术语从定义进入关系。

设 $H,K$ 为 Hilbert 空间， $T:H\to K$ 有界。对每个 $y\in K$ ，映射 $x\mapsto\langle Tx,y\rangle$ 是 $H$ 上连续线性泛函。Riesz 表示定理给出唯一 $T^*y\in H$ ，满足 $\langle Tx,y\rangle=\langle x,T^*y\rangle \quad(x\in H).$ 由此定义的有界线性算子 $T^*:K\to H$ 称为 $T$ 的伴随。若 $H=K$ 且 $T=T^*$ ，称 $T$ 自伴。本文把正算子定义为自伴且对每个 $x$ 都有 $\langle Tx,x\rangle\ge0$ 的算子。

从非零复导数的局部旋转伸缩出发，建立 Möbius 变换和典型区域映射；再用恒等定理控制局部解析表示的唯一拼接，并以复对数和平方根说明延拓的路径依赖、单值性与分支障碍。

给参数 $\theta$ 指定先验分布 $\pi(\theta)$ ，观测 $x$ 的似然为 $L(\theta;x)$ 。若归一化常数有限且为正，后验分布为 $\pi(\theta\mid x) =\frac{L(\theta;x)\pi(\theta)} {\int_\Theta L(u;x)\pi(u)\,du}.$ 给定行动 $a\in\mathcal A$ 和损失 $L_D(a,\theta)$ ，贝叶斯行动选择使后验期望损失 $\rho(a\mid x) =\int_\Theta L_D(a,\theta)\pi(\theta\mid x)\,d\theta$ 最小的行动。先验与损失都是结论的组成部分，必须公开说明。

用先验和似然形成后验分布，并通过后验预测表达参数不确定性。

在区域边界施加函数值或通量条件，并研究这些约束如何选择微分方程的解。

对函数空间中的泛函求驻值，推导 Euler–Lagrange 方程及边界项。

设曲面 $S$ 由在内部一一且分片正则的参数化 $\mathbf X:D\to\mathbb R^3$ 覆盖。以下分别假设拉回参数域的标量被积函数与向量被积函数可积；例如 $D$ 紧且 Jordan 可测、 $g$ 与 $\mathbf F$ 在曲面邻域连续时，这一条件成立。标量函数 $g$ 的曲面积分定义为 $\iint_Sg\,\mathrm dS =\iint_Dg(\mathbf X(u,v)) \lVert\mathbf X_u\times\mathbf X_v\rVert \,\mathrm du\,\mathrm dv.$ 若有序参数选择了法向 $\mathbf n=(\mathbf X_u\times\mathbf X_v)/ \lVert\mathbf X_u\times\mathbf X_v\rVert$ ，向量场 $\mathbf F$ 穿过 $S$ 的有向通…

用 sigma 代数规定允许讨论的集合，以可列可加测度统一长度、质量和概率；再由 Borel 集、逆像判据与简单函数建立可测函数语言，并区分几乎处处成立与完备测度。

设 $(X,\mathcal A)$ 为可测空间。映射 $\mu:\mathcal A\longrightarrow[0,\infty]$ 称为测度，若 $\mu(\varnothing)=0$ ，且对任意两两不交的可测集列 $(A_n)$ 有 $\mu\!\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n\right) =\sum_{n=1}^{\infty}\mu(A_n).$ 三元组 $(X,\mathcal A,\mu)$ 称为测度空间。若 $\mu(X)=1$ ，则 $\mu$ 是概率测度，常记作 $P$ 。

以 Lagrange 基函数和 Newton 差商构造唯一插值多项式，用余项与节点乘积解释误差和 Runge 现象，再以分段低次多项式及三次样条获得局部、二阶连续的逼近。

用未知函数及其常导数描述动态规律，区分阶数、线性、自治和初值条件。

沿着状态建模、初值适定性、结构化解析、相平面、稳定性、参数变化与数值核对组织完整解题路线，并用混合槽、阻尼振子和捕捞模型说明局部结论与模型边界。

从 Euler、改进 Euler 与 Runge–Kutta 时间推进进入有限差分离散，区分局部误差、全局误差与绝对稳定性，并比较显式热方程格式的 CFL 限制和隐式格式的线性求解成本。

开始展开前，依次写清区域、微分算子、边界数据、初始数据、参数单位和所求收敛意义。本章中 $x,L$ 的单位为长度，热扩散率 $\kappa$ 的单位为长度平方每时间，波速 $c$ 的单位为长度每时间； $u$ 可以是温差，波动问题中的 $u$ 则是横向位移。Laplace 问题的 $y$ 是第二个空间坐标，不是时间。

给定某一时刻的状态后求解微分方程，并理解存在唯一性对演化预测的意义。

从一阶常微分方程的积分形式出发，区分局部存在、唯一性和全局延拓，使用方向场判断解曲线的斜率结构，并以非唯一与有限时爆破解释定理条件的作用。

若 $f$ 在解曲线附近连续，则可微函数 $y$ 在区间 $I$ 上解决初值问题，当且仅当它满足 $y(t)=y_0+\int_{t_0}^{t}f(s,y(s))\,\mathrm ds, \qquad t\in I.$ 从微分方程积分可得右式；反过来，由微积分基本定理对右式求导可恢复 $y'=f(t,y)$ ，令 $t=t_0$ 则恢复初值。

设 $f:C\to\mathbb R$ 为凸函数。向量 $\mathbf g$ 若满足 $f(\mathbf y)\ge f(\mathbf x)+\mathbf g^\mathsf T(\mathbf y-\mathbf x) \quad\text{对所有 }\mathbf y\in C,$ 则称 $\mathbf g$ 是 $f$ 在 $\mathbf x$ 的一个次梯度。全部次梯度组成次微分 $\partial f(\mathbf x)$ 。若 $f$ 在内点 $\mathbf x$ 可微，则 $\partial f(\mathbf x)=\{\nabla f(\mathbf x)\}$ 。

区分依概率、几乎处处和依分布收敛，在明确矩条件下证明弱大数定律，陈述强大数定律与经典 iid 中心极限定理，并用精确二项概率检验正态近似的能力和边界。

用定义域、等价变形、函数图像和坐标方程串联 M01 的核心方法，并以参数交点与综合题检验计算闭环。

删去 $A$ 的第 $i$ 行、第 $j$ 列所得子矩阵记为 $M_{ij}$ 。代数余子式为 $C_{ij}=(-1)^{i+j}\det M_{ij}.$ 余子式矩阵为 $C=(C_{ij})$ ，伴随矩阵定义为 $\operatorname{adj}(A)=C^{\mathsf T}$ 。

设 $E/F$ 是域扩张，即 $F$ 是 $E$ 的子域。元素 $\alpha\in E$ 若满足某个非零 $f\in F[x]$ 的方程 $f(\alpha)=0$ ，则称 $\alpha$ 在 $F$ 上代数；否则称超越。 代数元 $\alpha$ 的最小多项式 $m_{\alpha,F}$ 是使 $m_{\alpha,F}(\alpha)=0$ 的唯一首一、最低正次数多项式。

特征值 $\lambda$ 作为特征多项式根出现的次数称为代数重数，记作 $m_a(\lambda)$ ；特征空间维数称为几何重数，记作 $m_g(\lambda)=\dim E_\lambda =\dim\ker(A-\lambda I).$

区域是连通开集。若区域内每条闭曲线都能在区域内连续缩成一点，则称它单连通。对单连通域 $\Omega$ ，任意全纯函数 $f$ 都满足 $\oint_\gamma f(z)\,\mathrm dz=0$ 并拥有原函数。圆盘和半平面单连通；穿孔平面、圆环以及删去一点的圆盘都不是单连通。若函数还能全纯地补到洞中，则可在更大的无洞区域应用定理；因此要同时检查“区域有没有洞”和“被积函数在洞里是否真的有奇点”。

$n$ 阶单位矩阵 $I_n$ 的主对角线元素为一，其余元素为零。它满足 $I_mA=A,\qquad AI_n=A$ 对每个 $A\in\mathbb R^{m\times n}$ 成立。 对方阵 $A\in\mathbb R^{n\times n}$ ，若存在方阵 $B$ 使 $AB=BA=I_n$ ，则称 $A$ 可逆， $B$ 是 $A$ 的逆，记为 $A^{-1}$ 。

若 $u\in R$ 存在 $v\in R$ 使 $uv=vu=1$ ，则 $u$ 是单位， $v$ 是其逆元，记作 $u^{-1}$ 。环中全部单位组成乘法群 $R^\times$ 。 在交换环中，非零元素 $a$ 若存在非零 $b$ 使 $ab=0$ ，则称 $a$ 为零因子。非零交换环没有非零零因子，当且仅当它满足乘法消去律： $a\ne0$ 且 $ab=ac$ 时必有 $b=c$ 。

对实数 $t$ ，从单位圆正向水平半径起按弧度转过 $t$ ，所得点的横、纵坐标分别定义为 $\cos t$ 与 $\sin t$ 。两函数的定义域均为 $\mathbb R$ ，值域均为 $[-1,1]$ ，基本周期是 $2\pi$ ； $\cos$ 是偶函数， $\sin$ 是奇函数。这里用它们说明周期性与对称性的函数语言，三角恒等式另在后续专题展开。

由差商极限刻画瞬时变化，辨析可导与连续，推导基本求导法则、链式法则和隐函数求导，并把微分解释为函数增量的一阶主部。

设 $\mathbf u\ne\mathbf0$ 。把 $\mathbf x$ 投影到 $\operatorname{span}\{\mathbf u\}$ 所得的向量定义为 $\operatorname{proj}_{\mathbf u}\mathbf x =\frac{\langle\mathbf x,\mathbf u\rangle} {\langle\mathbf u,\mathbf u\rangle}\mathbf u.$

若命题 $P(x)$ 与 $Q(x)$ 对定义域中每个 $x$ 满足 $P(x)\Longleftrightarrow Q(x)$ ，则二者等价，变形保持解集。若只能证明 $P(x)\Longrightarrow Q(x)$ ，新方程的解只构成候选集合；最终解集是候选中通过原式检验的元素。

集合 $X$ 上同时满足自反、对称和传递的关系称为等价关系。给定 $x\in X$ ，它的等价类是 $[x]=\{y\in X:yRx\}.$ 所有不同等价类组成的集合记为 $X/R$ ，称为 $X$ 关于 $R$ 的商集。

若 $\alpha(x)\to0$ 、 $\beta(x)\to0$ ，并且在某个穿孔邻域内 $\beta(x)\ne0$ ，且 $\lim_{x\to a}\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=1,$ 则称 $\alpha$ 与 $\beta$ 在 $x\to a$ 时为等价无穷小，记作 $\alpha(x)\sim\beta(x)$ 。

两个集合 $A,B$ 的笛卡尔积是 $A\times B=\{(a,b):a\in A,\ b\in B\}.$ 有序对的坐标位置属于定义的一部分；通常 $(a,b)\ne(b,a)$ 。

若数列 $(a_n)_{n\ge0}$ 满足 $a_n=F(n,a_{n-1},\ldots,a_{n-k}), \qquad n\ge k,$ 则称它满足一个 $k$ 阶递推关系。给出 $a_0,\ldots,a_{k-1}$ 后，只要右侧对每个合法输入都有唯一值，就可依次算出 $a_k,a_{k+1},\ldots$ 。二阶常系数齐次线性递推写成 $a_n=c_1a_{n-1}+c_2a_{n-2}, \qquad n\ge2.$ “齐次”表示右侧没有额外的只依赖 $n$ 的项，“常系数”表示 $c_1,c_2$ 不随 $n$ 改变。

从初始条件与递推规则定义数列，推导常系数线性递推的特征根法，再用普通生成函数、系数提取和 Cauchy 卷积编码递推与组合对象。

以 Bernoulli、Poisson 与均匀上界模型为主线，比较矩估计和最大似然估计，分解偏差、方差与均方误差，建立一致性、Fisher 信息、正则 Cramér–Rao 下界、Rao–Blackwell 改进及 Lehmann–Scheffé 唯一性。

一份闭合的常微分方程模型应逐项给出： 1. 状态量及其单位，哪些量被当作参数或外部输入； 2. 每个变化率项的来源和量纲； 3. 初值以及状态允许的区域； 4. 保证局部解存在唯一的正则性条件； 5. 所求问题是瞬时值、完整轨线、长期极限、稳定性还是参数阈值； 6. 解析、定性和数值结论各自的有效范围。

累积历史更新方向以抑制高曲率振荡，并加速沿稳定方向的前进。

集合 $X$ 上的函数 $d:X\times X\to[0,\infty)$ 若满足正定性、对称性和三角不等式，就称为度量， $(X,d)$ 称为度量空间。数列 $(x_n)$ 若对每个 $\varepsilon>0$ 都存在 $N$ ，使任意 $m,n\ge N$ 都有 $d(x_m,x_n)<\varepsilon,$ 则称为 Cauchy 列。若 $X$ 中每个 Cauchy 列都收敛到 $X$ 内一点，则称 $X$ 完备。

若对点 $(t_0,y_0)$ 的某个邻域，存在常数 $L>0$ ，使同一 $t$ 下任意两点都满足 $|f(t,y_1)-f(t,y_2)|\le L|y_1-y_2|,$ 则称 $f$ 在该邻域对 $y$ 局部 Lipschitz。若偏导 $\partial f/\partial y$ 在一个矩形上连续，则它在较小闭矩形上有界，由中值定理可推出这一 Lipschitz 条件。

在欧氏空间中建立邻域、开闭集与联合极限，说明路径检验的能力边界，并用连续性和紧致性保证极值真正取到。

设 $\mathbf a$ 是 $D\subseteq\mathbb R^n$ 的聚点。若对任意 $\varepsilon>0$ ，都存在 $\delta>0$ ，使得对所有 $\mathbf x\in D$ ，只要 $0<\lVert\mathbf x-\mathbf a\rVert<\delta,$ 就有 $|f(\mathbf x)-L|<\varepsilon$ ，则称 $f$ 在 $\mathbf a$ 处的联合极限为 $L$ ，记作 $\lim_{\mathbf x\to\mathbf a}f(\mathbf x)=L.$

以问题对象和输出量为线索，联合局部线性化、Hessian、多重积分、变量替换、曲线与曲面积分以及三大积分定理，形成可核验的方法选择流程。

上式称为实系数多项式的标准形式。最高非零幂指数 $n$ 是次数，记作 $\deg p=n$ ； $a_nx^n$ 是首项， $a_n$ 是首项系数。非零常数的次数为零。本章不为零多项式规定普通整数次数，以免把“最高非零项”用于一个没有非零项的对象。

从系数与次数定义多项式，借助除法算法和余式定理连接根与因式，并在保留原始定义域的前提下分析有理式的零点、空点和极点。

用矩阵表达多变量二次函数，并由特征方向分析等值面与曲率。

给定实方阵 $A$ ，函数 $q_A(\mathbf x)=\mathbf x^\mathsf T A\mathbf x$ 称为由 $A$ 表示的二次型。若对每个非零 $\mathbf x$ 都有 $q_A(\mathbf x)>0$ ，称二次型及其对称表示矩阵正定；若恒有 $q_A(\mathbf x)\ge0$ ，称半正定。负定、半负定按相反不等号定义；若二次型能取正值也能取负值，称不定。

若 $R\subseteq X\times Y$ 、 $S\subseteq Y\times Z$ ，关系复合 $S\circ R\subseteq X\times Z$ 定义为 $x(S\circ R)z \quad\Longleftrightarrow\quad \exists y\in Y\,(xRy\land ySz).$ 中间对象 $y$ 只需存在，不要求唯一。函数复合是关系复合的特殊情形；函数额外要求每个输入恰有一个输出。

集合 $S$ 上的二元运算是函数 $\star:S\times S\to S.$ 因此任取 $a,b\in S$ ，结果 $a\star b$ 必须仍在 $S$ 中。这个要求称为 $S$ 对 $\star$ 封闭。

从区域分割建立 Riemann 型多重积分，在条件明确时使用累次积分，并用 Jacobian 绝对值处理一般变量替换以及极、柱、球坐标。