等于随机误差，“B 类”也不等于系统误差。分类说的是评定方法，而不是影响来源的物理性质。

例 2：五次温度读数与均值的不确定度

在温度近似稳定的水浴中得到五次读数，单位均为摄氏度：

次数	1	2	3	4	5
$t_i/{}^\circ\mathrm C$	20.1	20.3	20.2	20.2	20.4

均值为 $\bar t=20.24\,{}^\circ\mathrm C$。残差依次为 $-0.14,0.06,-0.04,-0.04,0.16\,{}^\circ\mathrm C$，平方和为 $0.052\,({}^\circ\mathrm C)^2$，因此

$$s(t)=\sqrt{\frac{0.052}{4}}\,{}^\circ\mathrm C \approx0.114\,{}^\circ\mathrm C,$$

$$u_A(\bar t)=\frac{0.114}{\sqrt5}\,{}^\circ\mathrm C \approx0.051\,{}^\circ\mathrm C.$$

$0.114\,{}^\circ\mathrm C$ 描述单次读数散布， $0.051\,{}^\circ\mathrm C$ 描述用这五次数据估计稳定均值的统计不确定度，两者不能互换。若水浴持续升温，独立同分布假设不成立，应先画读数随时间的残差图，而不是继续用 $1/\sqrt n$ 乐观缩小结果。

校准、修正与计量溯源

校准是在规定条件下，把测量标准提供的量值及其不确定度，与仪器示值及其不确定度建立关系。最简单的零点校准只检查一个点；更完整的校准会在多个输入点建立响应曲线，例如

这里 $a$ 与 $x$ 同单位，$b$ 无量纲。若残差随示值弯曲，线性响应可能不足；若升程和降程给出不同结果，还需研究回程差。校准结果可以给出修正表或函数，但校准本身不必改变仪器。调整会改变仪器响应，调整后原校准关系通常失效，需要重新校准；修理更不是校准的同义词。

计量溯源要求结果能通过有记录且不间断的校准链联系到规定参考，每一环都贡献不确定度。溯源不是“仪器来自知名厂家”，也不是标签上印有 SI 符号；关键是参考标准、校准日期、条件、方法、证书和不确定度都可追查。

例 3：卡尺零点偏移为何不能靠多测几次消除

一把卡尺闭合时显示 $+0.06\,\mathrm{mm}$，测某圆柱直径六次的均值为 $d_{\mathrm{ind}}=12.48\,\mathrm{mm}$，均值的重复性标准不确定度为 $0.02\,\mathrm{mm}$。若零点偏移在该量程内可视为加性影响，估计误差为 $e_0=+0.06\,\mathrm{mm}$，修正值为 $C_0=-0.06\,\mathrm{mm}$，故

$$d_{\mathrm{corr}}=12.48\,\mathrm{mm}-0.06\,\mathrm{mm} =12.42\,\mathrm{mm}.$$

把测量次数从六次增加到二十四次，可能把重复性项约缩小一半，却不会让 $+0.06\,\mathrm{mm}$ 的零点偏移自动消失。零点修正自身仍不精确；若零点校准的标准不确定度为 $0.03\,\mathrm{mm}$，它必须作为独立输入带入下一章的不确定度传播，而不能因已经修正就删去。

诊断残差，而不只计算一个标准差

残差序列应同时按时间、输入量和操作顺序查看。纯随机散点支持稳定重复性模型；持续上升可能来自漂移；正负交替可能来自控制回路；示值越大残差越大提示方差不齐；升程与降程分离提示回程差。一个总标准差会把这些结构压成单个数字，却不能说明应怎样修正测量程序。

有离群读数时，不应只因它“难看”而删除。先查原始记录、单位、量程切换、接触状态和环境事件，再用预先规定的规则处理。若确认读数来自不同机制，应保留原因与剔除前后结果；若原因未知，报告敏感性比默默删除更诚实。

常见误区

1. 把误差写成“$\pm$ 某数”。 误差有符号但通常未知；“$\pm$”更像区间或不确定度表达，必须说明含义与覆盖规则。
2. 把精密当准确。 读数集中只能说明重复性好，不能证明没有共同偏差。
3. 认为平均能消除所有误差。 独立随机波动对均值的影响可缩小，零点、标尺系数和共同环境影响不会因此消失。
4. 把分辨率直接当标准不确定度。 最小步进、最大量化偏差和均匀分布标准差分别是 $\Delta$、$\Delta/2$ 和 $\Delta/\sqrt{12}$。
5. 校准后宣称“无误差”。 修正关系、参考标准和校准条件都有剩余不确定度，仪器也可能随时间漂移。
6. 用有效数字伪造信息。 计算器显示 $12.421739\,\mathrm{mm}$ 不表示实验知道到微米；最终位数应与不确定度相称。

探索实验：比较分辨率、重复性与零点影响

选择一支带毫米刻度的直尺和一个边缘清楚的物体。先检查直尺零端是否磨损；若磨损，从 $10.0\,\mathrm{cm}$ 刻线开始测量，并用终点读数减起点读数。由两位测量者各自独立测量同一长度十次，每次重新放置物体，记录到 $1\,\mathrm{mm}$ 或按事先约定的估读位。所有原始读数用毫米保存。

分别计算每位测量者的均值、残差和样本标准差，画出按测量顺序排列的残差。再让两位测量者交换读数规则，检查均值差来自视差、端点定义还是随机摆放。最后把直尺与另一把可追溯来源更清楚的尺在 $50\,\mathrm{mm}$、$100\,\mathrm{mm}$、$150\,\mathrm{mm}$ 三处比较。不要把第二把尺当作精确真值；记录它的分辨率与来源，并说明比较只能在多大程度上支持零点或比例修正。

练习

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所属知识

术语辨析

难度

1/5

某天平对同一砝码的读数很集中，但均比证书参考量值高约 $0.30\,\mathrm g$。分别评价其精密度、可能的系统误差和测量不确定度；能否仅凭这句话给出标准不确定度？

查看提示

逐句判断它描述的是读数散布、与参考值的差，还是根据现有信息给出的分散参数。

查看解答

读数集中说明在规定重复条件下精密度较高。相对参考量值持续高约 $0.30\,\mathrm g$ 提示约 $+0.30\,\mathrm g$ 的系统误差，应研究并施加约 $-0.30\,\mathrm g$ 的修正。标准不确定度还需要重复数据、参考值不确定度、分辨率和校准条件等信息，不能只凭“集中”二字给出。

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所属知识

分辨率

难度

2/5

数字温度计以 $0.2\,{}^\circ\mathrm C$ 为显示步进，采用最邻近舍入。求量化区间半宽和分辨率贡献的标准不确定度。

查看提示

先写舍入区间半宽，再使用均匀分布的标准差公式。

查看解答

量化区间半宽为 $0.2/2\,{}^\circ\mathrm C=0.10\,{}^\circ\mathrm C$。在区间内均匀的假设下，

$$u_{\mathrm{res}}=\frac{0.2\,{}^\circ\mathrm C}{\sqrt{12}} \approx0.058\,{}^\circ\mathrm C.$$

若仪器采用截断而非舍入，此模型需要改变。

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所属知识

重复测量

难度

2/5

四次长度读数为 $10.02\,\mathrm{cm}$、$10.04\,\mathrm{cm}$、$10.01\,\mathrm{cm}$、$10.03\,\mathrm{cm}$。求均值、样本标准差和均值的 A 类标准不确定度。

查看提示

先求均值与四个残差，再用分母 $n-1$ 计算样本标准差。

查看解答

均值为 $\bar L=10.025\,\mathrm{cm}$。残差为 $-0.005,0.015,-0.015,0.005\,\mathrm{cm}$，平方和为 $0.0005\,\mathrm{cm^2}$，故

$$s(L)=\sqrt{\frac{0.0005}{3}}\,\mathrm{cm} \approx0.0129\,\mathrm{cm}, \qquad u_A(\bar L)=\frac{0.0129}{2}\,\mathrm{cm} \approx0.0065\,\mathrm{cm}.$$

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所属知识

零点修正

难度

2/5

压力表接到参考压力 $200.0\,\mathrm{kPa}$ 时显示 $203.5\,\mathrm{kPa}$。若在邻近量程采用加性修正，求误差、修正值，以及样品示值 $487.2\,\mathrm{kPa}$ 的修正结果。

查看提示

误差等于示值减参考值，修正值取相反号。

查看解答

校准点误差为 $e=203.5\,\mathrm{kPa}-200.0\,\mathrm{kPa}=+3.5\,\mathrm{kPa}$，所以修正值 $C=-3.5\,\mathrm{kPa}$。样品结果为

$$p_{\mathrm{corr}}=487.2\,\mathrm{kPa}-3.5\,\mathrm{kPa} =483.7\,\mathrm{kPa}.$$

该外推只在有证据说明邻近量程为加性偏移时成立；一个校准点不能证明全量程线性。

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所属知识

重复次数边界

难度

2/5

某实验单次读数的重复性标准差为 $4.0\,\mathrm{mV}$，未修正零点偏移估计为 $+2.0\,\mathrm{mV}$。把重复次数从 $n=4$ 增至 $n=100$ 后，均值的重复性标准不确定度怎样变化？零点偏移怎样变化？

查看提示

独立稳定读数下，均值的随机项按一除以根号 n 缩放；零点偏移不随 n 变化。

查看解答

在独立、稳定假设下， $u_A(\bar U)=4.0/\sqrt n\,\mathrm{mV}$，所以从 $2.0\,\mathrm{mV}$ 降为 $0.40\,\mathrm{mV}$。未修正的 $+2.0\,\mathrm{mV}$ 零点偏移仍为 $+2.0\,\mathrm{mV}$；重复次数增加不能替代零点检查与校准修正。

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所属知识

残差诊断

难度

3/5

传感器残差按时间依次为 $-0.4,-0.2,0.0,+0.2,+0.4\,\mathrm K$。为什么只报告标准差不够？提出一个优先检查的影响来源。

查看提示

先看残差是否围绕零无结构散布，再判断其随时间或输入量的趋势。

查看解答

残差近似单调上升而非无结构散布，提示时间漂移；把它压成标准差会掩盖方向。应优先检查传感器预热、环境温度或参考源随时间变化，并把读数与时间同步记录。若确认线性漂移，可修改稳定等待时间、随机化测量顺序或建立带时间项的校准模型。

关系、资源与后续学习

• 物理量、量纲与单位制 规定每个示值、修正和不确定度都必须带有一致单位。
• 尺度分析、数量级与估算 帮助先判断哪类误差源可能主导总结果。
• 不确定度传播与数据拟合 将把重复性、分辨率和校准项作为测量方程的输入联合计算。
• 理想化、守恒量与模型边界 说明测量条件、稳定性和响应形式也是模型假设。

书籍 · 2016

University Physics Volume 1

Samuel J. Ling, Jeff Sanny, William Moebs

用于核对 P00 的基础术语、量纲规则、估算步骤、测量报告和入门不确定度计算。

打开官方来源

OpenStax《University Physics Volume 1》第一章提供准确度、精密度、测量不确定度和有效数字的入门语境。阅读时应继续保持本章的严格区分：教材中的简化“百分误差”练习依赖已给参考值，而真实实验的不确定度不能由与未知真值的差直接计算。

下一章将把结果写成测量方程 $y=f(x_1,\ldots,x_m)$。届时分辨率、重复性和校准不会被合并成模糊的“误差棒”，而要分别给出标准不确定度、相关性与适用假设，再传播到最终被测量。