从平衡结构到谐性小振动
晶体结构给出原子的平衡位置，声子理论研究它们附近的集体小振动。令第 n n n u n ( t ) u_n(t) u n ( t )
考虑晶格常数 a a a M M M K K K M M M k g \mathrm{kg} kg K K K N m − 1 = k g s − 2 \mathrm{N\,m^{-1}=kg\,s^{-2}} N m − 1 = kg s − 2
M u ¨ n = K ( u n + 1 + u n − 1 − 2 u n ) . M\ddot u_n
=K(u_{n+1}+u_{n-1}-2u_n). M u ¨ n = K ( u n + 1 + u n − 1 − 2 u n ) . 右侧单位为牛顿。这里 a a a u n u_n u n
对应的经典谐性 Hamilton 量为
H = ∑ n = 0 N − 1 [ p n 2 2 M + K 2 ( u n + 1 − u n ) 2 ] , p n = M u ˙ n . H=\sum_{n=0}^{N-1}
\left[
\frac{p_n^2}{2M}
+\frac K2(u_{n+1}-u_n)^2
\right],
\qquad p_n=M\dot u_n. H = n = 0 ∑ N − 1 [ 2 M p n 2 + 2 K ( u n + 1 − u n ) 2 ] , p n = M u ˙ n . 每项单位为焦耳。周期链把 u N u_N u N u 0 u_0 u 0 N N N N − 1 N-1 N − 1 K > 0 K>0 K > 0 u n u_n u n
周期边界与独立波矢计数
取 N N N L = N a L=Na L = N a
u n + N = u n . u_{n+N}=u_n. u n + N = u n . 试探正规模
u n ( t ) = U e i ( q n a − ω t ) u_n(t)=Ue^{i(qna-\omega t)} u n ( t ) = U e i ( q na − ω t )
q = 2 π m N a , m ∈ Z . q=\frac{2\pi m}{Na},
\qquad m\in\mathbb Z. q = N a 2 πm , m ∈ Z . q q q m − 1 \mathrm{m^{-1}} m − 1 ω \omega ω r a d s − 1 \mathrm{rad\,s^{-1}} rad s − 1 2 π / a 2\pi/a 2 π / a q q q − π / a ≤ q < π / a -\pi/a\le q<\pi/a − π / a ≤ q < π / a N N N
复指数是计算基底，物理位移必须为实数，因此 Fourier 振幅满足
U − q = U q ∗ U_{-q}=U_q^* U − q = U q ∗ q q q − q -q − q q = 0 q=0 q = 0 N N N q = π / a q=\pi/a q = π / a N N N 2 N 2N 2 N
每原胞自由度与分支数
若三维原胞含 r r r 3 r 3r 3 r 3 r 3r 3 r q → 0 \boldsymbol q\to0 q → 0 3 r − 3 3r-3 3 r − 3 N c N_c N c 3 r N c 3rN_c 3 r N c
单原子链色散与长波极限
把平面波代入运动方程：
− M ω 2 U = K ( e i q a + e − i q a − 2 ) U . -M\omega^2U
=K(e^{iqa}+e^{-iqa}-2)U. − M ω 2 U = K ( e i q a + e − i q a − 2 ) U . 因此
ω ( q ) = 2 K M ∣ sin q a 2 ∣ . \boxed{
\omega(q)=2\sqrt{\frac KM}
\left|\sin\frac{qa}{2}\right|
}. ω ( q ) = 2 M K sin 2 q a . K / M K/M K / M s − 2 \mathrm{s^{-2}} s − 2 q q q 2 π / a 2\pi/a 2 π / a ω ( 0 ) = 0 \omega(0)=0 ω ( 0 ) = 0 ∣ q ∣ = π / a |q|=\pi/a ∣ q ∣ = π / a ω max = 2 K / M \omega_{\max}=2\sqrt{K/M} ω m a x = 2 K / M
群速度
v g = d ω d q v_g=\frac{\mathrm d\omega}{\mathrm dq} v g = d q d ω 单位为 m s − 1 \mathrm{m\,s^{-1}} m s − 1 ∣ q a ∣ ≪ 1 |qa|\ll1 ∣ q a ∣ ≪ 1
ω ≈ v s ∣ q ∣ , v s = a K M . \omega\approx v_s|q|,
\qquad
v_s=a\sqrt{\frac KM}. ω ≈ v s ∣ q ∣ , v s = a M K . v s v_s v s v g → 0 v_g\to0 v g → 0
例 1：单原子链的频率与声速
取 a = 0.300 n m a=0.300\,\mathrm{nm} a = 0.300 nm M = 4.00 × 10 − 26 k g M=4.00\times10^{-26}\,\mathrm{kg} M = 4.00 × 1 0 − 26 kg K = 20.0 N m − 1 K=20.0\,\mathrm{N\,m^{-1}} K = 20.0 N m − 1
K / M = 2.24 × 10 13 s − 1 , v s = a K / M = 6.71 × 10 3 m s − 1 . \sqrt{K/M}=2.24\times10^{13}\,\mathrm{s^{-1}},
\qquad
v_s=a\sqrt{K/M}=6.71\times10^3\,\mathrm{m\,s^{-1}}. K / M = 2.24 × 1 0 13 s − 1 , v s = a K / M = 6.71 × 1 0 3 m s − 1 . 区边界角频率为
4.47 × 10 13 r a d s − 1 4.47\times10^{13}\,\mathrm{rad\,s^{-1}} 4.47 × 1 0 13 rad s − 1 q = π / ( 2 a ) q=\pi/(2a) q = π / ( 2 a ) sin ( q a / 2 ) = sin ( π / 4 ) \sin(qa/2)=\sin(\pi/4) sin ( q a /2 ) = sin ( π /4 ) ω = 3.16 × 10 13 r a d s − 1 \omega=3.16\times10^{13}\,\mathrm{rad\,s^{-1}} ω = 3.16 × 1 0 13 rad s − 1 2 π 2\pi 2 π
双原子链：声学支与光学支
若每个原胞含交替质量 M 1 , M 2 M_1,M_2 M 1 , M 2 K K K a a a U , V U,V U , V
ω ± 2 ( q ) = K ( 1 M 1 + 1 M 2 ) ± K ( 1 M 1 + 1 M 2 ) 2 − 4 M 1 M 2 sin 2 q a 2 . \omega_\pm^2(q)
=K\left(\frac1{M_1}+\frac1{M_2}\right)
\pm K\sqrt{
\left(\frac1{M_1}+\frac1{M_2}\right)^2
-\frac{4}{M_1M_2}\sin^2\frac{qa}{2}
}. ω ± 2 ( q ) = K ( M 1 1 + M 2 1 ) ± K ( M 1 1 + M 2 1 ) 2 − M 1 M 2 4 sin 2 2 q a . 负号支在 q → 0 q\to0 q → 0 ω − → 0 \omega_-\to0 ω − → 0
ω + ( 0 ) = 2 K ( 1 M 1 + 1 M 2 ) , \omega_+(0)
=\sqrt{2K\left(\frac1{M_1}+\frac1{M_2}\right)}, ω + ( 0 ) = 2 K ( M 1 1 + M 2 1 ) , 两子晶格近反相，称光学支。名称描述区中心模式性质，不保证所有光学支都与光强耦合；红外或 Raman 活性还受电荷和对称选择定则控制。
双原子链的区边界也给出可检查的质量尺度。取
M 1 > M 2 M_1>M_2 M 1 > M 2 ∣ q ∣ = π / a |q|=\pi/a ∣ q ∣ = π / a
ω − 2 = 2 K M 1 , ω + 2 = 2 K M 2 . \omega_-^2=\frac{2K}{M_1},
\qquad
\omega_+^2=\frac{2K}{M_2}. ω − 2 = M 1 2 K , ω + 2 = M 2 2 K . 重原子主导较低频振动，轻原子主导较高频振动，两支之间通常出现频率间隔。对声学支作小 q q q
ω − 2 ≈ K a 2 2 ( M 1 + M 2 ) q 2 , v s = a K 2 ( M 1 + M 2 ) . \omega_-^2
\approx\frac{Ka^2}{2(M_1+M_2)}q^2,
\qquad
v_s=a\sqrt{\frac{K}{2(M_1+M_2)}}. ω − 2 ≈ 2 ( M 1 + M 2 ) K a 2 q 2 , v s = a 2 ( M 1 + M 2 ) K . 这里 a a a a / 2 a/2 a /2
例 2：三维双原子基元的分支计数
三维原胞有 r = 2 r=2 r = 2 q \boldsymbol q q N c = 10 6 N_c=10^6 N c = 1 0 6 6 N c = 6.0 × 10 6 6N_c=6.0\times10^6 6 N c = 6.0 × 1 0 6 2 N c 2N_c 2 N c
动力学矩阵与稳定性
三维多原子晶体可把质量加权位移写成向量，得到 Hermitian 动力学矩阵
D ( q ) D(\boldsymbol q) D ( q )
D ( q ) e q s = ω q s 2 e q s . D(\boldsymbol q)\boldsymbol e_{\boldsymbol q s}
=\omega_{\boldsymbol q s}^2
\boldsymbol e_{\boldsymbol q s}. D ( q ) e q s = ω q s 2 e q s . s s s e \boldsymbol e e ω 2 ≥ 0 \omega^2\ge0 ω 2 ≥ 0
正规模量子化与声子占据
谐晶体的每个独立正规模等价于一个量子谐振子。其能级
E n , q s = ℏ ω q s ( n + 1 2 ) , n = 0 , 1 , 2 , … E_{n,\boldsymbol q s}
=\hbar\omega_{\boldsymbol q s}
\left(n+\frac12\right),
\qquad n=0,1,2,\ldots E n , q s = ℏ ω q s ( n + 2 1 ) , n = 0 , 1 , 2 , … 单位为焦耳，因为
[ ℏ ] = J s [\hbar]=\mathrm{J\,s} [ ℏ ] = J s [ ω ] = s − 1 [\omega]=\mathrm{s^{-1}} [ ω ] = s − 1 ℏ ω \hbar\omega ℏ ω ℏ q \hbar\boldsymbol q ℏ q
热平衡平均占据服从 Bose–Einstein 分布：
n ˉ ( ω , T ) = 1 exp ( ℏ ω / k B T ) − 1 . \bar n(\omega,T)
=\frac1{\exp(\hbar\omega/k_BT)-1}. n ˉ ( ω , T ) = exp ( ℏ ω / k B T ) − 1 1 . 零点项 ℏ ω / 2 \hbar\omega/2 ℏ ω /2
单个模式的平均热能为
U ω = ℏ ω n ˉ U_\omega=\hbar\omega\bar n U ω = ℏ ω n ˉ
C ω = k B x 2 e x ( e x − 1 ) 2 , x = ℏ ω k B T . C_\omega
=k_B\frac{x^2e^x}{(e^x-1)^2},
\qquad
x=\frac{\hbar\omega}{k_BT}. C ω = k B ( e x − 1 ) 2 x 2 e x , x = k B T ℏ ω . x ≪ 1 x\ll1 x ≪ 1 k B k_B k B x ≫ 1 x\gg1 x ≫ 1 ( q , s ) (\boldsymbol q,s) ( q , s )
更明确地，经过质量加权与正交归一，经典 Hamilton 量可分解为
H = 1 2 ∑ q s ( ∣ P q s ∣ 2 + ω q s 2 ∣ Q q s ∣ 2 ) . H=\frac12\sum_{\boldsymbol q s}
\left(
|P_{\boldsymbol q s}|^2
+\omega_{\boldsymbol q s}^2
|Q_{\boldsymbol q s}|^2
\right). H = 2 1 q s ∑ ( ∣ P q s ∣ 2 + ω q s 2 ∣ Q q s ∣ 2 ) . 量子化后引入升降算符，
H ^ = ∑ q s ℏ ω q s ( a ^ q s † a ^ q s + 1 2 ) . \hat H=\sum_{\boldsymbol q s}
\hbar\omega_{\boldsymbol q s}
\left(
\hat a_{\boldsymbol q s}^\dagger
\hat a_{\boldsymbol q s}+\frac12
\right). H ^ = q s ∑ ℏ ω q s ( a ^ q s † a ^ q s + 2 1 ) . 极化向量的归一约定会改变 Q Q Q ω \omega ω a ^ q s \hat a_{\boldsymbol q s} a ^ q s a ^ − q s † \hat a^\dagger_{-\boldsymbol q s} a ^ − q s † q , − q q,-q q , − q
例 3：太赫兹模式的能量与占据
给普通频率 ν = 5.00 T H z \nu=5.00\,\mathrm{THz} ν = 5.00 THz ω = 2 π ν \omega=2\pi\nu ω = 2 π ν
ℏ ω = h ν = 3.31 × 10 − 21 J = 20.7 m e V . \hbar\omega=h\nu
=3.31\times10^{-21}\,\mathrm J
=20.7\,\mathrm{meV}. ℏ ω = h ν = 3.31 × 1 0 − 21 J = 20.7 meV . 在 T = 300 K T=300\,\mathrm K T = 300 K k B T ≈ 25.9 m e V k_BT\approx25.9\,\mathrm{meV} k B T ≈ 25.9 meV
n ˉ = 1 e 20.7 / 25.9 − 1 ≈ 0.816. \bar n=\frac1{e^{20.7/25.9}-1}\approx0.816. n ˉ = e 20.7/25.9 − 1 1 ≈ 0.816. 零点能是 10.3 m e V 10.3\,\mathrm{meV} 10.3 meV 5.00 T H z 5.00\,\mathrm{THz} 5.00 THz ℏ ω \hbar\omega ℏ ω 2 π 2\pi 2 π h ν h\nu h ν ℏ ω \hbar\omega ℏ ω
Einstein 与 Debye 热容
Einstein 模型令 3 N 3N 3 N ω E \omega_E ω E
C V = 3 N k B x E 2 e x E ( e x E − 1 ) 2 , x E = ℏ ω E k B T . C_V
=3Nk_B
\frac{x_E^2e^{x_E}}{(e^{x_E}-1)^2},
\qquad
x_E=\frac{\hbar\omega_E}{k_BT}. C V = 3 N k B ( e x E − 1 ) 2 x E 2 e x E , x E = k B T ℏ ω E . 高温 x E ≪ 1 x_E\ll1 x E ≪ 1 3 N k B 3Nk_B 3 N k B
Debye 模型把低频三条声学支近似为各向同性线性色散，并以截止波矢 q D q_D q D 3 N 3N 3 N v s v_s v s
g ( ω ) = 3 V ω 2 2 π 2 v s 3 , ∫ 0 ω D g ( ω ) d ω = 3 N . g(\omega)=\frac{3V\omega^2}{2\pi^2v_s^3},
\qquad
\int_0^{\omega_D}g(\omega)\,\mathrm d\omega=3N. g ( ω ) = 2 π 2 v s 3 3 V ω 2 , ∫ 0 ω D g ( ω ) d ω = 3 N . g ( ω ) g(\omega) g ( ω ) g ( ω ) d ω g(\omega)\mathrm d\omega g ( ω ) d ω Θ D = ℏ ω D / k B \Theta_D=\hbar\omega_D/k_B Θ D = ℏ ω D / k B
C V = 9 N k B ( T Θ D ) 3 ∫ 0 Θ D / T x 4 e x ( e x − 1 ) 2 d x . C_V
=9Nk_B\left(\frac{T}{\Theta_D}\right)^3
\int_0^{\Theta_D/T}
\frac{x^4e^x}{(e^x-1)^2}\,\mathrm dx. C V = 9 N k B ( Θ D T ) 3 ∫ 0 Θ D / T ( e x − 1 ) 2 x 4 e x d x . 低温 T ≪ Θ D T\ll\Theta_D T ≪ Θ D
C V ≈ 12 π 4 5 N k B ( T Θ D ) 3 , C_V\approx
\frac{12\pi^4}{5}Nk_B
\left(\frac{T}{\Theta_D}\right)^3, C V ≈ 5 12 π 4 N k B ( Θ D T ) 3 , 高温则回到 3 N k B 3Nk_B 3 N k B T 3 T^3 T 3 g ( ω ) ∝ ω 2 g(\omega)\propto\omega^2 g ( ω ) ∝ ω 2
截止条件可从有限体积的波矢计数复算。每个允许波矢占据
( 2 π ) 3 / V (2\pi)^3/V ( 2 π ) 3 / V q D q_D q D
3 V ( 2 π ) 3 4 π q D 3 3 = 3 N , q D = ( 6 π 2 N V ) 1 / 3 . 3\frac{V}{(2\pi)^3}\frac{4\pi q_D^3}{3}=3N,
\qquad
q_D=\left(6\pi^2\frac NV\right)^{1/3}. 3 ( 2 π ) 3 V 3 4 π q D 3 = 3 N , q D = ( 6 π 2 V N ) 1/3 . N / V N/V N / V m − 3 \mathrm{m^{-3}} m − 3 q D q_D q D m − 1 \mathrm{m^{-1}} m − 1
g ( ω ) = V ω 2 2 π 2 ( 1 v L 3 + 2 v T 3 ) , g(\omega)=\frac{V\omega^2}{2\pi^2}
\left(\frac1{v_L^3}+\frac2{v_T^3}\right), g ( ω ) = 2 π 2 V ω 2 ( v L 3 1 + v T 3 2 ) , 或定义
v D − 3 = ( v L − 3 + 2 v T − 3 ) / 3 v_D^{-3}=(v_L^{-3}+2v_T^{-3})/3 v D − 3 = ( v L − 3 + 2 v T − 3 ) /3
例 4：由原子数密度估算 Debye 截止
设原子数密度
N / V = 5.00 × 10 28 m − 3 N/V=5.00\times10^{28}\,\mathrm{m^{-3}} N / V = 5.00 × 1 0 28 m − 3 v D = 4.00 × 10 3 m s − 1 v_D=4.00\times10^3\,\mathrm{m\,s^{-1}} v D = 4.00 × 1 0 3 m s − 1
q D = [ 6 π 2 ( 5.00 × 10 28 ) ] 1 / 3 ≈ 1.44 × 10 10 m − 1 . q_D=\left[6\pi^2(5.00\times10^{28})\right]^{1/3}
\approx1.44\times10^{10}\,\mathrm{m^{-1}}. q D = [ 6 π 2 ( 5.00 × 1 0 28 ) ] 1/3 ≈ 1.44 × 1 0 10 m − 1 . 于是
ω D = v D q D ≈ 5.74 × 10 13 s − 1 , Θ D = ℏ ω D k B ≈ 439 K . \omega_D=v_Dq_D\approx5.74\times10^{13}\,\mathrm{s^{-1}},
\qquad
\Theta_D=\frac{\hbar\omega_D}{k_B}\approx439\,\mathrm K. ω D = v D q D ≈ 5.74 × 1 0 13 s − 1 , Θ D = k B ℏ ω D ≈ 439 K . q D q_D q D ω D \omega_D ω D Θ D \Theta_D Θ D
例 5：Debye 低温摩尔热容
取 Θ D = 300 K \Theta_D=300\,\mathrm K Θ D = 300 K T = 10.0 K T=10.0\,\mathrm K T = 10.0 K
C V N k B ≈ 12 π 4 5 ( 1 30 ) 3 ≈ 8.66 × 10 − 3 . \frac{C_V}{Nk_B}
\approx\frac{12\pi^4}{5}\left(\frac1{30}\right)^3
\approx8.66\times10^{-3}. N k B C V ≈ 5 12 π 4 ( 30 1 ) 3 ≈ 8.66 × 1 0 − 3 . 一摩尔原子的热容为
C V , m ≈ 8.66 × 10 − 3 R ≈ 0.0720 J m o l − 1 K − 1 . C_{V,m}\approx8.66\times10^{-3}R
\approx0.0720\,\mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}. C V , m ≈ 8.66 × 1 0 − 3 R ≈ 0.0720 J mo l − 1 K − 1 . 这里 T / Θ D = 1 / 30 T/\Theta_D=1/30 T / Θ D = 1/30 Θ D \Theta_D Θ D
输运与连续近似的边界
群速度决定波包能量传播方向，但完美无限谐晶体中的正规模本身不会互相散射，因而该模型不能给出有限热导率。实际热阻来自非谐声子—声子过程、同位素与缺陷散射、电子耦合以及有限边界。用平均自由程写
κ ∼ C V v ℓ / 3 \kappa\sim C_Vv\ell/3 κ ∼ C V v ℓ /3 ℓ \ell ℓ
三声子过程的晶体动量选择规则可写为
q 1 + q 2 = q 3 + G . \boldsymbol q_1+\boldsymbol q_2
=\boldsymbol q_3+\boldsymbol G. q 1 + q 2 = q 3 + G . G = 0 \boldsymbol G=0 G = 0 G \boldsymbol G G ℏ ω 1 + ℏ ω 2 = ℏ ω 3 \hbar\omega_1+\hbar\omega_2=\hbar\omega_3 ℏ ω 1 + ℏ ω 2 = ℏ ω 3
边界主导时，平均自由程最多约为样品横向尺度；高温非谐散射增强时则可远小于样品尺寸。因而同一色散可对应不同纯度、尺寸和温度下不同热导率，不能只用群速度大小排列所有材料的导热能力。
当 q a ≪ 1 qa\ll1 q a ≪ 1
常见误区
常见误区
“声子以声速运动，所以任意 q q q
常见误区
“每个原子对应一个声子模式。”三维含 r r r 3 r 3r 3 r
常见误区
“Debye 的 T 3 T^3 T 3 T ≪ Θ D T\ll\Theta_D T ≪ Θ D 3 N k B 3Nk_B 3 N k B
练习：色散、量子与热容
练习
所属知识 周期边界
难度 2/5 推导 N N N q q q N N N
查看提示 令平面波跨过总长度 Na 后相位增加
2 π 2\pi 2 π 整数倍。
查看解答 e i q N a = 1 e^{iqNa}=1 e i qN a = 1 给
q = 2 π m / ( N a ) q=2\pi m/(Na) q = 2 πm / ( N a ) 。相差
2 π / a 2\pi/a 2 π / a 的 q 在所有格点相位相同；选半开区间
[ − π / a , π / a ) [-\pi/a,\pi/a) [ − π / a , π / a ) 可得恰好 N 个独立值。
练习
所属知识 单原子链色散
难度 3/5 从最近邻运动方程推导单原子链色散，并给出区中心及区边界极限。
查看提示 代入
u n = U e i ( q n a − ω t ) u_n=Ue^{i(qna-\omega t)} u n = U e i ( q na − ω t ) ，使用
2 − 2 cos q a = 4 sin 2 ( q a / 2 ) 2-2\cos qa=4\sin^{2}(qa/2) 2 − 2 cos q a = 4 sin 2 ( q a /2 ) 。
查看解答 得到
M ω 2 = 4 K sin 2 ( q a / 2 ) M\omega^{2}=4K\sin^{2}(qa/2) M ω 2 = 4 K sin 2 ( q a /2 ) ，故
ω = 2 K / M ∣ sin ( q a / 2 ) ∣ \omega=2\sqrt{K/M}|\sin(qa/2)| ω = 2 K / M ∣ sin ( q a /2 ) ∣ 。
q → 0 q\to 0 q → 0 时
ω ≈ a K / M ∣ q ∣ \omega \approx a\sqrt{K/M}|q| ω ≈ a K / M ∣ q ∣ ，区边界频率为
2 K / M 2\sqrt{K/M} 2 K / M 。
练习
所属知识 群速度
难度 3/5 求单原子链在 0 < q < π / a 0<q<\pi/a 0 < q < π / a
查看提示 在
0 < q < π / a 0<q<\pi/a 0 < q < π / a 内去掉绝对值后对 q 求导。
查看解答 v g = a K / M cos ( q a / 2 ) v_g=a\sqrt{K/M}\cos(qa/2) v g = a K / M cos ( q a /2 ) 。q=0 时为
v s = a K / M v_s=a\sqrt{K/M} v s = a K / M ，
q = π / a q=\pi/a q = π / a 时为 0；单位由
a × s − 1 a\times s^{-1} a × s − 1 得
m ⋅ s − 1 m\cdot s^{-1} m ⋅ s − 1 。
练习
所属知识 分支计数
难度 2/5 三维晶体原胞含四个原子。求每个波矢的总分支数、声学支数和通常的光学支数。
查看提示 每原胞每个原子有三个位移自由度；三条整体平移对应声学支。
查看解答 r=4 时每 q 有 12 条支，其中 3 条声学、9 条光学。若有
N c N_c N c 个原胞，总模式数
12 N c 12N_c 12 N c ，等于
4 N c 4N_c 4 N c 个原子的
3 × 4 N c 3\times 4N_c 3 × 4 N c 坐标自由度。
练习
所属知识 声子能量单位
难度 3/5 计算 ν = 2.00 T H z \nu=2.00\,\mathrm{THz} ν = 2.00 THz 2 π 2\pi 2 π
查看提示 普通频率用
h ν h\nu h ν ；
1 e V = 1.602 × 10 − 19 J 1\,\mathrm{eV}=1.602\times 10^{-19} J 1 eV = 1.602 × 1 0 − 19 J 。
查看解答 ν = 2.00 T H z \nu=2.00 THz ν = 2.00 T Hz 时
h ν = 1.325 × 10 − 21 J = 8.27 m e V h\nu=1.325\times 10^{-21} J=8.27\,\mathrm{meV} h ν = 1.325 × 1 0 − 21 J = 8.27 meV 。若写
ℏ ω \hbar \omega ℏ ω ，必须用
ω = 2 π ν \omega=2\pi \nu ω = 2 π ν ，结果相同。
练习
所属知识 Debye 低温律
难度 4/5 同一材料在 Debye 低温区从 10 K 10\,\mathrm K 10 K 20 K 20\,\mathrm K 20 K
查看提示 使用
C V / ( N k B ) = ( 12 π 4 / 5 ) ( T / Θ D ) 3 C_V/(Nk_B)=(12\pi^{4}/5)(T/\Theta_D)^{3} C V / ( N k B ) = ( 12 π 4 /5 ) ( T / Θ D ) 3 ，再比较温度翻倍。
查看解答 在低温区
C V ∝ T 3 C_V\propto T^{3} C V ∝ T 3 ，所以 10 K 到 20 K 增加
2 3 = 8 2^{3}=8 2 3 = 8 倍。若 20 K 不再远小于
Θ D \Theta_D Θ D ，则必须用完整积分，八倍关系只是渐近结论。
知识连接与后续路线
课程 · 2006 Physics of Solids I Xiao-Gang Wen
用于核对 P10 的晶格记号、倒易空间、声子色散、电子态密度、Bloch 能带和半导体例题。
打开官方来源 MIT OpenCourseWare 8.231 的晶格振动与固体热性质内容可用于核对色散、声子量子化和 Debye 计数。本章示例只使用明示模型参数；没有材料来源的数据不解释为实测声速、Debye 温度或热导率。