相互作用、散射与 Feynman 图

约定与问题边界

沿用度规 $\eta=\operatorname{diag}(+,-,-,-)$ 和自然单位 $\hbar=c=1$。四动量平方 $p^2=E^2-\boldsymbol p^2$，壳上粒子满足 $p^2=m^2$、$E>0$。能量、质量和三动量用 eV、MeV 或 GeV；截面在自然单位中量纲为能量负二次，衰变率量纲为能量。恢复 SI 时寿命 $\tau=\hbar/\Gamma$，截面需乘 $(\hbar c)^2$ 的相应换算。

本章只建立微扰散射框架，不为具体实验伪造质量、耦合或截面数据。每个数值结果都需要明确 Lagrange 密度、外态归一、入射通量、相空间、极化平均、相同粒子因子和参数尺度。只画一张图不能确定可观测量。

相互作用表象分配“自由”和“相互作用”

把 Hamiltonian 写成

相互作用表象中，算符按 $H_0$ 演化，态按 $H_I(t)$ 演化。演化算符满足

积分一次并反复代入得到 Dyson 级数

用时间排序算符可写成

若把积分扩展到整个方形时间区域，第 $n$ 阶需除以 $n!$，时间排序负责把所有先后排列恢复。漏掉 $1/n!$ 或又对已排序单纯形重复除，会造成组合因子错误。

散射矩阵定义为遥远过去到未来的绝热演化

对于不含时间导数的常见相互作用，$\mathcal H_I=-\mathcal L_I$；有导数耦合或约束时不能不加检查地套用这个等号。

例 1：Dyson 二阶时间区域为何有二分之一

二阶迭代积分覆盖 $t_0<t_2<t_1<t$ 的三角区域：

$$(-i)^2\int_{t_0}^{t}\mathrm dt_1 \int_{t_0}^{t_1}\mathrm dt_2H_I(t_1)H_I(t_2).$$

把它改写到完整方形后，另一个三角区域对应 $t_1<t_2$，两者由 $T$ 自动选择较晚算符在左。因此

$$\frac{(-i)^2}{2!}\int_{t_0}^{t}\mathrm dt_1\mathrm dt_2 \,T\{H_I(t_1)H_I(t_2)\}$$

与原式相等。若两个 Hamiltonian 不对易，不能直接删除时间排序并把积分写成普通指数。

Wick 定理把算符代数变成收缩

自由场可分为含湮灭算符的正频部分和含产生算符的负频部分。Wick 定理把时间有序场乘积写成正规序乘积加所有可能收缩。对自由实标量场，两个场的收缩定义为

例如四场乘积包含正规序项、六个单收缩乘正规序二场项，以及三种双收缩。与真空或外部 Fock 态取矩阵元后，未被外态吸收的正规序湮灭算符会杀死真空，剩余收缩对应传播子。

费米场 Wick 展开还要记录交换算符产生的负号。闭合费米回路有额外负号；交换两个相同外部费米子也改变振幅符号。不能只凭图形拓扑猜符号，需固定外部算符顺序并按规则执行。

真空泡与外部过程断开，会乘在真空到真空振幅上。在适当归一的 S 矩阵中它们抵消，不代表所有闭合回路都可删除；连接外腿的回路会修正传播、顶点和可观测振幅。

从 Lagrange 密度读出图规则

以实标量理论为例，

本章约定的动量空间规则是：每个四点顶点给 $-i\lambda$；每条内部标量线给

每个顶点保持四动量；每个独立回路动量积分 $\int\mathrm d^4\ell/(2\pi)^4$；再乘图的对称因子倒数。$4!$ 已吸收同一顶点四个相同场的排列，若 Lagrange 密度没有这个分母，顶点因子也会改变。

一套可靠工作顺序是：先列入射与出射粒子及量子数；选微扰阶数；画所有互不同构的连通图；给内线定向动量；在顶点写守恒；乘顶点、传播子和费米负号；积分独立回路；处理对称因子；最后才做外部自旋或极化求和平均以及相空间积分。

Feynman 图是展开项的记账图，不是粒子在可观测时空中沿线飞行的照片。内部线不必满足壳条件，顶点位置在积分中求和，图的不同标号还可能表示同一代数项。

例 2：$\phi^4$ 理论的树级二到二振幅

考虑 $\phi(p_1)\phi(p_2)\to\phi(p_3)\phi(p_4)$。Dyson 一阶项为

$$-i\frac\lambda{4!}\int\mathrm d^4x\,\phi_I(x)^4.$$

四个场与两条入射、两条出射外腿收缩共有 $4!$ 个排列，正好消去 Lagrange 密度中的 $4!$。时空积分给

$$(2\pi)^4\delta^{(4)}(p_1+p_2-p_3-p_4),$$

剩余顶点因子 $-i\lambda$。若定义

$$\langle f|S|i\rangle_c =i(2\pi)^4\delta^{(4)}(P_f-P_i)\mathcal M,$$

则本约定下 $\mathcal M=-\lambda$。有些资料把 $i\mathcal M$ 直接称为“振幅”，比较符号前要先看定义。

外腿、内线与 LSZ 边界

外腿代表指定的渐近入射或出射单粒子态，满足壳条件并带自旋、极化、粒子反粒子标签。内线是传播子，动量由顶点约束但通常离壳。外腿不是再乘一个完整传播子到无穷远；LSZ 约化说明如何从时间有序相关函数截去外部极点并乘波函数留数，得到归一 S 矩阵元。

稳定粒子对应精确二点函数中的孤立实极点，极点位置定义物理质量，留数与场归一相关。不稳定共振的极点移入复能平面，没有严格的无穷远单粒子外态，只能作为中间共振出现在稳定产物振幅中。把不稳定粒子画成外腿是窄宽近似下的实用简写，需说明误差边界。

规范玻色子外腿只保留物理极化；内部传播子可含规范依赖分量，所有同阶图相加后物理可观测量才应规范无关。单张图一般不是规范不变或可独立测量对象。

Lorentz 不变相空间

$n$ 个壳上末态的相空间测度定义为

每个 $\mathrm d^3p/(2E)$ 与整体 delta 的组合保持 Lorentz 不变。相空间只编码运动学允许区，不包含动力学耦合。若末态含 $r$ 个完全相同粒子，而积分把它们的标签排列都覆盖，就要除以 $r!$，避免重复计数。

二体末态在母粒子静止系或总质心系中具有固定动量大小

只有 $M\ge m_1+m_2$ 时动量为实数，过程在运动学上开放。阈值条件满足并不保证振幅非零；守恒量、选择定则或干涉还可能禁止过程。

例 3：常振幅二体衰变率与相同粒子因子

质量 $M$ 的无自旋粒子静止衰变为两个可区分粒子，若 $\mathcal M$ 与角度无关，积分二体相空间得到

$$\Gamma=\frac{|\boldsymbol p_*|}{8\pi M^2}|\mathcal M|^2.$$

若两个末态粒子完全相同，还要乘 $1/2!$。当 $M\to m_1+m_2$ 时，$|\boldsymbol p_*|\to0$，相空间压缩使衰变率趋零，即使 $\mathcal M$ 保持有限。若末态有自旋，应先求和；若初态有简并且实验未指定，衰变宽度是否平均要按定义说明。

从振幅到散射截面

二粒子入射的 Lorentz 不变微分截面为

分母是入射通量因子。对质心系二到二过程，在本章外态归一下，

$s=(p_1+p_2)^2$，横线表示对未观测末态自旋求和，并对无偏振初态自旋或极化平均。若束流具有指定极化就不应平均。末态相同粒子还需按积分区域或阶乘避免重复计数。

例 4：树级常振幅的能量标度

对高于阈值的相同质量标量散射，树级 $\phi^4$ 振幅满足 $|\mathcal M|^2=\lambda^2$。若暂把末态按可区分标签积分，质心系弹性过程 $|\boldsymbol p_f|=|\boldsymbol p_i|$，所以

$$\frac{\mathrm d\sigma}{\mathrm d\Omega} =\frac{\lambda^2}{64\pi^2s}.$$

真正相同末态需除以二或只积分不重复的半个角域。结果显示四维无量纲耦合下截面按 $1/s$ 缩放。该式只含树级接触图；接近强耦合、阈值束缚或回路修正显著时不能视为精确预测。

微扰阶数、树图和回路

若每个 $\phi^4$ 顶点贡献一次 $\lambda$，一个顶点的二到二振幅为 $O(\lambda)$，其领先截面为 $O(\lambda^2)$。两个顶点的一回路振幅为 $O(\lambda^2)$；与树振幅干涉后对截面的修正从 $O(\lambda^3)$ 开始，而回路振幅自身平方是更高阶 $O(\lambda^4)$。说“算到一回路”时要区分振幅阶数和概率阶数。

图的回路数可由连通图关系

计算，$I$ 是内部线数，$V$ 是顶点数。每个独立回路引入未被顶点 delta 固定的四动量积分。紫外大动量可能发散，红外软或共线区域也可能产生奇异；两类问题物理来源不同。

例 5：树图与一回路如何进入截面

设

$$\mathcal M=\lambda\mathcal M_0 +\lambda^2\mathcal M_1+O(\lambda^3).$$

则

$$|\mathcal M|^2 =\lambda^2|\mathcal M_0|^2 +2\lambda^3\operatorname{Re}(\mathcal M_0^*\mathcal M_1) +O(\lambda^4).$$

因此要把领先截面修正到相对 $O(\lambda)$，需要树与一回路干涉项，而不是只把一回路图绝对值平方。若回路具有虚部，干涉还携带相位信息。

正则化与重整化只作导论

回路积分先用维数正则化、动量截断或其他方案定义。正则化只是让中间表达可操作；重整化再把裸质量、裸耦合和场归一改写为在指定尺度与方案下定义的参数，并以反项吸收发散。最终可观测量在给定微扰阶数仍会有残余重整化尺度依赖，可用来估计遗漏高阶但不是严格误差界。

不同方案中的耦合数值可以不同，只有把参数匹配与振幅计算放在同一方案、同一尺度下，可观测预测才可比较。运行耦合描述参数随尺度变化，不能把某尺度测得的常数无条件代入相差巨大的能标。

微扰展开常是渐近级数。小耦合之外还要避免大对数、阈值增强和强红外效应；必要时需重求和、有效场论、格点或其他非微扰方法。回路图更多不自动保证结果更准，必须有一致幂次计数和参数控制。

从图到可观测量的核对表

先确认过程满足四动量和内部量子数守恒；再列出同阶所有图，不能挑一张“看起来最像”的图。计算后检查 Lorentz 结构、质量量纲、交换对称性和规范参数消去。平方振幅时保留图间干涉，正确处理复共轭、自旋求和、初态平均和相同粒子。最后执行相空间积分并注明切选条件，因为实验截面通常依赖接受区和观测定义。

Feynman 图描绘粒子的真实微观路线

图编码微扰积分项；内部线可离壳，顶点位置被积分，单图通常不是可观测事件历史。

截面就是振幅绝对值平方

还需要入射通量、Lorentz 不变相空间、delta 函数、对称因子及自旋极化处理。

加入任意一个回路就得到更精确结果

必须包含该阶全部图、反项和一致参数方案，并检查耦合与大对数是否允许微扰排序。

练习

练习 1：Dyson 二阶标记完成

所属知识

时间排序

难度

3/5

从迭代积分推导 Dyson 二阶的 $1/2!$。

查看提示

把有序三角积分扩展为完整方形，并由 T 区分两个区域。

查看解答

完整方形含两个时间次序，故乘 1/2!；T 把较晚 Hamiltonian 放左。若 $H_I$ 不同时对易，不能删除 T。

练习 2：树级图规则标记完成

所属知识

φ⁴ 理论

难度

3/5

写出实标量 $\phi^4$ 二到二树级振幅结构。

查看提示

一个四点顶点给 $-i\lambda$，时空积分给总动量 delta。

查看解答

连通矩阵元为 $-i\lambda(2\pi)^4\delta^{(4)}(P_f-P_i)$，按本章 $i\mathcal M$ 定义有 $\mathcal M=-\lambda$；相同末态在截面中另处理重复计数。

练习 3：二体阈值标记完成

所属知识

相空间

难度

3/5

推导静止母粒子二体衰变的阈值条件。

查看提示

使用 Källén 函数并要求平方根非负。

查看解答

$|p_*|=\sqrt{\lambda_K(M^{2},m_{1}^{2},m_{2}^{2})}/(2M)$，只有 $M\ge m_{1}+m_{2}$ 时开放；阈值处相空间趋零。

练习 4：自旋平均标记完成

所属知识

截面

难度

2/5

说明横线 $\overline{|\mathcal M|^2}$ 的含义。

查看提示

末态未观测自由度求和，初态无偏振混合按态数平均。

查看解答

计算 $\sum_{\mathrm{final}}|\mathcal M|^2$，再除以初态自旋或极化态数；若束流极化已指定则不平均。

练习 5：回路阶数标记完成

所属知识

幂次计数

难度

3/5

区分 $\phi^4$ 一回路振幅和它对截面的领先修正阶数。

查看提示

先展开 $\mathcal M$，再展开 $\mathcal M^*\mathcal M$。

查看解答

树 $O(\lambda)$、一回路 $O(\lambda^{2})$ 时，领先截面 $O(\lambda^{2})$，树回路干涉 $O(\lambda^{3})$，回路平方 $O(\lambda^{4})$。

练习 6：完整预测清单标记完成

所属知识

适用边界

难度

4/5

列出把一组图转成可比较截面的必要步骤。

查看提示

从 Lagrange 密度、外态和阶数开始，直到相空间与方案。

查看解答

需固定约定与参数尺度，列齐同阶图，含对称和费米符号，正则化并重整化，求和平均自旋，乘通量和相空间，注明切选与理论截断误差。

关系与资源

• 自由场量子化与粒子解释 提供外部 Fock 态和自由传播子。
• 微扰、变分与量子力学综合复习 提供时间演化与微扰级数基础。
• 概率论综合复习 支持振幅、概率率与条件求和的区分。
• 规范对称性与标准模型结构 将给出规范粒子的顶点、极化和群因子。
• 粒子物理与场论导论综合复习 连接散射、有效理论和实验可观测量。

课程 · 2023

Relativistic Quantum Field Theory I

Hong Liu

用于核对 P12 的场作用量、相对论场方程、自由场量子化、相互作用展开、散射规则和规范不变性。

打开官方来源

课程 · 2020

Introduction to Nuclear and Particle Physics

Markus Klute

用于核对 P12 标准模型概述、散射可观测量、量子数与守恒律，并保持理论陈述与实验建立范围一致。

打开官方来源

MIT OpenCourseWare 8.323 可用于核对 Dyson、Wick、传播子、图规则和回路结构，8.701 连接振幅、粒子量子数与实验截面。本文只给可追溯的符号推导和示例参数，不填造具体过程的精确测量值。