经典场、作用量与 Noether 流

约定、自然单位与指标

本册统一采用

坐标写作 $x^\mu=(t,\boldsymbol x)$，四维内积 $p\cdot x=p^0t-\boldsymbol p\cdot\boldsymbol x$。导数约定

所以

自然单位下质量、能量和动量具有同一能量量纲，长度与时间是能量倒数。量纲分析常用质量维数：四维作用量 $S$ 在指数 $e^{iS}$ 中无量纲，$\mathrm d^4x$ 维数为 $E^{-4}$，故 Lagrange 密度 $\mathcal L$ 维数为 $E^4$。恢复 SI 时指数应是 $e^{iS/\hbar}$，且 $x^0=ct$；不能只在一条公式的一部分补回 $c$。

场是时空上赋值的对象，不能把“场的分量个数”与“时空维数”混为一谈。实标量在每个事件给一个数，复标量等价于两个实分量，四矢量场有 Lorentz 指标，旋量则按另一种表示变换。写 $\phi_a$ 时，$a$ 只是把这些内部或分量自由度统一编号；它不自动按四矢量规则升降。

Lagrange 密度本身也不唯一。若

则两个作用量只相差边界积分。在固定边界变分或足够快衰减条件下，它们给同一体方程，但正则共轭量和正则能动张量的局域表达可能改变一个边界项。因此物理等价首先是作用量与边界问题的等价，不是要求两份密度逐点相等。

场作用量和变分边界项

设实场组为 $\phi_a(x)$，作用量

对 $\phi_a\to\phi_a+\delta\phi_a$，

对第二项分部积分：

重复指标 $a,\mu$ 求和。边界项不是可以静默删除的装饰。固定边界值时取 $\delta\phi_a|_{\partial\Omega}=0$；若边界值自由，驻值条件会给自然边界条件。无穷远边界还需场和变分衰减足够快，才能令通量消失。

Euler–Lagrange 场方程

在边界项按选定条件消失后，对任意内部变分要求 $\delta S=0$，得到

$$\boxed{ \frac{\partial\mathcal L}{\partial\phi_a} -\partial_\mu \frac{\partial\mathcal L} {\partial(\partial_\mu\phi_a)} =0 }.$$

这个推导假设 $\mathcal L$ 至多含场的一阶导数。若密度含 $\partial_\mu\partial_\nu\phi$，分部积分要进行两次，运动方程阶数和边界数据都会增加；不能仍套用上面的短公式。高阶导数模型还可能引入额外自由度或不稳定性，需要逐个分析。

有限时空区域通常有初始、终止类空间面和侧向边界。变分原理常在两个时间端固定场构形，而空间侧面可选 Dirichlet、Neumann、周期或混合条件。对初值问题，运动方程解需要的初始数据由时间导数阶数决定；“变分时端点固定”和“实际演化时给初值”是推导与求解两个阶段，并不矛盾。

当有多个相互作用场时，每个独立场都给一条 Euler–Lagrange 方程。若把复场拆为 $\phi,\phi^*$，变分时可把它们暂作独立变量，最后再实施共轭关系。漏掉其中一条方程会失去完整动力学，也无法正确推导相位 Noether 流。

例 1：实标量场的方程与符号核对

取

$$\mathcal L =\frac12\partial_\mu\phi\,\partial^\mu\phi -V(\phi).$$

有

$$\frac{\partial\mathcal L}{\partial\phi} =-V'(\phi), \qquad \frac{\partial\mathcal L} {\partial(\partial_\mu\phi)} =\partial^\mu\phi.$$

代入场方程：

$$\Box\phi+V'(\phi)=0.$$

若 $V=m^2\phi^2/2$，得到 $(\Box+m^2)\phi=0$。展开为 $\ddot\phi-\nabla^2\phi+m^2\phi=0$，空间梯度前的负号来自 $(+,-,-,-)$ 度规。换用相反号型时 Lagrange 密度和方程符号必须成套改变。

一个有单位的连续介质类比

自然单位突出协变结构，但同一变分步骤也适用于实验室单位。长度为 $L$ 的受张力弦，横向位移 $u(x,t)$ 单位为米，线密度 $\rho_\ell$ 为 $\mathrm{kg\,m^{-1}}$，张力 $T$ 为牛顿。Lagrange 密度按单位长度写

单位 $\mathrm{J\,m^{-1}}$。变分给

固定端点对应 $\delta u=0$；自由端点的边界项给 $T\partial_xu=0$。这说明边界条件与作用量一起决定问题，而不是求出体方程后随意附加。

例 2：固定弦的模频率

取 $L=1.00\,\mathrm m$、 $T=100\,\mathrm N$、 $\rho_\ell=0.0100\,\mathrm{kg\,m^{-1}}$，波速

$$v=\sqrt{100/0.0100}=100\,\mathrm{m\,s^{-1}}.$$

固定端点模函数 $u_n\propto\sin(n\pi x/L)$，角频率

$$\omega_n=\frac{n\pi v}{L}.$$

基频普通频率 $f_1=\omega_1/(2\pi)=v/(2L)=50.0\,\mathrm{Hz}$。若误把自然边界 $\partial_xu=0$ 用于固定端点，模函数会变为余弦并包含零频平移模，物理系统已改变。

共轭动量与 Hamilton 密度

选定时间坐标后，场的正则共轭动量为

Hamilton 密度是 Legendre 变换

对实标量场，

当 $V$ 有下界时能量密度有下界。若 Lagrange 密度对某些速度的 Hessian 退化，不能直接解出所有速度；这通常意味着约束或规范冗余，需要专门的约束 Hamilton 分析，不能假设普通 Legendre 变换可逆。

对空间均匀的自由模式 $\phi=\phi(t)$，梯度项消失，场方程退化为

它像单位“质量”的力学振子，但 $\phi$ 仍是每单位体积的场振幅，Hamilton 密度 $\mathcal H=\dot\phi^2/2+V$ 是能量密度而非单个粒子的总能量。以 $V=m^2\phi^2/2$ 为例，初始 $\phi(0)=\Phi$、$\dot\phi(0)=0$ 给 $\phi(t)=\Phi\cos mt$，并且

在整个周期不变。自然单位四维中 $[\phi]=E$、$[m]=E$，所以 $[\mathcal H]=E^4$，与 Lagrange 密度一致。把这一密度乘空间体积后才得到总能量，其质量维数为 $E$。

时空平移与正则能动张量

若 $\mathcal L$ 不显含坐标，平移 $x^\mu\to x^\mu+\epsilon^\mu$ 是连续对称。正则能动张量可写为

使用场方程可得

$T^0{}_0$ 与能量密度相关，$T^i{}_0$ 描述能量通量，空间分量包含动量通量与应力；具体上下指标符号必须按度规核对。总四动量

只有在无穷远通量消失或边界通量被计入时守恒。局域散度零并不表示任意有限子区域内存量不变，能量可以穿过边界。

若密度显含坐标，例如外部参数 $m=m(x)$，平移对称被背景破坏。直接计算给

右侧表示外部背景向场注入或抽取四动量。若 $m=m(t)$，场本身的能量一般不守恒，因为改变参数的外部装置做功。把背景也提升为动力学自由度后，总系统仍可能恢复守恒；只观察子系统时必须保留源项。

同理，空间平移不变对应动量守恒，时间平移不变对应能量守恒，Lorentz 旋转和 boost 对应角动量流。对称性陈述针对完整作用量与边界，而不是仅看运动方程外观。固定在某处的边界本身会破坏空间平移，即使体密度没有显式坐标。

对自由实标量场，提高第二指标后

它恰为对称张量，且

例 3：一维无质量标量行波的能流

取 $\phi(t,x)=A\cos[k(x-t)]$，满足 $\Box\phi=0$。有

$$\dot\phi=Ak\sin[k(x-t)], \qquad \partial_x\phi=-Ak\sin[k(x-t)].$$

无质量 Lagrange 密度在该行波上为 $\mathcal L=(\dot\phi^2-\phi_x^2)/2=0$。因此

$$T^{00}=A^2k^2\sin^2[k(x-t)],$$

$$T^{01} =\partial^0\phi\,\partial^1\phi =-\dot\phi\,\partial_x\phi =A^2k^2\sin^2[k(x-t)].$$

能量密度与向 $+x$ 的能流数值相等，这是自然单位下传播速度为 1 的结果。周期平均均为 $A^2k^2/2$；恢复 SI 时能量密度和通量的单位及速度因子需由具体场归一补回。

连续内部对称性与 Noether 流

考虑无穷小变换

若 Lagrange 密度只改变一个四维散度

则 Noether 流

在满足场方程时满足

其关键不是记忆结果，而是比较同一个变分的两种写法。直接用链式法则并分部积分可得

其中 $\mathcal E_a=0$ 正是 Euler–Lagrange 方程。另一方面，对称性给 $\delta\mathcal L=\epsilon\partial_\mu K^\mu$。把 $\delta\phi_a=\epsilon\Delta_a$ 代入并移项，就得到

所以在任意场构形上，流的散度等于运动方程残差与对称方向的收缩；只有解满足方程时右侧才为零。这一“离壳”关系在检查符号和数值残差时很有用。

这里“on shell”表示使用运动方程；不使用运动方程的恒等式是更强的陈述。守恒荷

满足 $\mathrm dQ/\mathrm dt=-\oint\boldsymbol j\cdot\boldsymbol n\,\mathrm dA$。只有边界流为零时，区域内 $Q$ 才不变。

这个负号来自外法向约定：$\boldsymbol j\cdot\boldsymbol n>0$ 表示荷流出所考察区域，因此内部存量下降。若边界本身移动，还要使用相对边界速度修正通量；本章固定空间积分域的公式不能不加说明地套到移动控制体。

Noether 定理还要求变换参数在推导时是常数；若暂时把 $\epsilon$ 允许为缓慢变化的函数，作用量中与 $\partial_\mu\epsilon$ 相乘的系数正好暴露出流。这是一个实用推导技巧，但不意味着原来的全局对称自动成为局域规范对称。局域化通常需要引入联络场并改变导数。

例 4：复标量场的全局相位流

复场 Lagrange 密度

$$\mathcal L =\partial_\mu\phi^*\partial^\mu\phi -m^2\phi^*\phi$$

在全局变换 $\phi\to e^{-i\alpha}\phi$ 下不变。取 $\delta\phi=-i\epsilon\phi$、 $\delta\phi^*=i\epsilon\phi^*$，得到

$$j^\mu =i\left( \phi^*\partial^\mu\phi -\phi\partial^\mu\phi^* \right).$$

对平面波 $\phi=Ae^{-ip\cdot x}$，其中 $p^2=m^2$、$p^0=E>0$，

$$j^\mu=2p^\mu|A|^2.$$

于是 $j^0=2E|A|^2>0$，空间流沿 $\boldsymbol p$。若改用相反的相位变换生成元，流整体反号，物理荷的符号约定也随之改变；连续性方程不变。

流与能动张量的改进歧义

若 $B^{\mu\nu}=-B^{\nu\mu}$，则

具有同一散度，因为偏导交换时 $\partial_\mu\partial_\nu B^{\mu\nu}=0$。在场于无穷远足够快衰减时，新旧总荷只差边界项。正则能动张量也可加上全散度作 Belinfante 等改进，以获得对称或更适合规范理论的形式。

改进后的局域密度分布可以不同，因此不能说两者逐点相同；它们在合适边界下给相同总四动量。与引力耦合时还可通过对度规变分定义 Hilbert 能动张量。这里把改进只作为定义和边界提醒，不用它替代正则 Noether 推导。

在有限盒中，边界项是否为零必须逐面检查。周期边界让相对两面通量相消；Dirichlet 条件只固定场值，不必自动令所有能流为零；吸收边界则有意允许能量离开。若系统含界面或缺陷，分部积分还会在内部边界产生跳跃条件。把所有表面都简单写成“无穷远为零”，会遗漏有限实验装置最重要的交换机制。

总荷存在还要求积分收敛。平面波铺满无限空间时 $Q$ 和总能量形式上发散，通常先用有限盒归一、局域波包或单位体积密度解释。无限平面波的“总荷为无穷”不是局域连续性方程失效，而是状态没有空间局域化。后续量子化中的 delta 函数归一继承同一边界选择。

改进项不会任意改变实验可测总量，但在讨论局域引力源、边界荷或表面理论时可能有实际差异。因此“只差全散度”必须连同边界条件和观测定义一起说，不能脱离区域直接宣称两种张量完全相同。

常见误区

常见误区

“分部积分后的边界项总是零。”它只在固定变分、衰减条件或相应自然边界条件下消失。

常见误区

“Lagrange 密度必须逐点不变才有 Noether 流。”改变一个四维散度也保持作用量至边界项，并给含 $K^\mu$ 的流。

常见误区

“局域守恒意味着有限区域内总量恒定。”局域守恒给存量变化等于负边界通量；开放区域可持续流失或流入。

练习：变分、张量与守恒荷

练习标记完成

所属知识

号型与 d'Alembert 算符

难度

2/5

在本章号型下推导 $\partial^\mu$ 和 $\Box$，并求其作用于 $e^{-ip\cdot x}$ 的结果。

查看提示

先由 $\eta_{\mu\nu}=\operatorname{diag}(+1,-1,-1,-1)$ 升高导数指标。

查看解答

$\partial_\mu=(\partial_t,\boldsymbol\nabla)$， $\partial^\mu=(\partial_t,-\boldsymbol\nabla)$，所以 $\Box=\partial_\mu\partial^\mu=\partial_t^2-\nabla^2$。平面波 $e^{-ip\cdot x}$ 给出 $\Box\mapsto-p^2$。

练习标记完成

所属知识

场变分

难度

3/5

从含 $\phi,\partial_\mu\phi$ 的作用量推导 Euler–Lagrange 场方程，并写出边界项。

查看提示

变分一阶导数项后分部积分，并保留边界通量。

查看解答

$\delta S$ 的体项为 $\left[\frac{\partial\mathcal L}{\partial\phi}-\partial_\mu\frac{\partial\mathcal L}{\partial(\partial_\mu\phi)}\right]\delta\phi$； 边界项为 $\int\mathrm d\Sigma_\mu\,\frac{\partial\mathcal L}{\partial(\partial_\mu\phi)}\delta\phi$。 固定边界令 $\delta\phi=0$，自由边界则给出自然边界条件。

练习标记完成

所属知识

标量 Hamilton 密度

难度

3/5

求实标量场的共轭动量与 Hamilton 密度，并说明势能有下界的重要性。

查看提示

先求 $\pi=\partial\mathcal L/\partial\dot\phi$，再作 Legendre 变换 $\pi\dot\phi-\mathcal L$。

查看解答

对 $\mathcal L=\frac12\dot\phi^2-\frac12(\boldsymbol\nabla\phi)^2-V$，有 $\pi=\dot\phi$，以及 $\mathcal H=\frac12\pi^2+\frac12(\boldsymbol\nabla\phi)^2+V$。 若 $V$ 有下界，该自由度的能量也有下界。

练习标记完成

所属知识

平移守恒

难度

4/5

写出正则能动张量，并说明局域散度零到总四动量守恒还需什么边界条件。

查看提示

把平移诱导的 $\delta\phi_a=-\epsilon^\nu\partial_\nu\phi_a$ 代入 Noether 结构。

查看解答

得到 $T^\mu{}_{\nu}=\frac{\partial\mathcal L}{\partial(\partial_\mu\phi_a)}\partial_\nu\phi_a-\delta^\mu{}_{\nu}\mathcal L$。 无显式坐标依赖且使用场方程时， $\partial_\mu T^\mu{}_{\nu}=0$。 总四动量 $P_\nu$ 守恒还要求边界通量消失，或将边界交换显式计入总系统。

练习标记完成

所属知识

复标量 Noether 流

难度

4/5

推导复标量场全局 $U(1)$ 相位对称对应的流，并直接验证其散度。

查看提示

把 $\phi$ 与 $\phi^*$ 当作独立场分别变分。

查看解答

对 $\delta\phi=-i\epsilon\phi$、$\delta\phi^*=i\epsilon\phi^*$，得到 $j^\mu=i\left(\phi^*\partial^\mu\phi-\phi\partial^\mu\phi^*\right)$。 利用两条 Klein–Gordon 方程可验证 $\partial_\mu j^\mu=0$。

练习标记完成

所属知识

改进项

难度

4/5

证明给 Noether 流加 $\partial_\nu B^{\mu\nu}$ 不改变局域守恒，并说明总荷相同的条件。

查看提示

利用 $B^{\mu\nu}=-B^{\nu\mu}$ 和偏导可交换。

查看解答

$\partial_\mu\partial_\nu B^{\mu\nu}=0$，因为对称的双偏导与反对称的 $B^{\mu\nu}$ 收缩为零。新旧荷相差空间边界积分；场衰减足够快时总荷相同，但局域密度可以不同。

知识连接与资源

• 变分原理、约束与对称性 提供有限自由度作用量和边界变分。
• 狭义与广义相对论基础综合复习 提供 Minkowski 几何和四矢量语言。
• 微分形式与积分定理 连接四维散度、定向边界和守恒通量。
• Klein–Gordon 场与 Dirac 场 将从本章作用量和 Noether 流得到相对论自由场方程。
• 自由场量子化与粒子解释 使用共轭动量、Hamilton 量与守恒荷建立 Fock 空间。
• 粒子物理与场论导论综合复习 汇总对称性、守恒流和有效理论边界。

课程 · 2023

Relativistic Quantum Field Theory I

Hong Liu

用于核对 P12 的场作用量、相对论场方程、自由场量子化、相互作用展开、散射规则和规范不变性。

打开官方来源

MIT OpenCourseWare 8.323 的经典场、Noether 定理与自由场部分可用于核对本章号型、变分和流的约定。本章只建立经典作用量结构；量子化后的算符、正规序和反粒子解释留给后续章节。