P07 · 第 4 章 · 第二编量子动力学

一维势阱、势垒、隧穿与散射

在分段势和自伴边界条件下求解一维定态 Schrödinger 方程，以概率流匹配区分束缚态与散射态，推导无限与有限势阱、势阶、矩形势垒、δ 势和 WKB 经典极限。

难度 5/5约 205 分钟最近修订 2026-07-14

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预备知识Schrödinger 方程与时间演化边值问题驻波

本章目标

按能量与势能大小选择振荡解或指数解，并标注波数和衰减常数单位。
应用硬壁、有限势跳变和 δ 势的不同边界或匹配条件。
用概率流而不是振幅平方单独定义反射率与透射率。
推导无限深势阱离散能级及有限深势阱奇偶量子化条件。
计算势阶和矩形势垒的反射、透射与隧穿指数。
说明 WKB 与经典极限依赖作用量尺度，并识别转向点和突变势处的失效。

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本页目录

模型、能量零点与解的分类

研究质量 $m$ 的非相对论无自旋粒子，势能 $V(x)$ 不显含时间。定态方程为

-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\mathrm d^2\phi}{\mathrm dx^2} +V(x)\phi=E\phi.

$x$ 单位米， $V,E$ 单位焦耳， $\hbar$ 单位 $\mathrm{J\,s}$ 。能量零点可整体平移：同时把 $V\to V+C$ 、 $E\to E+C$ 不改变波函数；比较 $E-V$ 才决定局部形态。

一维归一化束缚波函数单位为 $\mathrm{m^{-1/2}}$ 。动能算符 $-\hbar^2\mathrm d^2/(2m\,\mathrm dx^2)$ 把波函数映射为焦耳乘波函数，与势能乘法算符单位一致。下文概率流 $j=(\hbar/m)\operatorname{Im}(\phi^*\phi')$ 的单位为 $\mathrm{s^{-1}}$ ，因此反射率和透射率必须比较带方向的流，而非只比较无单位振幅。

在常势区 $V(x)=V_0$ ：

若 $E>V_0$ ，定义 $k=\sqrt{2m(E-V_0)}/\hbar$ ，单位 $\mathrm{m^{-1}}$ ，解为 $Ae^{ikx}+Be^{-ikx}$ 。
若 $E<V_0$ ，定义 $\kappa=\sqrt{2m(V_0-E)}/\hbar$ ，单位 $\mathrm{m^{-1}}$ ，解为 $Ce^{\kappa x}+De^{-\kappa x}$ 。
若 $E=V_0$ ，方程给 $\phi''=0$ ，解为线性函数，不能把 $k=0$ 直接塞入只保留一项的平面波表达而丢失第二个独立解。

束缚态在无穷远可归一化，能量通常离散；散射态在无穷远含行进波，采用入射流归一化或 $\delta$ 归一化，能量连续。局部出现指数尾并不自动等于束缚态，还要检查全空间边界和能量相对两侧渐近势。

有限势跳变的匹配条件

在 $x=x_0$ 处若势只有有限跳跃、质量恒定且没有 $\delta$ 奇异项，把方程从 $x_0-\varepsilon$ 积到 $x_0+\varepsilon$ ：

-\frac{\hbar^2}{2m} \left[\phi'(x_0^+)-\phi'(x_0^-)\right] +\int_{x_0-\varepsilon}^{x_0+\varepsilon} (V-E)\phi\,\mathrm dx=0.

当 $\varepsilon\to0$ 时积分项消失，所以 $\phi'$ 连续。为避免波函数本身跳变导致分布型二阶导数， $\phi$ 也连续：

\phi(x_0^-)=\phi(x_0^+), \qquad \phi'(x_0^-)=\phi'(x_0^+).

若有效质量分段变化，正确条件取决于 Hamilton 算符的具体自伴形式，不能机械沿用 $\phi'$ 连续。无限壁直接规定波函数在壁上为零； $\delta$ 势则允许导数有限跳跃。

概率流

j=\frac{\hbar}{m} \operatorname{Im}(\phi^*\phi')

在实势、定态散射中跨界面连续。匹配振幅后再检查流，是发现漏掉速度因子的最可靠方法。

无限深方势阱

令

V(x)= \begin{cases} 0,&0<x<L,\\ \infty,&x\le0\text{ 或 }x\ge L. \end{cases}

硬壁边界 $\phi(0)=\phi(L)=0$ 。阱内一般解 $A\sin kx+B\cos kx$ ；左端条件给 $B=0$ ，右端要求 $\sin kL=0$ ，所以

k_n=\frac{n\pi}{L}, \qquad E_n=\frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2mL^2}, \qquad n=1,2,\ldots

归一化本征态

\phi_n(x)=\sqrt{\frac2L} \sin\frac{n\pi x}{L}.

没有 $n=0$ 非零态；把 $n=0$ 代入只得到处处为零的函数，不能归一化。能量按 $1/(mL^2)$ 缩放，盒越窄或粒子越轻，量子间隔越大。每个实定态的 $j=0$ ，可理解为等振幅左右行波形成的驻波。

例 1：一纳米盒中的电子能级

电子质量 $m_e=9.11\times10^{-31}\,\mathrm{kg}$ ， $L=1.00\,\mathrm{nm}$ 。基态能量

E_1 =\frac{\pi^2\hbar^2}{2m_eL^2} =6.02\times10^{-20}\,\mathrm J =0.376\,\mathrm{eV}.

$E_2=4E_1=1.50\,\mathrm{eV}$ ，跃迁能差 $E_2-E_1=1.13\,\mathrm{eV}$ 。基态在左半盒的概率因对称性为 $1/2$ ；不能把粒子解释为在盒中心静止，位置测量仍有连续分布。

势阶散射与流归一化

令 $V=0$ 于 $x<0$ ， $V=V_0>0$ 于 $x>0$ 。粒子从左入射且 $E>V_0$ ：

\phi_I=e^{ik_1x}+r e^{-ik_1x}, \qquad \phi_{II}=t e^{ik_2x},

k_1=\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}, \qquad k_2=\frac{\sqrt{2m(E-V_0)}}{\hbar}.

在 $x=0$ 匹配 $\phi,\phi'$ ：

r=\frac{k_1-k_2}{k_1+k_2}, \qquad t=\frac{2k_1}{k_1+k_2}.

入射、反射和透射概率流分别与 $k_1$ 、 $-|r|^2k_1$ 、 $|t|^2k_2$ 成正比，所以

R=|r|^2, \qquad T=\frac{k_2}{k_1}|t|^2, \qquad R+T=1.

透射率不等于 $|t|^2$ ，除非两侧群速度相同。若 $E<V_0$ ，右侧物理解 $t e^{-\kappa x}$ 不携带远处净流，半无限势阶有 $R=1$ ，但波函数仍穿入禁阻区约 $1/\kappa$ 深度。

例 2：高于势阶仍会量子反射

电子能量 $E=4.00\,\mathrm{eV}$ ，势阶 $V_0=1.00\,\mathrm{eV}$ 。波数比

\frac{k_2}{k_1} =\sqrt{\frac{E-V_0}{E}} =\sqrt{\frac34}=0.866.

所以

R=\left(\frac{1-0.866}{1+0.866}\right)^2 =0.00515, \qquad T=0.99485.

经典粒子在 $E>V_0$ 时全部通过；量子波因波数突变产生约 $0.515\%$ 反射。 $E/V_0$ 增大时该反射趋零。

矩形势垒与隧穿

令 $V=V_0$ 于 $0<x<a$ ，外部 $V=0$ ，且 $0<E<V_0$ 。三段解分别包含入射与反射波、垒内双指数、右侧透射波。对 $x=0,a$ 各匹配 $\phi,\phi'$ ，可得

T =\left[ 1+\frac{V_0^2\sinh^2(\kappa a)} {4E(V_0-E)} \right]^{-1},

其中

\kappa=\frac{\sqrt{2m(V_0-E)}}{\hbar}.

当 $\kappa a\gg1$ ，

T\approx \frac{16E(V_0-E)}{V_0^2} e^{-2\kappa a}.

指数 $2\kappa a$ 无量纲。透射对质量、势垒高度差和宽度极敏感；前因子仍可能重要，不能把 $e^{-2\kappa a}$ 在所有参数下当精确答案。实势且左右渐近势相同给 $R+T=1$ 。

例 3：电子穿过亚纳米矩形势垒

电子 $E=1.00\,\mathrm{eV}$ ， $V_0=3.00\,\mathrm{eV}$ ， $a=0.500\,\mathrm{nm}$ 。势垒内能量差 $2.00\,\mathrm{eV}$ ，计算得

\kappa =\frac{\sqrt{2m_e(2.00\,\mathrm{eV})}}{\hbar} =7.24\,\mathrm{nm^{-1}}, \qquad \kappa a=3.62.

代入精确式，

T =\left[1+\frac9{8}\sinh^2(3.62)\right]^{-1} \approx2.55\times10^{-3}.

约 $0.255\%$ 入射流透射。若宽度增加 $0.100\,\mathrm{nm}$ ，厚垒近似给透射率再乘 $e^{-2\kappa(0.100\,\mathrm{nm})} =e^{-1.448}=0.235$ ，显示指数敏感性。

有限深对称势阱

取 $V=0$ 于 $|x|<a$ ， $V=V_0$ 于 $|x|\ge a$ ，束缚能满足 $0<E<V_0$ 。势关于原点对称，本征态可选偶或奇。阱内波数与外部衰减常数为

k=\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}, \qquad \kappa=\frac{\sqrt{2m(V_0-E)}}{\hbar}, \qquad k^2+\kappa^2=\frac{2mV_0}{\hbar^2}.

在 $x=a$ 匹配得到

k\tan(ka)=\kappa \quad\text{（偶态）},

-k\cot(ka)=\kappa \quad\text{（奇态）}.

这是超越方程，允许根的数量有限。解可用无量纲变量 $z=ka$ 、 $z_0=a\sqrt{2mV_0}/\hbar$ 作图找交点。阱越深或越宽， $z_0$ 越大，束缚态越多。有限壁外波函数指数衰减但不为零，所以能量低于势顶并不表示粒子绝不出现在经典禁阻区。

偶基态无节点，随后奇偶交替；一维普通束缚态在温和条件下不简并。数值求根后仍需构造分段波函数、匹配振幅并对全空间归一化，只找到 $E$ 不是完整解。

无量纲根与束缚态数量

定义

z=ka, \qquad z_0=\frac{a\sqrt{2mV_0}}{\hbar}, \qquad y=\kappa a=\sqrt{z_0^2-z^2}.

偶、奇条件分别变成

z\tan z=\sqrt{z_0^2-z^2}, \qquad -z\cot z=\sqrt{z_0^2-z^2},

且 $0<z<z_0$ 。作图时应在 $\tan z$ 或 $\cot z$ 的每个连续分支内找根，不能跨越极点使用普通线性插值。每个根给 $E=\hbar^2z^2/(2ma^2)$ 。

一维有限吸引势阱在常见条件下至少有一个偶束缚态；较浅阱可能没有奇态。随着 $z_0$ 增大，新根在接近势顶处出现。根的粗略数量随 $2z_0/\pi$ 增长，但精确个数应由分支交点判断，不能把粗略取整当定理。

一维束缚态的节点与非简并

对同一实势，设两个平方可积本征函数 $\phi_a,\phi_b$ 有相同能量。由两条定态方程相减可得 Wronskian

W=\phi_a\phi_b'-\phi_a'\phi_b

满足 $W'=0$ 。束缚态在无穷远衰减，使 $W=0$ ；于是两解线性相关。因此普通一维束缚能级不简并。若加入自旋、多个通道或奇异边界，自由度已经超出这个单通道结论。

按能量从低到高排列，基态可取处处同号且无内部节点，第 $n$ 个束缚态有 $n-1$ 个内部节点。节点越多，曲率和动能代价通常越大。这提供强有力的数值诊断：若求得“基态”有节点，可能收敛到了激发态或边界离散存在伪解。

本征态正交：

\int\phi_m^*(x)\phi_n(x)\,\mathrm dx=0, \qquad E_m\ne E_n.

任意归一化束缚初态可展开为这些离散态并可能加上连续谱部分；只保留有限个束缚态时，应报告遗漏连续谱的范数。

吸引 δ 势：导数跳变

取

V(x)=-g\delta(x), \qquad g>0,

$g$ 的单位为 $\mathrm{J\,m}$ 。波函数连续，把方程跨过原点积分得到

\phi'(0^+)-\phi'(0^-) =-\frac{2mg}{\hbar^2}\phi(0).

束缚态为

\phi(x)=\sqrt{\kappa}\,e^{-\kappa|x|}, \qquad \kappa=\frac{mg}{\hbar^2},

能量

E=-\frac{\hbar^2\kappa^2}{2m} =-\frac{mg^2}{2\hbar^2}.

它只有一个偶束缚态。若误用有限势的 $\phi'$ 连续条件，会把 $g$ 的全部作用消掉。

例 4：由局域长度求 δ 势束缚能

某电子吸引 $\delta$ 势的衰减常数为 $\kappa=2.00\,\mathrm{nm^{-1}}$ ，局域长度 $1/\kappa=0.500\,\mathrm{nm}$ 。束缚能

E=-\frac{\hbar^2\kappa^2}{2m_e} =-2.44\times10^{-20}\,\mathrm J =-0.152\,\mathrm{eV}.

归一化因子 $\sqrt\kappa$ 的单位为 $\mathrm{m^{-1/2}}$ 。左右指数尾对称，定态概率流为零。

WKB 近似与经典极限

对缓慢变化势，定义局部经典动量

p(x)=\sqrt{2m[E-V(x)]}.

允许区 $E>V$ 中 WKB 波函数近似为

\phi(x)\approx \frac{C_\pm}{\sqrt{p(x)}} \exp\!\left[ \pm\frac{i}{\hbar}\int^x p(x')\,\mathrm dx' \right].

禁阻区定义 $\kappa(x)=\sqrt{2m[V(x)-E]}/\hbar$ ，穿过两个转向点 $x_1,x_2$ 的厚垒主导透射为

T\sim \exp\!\left[ -2\int_{x_1}^{x_2}\kappa(x)\,\mathrm dx \right].

近似要求势在一个局部波长上变化很小，典型作用量远大于 $\hbar$ 。在 $E=V(x)$ 的转向点， $p\to0$ ，振幅形式发散，必须使用连接公式；矩形势垒边缘突然跳变，也不能用“缓慢变化”推导本身解释前因子。

经典极限可从两方面看到：若禁阻区作用量 $\int|p|\,\mathrm dx\gg\hbar$ ，隧穿指数极小；若 $E\gg V_0$ ，势阶反射率约随 $(V_0/4E)^2$ 下降。但共振、节点和相位相消可在作用量较大时仍留下波动结构，粗粒化和退相干也是宏观经典行为的重要条件。

共振与散射相位

有限势垒或双势垒不仅给透射概率，还改变透射相位。对 $E>V_0$ 的矩形区域，内部为振荡波；当内部相位接近整数个 $\pi$ 时，多次反射可相长，使 $T$ 达到一，即使每个单界面都有反射。这称为共振透射。

例 5：高于矩形势垒的共振透射

电子能量 $E=5.00\,\mathrm{eV}$ ，矩形势垒高度 $V_0=1.00\,\mathrm{eV}$ 。垒内动能 $E-V_0=4.00\,\mathrm{eV}$ ，波数约

k_2=5.12\sqrt{4.00}\,\mathrm{nm^{-1}} =10.2\,\mathrm{nm^{-1}}.

选择宽度

a=\frac{\pi}{k_2}=0.307\,\mathrm{nm},

垒内相位 $k_2a=\pi$ 。理想等质量、实势、单通道模型给 $T=1$ ：两个界面的反射振幅相消。稍微改变 $a$ 或 $E$ 就会离开共振。完全透射不表示势垒不存在，透射波仍获得相位延迟。

只画 $T(E)$ 会遗漏时间延迟等相位信息。散射矩阵对实势、无吸收的单通道问题应保持流幺正；若数值结果 $R+T\ne1$ ，应检查网格、匹配矩阵、速度因子和边界吸收。复吸收势可故意让和小于一，但必须把缺少部分解释为吸收而非概率消失。

流归一化散射矩阵

左右渐近区域波数可能不同。若直接用波函数振幅作为通道系数，散射矩阵不呈普通欧氏幺正。定义流归一化振幅

\tilde A=\sqrt{\frac{\hbar k}{m}}A,

则 $|\tilde A|^2$ 与概率流大小成正比。把左右入射振幅组成向量 $\boldsymbol a_{\rm in}$ ，左右出射组成 $\boldsymbol a_{\rm out}$ ，有

\boldsymbol a_{\rm out} =S\boldsymbol a_{\rm in}, \qquad S^\dagger S=I

，前提是势为实、无吸收且所有开放通道都包含。这个表达把 $R+T=1$ 推广到多入射方向。

分段常势数值计算常用传递矩阵逐层相乘，但厚禁阻层包含 $e^{+\kappa a}$ 与 $e^{-\kappa a}$ ，直接乘法可能上溢并造成巨大相消误差。稳定实现可使用散射矩阵递推或对数缩放，并始终以流守恒作诊断。数值稳定措施不能替代界面条件，也不能把真实共振平滑掉。

束缚态、散射态与共振态不能混用归一化

束缚态在两侧无穷远指数衰减，可令 $\int|\phi|^2\,\mathrm dx=1$ ，能量为自伴 Hamilton 的实离散本征值。散射定态在至少一侧保持振荡，整条实线范数发散；它用单位入射振幅、单位入射流或 $\delta(E-E')$ 归一化。对散射态询问“粒子在整个左半轴的概率”没有有限答案，应构造归一化波包或比较单位时间的流。

共振表现为 $T(E)$ 的窄峰和快速相位变化。严格的出射边界共振态常对应复能量

E_{\rm res}-i\frac{\Gamma}{2},

其中 $\Gamma$ 单位焦耳，寿命量级 $\tau=\hbar/\Gamma$ 。它不是封闭自伴问题中的普通可归一化本征态。把计算区间截成有限盒会把连续谱离散化，某个盒本征值靠近透射峰并不能单独证明共振；应检查扩大盒子后峰位、宽度和散射相位是否稳定。

实际入射粒子是有限波包，包含一段能量宽度。若宽度远小于共振宽度，可用中心能量的 $T$ ；若更宽，透射概率应对能谱加权。时间延迟、波包变形和先行小尾不会允许超光速传递信息；本章非相对论方程本身也不适合讨论相对论因果极限。

常见误区与边界

常见误区

“波函数进入势垒表示粒子在势垒中有负动能。”定态方程在禁阻区给指数解；能量测量仍是总能量 $E$ 。经典分解 $E-V<0$ 只说明没有实局部波数。

常见误区

“透射率就是透射振幅平方。”不同区域群速度不同时， $T$ 必须使用概率流比，包含 $k_2/k_1$ 。

常见误区

“任何界面都要求导数连续。”有限普通势且质量恒定时成立； $\delta$ 势使导数跳变，无限壁直接改变定义域，变质量 Hamilton 还需相容的流连续条件。

高于势垒仍可能反射

势阶例题中 $E>V_0$ ，经典粒子全部通过，但量子波因两侧波数不匹配而有 $R>0$ 。只有高能极限或特殊共振条件下反射才趋零。

数据探索：隧穿的指数灵敏度

固定电子 $E=1.00\,\mathrm{eV}$ 、 $V_0=3.00\,\mathrm{eV}$ ，计算 $a=0.20,0.30,0.40,0.50,0.60\,\mathrm{nm}$ 的精确 $T$ 。再画 $\ln T$ 对 $a$ ，厚垒区斜率应接近 $-2\kappa=-14.5\,\mathrm{nm^{-1}}$ 。横轴若改用米，斜率单位应改为 $\mathrm{m^{-1}}$ 。

同时比较精确式和指数近似的相对误差。小 $a$ 时 $\kappa a$ 不大，前因子和双界面干涉不可忽略；不能只因半对数图近似直线就宣称所有宽度都满足 WKB。每个点还应核对 $0\le T\le1$ 与 $R+T=1$ 。

练习

所属知识: 无限深势阱
难度: 2/5

无限深势阱中 $E_1=0.200\,\mathrm{eV}$ 。求 $E_3$ 和从基态到第三态的能量差。

查看提示

E_n=n^{2}\pi^{2}\hbar^{2}/(2mL^{2})

，第三能级与基态之比为 9。

查看解答

$E_3=9E_1=1.80\,\mathrm{eV}$ ， $E_3-E_1=1.60\,\mathrm{eV}$ 。

练习

所属知识: 势阶流匹配
难度: 3/5

某势阶散射有 $k_2/k_1=0.500$ 。求 $R,T$ 。

查看提示

令

q=k_{2}/k_{1}

，

R=[(1-q)/(1+q)]^{2}

，

T=4q/(1+q)^{2}

。

查看解答

$R=(0.5/1.5)^2=1/9=0.111$ ； $T=4(0.500)/(1.500)^2=8/9=0.889$ ， $R+T=1$ 。

练习

所属知识: 禁阻区衰减
难度: 2/5

禁阻区 $\kappa=4.00\,\mathrm{nm^{-1}}$ 。波函数从界面深入 $d=0.500\,\mathrm{nm}$ 后，概率密度相对界面值的因子是多少？

查看提示

概率密度随

|\psi |^{2}

衰减，因此长度 d 带来

e^{-2\kappa d}

因子。

查看解答

$|\phi(d)|^2/|\phi(0)|^2 =e^{-2\kappa d} =e^{-4}=0.0183$ 。

练习

所属知识: 矩形势垒
难度: 3/5

$\kappa=5.00\,\mathrm{nm^{-1}}$ 时，势垒宽度增加 $0.200\,\mathrm{nm}$ ，估计厚垒透射率变化因子。

查看提示

厚垒近似下宽度增加

\Delta a

使 T 比值约为

e^{-2\kappa \Delta a}

。

查看解答

$T_{\rm new}/T_{\rm old} \approx e^{-2(5.00)(0.200)} =e^{-2}=0.135$ 。

练习

所属知识: 有限势阱奇偶条件
难度: 4/5

说明为什么有限对称势阱不能只解 $k\tan(ka)=\kappa$ 就得到全部束缚态。

查看提示

偶态用

k\tan(ka)=\kappa

；奇态用

-k\cot(ka)=\kappa

，并同时满足

k^2+\kappa^2=2mV_0/\hbar^2

。

查看解答

$k\tan(ka)=\kappa$ 只来自偶宇称阱内解 $\cos kx$ 。奇宇称解 $\sin kx$ 在边界给 $-k\cot(ka)=\kappa$ 。两类根交替出现；遗漏奇方程会漏掉全部奇束缚态。

练习

所属知识: δ 势匹配
难度: 4/5

把 $\phi=Ae^{-\kappa|x|}$ 代入吸引 $-g\delta(x)$ 的导数跳变条件，求 $\kappa$ 。

查看提示

对

Ae^{-\kappa |x|}

，两侧导数分别为

-\kappa A

与

+\kappa A

。

查看解答

$\phi'(0^+)=-\kappa A$ ， $\phi'(0^-)=+\kappa A$ ，差为 $-2\kappa A$ 。令其等于 $-(2mg/\hbar^2)A$ ，得到 $\kappa=mg/\hbar^2$ 。

关系、资源与后续学习

Schrödinger 方程提供 Hamilton 定义域、定态分离和概率连续性。
边值问题组织硬壁条件、有限界面匹配和超越本征值方程。
驻波帮助理解无限势阱中左右行波形成的离散模式。
测量、对易关系与不确定性解释束缚态的位置与动量统计。
量子力学综合复习会把势阱、散射、角动量和全同粒子统一起来。

课程 · 2013

Quantum Physics I

Allan Adams, Matthew Evans, Barton Zwiebach

用于核对 P07 的态与概率解释、时间演化、概率流、一维束缚态和散射计算，并明确理想势模型的适用边界。

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MIT OpenCourseWare 8.04《Quantum Physics I》覆盖一维势阱、势阶、隧穿、散射与谐振，可用于复习本章边界条件并比较不同一维势的解法。

下一步可学习角动量、自旋与全同粒子，把一维边界直觉推广到旋转对称和内部自由度。随后进入

量子力学综合复习，在同一问题中联合使用状态、测量、时间演化、散射流和经典极限。