P06 · 第 4 章 · 第二编量子统计

Bose–Einstein 与 Fermi–Dirac 统计

从单能级允许占据数推导 Bose–Einstein 与 Fermi–Dirac 分布，比较经典极限、模涨落、玻色凝聚和费米能，并明确化学势、态密度、简并条件与非相互作用近似。

难度 5/5约 190 分钟最近修订 2026-07-14

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预备知识巨正则系综与化学势数列与级数概率模型综合复习

本章目标

从玻色子任意占据与费米子零一占据约束推导单模巨配分函数。
计算 Bose–Einstein、Fermi–Dirac 和 Maxwell–Boltzmann 平均占据。
说明玻色化学势的收敛约束及费米化学势的低温极限。
由态密度把离散能级求和转化为粒子数和能量积分。
推导理想均匀玻色气体的临界条件与凝聚分数。
计算三维自旋二分之一费米气体的 Fermi 能、温度和零温压强。

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全同粒子与占据数约束

考虑彼此不相互作用或可由独立准粒子近似描述的量子气体。单粒子能级记为 $\epsilon_i$ ，单位焦耳或电子伏特每粒子；能级占据数为 $n_i$ 。总粒子数与能量为

N=\sum_i n_i, \qquad E=\sum_i n_i\epsilon_i.

玻色子的多体态在交换两个全同粒子时对称，同一单粒子态允许 $n_i=0,1,2,\ldots$ 。费米子的多体态反对称，同一完整单粒子态只允许 $n_i=0$ 或 $1$ 。这里“完整态”包括空间、动量和自旋标签；同一空间轨道可以容纳不同自旋态，不能忽略简并度后再宣称违反 Pauli 原理。

系统与温度 $T>0\,\mathrm K$ 、化学势 $\mu$ 的粒子热库平衡。定义 $\beta=1/(k_BT)$ ，单位 $\mathrm{J^{-1}}$ ，以及单模权重

x_i=e^{-\beta(\epsilon_i-\mu)}.

$\epsilon_i-\mu$ 必须使用相同的每粒子能量单位，使指数无量纲。

从单模巨配分函数推导两种分布

玻色单模允许任意非负整数占据：

\Xi_i^{(B)} =\sum_{n=0}^{\infty}x_i^n =\frac1{1-x_i}, \qquad x_i<1.

收敛条件要求 $\mu<\epsilon_i$ 。对所有能级同时成立，必须有 $\mu\le\epsilon_0$ ，其中 $\epsilon_0$ 是最低能量；有限正常相中通常严格小于，凝聚极限从下方趋近。

费米单模只有空和满：

\Xi_i^{(F)}=1+x_i.

由 $\bar n_i=x_i\partial\ln\Xi_i/\partial x_i$ ，得到

\bar n_i^{(B)} =\frac1{e^{\beta(\epsilon_i-\mu)}-1}, \qquad \bar n_i^{(F)} =\frac1{e^{\beta(\epsilon_i-\mu)}+1}.

两式分母的负一或正一直接来自允许占据数，而不是经验拟合。费米平均占据始终在零与一之间；玻色平均占据可远大于一。

总巨配分函数因独立能级而分解：

\ln\Xi_B=-\sum_i\ln(1-x_i), \qquad \ln\Xi_F=\sum_i\ln(1+x_i).

若粒子之间有强相互作用，使能量不能写成 $\sum_i n_i\epsilon_i$ ，这一逐模乘积分解通常失效。平均场或准粒子理论若重新得到有效独立模，必须说明有效能谱和适用温度区间。

单模占据的完整概率分布

平均占据之外，巨正则权重还给出单模每个允许 $n$ 的概率。玻色模为

P_B(n)=(1-x)x^n, \qquad n=0,1,2,\ldots,

其中 $0\le x<1$ 。归一化来自 $(1-x)\sum_{n=0}^{\infty}x^n=1$ 。对级数求导得到

\sum_{n=0}^{\infty}nx^n =\frac{x}{(1-x)^2},

所以 $\bar n=x/(1-x)$ ，等价于 Bose–Einstein 公式。

费米模只有

P_F(0)=\frac1{1+x}, \qquad P_F(1)=\frac{x}{1+x}.

因此 $\bar n=P_F(1)=x/(1+x)$ 。单次占据仍是允许集合中的整数，平均值连续只是重复测量的概率加权。若计算给玻色模负概率，通常是 $x\ge1$ 破坏收敛；若给费米单态 $n=2$ ，则状态标签或 Pauli 约束写错。

例 1：同一能量间隔下三种占据

设 $\epsilon-\mu=2k_BT$ 。则

\bar n_B=\frac1{e^2-1}=0.1565, \qquad \bar n_F=\frac1{e^2+1}=0.1192.

经典 Maxwell–Boltzmann 近似给 $\bar n_{\rm MB}=e^{-2}=0.1353$ 。此处权重 $x=e^{-2}=0.135$ 还不极小，三者已有可见差别。玻色占据较大、费米占据较小，反映聚集与排斥的统计约束，而非粒子间额外经典力。

经典稀薄极限

当所有相关能级都满足

x_i=e^{-\beta(\epsilon_i-\mu)}\ll1,

分母中的 $\pm1$ 相对指数项可忽略，两种分布都趋于

\bar n_i\approx e^{-\beta(\epsilon_i-\mu)}.

这就是 Maxwell–Boltzmann 极限。对三维平动气体，常用简并参数 $n\lambda_T^3/g_s\ll1$ 判断，其中 $n$ 的单位 $\mathrm{m^{-3}}$ ， $\lambda_T=h/\sqrt{2\pi mk_BT}$ 的单位米， $g_s$ 是无量纲内部简并度。

“高温”不是绝对判断；降低密度或增大粒子质量也能减小 $n\lambda_T^3$ 。电子即使在室温下也可能高度简并，而稀薄原子蒸气可在更低温仍接近经典。

单模涨落：玻色增强与费米抑制

独立单模的占据方差为

\operatorname{Var}_B(n_i) =\bar n_i(1+\bar n_i), \qquad \operatorname{Var}_F(n_i) =\bar n_i(1-\bar n_i).

玻色子因允许多重占据，方差大于相同均值的 Poisson 值；费米子因 $n_i\le1$ ，方差被抑制。它们是平衡单模占据的统计结论；实际探测到的时空聚束或反聚束还依赖探测模式、相干性和相互作用，不能只凭一个方差公式解释所有实验。

例 2：接近玻色最低能级时的占据与涨落

若某玻色能级满足 $\epsilon-\mu=0.100\,k_BT$ ，则

\bar n_B=\frac1{e^{0.100}-1}=9.51.

方差 $9.51(1+9.51)=100.0$ ，标准差约 $10.0$ 。若误用经典公式，只得 $e^{-0.100}=0.905$ ，相差一个数量级。化学势再向能级靠近，占据迅速增大；一旦超过能级，几何级数发散。

连续态密度与三维自由粒子

大体积盒中动量能级间隔很小，可把求和近似为能量积分。三维非相对论自由粒子 $\epsilon=p^2/(2m)$ 的态密度为

g(\epsilon) =\frac{g_sV}{4\pi^2} \left(\frac{2m}{\hbar^2}\right)^{3/2} \sqrt{\epsilon},

单位为 $\mathrm{J^{-1}}$ ，因为 $g(\epsilon)\,\mathrm d\epsilon$ 是无量纲态数。平均粒子数和能量为

N=\int_0^\infty \frac{g(\epsilon)\,\mathrm d\epsilon} {e^{\beta(\epsilon-\mu)}\mp1},

U=\int_0^\infty \frac{\epsilon\,g(\epsilon)\,\mathrm d\epsilon} {e^{\beta(\epsilon-\mu)}\mp1},

上方负号用于玻色子，下方正号用于费米子。若存在单独的离散基态，玻色积分只计算激发态，基态占据 $N_0$ 要另加；把基态埋进连续积分会漏掉凝聚的宏观占据。

态密度形式依赖维度、色散关系、边界和内部简并。把三维 $\sqrt\epsilon$ 公式用于二维气体或光子会得到错误的低能行为。

自旋简并与“一个态”的含义

态密度中的 $g_s$ 计算同一空间动量对应的内部态数。对无外磁场、忽略自旋轨道耦合的电子， $g_s=2$ ，标签可取自旋向上和向下；每个 $(\boldsymbol k,\text{自旋})$ 完整态仍最多一个电子。若磁场以 Zeeman 能 $\Delta E$ 分裂两种自旋，二者不再等能，应分别写 $\epsilon_{\boldsymbol k,\uparrow}$ 与 $\epsilon_{\boldsymbol k,\downarrow}$ ，不能只乘常量二。

盒中允许波矢的密度还依赖边界条件。周期边界给每个 $\boldsymbol k$ 态占据 $(2\pi)^3/V$ 的波矢体积；硬壁边界的具体波函数不同，但大体积极限的主导体积态密度相同，表面修正相对变小。有限纳米结构中能级间隔不可忽略，应保留离散求和而非连续积分。

理想玻色气体与凝聚

取均匀三维、无相互作用、单组分玻色气体，并把最低能量设为 $\epsilon_0=0$ 。正常相要求 $\mu<0$ 。当 $\mu\to0^-$ 时，激发态最多容纳

N_{\rm ex,max} =\frac{V}{\lambda_T^3}\zeta(3/2), \qquad \zeta(3/2)\approx2.612.

若总粒子数更大，多出的粒子宏观占据基态。临界温度满足

n\lambda_{T_c}^3=\zeta(3/2),

即

T_c =\frac{2\pi\hbar^2}{mk_B} \left[\frac{n}{\zeta(3/2)}\right]^{2/3}.

单位核对： $\hbar^2/(mk_B)$ 的单位为 $\mathrm{K\,m^2}$ ，乘 $n^{2/3}$ 的 $\mathrm{m^{-2}}$ 得开尔文。理想均匀气体在 $T<T_c$ 时

\frac{N_0}{N} =1-\left(\frac T{T_c}\right)^{3/2}.

有限系统没有真正尖锐的热力学奇点；谐振子陷阱、相互作用和低维度会改变临界条件与指数，不能直接套用均匀三维公式。

均匀理想气体是否能在有限温度凝聚取决于低能态密度。在空间维数 $d$ 中，自由粒子态密度低能行为为 $g(\epsilon)\propto\epsilon^{d/2-1}$ 。激发粒子数在 $\epsilon\to0$ 的收敛性要求 $d>2$ ；均匀一维和二维理想无限气体在有限温度没有同样的普通凝聚。有限尺寸、外部陷阱或相互作用会改变结论，因此“所有玻色子降温都会按三维公式凝聚”是错误的。

例 3：凝聚分数随温度变化

理想均匀玻色气体温度为 $T=0.500T_c$ 。凝聚分数

\frac{N_0}{N} =1-(0.500)^{3/2} =0.646.

约 $64.6\%$ 粒子在基态， $35.4\%$ 在激发态。这是热力学极限中的理想气体结果；它不表示所有基态粒子位于同一空间点，而是占据同一延展单粒子态。

费米海、Fermi 能与简并压强

对自旋二分之一费米气体 $g_s=2$ 。在 $T=0$ 时，

\bar n_F(\epsilon) = \begin{cases} 1,&\epsilon<\epsilon_F,\\ 0,&\epsilon>\epsilon_F. \end{cases}

填满的动量球给

k_F=(3\pi^2n)^{1/3}, \qquad \epsilon_F=\frac{\hbar^2k_F^2}{2m}, \qquad T_F=\frac{\epsilon_F}{k_B}.

$k_F$ 单位 $\mathrm{m^{-1}}$ ， $\epsilon_F$ 单位焦耳， $T_F$ 单位开尔文。低温 $T\ll T_F$ 时，化学势接近 $\epsilon_F$ ，只有距离 Fermi 面约 $k_BT$ 的能级显著改变占据。绝大多数深层粒子被 Pauli 阻塞，热容由 Fermi 面附近少数激发决定。

零温平均能量 $U/N=3\epsilon_F/5$ ，压强

p=\frac25n\epsilon_F.

这个简并压强在 $T=0$ 仍非零，来自动量态填充，不是热碰撞压强。相互作用、能带有效质量和维度会改变定量结果。

Fermi 面的有限温度展宽

定义

f(\epsilon) =\frac1{e^{(\epsilon-\mu)/(k_BT)}+1}.

在 $\epsilon=\mu$ 处始终有 $f=1/2$ 。还满足粒子—空穴对称

f(\mu+\Delta)+f(\mu-\Delta)=1.

只有 $|\epsilon-\mu|$ 为数个 $k_BT$ 的能级占据显著偏离零温阶跃。低温输运和热容因而主要由 Fermi 面附近窗口决定，而不是由全部 $N$ 个电子等比例参与。

例 4：Fermi 面两侧的占据对称

取 $\epsilon_\pm=\mu\pm2k_BT$ 。则

f(\epsilon_+)=\frac1{e^2+1}=0.119, \qquad f(\epsilon_-)=\frac1{e^{-2}+1}=0.881.

两者之和为一。若 $T=300\,\mathrm K$ ，能量偏移大小为 $2k_BT=0.0517\,\mathrm{eV}$ 。该窗口远小于例 4 的 $7.05\,\mathrm{eV}$ Fermi 能，说明室温只平滑 Fermi 面附近很薄一层。

例 5：金属电子的 Fermi 尺度

取电子数密度 $n=8.50\times10^{28}\,\mathrm{m^{-3}}$ 、 $m=m_e=9.11\times10^{-31}\,\mathrm{kg}$ 。由

\epsilon_F =\frac{\hbar^2}{2m_e}(3\pi^2n)^{2/3} \approx7.05\,\mathrm{eV}.

对应 $T_F=\epsilon_F/k_B\approx8.18\times10^4\,\mathrm K$ ， Fermi 速度 $v_F=\sqrt{2\epsilon_F/m_e}\approx1.57\times10^6\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 。室温 $300\,\mathrm K\ll T_F$ ，所以电子高度简并，不能用经典 Maxwell–Boltzmann 分布描述全部占据。

零温结果也可从态密度积分核对：

N=\int_0^{\epsilon_F}g(\epsilon)\,\mathrm d\epsilon, \qquad U=\int_0^{\epsilon_F}\epsilon g(\epsilon)\,\mathrm d\epsilon =\frac35N\epsilon_F.

对非相对论自由粒子，动能的尺度齐次性再给 $pV=2U/3$ ，所以 $p=2n\epsilon_F/5$ 。若色散关系变为相对论形式或粒子位于晶格能带，齐次指数和压强关系都要改变。

不守恒粒子与化学势

若某类激发可由热平衡过程自由产生和湮灭，平衡时粒子数不独立守恒，相应化学势常为零。黑体腔中的光子是典型例子，

\bar n_\gamma(\epsilon) =\frac1{e^{\beta\epsilon}-1}.

这不是“所有玻色子化学势都等于零”。冷原子实验中原子数近似守恒，化学势由密度和相互作用决定；声子在晶格热平衡中常取零化学势。必须先识别守恒量和允许反应。

对粒子数守恒的气体，化学势不是额外任意参数。给定 $T,V,N$ 后，应解粒子数方程

N=\sum_i\bar n_i(T,\mu)

得到 $\mu$ 。费米气体低温解接近 $\epsilon_F$ ；正常玻色气体随温度降低而从负值靠近最低能级。若数值求解给玻色 $\mu>\epsilon_0$ ，应限制搜索区间并把凝聚基态单独处理，而不是接受发散占据。

量子气体的巨势与压强

逐模巨配分函数给

\Omega_B =k_BT\sum_i\ln(1-x_i), \qquad \Omega_F =-k_BT\sum_i\ln(1+x_i).

均匀热力学极限中 $p=-\Omega/V$ 。对三维非相对论理想气体，无论 Bose 或 Fermi 统计，动能色散 $\epsilon=p^2/(2m)$ 的尺度关系给

pV=\frac23U.

统计差异通过各能级占据改变 $U$ ，而比例来自色散的二次齐次性。相对论性无质量粒子满足线性色散，比例改为 $pV=U/3$ 。因此“理想气体总有 $pV=Nk_BT$ ”只在经典稀薄极限成立；量子简并区应从巨势或态密度积分求压强。

光子有两种横向偏振且平衡化学势为零。其每个角频率模的平均能量为

\bar E_\omega =\frac{\hbar\omega}{e^{\hbar\omega/(k_BT)}-1}.

这显示 Bose 分母如何产生黑体谱，但完整能量密度还需乘电磁模态密度再积分。公式中的 $\hbar\omega$ 单位为焦耳，零点能不计入热占据；若研究引力或边界力，零点项需要单独、受控地处理。

常见误区与适用边界

常见误区

“玻色子互相吸引，费米子互相排斥。”分布差异首先来自交换对称性和允许占据数，即使哈密顿量中没有两体力也存在。真实相互作用需另加模型。

常见误区

“Pauli 原理说一个空间位置只能有一个电子。”限制针对完整单粒子量子态。空间波函数相同而自旋不同的两个电子可占同一轨道。

常见误区

“出现大量基态粒子就自动证明真正相变。”有限系统会平滑交叉；维度、陷阱和相互作用决定是否存在热力学极限相变。必须说明系统模型和尺度。

低温不保证量子简并

若粒子密度同时极低，使 $n\lambda_T^3\ll1$ ，即使温度数值很低，平均态间距仍足以让占据稀疏，经典近似可以成立。判断应使用无量纲简并参数，而不是只看温度计读数。

数据探索：分布交叉到经典极限

取无量纲能量 $x=(\epsilon-\mu)/(k_BT)$ ，计算 $x=0.5,1,2,4,6$ 时的 $\bar n_B,\bar n_F,e^{-x}$ 。在 $x=0.5$ 处三者差异显著；到 $x=6$ ，共同接近 $2.48\times10^{-3}$ 。报告相对误差 $|\bar n-\bar n_{\rm MB}|/\bar n$ ，并说明采用何种分母。

第二组固定粒子密度，令 $T/T_c=0.2,0.4,0.6,0.8,1.0$ ，画理想均匀玻色气体凝聚分数。图中 $T>T_c$ 应取 $N_0/N=0$ ，不能把公式外推成负占据。所有能量统一为焦耳或电子伏特每粒子，温度用开尔文。

练习

所属知识: 单模配分函数
难度: 2/5

给定 $x=e^{-\beta(\epsilon-\mu)}=0.200$ ，求玻色和费米单模巨配分函数。

查看提示

玻色几何级数是 1/(1-x)，费米只有 n=0,1 两项。

查看解答

$\Xi_B=1/(1-0.200)=1.25$ ； $\Xi_F=1+0.200=1.20$ 。玻色级数因 $x<1$ 收敛。

练习

所属知识: 平均占据
难度: 3/5

若 $(\epsilon-\mu)/(k_BT)=1.50$ ，求两种平均占据。

查看提示

分别使用

1/(e^x-1)

与

1/(e^x+1)

，其中

x=(\epsilon-\mu)/(k_B T)

。

查看解答

$\bar n_B=1/(e^{1.50}-1)=0.287$ ； $\bar n_F=1/(e^{1.50}+1)=0.182$ 。

练习

所属知识: 模涨落
难度: 3/5

某玻色模平均占据 $2.00$ ，某费米模平均占据 $0.400$ 。分别求方差。

查看提示

玻色方差是

\bar{n}(1+\bar{n})

，费米方差是

\bar{n}(1-\bar{n})

。

查看解答

玻色方差 $2.00(3.00)=6.00$ ；费米方差 $0.400(0.600)=0.240$ 。

练习

所属知识: 凝聚分数
难度: 2/5

在 $T=0.800T_c$ 时求理想均匀玻色气体的凝聚分数。

查看提示

理想均匀三维气体用

1-(T/T_c)^{3/2}

。

查看解答

$N_0/N=1-(0.800)^{3/2}=0.284$ ，约 $28.4\%$ 。

练习

所属知识: Fermi 尺度
难度: 3/5

某费米系统 $\epsilon_F=5.00\,\mathrm{eV}$ 。求 $T_F$ ，并判断 $T=300\,\mathrm K$ 是否高度简并。

查看提示

先由给定

\epsilon_F

除以

k_B

；可用

k_B=8.617\times 10^-5\,\mathrm{eV}/K

。

查看解答

$T_F=5.00/(8.617\times10^{-5}) =5.80\times10^4\,\mathrm K$ 。 $300/T_F=5.17\times10^{-3}\ll1$ ，高度简并。

练习

所属知识: 经典极限
难度: 4/5

取 $x=0.0100$ 。求玻色、费米和经典平均占据，并给出量子结果相对经典值的偏差。

查看提示

当

x=e^{-\beta(\epsilon-\mu)}

很小时，比较

1/(x^{-1}\mp 1)

与 x。

查看解答

$\bar n_B=x/(1-x)=0.010101$ ， $\bar n_F=x/(1+x)=0.009901$ ， $\bar n_{\rm MB}=0.010000$ 。相对经典偏差分别约 $+1.01\%$ 与 $-0.990\%$ 。

关系、资源与后续学习

巨正则系综、化学势与粒子数涨落提供逐能级权重和化学势控制。
数列与级数给出玻色几何级数的收敛条件。
概率综合复习支持平均占据、方差和极限分布解释。
相变、序参量与临界现象将凝聚和其他集体现象放入热力学极限与尺度框架。
输运、涨落与统计物理综合复习会连接量子分布、输运窗口和涨落响应。

课程 · 2013

Statistical Mechanics I: Statistical Mechanics of Particles

Mehran Kardar

用于核对 P06 的系综推导、配分函数、涨落关系、量子占据分布和多粒子例题。

打开官方来源

MIT OpenCourseWare 8.333《Statistical Mechanics I》覆盖经典与量子理想气体、巨正则方法、Bose–Einstein 与 Fermi–Dirac 统计，可用于核对本章的系综约定并继续学习量子统计。

下一步学习相变、序参量与临界现象，区分理想气体凝聚计算与一般相变的普适描述。随后进入

输运、涨落与统计物理综合复习，把 Fermi 面附近激发、Bose 增强和宏观响应用于完整多粒子问题。