行波参数、线性叠加与色散

本章路线

观察一根长弦时，仅说“它在振动”并不足以预测下一时刻的形状。我们还要知道最大位移、重复一次所需时间、相邻波峰的距离，以及某个参考点此刻处于振动周期的哪个位置。振幅描述变化范围，频率与波长给出时间和空间尺度，相位负责把两种尺度对齐，波速则说明同一相位标记怎样传播。

本章先研究一维、标量、小振幅、近似无耗散的波。若状态量是弦的横向位移，振幅单位为米；若状态量是声压扰动，振幅单位为帕；若状态量是电场，振幅单位为伏特每米。公式结构可以相同，但振幅的物理单位、能量表达式和边界条件不能跨系统照搬。除非特别说明，位置 $x$ 用米，时间 $t$ 用秒，传播速度用 $\mathrm{m\,s^{-1}}$。

正弦行波的参数与单位

沿 $+x$ 方向传播的单色正弦波可以写成

这里 $u$ 与振幅 $A$ 具有相同单位。初相位 $\phi_0$ 以及整个余弦自变量是无量纲量，通常以弧度记录。角频率 $\omega$ 的单位为 $\mathrm{rad\,s^{-1}}$，普通频率 $f$ 的单位为赫兹，即 $\mathrm{s^{-1}}$；波数 $k$ 的单位为 $\mathrm{rad\,m^{-1}}$。它们与周期 $T$、波长 $\lambda$ 的关系为

“角频率”中的弧度在 SI 量纲上无量纲，但保留 $\mathrm{rad}$ 能防止把 $\omega$ 与 $f$ 直接相等。“波数”也不是每米经过几个完整周期；完整周期密度是 $1/\lambda$，而 $k$ 每前进 $1\,\mathrm m$ 累积多少弧度。

固定相位 $kx-\omega t+\phi_0=C$，对时间求导得到

所以 $kx-\omega t$ 对应向 $+x$ 传播；$kx+\omega t$ 对应向 $-x$ 传播。传播方向由等相位点的运动决定，不能只看某一时刻曲线的斜率。$v_{\mathrm p}$ 称为相速度，它追踪单个波峰或任一固定相位。

例 1：由行波公式读出全部参数

一根弦的横向位移为

$$u(x,t)=(0.030\,\mathrm m) \cos\!\left[(4.0\,\mathrm{rad\,m^{-1}})x -(12.0\,\mathrm{rad\,s^{-1}})t+\frac{\pi}{6}\right].$$

振幅为 $0.030\,\mathrm m$。波长 $\lambda=2\pi/k=1.57\,\mathrm m$，频率 $f=\omega/(2\pi)=1.91\,\mathrm{Hz}$，周期 $T=1/f=0.524\,\mathrm s$，相速度 $v_{\mathrm p}=\omega/k=3.00\,\mathrm{m\,s^{-1}}$，方向为 $+x$。

在 $x=0.50\,\mathrm m$、$t=0.20\,\mathrm s$ 处，相位为 $4.0(0.50)-12.0(0.20)+\pi/6=0.124\,\mathrm{rad}$，所以 $u\approx0.030\cos(0.124)=0.0298\,\mathrm m$。括号内的每一项都必须无量纲；这也为代入的米和秒提供了单位核对。

相位差比“绝对相位”更容易测量

把时间原点平移会改变 $\phi_0$，但同一时刻两个位置的相位差

不受时间原点影响。同一位置相隔 $\Delta t$ 的相位差大小是 $\omega\Delta t$。因此波的测量通常比较两个传感器、两条路径或两个时刻，而不是寻找一个绝对相位零点。

相位只在模 $2\pi$ 意义下等价。$\Delta\phi=2\pi n$ 表示同相，$\Delta\phi=(2n+1)\pi$ 表示反相。若波经历反射，边界还可能额外引入 $\pi$ 相变；路径差并不是相位差的唯一来源。比较相位时必须同时声明采用的余弦或正弦约定，以及传播方向。

线性叠加：相加的是状态量，不是强度

若控制方程和边界条件都是线性的，两个解 $u_1,u_2$ 的线性组合 $a u_1+b u_2$ 仍是解。这个结论称为 叠加原理。对同一频率和波数的两列波，

相加后仍是同频正弦波。把余弦写成平面相量，合成振幅满足

当 $\delta=0$ 时振幅为 $A_1+A_2$；当 $\delta=\pi$ 时振幅为 $|A_1-A_2|$。只有在振幅相等且相位恰好相反时才会完全相消。被相消的是该处的瞬时状态量；能量会在空间、其他自由度或源之间重新分配，不能据一处位移为零就断言整个系统没有能量。

例 2：两列同频波的合成振幅与相位

两列同向声压扰动的振幅分别为 $A_1=0.40\,\mathrm{Pa}$、$A_2=0.30\,\mathrm{Pa}$，相位差 $\delta=120^\circ=2\pi/3\,\mathrm{rad}$。合成振幅为

$$A_{\rm r} =\sqrt{0.40^2+0.30^2+2(0.40)(0.30)\cos(2\pi/3)} =0.361\,\mathrm{Pa}.$$

若以第一列波为相位零点，合成相量的分量为 $X=0.40+0.30\cos(2\pi/3)=0.250\,\mathrm{Pa}$、 $Y=0.30\sin(2\pi/3)=0.260\,\mathrm{Pa}$，所以合成相位 $\tan^{-1}(Y/X)=0.805\,\mathrm{rad}$。直接把振幅相加得到 $0.70\,\mathrm{Pa}$ 会忽略相位信息。

实际波源若不是锁定频率与相位，$\delta$ 会在测量时间内漂移，稳定的增强与相消就会被平均掉。后续干涉章会把这种“能否保持可预测相位差”的性质称为相干性。

邻近频率与拍频

同振幅、同方向但角频率略有差别的两列波在固定位置可写成

利用和差化积，

快速振动的角频率约为两者平均值，前面的慢因子形成包络。对以强度或响度峰值计数的拍，拍频为

包络余弦的符号每半个慢周期翻转，但强度与振幅平方相关，因此相邻强度峰之间的频率正是频率差。拍频公式要求两频率足够接近，使观察者能区分快速载波和慢包络；它不是任意两频率叠加都产生“第三个真实频率分量”。

例 3：用拍频校准音叉

标准音叉频率为 $440.0\,\mathrm{Hz}$，与待测音叉同时发声时，每 $0.50\,\mathrm s$ 听到一次响度峰，因此 $f_{\rm beat}=2.0\,\mathrm{Hz}$。待测频率可能是 $438.0\,\mathrm{Hz}$ 或 $442.0\,\mathrm{Hz}$，仅凭拍频无法决定高低。

在待测音叉上加少量质量会降低其频率。若加质量后拍频从 $2.0\,\mathrm{Hz}$ 减到 $0.5\,\mathrm{Hz}$，说明原频率在 $440.0\,\mathrm{Hz}$ 以上，并正向标准值靠近；原值应为 $442.0\,\mathrm{Hz}$。这里声压是叠加量，听到的强弱变化来自平均声强随包络变化。

色散关系、相速度与群速度

把单频试探解代入具体线性波动方程，会得到 $\omega$ 与 $k$ 的约束

称为 色散关系。理想均匀弦满足 $\omega=ck$，所有波数的相速度都是常量 $c$。若 $\omega(k)$ 不是通过原点的直线，不同波数一般具有不同相速度，复合波形传播时会改变形状。

真实的有限波列必须包含一段波数范围。以中心波数 $k_0$ 为中心的窄带波包可写成许多近邻分量的叠加。对每个 $k$ 在 $k_0$ 附近展开：

常数项控制载波相位，线性项使包络以

传播，称为群速度。这个结论依赖波包足够窄，使二阶及更高阶项在观察时间内可以忽略。若频带宽或 $\mathrm d^2\omega/\mathrm dk^2$ 显著，包络会展宽、偏斜，单一群速度不足以描述全部变化。

例 4：由色散关系比较两种速度

某实验性波导在考察频段内近似满足

$$\omega(k)=\sqrt{\omega_c^2+c^2k^2},$$

其中 $\omega_c=30.0\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$、 $c=20.0\,\mathrm{m\,s^{-1}}$。对 $k_0=2.00\,\mathrm{rad\,m^{-1}}$，

$$\omega_0=\sqrt{30.0^2+(20.0\times2.00)^2} =50.0\,\mathrm{rad\,s^{-1}}.$$

相速度为 $v_{\rm p}=\omega_0/k_0=25.0\,\mathrm{m\,s^{-1}}$。群速度为

$$v_{\rm g}=\frac{c^2k_0}{\sqrt{\omega_c^2+c^2k_0^2}} =16.0\,\mathrm{m\,s^{-1}}.$$

两者乘积为 $c^2=400\,\mathrm{m^2\,s^{-2}}$，可作为代数核对。本例只说明该给定色散模型中的载波和窄带包络速度；不能不经能量通量分析就把任何系统的群速度都称为能量速度。

群速度近似的误差尺度：何时一个导数不再够用

群速度来自把色散关系截断到一阶。令 $q=k-k_0$，再保留下一项可得

其中一阶项只让包络平移，二阶项却让不同 $q$ 分量积累不同的附加相位。若波包的有效半宽为 $\Delta k$，传播时间为 $t$，可用

估计色散形变是否可忽略。$\omega''_0$ 的 SI 单位为 $\mathrm{m^2\,s^{-1}}$，$\Delta k$ 的单位为 $\mathrm{rad\,m^{-1}}$；弧度按无量纲处理后，$\varepsilon_{\rm d}$ 是相位量。$\varepsilon_{\rm d}\ll1$ 时，以单一群速度平移包络通常是良好近似；若它达到 $1\,\mathrm{rad}$ 量级，就应保留谱积分或更高阶色散，而不能把形变后的峰值仍当作同一个“物体”匀速运动。

对例 4 的关系，

在 $k_0=2.00\,\mathrm{rad\,m^{-1}}$ 处， $\omega''_0=2.88\,\mathrm{m^2\,s^{-1}}$。若 $\Delta k=0.10\,\mathrm{rad\,m^{-1}}$、$t=5.0\,\mathrm s$，则 $\varepsilon_{\rm d}=0.072\,\mathrm{rad}$，一阶近似尚可；若半宽增至 $0.80\,\mathrm{rad\,m^{-1}}$，同一时间内 $\varepsilon_{\rm d}=4.61\,\mathrm{rad}$，窄带结论已经失效。这个尺度判断还假设频谱主要集中在所报半宽内；若频谱有长尾，应直接检查各分量的相位误差。

强度、能量与振幅的平方律

许多线性波在固定介质和固定频率下，时间平均强度与振幅平方成正比。例如理想弦上的平均功率还取决于张力、线密度和角频率；平面声波还取决于介质密度与声速。因此“强度是振幅平方”只表达比例结构，比例常数必须从具体系统推导。

两列相干波应先把带符号的位移、声压或电场相加，再取平方并作时间平均。直接把强度相加会丢失交叉项，也就丢失干涉。两列互不相干的波在足够长的测量时间内交叉项平均为零，此时平均强度才近似直接相加。

常见误区与适用边界

常见误区

“波速等于介质质点的运动速度。”相速度追踪等相位位置；弦元的横向速度是 $u_t$，随位置和时间改变，两者方向甚至彼此垂直。声波中的空气质点也只在平衡位置附近往复运动。

常见误区

“振幅相加就得到合成波振幅。”只有同相时才能直接相加大小。一般要相加带相位的状态量；异频波的合成结果甚至不再是单一正弦波。

常见误区

“群速度总是信号速度。”群速度来自窄带、一阶展开。强吸收、强色散、宽带脉冲或波形前沿问题需要更完整的因果传播分析，不能只计算一个导数。

非线性系统不服从任意叠加

若恢复力含 $u^3$ 项，两个解相加后立方项会产生交叉项，通常不再满足原方程。大振幅弦、浅水破碎波和非线性光学中可能出现谐波生成或波间能量交换；线性叠加只能作为相应小扰动范围内的近似。

探索实验：从两列波的数据识别叠加与色散

先做一个不依赖专用仪器的数据实验。设两列同频波振幅均为 $A=10.0\,\mathrm{mm}$，频率为 $f=2.00\,\mathrm{Hz}$。建立相位差 $\delta=0,\pi/4,\pi/2,3\pi/4,\pi$ 的表格，逐项计算 $A_{\rm r}=2A|\cos(\delta/2)|$，再画出合成振幅随相位差的曲线。记录毫米单位，不要把振幅直接标成强度。

第二步取两个波数 $k_1=1.90\,\mathrm{rad\,m^{-1}}$、 $k_2=2.10\,\mathrm{rad\,m^{-1}}$，使用例 4 的色散关系分别求 $\omega_1,\omega_2$。由 $\Delta\omega/\Delta k$ 估计包络速度，并与 $v_{\rm g}(2.00\,\mathrm{rad\,m^{-1}})$ 比较。再把间隔扩大到 $k_1=1.50\,\mathrm{rad\,m^{-1}}$、 $k_2=2.50\,\mathrm{rad\,m^{-1}}$；若差商偏离中心导数，说明“窄带”假设正在失效。实验报告应保留输入单位、公式、差值和相对偏差，而不只给一张波形图。

练习

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所属知识

行波参数

难度

2/5

位移波为 $u=(8.0\,\mathrm{mm})\cos[(5.0\,\mathrm{rad\,m^{-1}})x+ (15.0\,\mathrm{rad\,s^{-1}})t-\pi/4]$。求振幅、波长、频率、周期、相速度大小和传播方向。

查看提示

把余弦自变量与 $kx-\omega t+\phi_{0}$ 对照；传播方向由固定相位求 dx/dt。

查看解答

$A=8.0\,\mathrm{mm}=8.0\times10^{-3}\,\mathrm m$， $\lambda=2\pi/5.0=1.26\,\mathrm m$， $f=15.0/(2\pi)=2.39\,\mathrm{Hz}$， $T=0.419\,\mathrm s$。固定相位给 $5.0\,\mathrm dx/\mathrm dt+15.0=0$，所以以 $3.00\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 向 $-x$ 传播。

练习标记完成

所属知识

空间相位差

难度

2/5

波长为 $0.80\,\mathrm m$ 的波由两个相距 $0.30\,\mathrm m$ 的传感器同时测量。求后一个位置相对前一个位置的空间相位差，并判断是否同相或反相。

查看提示

同一时刻相位差是 $k\Delta x$；最后把结果按 $2\pi$ 化简。

查看解答

$k=2\pi/0.80=7.85\,\mathrm{rad\,m^{-1}}$， $\Delta\phi=k\Delta x=2.36\,\mathrm{rad}=3\pi/4$。它既不是 $2\pi$ 的整数倍，也不是 $\pi$ 的奇数倍，因此既不同相也不严格反相。

练习标记完成

所属知识

同频叠加

难度

3/5

两列同频水面高度扰动的振幅分别为 $12.0\,\mathrm{mm}$ 和 $5.0\,\mathrm{mm}$。求相位差为 $0$、$\pi/2$、$\pi$ 时的合成振幅。

查看提示

使用 $A_{r}^{2}=A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+2A_{1}A_{2}\cos\delta$，注意两振幅单位相同。

查看解答

同相时为 $17.0\,\mathrm{mm}$；相差 $\pi/2$ 时为 $\sqrt{12.0^2+5.0^2}=13.0\,\mathrm{mm}$；反相时为 $|12.0-5.0|=7.0\,\mathrm{mm}$。振幅不等，所以反相也不能完全相消。

练习标记完成

所属知识

拍频

难度

2/5

$256\,\mathrm{Hz}$ 与 $260\,\mathrm{Hz}$ 的两个纯音同时播放。求拍频和相邻响度峰的时间间隔，并说明合成信号是否只有 $4\,\mathrm{Hz}$ 成分。

查看提示

响度峰的重复频率等于两普通频率之差的绝对值。

查看解答

$f_{\rm beat}=|260-256|=4\,\mathrm{Hz}$，相邻响度峰间隔 $1/4=0.25\,\mathrm s$。频谱中的原始线仍位于 $256\,\mathrm{Hz}$ 和 $260\,\mathrm{Hz}$；$4\,\mathrm{Hz}$ 描述包络重复，不是把两个分量替换成一个低频纯音。

练习标记完成

所属知识

色散关系

难度

3/5

某波满足 $\omega=ak^2$，其中 $a=0.50\,\mathrm{m^2\,s^{-1}}$。在 $k=4.0\,\mathrm{rad\,m^{-1}}$ 处求 $\omega$、相速度和群速度。

查看提示

分别计算 $\omega/k$ 与 $d\omega/dk$；若 $\omega=ak^{2}$，则导数为 2ak。

查看解答

$\omega=0.50(4.0)^2=8.0\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$。 $v_{\rm p}=\omega/k=2.0\,\mathrm{m\,s^{-1}}$； $v_{\rm g}=2ak=4.0\,\mathrm{m\,s^{-1}}$。两者不同，表明该模型具有色散。

练习标记完成

所属知识

窄带近似

难度

4/5

使用例 4 的色散关系，计算 $k=1.90\,\mathrm{rad\,m^{-1}}$ 与 $2.10\,\mathrm{rad\,m^{-1}}$ 间的 $\Delta\omega/\Delta k$，与中心群速度比较，并解释这不是严格的任意宽带传播速度。

查看提示

用中心差分估计 $d\omega/dk$，再说明频带宽度增大时二阶曲率为何不能忽略。

查看解答

$\omega(1.90)=\sqrt{900+400(1.90)^2}=48.41\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$， $\omega(2.10)=51.61\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$。差商约为 $(51.61-48.41)/0.20=16.0\,\mathrm{m\,s^{-1}}$，与中心导数 $16.0\,\mathrm{m\,s^{-1}}$。这是小波数区间上的差商；频带变宽后，色散曲率会使各分量不能由同一线性近似描述。

关系、资源与后续学习

• 简谐振子 给出每个固定位置的正弦时间演化；行波再让相位随位置连续改变。
• 一维波动方程 决定哪些 $\omega$ 与 $k$ 组合可以成为具体介质中的解。
• 叠加原理 是相量、拍频、波包和后续干涉公式成立的共同前提。
• 色散关系 把介质或波导的动力学压缩成 $\omega(k)$，并区分相速度与群速度。
• 干涉、衍射与傅里叶光学 将相位差和线性叠加应用到双缝、有限孔径和多源系统。

课程 · 2016

MIT 8.03SC Physics III: Vibrations and Waves

Yen-Jie Lee

连接波动方程的数学解、边界条件、驻波和物理观测。

打开官方来源

MIT OpenCourseWare 8.03SC《Physics III: Vibrations and Waves》按机械振动、行波、叠加、群速度与波动光学组织课程材料。本章只使用这一已登记资源作为延伸入口；正文中的单位、假设、推导和数值均已给出，读者应自行复算，而不把课程链接视为审阅结论。

接下来学习 干涉、衍射与傅里叶光学，把这里的相位差推广到不同传播路径与连续孔径。随后回到 波的傅里叶分析，用连续频谱描述更一般的脉冲；研究有边界的系统时，再把叠加与 简正模 联系起来。