Newton 定律、受力分析与约束

本章路线

运动学能从轨迹得到加速度，却不说明加速度为何出现。动力学的核心任务是：选定研究对象和参考系，识别环境对它的相互作用，把这些力相加，再求出运动。最常见的错误往往发生在列方程之前——研究对象悄悄改变、自由体图混入别的物体所受的力、支持力被预设成重力大小，或圆周运动被额外添加一支“向心力”。

本章默认在相对地面静止或匀速平移的惯性系中分析，采用 SI 单位。质量单位为千克，力的单位为牛顿，

近地面重力加速度取 $\boldsymbol g$ 竖直向下，大小 $g=9.81\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。每道二维题都先声明坐标轴；斜面题通常取沿斜面和垂直斜面的轴，以减少无意义的分量混合。

第一定律：惯性不是“没有力”的同义词

惯性参考系

若一个不受合外力的质点在某参考系中保持静止或做匀速直线运动，则该参考系称为惯性参考系。相对一个惯性系做恒定速度平移且不转动的参考系也是惯性系。

Newton 第一定律既描述自由质点，也界定第二定律可直接采用的参考系。它说的是合力为零时速度矢量不变，不是“物体运动就必有沿速度方向的力”。冰面上滑块可以向东匀速，而竖直向下的重力与向上的支持力正好抵消；它并非完全不受力。

加速或转动的参考系不是惯性系。若在突然加速的公交车内直接写 $\sum\boldsymbol F=m\boldsymbol a$，必须明确 $\boldsymbol a$ 是相对哪个系测得；若坚持使用车内非惯性坐标，还需加入与参考系加速度有关的惯性力。普通近地面实验常把地面系近似为惯性系，这忽略地球自转效应；在长程弹道、气象或高精度摆实验中，该近似未必足够。

第二定律：合力决定动量变化率

Newton 第二定律

在惯性参考系中，质点所受合外力等于其动量对时间的变化率：

$$\sum\boldsymbol F_{\mathrm{ext}}= \frac{\mathrm d\boldsymbol p}{\mathrm dt}.$$

当研究对象质量 $m$ 恒定且速度远低于光速时，$\boldsymbol p=m\boldsymbol v$，于是

$$\sum\boldsymbol F_{\mathrm{ext}}=m\boldsymbol a.$$

这是一个矢量方程；在直角坐标系中等价于每个分量分别满足 $\sum F_x=ma_x$、$\sum F_y=ma_y$。

写成分量前先确定正方向。方程中的负号只表示力或加速度分量朝负轴，不表示“负质量”或“力的大小为负”。合力是同一物体所受全部外力的矢量和，不是任意挑一支最显眼的力。

质量可变化的系统需要谨慎界定系统边界。对火箭等有质量穿越边界的系统，直接把瞬时质量代入 $\sum\boldsymbol F=m\boldsymbol a$ 会漏掉动量通量；应从完整系统的动量收支推导。高速接近光速、微观量子态或强引力时空中的运动也超出本章经典质点模型。

第三定律：成对的是相互作用，不是同一图中的抵消

Newton 第三定律

若物体 A 对物体 B 的相互作用力为 $\boldsymbol F_{A\to B}$，则在经典瞬时相互作用模型中

$$\boldsymbol F_{A\to B}=-\boldsymbol F_{B\to A}.$$

两力大小相等、方向相反、属于同一次相互作用，但分别作用在 B 与 A 上。

书放在桌上时，书所受重力是地球对书的力，它的第三定律伙伴是书对地球的引力；书所受支持力是桌面对书的力，它的伙伴是书对桌面的压力。书的重力与支持力在静止时数值可能相等，却不是第三定律对，因为它们都作用在书上。只有先把两个物体合并为系统，内部作用反作用力才会在系统总动量方程中成对抵消。

“相等反向”也不等于运动效果相同。卡车与小车碰撞时相互作用力大小相等，但因质量不同，加速度大小可以不同。力的作用对象是判断第三定律对最可靠的标签。

自由体图：把相互作用变成方程

自由体图只画所选研究对象，并用箭头表示外界对它的力。一个可重复的流程是：

1. 写出研究对象或系统边界，例如“斜面上的木块”，不要只写“物体”。
2. 选惯性参考系与坐标轴，标明正方向和单位。
3. 枚举与对象直接相互作用的外界：地球、接触面、绳、弹簧或流体。
4. 对每个相互作用画一支力并写清施力者；不要把速度、加速度、$ma$ 或“向心力”画成额外作用。
5. 将力投影到坐标轴，写 $\sum F_i=ma_i$。
6. 另写约束方程，再联立求未知量；最后检查接触、绳张紧和摩擦状态假设是否自洽。

同一题可选择单个物体，也可把多个物体合成系统。单体图保留内部连接力，便于求张力或支持力；整体图让内部力消去，便于先求共同加速度。两种选择都正确，但不能在一条方程中途更换边界。

常见力及其适用模型

重力与支持力

在近地面均匀重力近似下，质量为 $m$ 的质点受重力

方向竖直向下，大小单位为牛顿。支持力 $\boldsymbol N$ 是接触面阻止相互穿透的法向力，方向垂直于局部接触面。$N$ 的大小由法向运动约束和其他力共同决定，并不普遍等于 $mg$。升降机加速、斜面或额外竖直拉力都会改变 $N$。

绳张力与弹簧力

理想绳模型假设绳质量可忽略、不可伸长，且滑轮无摩擦、质量可忽略。在同一根连续理想绳上，张力大小可视为相同，绳长约束使连接物体的加速度分量相关。真实粗绳、有质量滑轮或绳的弹性都会破坏这一简化。

一维理想弹簧在小形变范围遵循 Hooke 模型

其中 $x$ 是相对自然长度的有向形变量，$k$ 的 SI 单位为 $\mathrm{N\,m^{-1}}$。负号表示弹力倾向恢复到平衡位置，不表示力的大小为负。

静摩擦与动摩擦

库仑摩擦的简化模型写成

静摩擦力会在上限内取维持无相对滑动所需的值，不是一开始就等于 $\mu_sN$。只有处于临界滑动时才有 $f_s=\mu_sN$。动摩擦方向反对接触面的相对滑动，大小近似为 $\mu_kN$；$\mu_s,\mu_k$ 为无量纲经验参数，其数值依赖材料、表面状态和速度范围。该模型不覆盖黏着、滚动阻力、流体润滑或高速摩擦的全部行为。

例题一：有动摩擦的斜面

例 1：沿斜面与法向分解合力

质量 $m=5.00\,\mathrm{kg}$ 的木块沿倾角 $30.0^\circ$ 的固定斜面向下滑，动摩擦系数 $\mu_k=0.200$。取沿斜面向下为 $+s$，垂直斜面向外为 $+n$。木块受重力、支持力和沿斜面向上的动摩擦力。

法向无加速度，故

$$\sum F_n=N-mg\cos30.0^\circ=0,$$

得到 $N=(5.00)(9.81)\cos30.0^\circ=42.5\,\mathrm N$。动摩擦大小为

$$f_k=\mu_kN=(0.200)(42.5)=8.50\,\mathrm N.$$

沿斜面方向：

$$mg\sin30.0^\circ-f_k=ma_s,$$

所以

$$a_s=g(\sin30.0^\circ-\mu_k\cos30.0^\circ) =3.21\,\mathrm{m\,s^{-2}}.$$

结果为正，说明加速度沿斜面向下。若木块当时正向上滑，动摩擦应改为沿斜面向下；摩擦方向由相对滑动而非坐标正方向决定。

例题二：理想绳连接的两个物体

例 2：先求系统加速度，再求张力

$m_1=3.00\,\mathrm{kg}$ 的滑块位于无摩擦水平桌面，经质量可忽略的绳和理想滑轮连接到悬挂物 $m_2=2.00\,\mathrm{kg}$。取 $m_1$ 向右、$m_2$ 向下为各自正方向。不可伸长绳使两物体加速度大小相同，记为 $a$。

分别画自由体图并列式：

$$T=m_1a, \qquad m_2g-T=m_2a.$$

相加消去内部张力：

$$a=\frac{m_2g}{m_1+m_2} =\frac{(2.00)(9.81)}{5.00} =3.92\,\mathrm{m\,s^{-2}}.$$

再代回得到

$$T=m_1a=(3.00)(3.92)=11.8\,\mathrm N.$$

$T$ 小于 $m_2g=19.6\,\mathrm N$，与悬挂物向下加速一致。若把整个“两物体加绳”视为系统，张力是内部力，能直接得到 $a$；但要得到张力，仍需回到任一单体方程。

圆周运动中的“向心”是合力方向

质点沿半径 $R$ 的圆弧以速率 $v$ 运动时，法向加速度为 $v^2/R$，指向曲率中心。因此真实力沿内法向的分量和必须满足

“向心力”不是继重力、支持力、张力之后的第四种相互作用，而是指合力的内法向分量。它可能由绳张力、摩擦、重力、支持力或它们的组合提供。若把这些真实力画完后又画一支 $mv^2/R$，就把运动方程右边的结果误画成了额外的力。

例 3：平坦弯道由静摩擦提供向心力

质量任意的汽车在半径 $R=50.0\,\mathrm m$ 的水平圆弯上行驶，轮胎与路面的静摩擦系数为 $\mu_s=0.600$。竖直方向无加速度，故 $N=mg$。水平方向只有指向圆心的静摩擦能提供法向合力。临界不打滑条件为

$$m\frac{v_{\max}^2}{R}=f_{s,\max}=\mu_smg.$$

质量消去，得到

$$v_{\max}=\sqrt{\mu_sgR} =\sqrt{(0.600)(9.81)(50.0)} =17.2\,\mathrm{m\,s^{-1}}.$$

这约为 $61.8\,\mathrm{km\,h^{-1}}$。当实际速度低于此值时，静摩擦只取所需的 $mv^2/R$，并不等于上限；超过此值后，简化模型预测轮胎无法维持该半径的无侧滑圆周运动。

支持力、表观重量与加速约束

“体重秤读数”通常是秤面对人的支持力，不是重力本身。质量 $m=60.0\,\mathrm{kg}$ 的人站在升降机中，取向上为正。若升降机以 $1.50\,\mathrm{m\,s^{-2}}$ 向上加速，

故 $N=m(g+a)=679\,\mathrm N$。若升降机向下加速且大小仍为 $1.50\,\mathrm{m\,s^{-2}}$，则 $a=-1.50\,\mathrm{m\,s^{-2}}$，读数变为 $N=m(g-1.50)=499\,\mathrm N$。即使升降机正向上运动，只要它向下加速，读数也会小于 $mg$；运动方向与加速度方向必须分开。

若理想自由落体使升降机和人都以 $\boldsymbol g$ 加速，方程给 $N=0$，称为失重。人的重力仍存在，消失的是接触支持力。真实电梯安全系统不会把这种理想情形作为日常运行状态。

适用边界与模型审查

Newton 质点力学在宏观、低速、弱引力且可近似惯性参考系的范围内极其有效，但每一种力模型还有自己的边界：

• $\boldsymbol W=m\boldsymbol g$ 假设研究区域内 $\boldsymbol g$ 近似均匀；轨道问题要使用随位置变化的万有引力。
• 理想支持力只阻止法向穿透；真实接触还可能形变、黏着、振动或产生有限接触时间。
• 理想绳与滑轮忽略质量、伸长、轴摩擦和转动惯量；若这些量不可忽略，各段张力可能不同。
• 库仑摩擦是经验近似；摩擦系数不是材料名称一给出就精确固定的常数。
• $\sum\boldsymbol F=m\boldsymbol a$ 的恒质量形式不应直接套给开放质量系统；非惯性系、高速相对论和量子尺度需要扩展理论。

模型边界不是附加免责声明，而是方程成立条件的一部分。高质量解答应在列式前写出近似，在得数后检查近似是否仍自洽。

常见误区

常见误区

“物体向右运动，所以合力向右。”合力决定加速度，不由瞬时速度决定；向右运动的物体可以因向左合力而减速。

常见误区

“支持力总等于 $mg$。”只有特定法向加速度和其他法向力条件下二者才相等；斜面、升降机和额外拉力都会改变支持力。

常见误区

“静摩擦一定是 $\mu_sN$。”静摩擦在零到最大值之间自适应；只有临界滑动时才达到上限。

常见误区

“第三定律两力抵消，所以物体不会加速。”第三定律两力作用在不同物体上，不能在单个物体的自由体图中互相抵消。

探索实验：斜面加速度与动摩擦系数

准备可调倾角斜面、木块、量角工具和能记录时间的位置传感器或视频。固定向下沿斜面为 $+s$，测出倾角 $\theta$。让木块从不同初速度开始向下滑，记录 $s(t)$，用恒加速度拟合

若库仑动摩擦模型适用，受力方程预测

至少选择三个倾角，每个倾角重复三次。报告 $\theta$、拟合得到的 $a$（单位 $\mathrm{m\,s^{-2}}$）及反算的 $\mu_k$。若不同初速度或不同倾角给出明显不同的 $\mu_k$，先检查斜面不平、角度误差、木块姿态和摩擦速度依赖，而不是把平均值包装成精确常数。

作为静摩擦对照，可缓慢增大倾角直到木块刚开始滑动。临界条件给 $\mu_s\approx\tan\theta_c$，但启动判断有滞后和振动敏感性，应多次测量。实验必须区分“刚要滑动”的静摩擦上限与“已经滑动”的动摩擦，不能用同一个符号混合两段数据。

练习

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所属知识

合力与单位

难度

1/5

质量 $m=4.00\,\mathrm{kg}$ 的小车在水平无摩擦轨道上受到向东 $18.0\,\mathrm N$ 和向西 $6.0\,\mathrm N$ 的力。取向东为正，求合力和加速度。

查看提示

先把两个力写成带正负号的 x 分量，再除以质量。

查看解答

$\sum F_x=18.0-6.0=12.0\,\mathrm N$，因此 $a_x=12.0/4.00=3.00\,\mathrm{m\,s^{-2}}$，方向向东。单位核对为 $\mathrm N/\mathrm{kg}=\mathrm{m\,s^{-2}}$。

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所属知识

支持力

难度

2/5

质量 $70.0\,\mathrm{kg}$ 的人站在升降机秤上。升降机正向上运动，但以 $2.00\,\mathrm{m\,s^{-2}}$ 的加速度大小减速。求秤的读数。

查看提示

取向上为正，秤读数是 N；减速上升意味着加速度向下。

查看解答

向上为正时 $a=-2.00\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。由 $N-mg=ma$ 得 $N=m(g+a)=70.0(9.81-2.00)=547\,\mathrm N$。读数小于 $mg=687\,\mathrm N$；速度向上不改变加速度向下的事实。

练习标记完成

所属知识

静摩擦

难度

2/5

质量 $m=8.00\,\mathrm{kg}$ 的木块静置在倾角 $20.0^\circ$ 的斜面上，$\mu_s=0.400$。判断它能否保持静止，并求实际静摩擦力大小与方向。

查看提示

先计算维持静止所需的 $mg \sin\theta$，再与 $\mu_s N$ 比较；不要一开始令二者相等。

查看解答

法向力 $N=mg\cos20.0^\circ=73.7\,\mathrm N$，最大静摩擦为 $\mu_sN=29.5\,\mathrm N$。维持静止所需摩擦为 $mg\sin20.0^\circ=26.8\,\mathrm N$，小于上限，所以能静止。实际静摩擦大小为 $26.8\,\mathrm N$，方向沿斜面向上，不是 $29.5\,\mathrm N$。

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所属知识

Atwood 系统

难度

3/5

理想滑轮两侧悬挂 $m_1=4.00\,\mathrm{kg}$ 与 $m_2=6.00\,\mathrm{kg}$。求系统加速度大小、方向和绳张力。

查看提示

对较重物取向下为正、较轻物取向上为正，两物体因绳长约束具有同一加速度大小。

查看解答

较重的 $m_2$ 向下。列式 $m_2g-T=m_2a$、$T-m_1g=m_1a$，相加得 $a=(m_2-m_1)g/(m_1+m_2)=1.96\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。张力 $T=m_1(g+a)=4.00(9.81+1.96)=47.1\,\mathrm N$。该值介于 $m_1g$ 与 $m_2g$ 之间，方向检查一致。

练习标记完成

所属知识

斜向拉力与动摩擦

难度

3/5

质量 $10.0\,\mathrm{kg}$ 的箱子在水平地面上被大小 $50.0\,\mathrm N$、相对水平向上 $30.0^\circ$ 的力拉动，动摩擦系数 $\mu_k=0.200$。求支持力、动摩擦力和水平加速度。

查看提示

拉力的向上分量会减小 N，再用 $f_k=\mu_k N$；水平分量才直接拉动物块。

查看解答

竖直无加速度，故 $N=mg-F\sin30.0^\circ=98.1-25.0=73.1\,\mathrm N$。动摩擦力为 $f_k=0.200(73.1)=14.6\,\mathrm N$，方向与滑动相反。水平合力为 $F\cos30.0^\circ-f_k=43.3-14.6=28.7\,\mathrm N$，所以加速度为 $2.87\,\mathrm{m\,s^{-2}}$，沿拉力的水平分量方向。

练习标记完成

所属知识

圆周运动

难度

3/5

汽车以 $14.0\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 通过半径 $35.0\,\mathrm m$ 的水平圆弯。求避免侧滑所需的最小静摩擦系数，并说明质量为何不影响结果。

查看提示

平坦弯道的内向力来自静摩擦；令所需 $mv^{2}/R$ 不超过 $\mu_s mg$。

查看解答

所需内向力为 $mv^2/R$，最大静摩擦为 $\mu_smg$。临界条件给

$$\mu_{s,\min}=\frac{v^2}{gR} =\frac{(14.0)^2}{(9.81)(35.0)}=0.571.$$

两边都正比于质量 $m$，因此在这一平路、库仑摩擦和质点模型中质量消去。质量消去不表示轮胎、载荷分布和路面状态在真实车辆中都无关。

关系、资源与后续学习

• 质点运动学与参考系 提供位置、速度、加速度和参考系语言，本章用合力解释加速度。
• 向量 支撑自由体图中的力分解与矢量求和。
• 物理量、量纲与单位制 用于核对牛顿、质量和加速度的单位关系。
• 功、势能与机械能守恒 将力沿路径积累，得到不显式追踪时间的能量方法。
• 动量、冲量与碰撞 从第二定律的动量形式处理短时大力与多物体系统。
• 刚体转动、角动量与转动惯量 把受力分析推广到力矩与转动约束。

课程 · 2016

Classical Mechanics

Deepto Chakrabarty, Peter Dourmashkin, Michelle Tomasik, Anna Frebel, Vladan Vuletic

用于核对 P01 的受力模型、守恒定律、参考系约定、转动公式、完整例题和练习。

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MIT OpenCourseWare 8.01SC《Classical Mechanics》覆盖 Newton 定律、自由体图、摩擦、张力、圆周运动和连接体问题。本章使用该资源统一经典质点模型与约束求解口径；资源卡提供可追溯课程入口，具体方程、假设与数值均在正文中独立写出。

下一步进入 功、势能与机械能守恒，把随路径变化的力转化为能量收支；再学习 动量、冲量与碰撞，理解系统边界与内力抵消。处理有限尺寸物体时继续到 刚体转动、角动量与转动惯量，届时自由体图还要配合力矩方程。