广义坐标、约束与 Noether 定理

本章路线

一个在三维空间运动的质点可用三个直角坐标描述；若它被限制在半径固定的球面上，三个坐标之间存在一个方程，实际只有两个自由度。继续使用三个坐标并非错误，但必须同时求出维持约束的力。改用两个广义坐标则可自动满足几何限制，却可能让动能表达式变复杂。分析力学允许按问题选择这两条路线，并用同一变分框架检查它们是否一致。

约束不仅是“少一个变量”。它规定哪些构型、速度或虚位移可以出现，也决定约束力是否在容许虚位移上做功。若把不能积分的位置—速度关系误当成普通几何方程，可能得到错误的自由度和运动方程。因此先分类约束，再选坐标或乘子，是本章最重要的诊断顺序。

广义坐标与自由度

广义坐标与自由度

若一组参数 $q_1,\ldots,q_n$ 能在局部唯一标记系统所有容许构型，并且彼此独立，就称为广义坐标；$n$ 是该区域内的自由度数。质点位置可写成

$$\boldsymbol r_a=\boldsymbol r_a(q_1,\ldots,q_n,t).$$

广义坐标不一定是长度：转角以弧度表示且量纲为一，伸长量以米表示。广义速度 $\dot q_i$ 的单位相应为 $q_i$ 的单位每秒。

坐标选择没有唯一答案。平面摆既可用摆球的 $(x,y)$ 加上杆长约束，也可只用偏离竖直向下方向的角度 $\theta$。后者自动满足 $x=\ell\sin\theta$、$y=-\ell\cos\theta$，把两个直角坐标和一个独立几何方程约化成一个自由度。坐标少并不意味着物理信息少，而是没有重复描述同一构型。

“局部唯一”也提醒我们，单一坐标图未必覆盖全部构型。球面经纬度在极点出现坐标奇异，但球面本身并没有物理奇点；可换另一组坐标图继续描述。反过来，若约束方程的梯度在某处失去独立性，简单的“坐标数减约束数”可能失效，必须检查 Jacobian 的秩。自由度是构型集合的局部性质，不是只看方程写了几行。

完整约束与非完整约束

完整约束

能够写成

$$f_a(q_1,\ldots,q_N,t)=0, \qquad a=1,\ldots,m,$$

的独立约束称为完整约束。若约束 Jacobian 在考察区域秩为 $m$，通常可把 $N$ 个坐标减少为 $N-m$ 个局部自由度。$f_a$ 的单位可自行选择，但一个方程中的各项必须同量纲。

不显含时间的完整约束称为定常约束；显含时间的称为随动约束。例如固定圆环上的质点满足 $x^2+y^2-R^2=0$，是定常完整约束；若圆环半径按已知函数 $R(t)$ 变化，则 $x^2+y^2-R(t)^2=0$ 是随动完整约束。两者都可在构型与时间层面写成等式，所以“随时间变化”不等于“非完整”。

非完整约束

不能等价化为有限个 $f_a(q,t)=0$ 的约束称为非完整约束。常见形式是速度关系

$$\sum_i A_{ai}(q,t)\dot q_i+A_{a0}(q,t)=0,$$

但只有当该微分形式满足可积条件时，它才可还原成完整约束。不可积的无侧滑条件、允许区域不等式等属于非完整约束。

例如平面上的刀刃或理想车轮，位置为 $(x,y)$、朝向为 $\theta$，禁止横向滑动可写成

当 $\theta$ 也随运动变化时，这个条件通常不能积分成只含 $x,y,\theta$ 的单一位置关系。它限制瞬时速度方向，却不把系统永久限制在某一条固定曲线上。

理想约束、虚位移与两种求解路线

在同一时刻保持时间不变、又满足线性化约束的构型微小变化称为虚位移。对完整约束 $f_a(q,t)=0$，虚位移满足

理想约束的约束力在所有容许虚位移上总虚功为零。光滑固定曲面给质点的法向支持力是典型例子；真实摩擦耗散通常不满足这一性质，不能未经说明塞进理想约束。

第一条路线是消元：直接选取 $N-m$ 个独立广义坐标，使 $f_a=0$ 恒成立，再对约化后的 Lagrangian 使用 Euler–Lagrange 方程。它不必显式求约束力。

第二条路线是Lagrange 乘子法：保留冗余坐标，对完整约束构造

分别对 $q_i$ 与 $\lambda_a$ 变分，得到

右侧可解释为广义约束力。乘子的单位不是固定的：必须使 $\lambda_a f_a$ 与 $L$ 同为焦耳。若 $f=z$ 的单位是米，则 $\lambda$ 的单位是牛顿；若 $f=x^2+y^2-R^2$ 的单位是平方米，则 $\lambda$ 的单位是牛顿每米。改变约束函数的归一化会改变 $\lambda$ 数值，但实际约束力不变。

对非完整速度约束，常在 d'Alembert–Lagrange 原理下限制虚位移，并用相应乘子求运动。然而一般不能把速度约束直接代入作用量后照搬完整约束的消元法；“先变分再加速度约束”和“先代入再变分”可能产生不同方程。采用何种非完整约束原理必须作为模型假设明确写出。

例 1：用一个角度描述平面摆

例 1：平面摆的广义坐标

质量 $m=0.500\,\mathrm{kg}$ 的摆球由长度 $\ell=0.800\,\mathrm m$ 的无质量刚杆连接固定点，忽略阻力。取 $\theta$ 为相对竖直向下的角度， $x=\ell\sin\theta$、$y=-\ell\cos\theta$，自动满足 $x^2+y^2=\ell^2$。以最低点为零势能，

$$L=\frac12m\ell^2\dot\theta^2-mg\ell(1-\cos\theta).$$

Euler–Lagrange 方程为

$$m\ell^2\ddot\theta+mg\ell\sin\theta=0.$$

每项单位都是焦耳，因为 $\theta$ 无量纲。小角度下 $\sin\theta\approx\theta$，角频率 $\omega=\sqrt{g/\ell}=3.50\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$，周期约 $1.79\,\mathrm s$。杆的张力没有出现在约化方程中，因为它沿杆方向，对角向容许虚位移不做虚功。

例 2：乘子给出圆环的约束力

例 2：水平圆环上的质点

质量 $m=0.200\,\mathrm{kg}$ 的小珠在水平、光滑、半径 $R=0.500\,\mathrm m$ 的圆环上以速率 $v=1.00\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 运动。取 $f=x^2+y^2-R^2=0$，$L=\tfrac12m(\dot x^2+\dot y^2)$。乘子方程为

$$m\ddot x=2\lambda x, \qquad m\ddot y=2\lambda y.$$

加速度沿径向向内，$\boldsymbol a=-(v^2/R^2)(x,y)$，所以

$$\lambda=-\frac{mv^2}{2R^2} =-0.400\,\mathrm{N\,m^{-1}}.$$

约束力矢量为 $2\lambda(x,y)$，大小 $2|\lambda|R=0.400\,\mathrm N$，恰等于 $mv^2/R$。负号表示力沿半径向内。若改用约束 $f/R=0$，乘子数值会改变，但最终的 $\lambda\nabla f$ 仍是同一 $0.400\,\mathrm N$ 向心力。

连续对称性与 Noether 定理

离散对称如镜像很重要，但 Noether 定理直接处理的是由连续参数连接到恒等变换的对称。考虑固定时间下的无穷小变换

其中 $\varepsilon$ 无量纲。若 Lagrangian 的变化至多是全时间导数，

则沿实际轨迹存在守恒量。事实上，使用 Euler–Lagrange 方程，

与 $\delta L=\varepsilon\,\mathrm dB/\mathrm dt$ 比较，得到

这是一种固定时间变换的 Noether 形式。若变换同时移动时间，还需把时间变化纳入边界项；时间平移最终给出能量函数 $E=\sum_i\dot q_i p_i-L$。所以“时间不显含于 $L$”对应能量守恒，但并不是把时间当作普通 $q_i$ 后机械套式。

循环坐标

若 $L$ 不显含某个广义坐标 $q_k$，即 $\partial L/\partial q_k=0$，则 $q_k$ 是循环坐标。Euler–Lagrange 方程立即给出

$$\dot p_k=0, \qquad p_k=\frac{\partial L}{\partial\dot q_k}.$$

这正是沿 $q_k$ 方向连续平移对称的 Noether 守恒量。

例 3：转动对称性产生角动量守恒

例 3：中心势中的循环角坐标

质量 $m$ 的质点在平面中心势 $V(r)$ 中运动，极坐标 Lagrangian 为

$$L=\frac12m(\dot r^2+r^2\dot\phi^2)-V(r).$$

$L$ 不含 $\phi$，表示把整个轨道绕中心旋转任意小角度都不改变动力学。相应共轭动量

$$p_\phi=\frac{\partial L}{\partial\dot\phi}=mr^2\dot\phi$$

守恒，它就是垂直于运动平面的角动量分量，单位为 $\mathrm{kg\,m^2\,s^{-1}}$。若某时刻 $m=0.500\,\mathrm{kg}$、$r=2.00\,\mathrm m$、$\dot\phi=0.300\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$，则 $p_\phi=0.600\,\mathrm{kg\,m^2\,s^{-1}}$。之后即使 $r$ 改变，$r^2\dot\phi$ 也必须按反比调整。

例 4：非完整约束限制速度而非位置

例 4：刀刃的无侧滑条件

一块平面滑板的位置用 $(x,y)$（单位米）和朝向 $\theta$ 描述。理想刀刃只允许沿朝向速度 $u$ 前进，故

$$\dot x=u\cos\theta, \qquad \dot y=u\sin\theta,$$

等价地有 $-\sin\theta\dot x+\cos\theta\dot y=0$。若某时刻 $\theta=30.0^\circ$、$u=2.00\,\mathrm{m\,s^{-1}}$，则 $\dot x=1.73\,\mathrm{m\,s^{-1}}$、$\dot y=1.00\,\mathrm{m\,s^{-1}}$。下一时刻改变 $\theta$ 就改变允许的速度方向，因此条件没有把板固定在当前直线上。可达位置取决于朝向的历史，这正是不能简单写成固定轨迹 $f(x,y)=0$ 的原因。

三个常见误区

常见误区

“含速度的约束一定非完整。”对 $\dot x+\dot y=0$ 积分可得 $x+y=\text{常量}$，它其实来自完整约束。判断标准是能否等价积分成构型与时间的关系，而不是公式表面是否出现速度。

常见误区

“Lagrange 乘子就是约束力大小。”乘子随约束函数的单位和归一化改变。具有直接物理意义的是 $\sum_a\lambda_a\nabla f_a$ 所给的广义约束力；只有特定归一化下，$\lambda_a$ 才恰等于某个力的大小。

常见误区

“看见一个守恒量，就已经证明存在相应对称性。”Noether 定理需要明确作用量、连续变换、边界项和适用条件。耗散力、外部驱动或随时间变化的约束可能破坏原有对称；数值上近似不变也可能只是时间区间太短。

探索：数值检查中心力的角动量

设质量 $m=1.00\,\mathrm{kg}$ 的质点在二维各向同性弹簧势 $V=\tfrac12k(x^2+y^2)$ 中运动，取 $k=1.00\,\mathrm{N\,m^{-1}}$。初值为 $(x,y)=(1.00,0)\,\mathrm m$、$(v_x,v_y)=(0,0.800)\,\mathrm{m\,s^{-1}}$。用时间步 $\Delta t=0.0100\,\mathrm s$ 做 Euler–Cromer 更新：先用 $a_x=-(k/m)x$、$a_y=-(k/m)y$ 更新速度，再用新速度更新位置。

每一步记录

$L_z$ 的单位为 $\mathrm{kg\,m^2\,s^{-1}}$，$E$ 的单位为焦耳。把步长减半后比较 $10.0\,\mathrm s$ 内两者的最大相对偏差。势能只依赖 $r=\sqrt{x^2+y^2}$，具有连续转动对称，所以解析模型中 $L_z$ 严格守恒；离散结果的微小漂移来自算法和舍入，而不是新力。再把势能改成 $V=\tfrac12k_xx^2+\tfrac12k_yy^2$ 且 $k_x\ne k_y$，转动对称被破坏，观察 $L_z$ 如何系统变化。该对照把“对称性—守恒量”的因果条件与数值误差分开。

练习

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所属知识

自由度

难度

1/5

两个质点在三维空间运动，彼此距离固定为 $\ell=1.00\,\mathrm m$。忽略其他约束，系统有多少自由度？写出一个完整约束。

查看提示

先数直角坐标，再减去独立完整约束的个数。

查看解答

两个质点共有六个直角坐标。固定距离给出一个独立约束 $|\boldsymbol r_1-\boldsymbol r_2|^2-\ell^2=0$，因此局部自由度为 $6-1=5$。约束各项单位为平方米。

练习标记完成

所属知识

约束分类

难度

2/5

将质点限制在沿 $x$ 方向以恒速 $U=0.500\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 平移的竖直平面上，即 $x-Ut=0$。判断它是完整还是非完整、定常还是随动，并给出剩余自由度。

查看提示

显含时间只决定定常或随动；完整性取决于能否写成 $f(q,t)=0$。

查看解答

它直接写成 $f(x,t)=x-Ut=0$，所以是完整约束；因显含时间，属于随动约束。三维质点原有三个自由度，一个独立约束后剩两个自由度，可用 $y,z$ 描述。

练习标记完成

所属知识

乘子单位

难度

2/5

对约束 $f=x^2+y^2-R^2=0$，求增广项 $\lambda f$ 中 $\lambda$ 的 SI 单位；再说明 $2\lambda x$ 的单位。

查看提示

要求乘积 $\lambda f$ 与 L 都具有焦耳单位。

查看解答

$f$ 的单位是 $\mathrm{m^2}$，而 $\lambda f$ 必须为焦耳，所以 $[\lambda]=\mathrm{J\,m^{-2}}=\mathrm{N\,m^{-1}}$。于是 $2\lambda x$ 的单位为 $\mathrm N$，可作为直角坐标方向的约束力分量。

练习标记完成

所属知识

循环坐标

难度

3/5

平面自由粒子的极坐标 Lagrangian 为 $L=\tfrac12m(\dot r^2+r^2\dot\phi^2)$。指出循环坐标和守恒量。若 $m=0.250\,\mathrm{kg}$、$r=0.800\,\mathrm m$、$\dot\phi=5.00\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$，计算守恒量。

查看提示

找出 L 中没有显式出现、只出现其时间导数的坐标。

查看解答

$L$ 不显含 $\phi$，所以 $\phi$ 是循环坐标， $p_\phi=mr^2\dot\phi$ 守恒。数值为 $(0.250)(0.800)^2(5.00)=0.800\,\mathrm{kg\,m^2\,s^{-1}}$。

练习标记完成

所属知识

平移对称

难度

3/5

$N$ 个质点的 Lagrangian 为 $L=\sum_a\tfrac12m_a\dot{\boldsymbol r}_a^2-\sum_{a<b}V_{ab}(|\boldsymbol r_a-\boldsymbol r_b|)$。说明空间平移对应的守恒量。

查看提示

对所有粒子作同一个常矢量平移，检查相对距离和速度是否改变。

查看解答

作 $\boldsymbol r_a\mapsto\boldsymbol r_a+\varepsilon\boldsymbol c$，所有速度与相对距离不变，故 $L$ 不变。Noether 守恒量在任意常方向 $\boldsymbol c$ 上为 $\sum_a m_a\dot{\boldsymbol r}_a\cdot\boldsymbol c$。因 $\boldsymbol c$ 任意，总动量 $\boldsymbol P=\sum_a m_a\dot{\boldsymbol r}_a$ 守恒，单位为 $\mathrm{kg\,m\,s^{-1}}$。

练习标记完成

所属知识

对称性破缺

难度

4/5

在中心势上加入微扰 $V_1=\alpha r^2\cos(2\phi)$，其中 $\alpha$ 的单位为 $\mathrm{N\,m^{-1}}$。求 $p_\phi$ 的变化率，并说明角动量为何不再守恒。

查看提示

计算 $\partial L/\partial \phi$；若不为零，$p\phi$ 的变化率就由它决定。

查看解答

$L=T-V(r)-\alpha r^2\cos(2\phi)$，所以 $\dot p_\phi=\partial L/\partial\phi=2\alpha r^2\sin(2\phi)$。右侧单位为 $(\mathrm{N\,m^{-1}})(\mathrm{m^2})=\mathrm{N\,m}$，即角动量每秒。微扰显含 $\phi$，连续转动对称被破坏，因而 $p_\phi$ 一般不守恒；只在某些特殊方位右侧瞬时为零。

关系、资源与后续学习

• 最小作用量原理与 Euler–Lagrange 方程 提供本章乘子法和 Noether 推导所需的一阶变分基础。
• 多元函数的偏导数与全微分 用于约束 Jacobian、广义力与 Lagrangian 的各变量偏导。
• 群、子群与循环群 提供连续变换组合的代数背景；本章聚焦与恒等变换相连的一参数对称。
• 刚体转动、力矩与角动量 给出转动对称守恒量的直接力学解释。
• Legendre 变换与 Hamilton 方程 将在约束后的独立变量上建立相空间演化。

课程 · 2014

Classical Mechanics III

Iain Stewart

用于核对 P02 的变分条件、约束处理、Hamilton 形式、Poisson 括号、正则变换和混沌例题。

打开官方来源

MIT OpenCourseWare 8.09《Classical Mechanics III》覆盖约束、Lagrange 方程、对称守恒与 Hamilton 形式。本章以该课程作为分类、符号和推导边界的外部课程资源；所有示例均显式列出理想约束、单位和适用假设，以免把形式关系误当成未经说明的物理约束。

接下来进入 Legendre 变换与 Hamilton 方程，把广义坐标与共轭动量作为相空间变量，并讨论约束与守恒量如何降低有效维数。之后的正则变换和相空间分析会继续使用本章的连续对称、循环坐标与约束分类。