几何点阵不等于材料结构
理想晶体的核心是假设某种微观排列在空间平移下重复。三维 Bravais 点阵写作
R = n 1 a 1 + n 2 a 2 + n 3 a 3 , n i ∈ Z . \boldsymbol R
=n_1\boldsymbol a_1+n_2\boldsymbol a_2+n_3\boldsymbol a_3,
\qquad n_i\in\mathbb Z. R = n 1 a 1 + n 2 a 2 + n 3 a 3 , n i ∈ Z . a i \boldsymbol a_i a i R \boldsymbol R R τ α \boldsymbol\tau_\alpha τ α
r R α = R + τ α . \boldsymbol r_{\boldsymbol R\alpha}
=\boldsymbol R+\boldsymbol\tau_\alpha. r R α = R + τ α . τ α \boldsymbol\tau_\alpha τ α u α i u_{\alpha i} u α i τ α = u α 1 a 1 + u α 2 a 2 + u α 3 a 3 \boldsymbol\tau_\alpha=u_{\alpha1}\boldsymbol a_1+
u_{\alpha2}\boldsymbol a_2+u_{\alpha3}\boldsymbol a_3 τ α = u α 1 a 1 + u α 2 a 2 + u α 3 a 3
原胞与常规晶胞
原胞是由平移点阵铺满空间、每胞恰含一个 Bravais 点阵点的体积区域。由一组原始矢量张成的平行六面体体积为
Ω c = ∣ a 1 ⋅ ( a 2 × a 3 ) ∣ , \Omega_c=
\left|\boldsymbol a_1\cdot
(\boldsymbol a_2\times\boldsymbol a_3)\right|, Ω c = ∣ a 1 ⋅ ( a 2 × a 3 ) ∣ , 单位 m 3 \mathrm{m^3} m 3
原始基矢并不唯一。若整数矩阵 M M M det M = ± 1 \det M=\pm1 det M = ± 1 a i ′ = ∑ j M j i a j \boldsymbol a_i'=\sum_jM_{ji}\boldsymbol a_j a i ′ = ∑ j M ji a j ∣ det M ∣ = p > 1 |\det M|=p>1 ∣ det M ∣ = p > 1 p p p 0 ≤ u i < 1 0\le u_i<1 0 ≤ u i < 1
Wigner–Seitz 原胞由某点阵点到所有邻点连线的垂直平分面围成。它与原始平行六面体形状不同，却有同一体积并且每胞仍含一个点阵点。选择哪种胞是表示问题：计算对称性时常用 Wigner–Seitz 胞，建立周期坐标时常用平行六面体。可观测密度和衍射条件不能依赖这一选择。
空间群还包含保持整个结构的旋转、镜映、反演及其与分数平移的组合。本章只用这些操作辨认等价位置，不凭几何对称性推断未给出的键合、质量或散射强度。
例 1：体心立方的常规胞与原胞
体心立方常规立方胞边长为 a a a 8 × 1 8 + 1 = 2 8\times\frac18+1=2 8 × 8 1 + 1 = 2
a 1 = a 2 ( − 1 , 1 , 1 ) , a 2 = a 2 ( 1 , − 1 , 1 ) , a 3 = a 2 ( 1 , 1 , − 1 ) . \boldsymbol a_1=\frac a2(-1,1,1),\quad
\boldsymbol a_2=\frac a2(1,-1,1),\quad
\boldsymbol a_3=\frac a2(1,1,-1). a 1 = 2 a ( − 1 , 1 , 1 ) , a 2 = 2 a ( 1 , − 1 , 1 ) , a 3 = 2 a ( 1 , 1 , − 1 ) . 三重积给 Ω c = a 3 / 2 \Omega_c=a^3/2 Ω c = a 3 /2 a = 0.300 n m a=0.300\,\mathrm{nm} a = 0.300 nm Ω c = 1.35 × 10 − 29 m 3 \Omega_c=1.35\times10^{-29}\,\mathrm{m^3} Ω c = 1.35 × 1 0 − 29 m 3 1 / Ω c = 7.41 × 10 28 m − 3 1/\Omega_c=7.41\times10^{28}\,\mathrm{m^{-3}} 1/ Ω c = 7.41 × 1 0 28 m − 3
有限晶体、周期边界与原胞计数
取 N i N_i N i a i \boldsymbol a_i a i
f ( r + N i a i ) = f ( r ) . f(\boldsymbol r+N_i\boldsymbol a_i)=f(\boldsymbol r). f ( r + N i a i ) = f ( r ) . 总原胞数是 N c = N 1 N 2 N 3 N_c=N_1N_2N_3 N c = N 1 N 2 N 3 V = N c Ω c V=N_c\Omega_c V = N c Ω c r r r r N c rN_c r N c
平面波 exp ( i k ⋅ r ) \exp(i\boldsymbol k\cdot\boldsymbol r) exp ( i k ⋅ r )
k ⋅ N i a i = 2 π m i , m i ∈ Z . \boldsymbol k\cdot N_i\boldsymbol a_i=2\pi m_i,
\qquad m_i\in\mathbb Z. k ⋅ N i a i = 2 π m i , m i ∈ Z . 因此允许 k \boldsymbol k k m − 1 \mathrm{m^{-1}} m − 1 ( 2 π ) 3 / V (2\pi)^3/V ( 2 π ) 3 / V N i → ∞ N_i\to\infty N i → ∞
对一般非正交原胞，满足边界的波矢可以直接写成
k = m 1 N 1 b 1 + m 2 N 2 b 2 + m 3 N 3 b 3 . \boldsymbol k
=\frac{m_1}{N_1}\boldsymbol b_1
+\frac{m_2}{N_2}\boldsymbol b_2
+\frac{m_3}{N_3}\boldsymbol b_3. k = N 1 m 1 b 1 + N 2 m 2 b 2 + N 3 m 3 b 3 . 在每个 m i m_i m i N i N_i N i N c N_c N c N i a i N_ia_i N i a i 1 / N i 1/N_i 1/ N i
倒易点阵与第一 Brillouin 区
采用把 2 π 2\pi 2 π
b 1 = 2 π a 2 × a 3 a 1 ⋅ ( a 2 × a 3 ) , \boldsymbol b_1
=2\pi\frac{\boldsymbol a_2\times\boldsymbol a_3}
{\boldsymbol a_1\cdot(\boldsymbol a_2\times\boldsymbol a_3)}, b 1 = 2 π a 1 ⋅ ( a 2 × a 3 ) a 2 × a 3 , 其余由循环置换得到。于是
a i ⋅ b j = 2 π δ i j . \boldsymbol a_i\cdot\boldsymbol b_j=2\pi\delta_{ij}. a i ⋅ b j = 2 π δ ij . b i \boldsymbol b_i b i
G = h b 1 + k b 2 + l b 3 , h , k , l ∈ Z \boldsymbol G=h\boldsymbol b_1+k\boldsymbol b_2+l\boldsymbol b_3,
\qquad h,k,l\in\mathbb Z G = h b 1 + k b 2 + l b 3 , h , k , l ∈ Z 的单位都是 m − 1 \mathrm{m^{-1}} m − 1 f ( r ) = ∑ G f G e i G ⋅ r f(\boldsymbol r)=\sum_{\boldsymbol G}f_{\boldsymbol G}
e^{i\boldsymbol G\cdot\boldsymbol r} f ( r ) = ∑ G f G e i G ⋅ r e i G ⋅ R = 1 e^{i\boldsymbol G\cdot\boldsymbol R}=1 e i G ⋅ R = 1 a i ⋅ b ~ j = δ i j \boldsymbol a_i\cdot\tilde{\boldsymbol b}_j=\delta_{ij} a i ⋅ b ~ j = δ ij 2 π 2\pi 2 π
第一 Brillouin 区是倒易点阵原点的 Wigner–Seitz 胞：对每个非零 G \boldsymbol G G
Ω B Z = ( 2 π ) 3 Ω c . \Omega_{\mathrm{BZ}}=\frac{(2\pi)^3}{\Omega_c}. Ω BZ = Ω c ( 2 π ) 3 . 在周期介质中，k \boldsymbol k k k + G \boldsymbol k+\boldsymbol G k + G
非立方晶格可用实空间度量
g i j = a i ⋅ a j g_{ij}=\boldsymbol a_i\cdot\boldsymbol a_j g ij = a i ⋅ a j g i j ∗ = b i ⋅ b j g^*_{ij}=\boldsymbol b_i\cdot\boldsymbol b_j g ij ∗ = b i ⋅ b j g ∗ = ( 2 π ) 2 g − 1 g^*=(2\pi)^2g^{-1} g ∗ = ( 2 π ) 2 g − 1 h = ( h , k , l ) T \boldsymbol h=(h,k,l)^T h = ( h , k , l ) T
∣ G h k l ∣ 2 = h T g ∗ h . |\boldsymbol G_{hkl}|^2
=\boldsymbol h^Tg^*\boldsymbol h. ∣ G hk l ∣ 2 = h T g ∗ h . 这给出正交、六方或斜晶胞统一的晶面间距算法。所有 g i j g_{ij} g ij m 2 \mathrm{m^2} m 2 g i j ∗ g^*_{ij} g ij ∗ m − 2 \mathrm{m^{-2}} m − 2
第一 Brillouin 区某个边界面上的点满足到原点和某个
G \boldsymbol G G
∣ k ∣ = ∣ k − G ∣ ⟺ k ⋅ G = G 2 2 . |\boldsymbol k|=|\boldsymbol k-\boldsymbol G|
\quad\Longleftrightarrow\quad
\boldsymbol k\cdot\boldsymbol G=\frac{G^2}{2}. ∣ k ∣ = ∣ k − G ∣ ⟺ k ⋅ G = 2 G 2 . 这个面也正是波矢 k \boldsymbol k k k − G \boldsymbol k-\boldsymbol G k − G
例 2：简单立方的倒易尺度与有限波矢
简单立方 a i = a e i \boldsymbol a_i=a\boldsymbol e_i a i = a e i b i = ( 2 π / a ) e i \boldsymbol b_i=(2\pi/a)\boldsymbol e_i b i = ( 2 π / a ) e i a = 0.400 n m = 4.00 × 10 − 10 m a=0.400\,\mathrm{nm}=4.00\times10^{-10}\,\mathrm m a = 0.400 nm = 4.00 × 1 0 − 10 m
2 π a = 1.57 × 10 10 m − 1 , \frac{2\pi}{a}=1.57\times10^{10}\,\mathrm{m^{-1}}, a 2 π = 1.57 × 1 0 10 m − 1 , 第一 Brillouin 区为
− π / a ≤ k x , k y , k z < π / a -\pi/a\le k_x,k_y,k_z<\pi/a − π / a ≤ k x , k y , k z < π / a π / a = 7.85 × 10 9 m − 1 \pi/a=7.85\times10^9\,\mathrm{m^{-1}} π / a = 7.85 × 1 0 9 m − 1 N = 100 N=100 N = 100 Δ k = 2 π / ( N a ) = 1.57 × 10 8 m − 1 \Delta k=2\pi/(Na)=1.57\times10^8\,\mathrm{m^{-1}} Δ k = 2 π / ( N a ) = 1.57 × 1 0 8 m − 1 10 6 = N c 10^6=N_c 1 0 6 = N c
例 3：非正交六方基的倒易矢量
取
a 1 = a ( 1 , 0 , 0 ) , a 2 = a ( 1 / 2 , 3 / 2 , 0 ) , a 3 = c ( 0 , 0 , 1 ) . \boldsymbol a_1=a(1,0,0),\quad
\boldsymbol a_2=a(1/2,\sqrt3/2,0),\quad
\boldsymbol a_3=c(0,0,1). a 1 = a ( 1 , 0 , 0 ) , a 2 = a ( 1/2 , 3 /2 , 0 ) , a 3 = c ( 0 , 0 , 1 ) . 原胞体积和一组倒易基为
Ω c = 3 2 a 2 c , \Omega_c=\frac{\sqrt3}{2}a^2c, Ω c = 2 3 a 2 c , b 1 = 2 π a ( 1 , − 1 3 , 0 ) , b 2 = 4 π 3 a ( 0 , 1 , 0 ) , b 3 = 2 π c ( 0 , 0 , 1 ) . \boldsymbol b_1=\frac{2\pi}{a}
\left(1,-\frac1{\sqrt3},0\right),\quad
\boldsymbol b_2=\frac{4\pi}{\sqrt3a}(0,1,0),\quad
\boldsymbol b_3=\frac{2\pi}{c}(0,0,1). b 1 = a 2 π ( 1 , − 3 1 , 0 ) , b 2 = 3 a 4 π ( 0 , 1 , 0 ) , b 3 = c 2 π ( 0 , 0 , 1 ) . 逐项点积可得
a i ⋅ b j = 2 π δ i j \boldsymbol a_i\cdot\boldsymbol b_j=2\pi\delta_{ij} a i ⋅ b j = 2 π δ ij a = 0.250 n m a=0.250\,\mathrm{nm} a = 0.250 nm c = 0.400 n m c=0.400\,\mathrm{nm} c = 0.400 nm Ω c = 2.17 × 10 − 29 m 3 \Omega_c=2.17\times10^{-29}\,\mathrm{m^3} Ω c = 2.17 × 1 0 − 29 m 3 ∣ b 1 ∣ = ∣ b 2 ∣ = 2.90 × 10 10 m − 1 |\boldsymbol b_1|=|\boldsymbol b_2|=2.90\times10^{10}\,\mathrm{m^{-1}} ∣ b 1 ∣ = ∣ b 2 ∣ = 2.90 × 1 0 10 m − 1 ∣ b 3 ∣ = 1.57 × 10 10 m − 1 |\boldsymbol b_3|=1.57\times10^{10}\,\mathrm{m^{-1}} ∣ b 3 ∣ = 1.57 × 1 0 10 m − 1
晶面、Miller 指数与间距
Miller 指数 ( h k l ) (hkl) ( hk l ) G h k l = h b 1 + k b 2 + l b 3 \boldsymbol G_{hkl}=h\boldsymbol b_1+k\boldsymbol b_2+l\boldsymbol b_3 G hk l = h b 1 + k b 2 + l b 3
d h k l = 2 π ∣ G h k l ∣ . d_{hkl}=\frac{2\pi}{|\boldsymbol G_{hkl}|}. d hk l = ∣ G hk l ∣ 2 π . 简单立方中
d h k l = a h 2 + k 2 + l 2 . d_{hkl}=\frac a{\sqrt{h^2+k^2+l^2}}. d hk l = h 2 + k 2 + l 2 a . 指数是互质整数标签，没有长度单位；d h k l d_{hkl} d hk l a a a ( 000 ) (000) ( 000 ) ∣ G h k l ∣ |\boldsymbol G_{hkl}| ∣ G hk l ∣
Laue 条件、Bragg 条件与结构因子
弹性散射的入射、出射波矢分别为 k i , k f \boldsymbol k_i,\boldsymbol k_f k i , k f ∣ k i ∣ = ∣ k f ∣ = 2 π / λ |\boldsymbol k_i|=|\boldsymbol k_f|=2\pi/\lambda ∣ k i ∣ = ∣ k f ∣ = 2 π / λ
k f − k i = G . \boldsymbol k_f-\boldsymbol k_i=\boldsymbol G. k f − k i = G . 这是 Laue 条件。与晶面图像结合可写成 Bragg 条件
2 d h k l sin θ = m λ , 2d_{hkl}\sin\theta=m\lambda, 2 d hk l sin θ = mλ , 其中 θ \theta θ 2 θ 2\theta 2 θ m m m
Laue 条件还可用 Ewald 球复算。在倒易空间从原点画入射波矢
k i \boldsymbol k_i k i ∣ k i ∣ = 2 π / λ |\boldsymbol k_i|=2\pi/\lambda ∣ k i ∣ = 2 π / λ G \boldsymbol G G k f = k i + G \boldsymbol k_f=\boldsymbol k_i+\boldsymbol G k f = k i + G m − 1 \mathrm{m^{-1}} m − 1 2 π 2\pi 2 π
单晶实验保留倒易点方向信息；粉末样品的微晶取向近似随机，同一
∣ G ∣ |\boldsymbol G| ∣ G ∣ d h k l d_{hkl} d hk l 2 θ 2\theta 2 θ ( h k l ) (hkl) ( hk l )
例 4：立方晶体的衍射角
取简单立方 a = 0.400 n m a=0.400\,\mathrm{nm} a = 0.400 nm ( 110 ) (110) ( 110 ) λ = 0.154 n m \lambda=0.154\,\mathrm{nm} λ = 0.154 nm
d 110 = 0.400 2 n m = 0.283 n m . d_{110}=\frac{0.400}{\sqrt2}\,\mathrm{nm}
=0.283\,\mathrm{nm}. d 110 = 2 0.400 nm = 0.283 nm . 一级峰满足
sin θ = λ 2 d 110 = 0.272 , θ ≈ 15.8 ∘ . \sin\theta=\frac{\lambda}{2d_{110}}
=0.272,
\qquad \theta\approx15.8^\circ. sin θ = 2 d 110 λ = 0.272 , θ ≈ 15. 8 ∘ . 因此衍射仪扫描角约为 2 θ = 31.6 ∘ 2\theta=31.6^\circ 2 θ = 31. 6 ∘ sin θ > 1 \sin\theta>1 sin θ > 1 90 ∘ 90^\circ 9 0 ∘
点阵相干只判断几何位置。一个原胞内多个散射中心还会相互干涉。对散射矢量等于 G \boldsymbol G G
F ( G ) = ∑ α = 1 r f α ( G ) e − i G ⋅ τ α . F(\boldsymbol G)
=\sum_{\alpha=1}^{r}
f_\alpha(\boldsymbol G)
e^{-i\boldsymbol G\cdot\boldsymbol\tau_\alpha}. F ( G ) = α = 1 ∑ r f α ( G ) e − i G ⋅ τ α . f α f_\alpha f α ∣ F ∣ 2 |F|^2 ∣ F ∣ 2 F = 0 F=0 F = 0
无限点阵给理想离散条件，有限晶体只给窄峰。以一维 N N N Q Q Q
S N ( Q ) = ∑ n = 0 N − 1 e i Q n a = e i ( N − 1 ) Q a / 2 sin ( N Q a / 2 ) sin ( Q a / 2 ) . S_N(Q)=\sum_{n=0}^{N-1}e^{iQna}
=e^{i(N-1)Qa/2}
\frac{\sin(NQa/2)}{\sin(Qa/2)}. S N ( Q ) = n = 0 ∑ N − 1 e i Q na = e i ( N − 1 ) Q a /2 sin ( Q a /2 ) sin ( NQ a /2 ) . 在 Q a = 2 π m Qa=2\pi m Q a = 2 πm N N N Δ Q ∼ 2 π / ( N a ) \Delta Q\sim2\pi/(Na) Δ Q ∼ 2 π / ( N a )
温度涨落会使不同胞的相位相干减弱，常以 Debye–Waller 因子降低大
∣ G ∣ |\boldsymbol G| ∣ G ∣
例 5：两点基元造成奇偶消光
用边长 a a a τ 1 = ( 0 , 0 , 0 ) \boldsymbol\tau_1=(0,0,0) τ 1 = ( 0 , 0 , 0 ) τ 2 = ( a / 2 , a / 2 , a / 2 ) \boldsymbol\tau_2=(a/2,a/2,a/2) τ 2 = ( a /2 , a /2 , a /2 ) f 1 = f 2 = f f_1=f_2=f f 1 = f 2 = f G = ( 2 π / a ) ( h , k , l ) \boldsymbol G=(2\pi/a)(h,k,l) G = ( 2 π / a ) ( h , k , l )
F h k l = f [ 1 + e − i π ( h + k + l ) ] . F_{hkl}
=f\left[1+e^{-i\pi(h+k+l)}\right]. F hk l = f [ 1 + e − iπ ( h + k + l ) ] . 若 h + k + l h+k+l h + k + l F = 2 f F=2f F = 2 f F = 0 F=0 F = 0 ( 110 ) (110) ( 110 ) ( 100 ) (100) ( 100 ) ( 100 ) (100) ( 100 ) f 1 ≠ f 2 f_1\ne f_2 f 1 = f 2
连续近似与模型边界
晶体几何在原子尺度离散。只有当位移、温度或密度等场在许多原胞上缓慢变化，即特征波长 λ f i e l d ≫ a \lambda_{\mathrm{field}}\gg a λ field ≫ a
常见误区
常见误区
“一个晶胞就是一个原子。”晶胞是平移计数区域；每胞原子数由点阵点共享规则和基元共同决定。
常见误区
“倒易矢量的单位是米，因为它也叫晶格矢量。”倒易矢量是空间频率，单位为 m − 1 \mathrm{m^{-1}} m − 1
常见误区
“满足 Bragg 条件就一定有可见峰。”还必须检查结构因子、散射振幅、温度展宽和实验几何。
练习：结构、计数与衍射
练习
所属知识 原胞体积
难度 3/5 验证例 1 的 BCC 原始矢量体积，并说明常规胞含多少个原胞与单原子基元。
查看提示 计算三个给定原始矢量的三重积，再与常规胞体积比较。
查看解答 BCC 所给原始矢量三重积绝对值为
a 3 / 2 a^{3}/2 a 3 /2 ；常规立方胞体积
a 3 a^{3} a 3 ，含两个原胞。单原子基元时常规胞含两个原子。
练习
所属知识 对偶基
难度 3/5 从倒易基定义证明 a i ⋅ b j = 2 π δ i j \boldsymbol a_i\cdot\boldsymbol b_j=2\pi\delta_{ij} a i ⋅ b j = 2 π δ ij
查看提示 先用叉积公式构造
b i b_i b i ，再逐项计算
a i ⋅ b j a_i\cdot b_j a i ⋅ b j 。
查看解答 由定义
b 1 = 2 π ( a 2 × a 3 ) / Ω c b_1=2\pi(a_2\times a_3)/\Omega_c b 1 = 2 π ( a 2 × a 3 ) / Ω c ，故
a 1 ⋅ b 1 = 2 π a_1\cdot b_1=2\pi a 1 ⋅ b 1 = 2 π ；
a 2 a_2 a 2 、
a 3 a_3 a 3 与自身叉积法向正交，给 0。循环置换得到
a i ⋅ b j = 2 π δ i j a_i\cdot b_j=2\pi \delta_{ij} a i ⋅ b j = 2 π δ ij ，
b i b_i b i 单位
m − 1 m^{-1} m − 1 。
练习
所属知识 周期边界计数
难度 3/5 对正交晶格的 N 1 × N 2 × N 3 N_1\times N_2\times N_3 N 1 × N 2 × N 3
查看提示 每方向允许 k 间隔是
2 π / ( N i a i ) 2\pi/(N_i a_i) 2 π / ( N i a i ) ，第一 Brillouin 区长度为
2 π / a i 2\pi/a_i 2 π / a i 。
查看解答 正交原胞下每方向一区内有
N i N_i N i 个离散 k 值，因此总数
N 1 N 2 N 3 = N c N_1N_2N_3=N_c N 1 N 2 N 3 = N c 。每点占据倒易体积
( 2 π ) 3 / V (2\pi)^{3}/V ( 2 π ) 3 / V ；边界端点只保留一个以免重复。
练习
所属知识 Miller 晶面
难度 2/5 简单立方晶格 a = 0.360 n m a=0.360\,\mathrm{nm} a = 0.360 nm d 111 d_{111} d 111 ∣ G 111 ∣ |\boldsymbol G_{111}| ∣ G 111 ∣
查看提示 简单立方使用
d h k l = a / h 2 + k 2 + l 2 d_{hkl}=a/\sqrt{h^{2}+k^{2}+l^{2}} d hk l = a / h 2 + k 2 + l 2 。
查看解答 d 111 = 0.360 n m / 3 = 0.208 n m d_{111}=0.360 nm/\sqrt{3}=0.208 nm d 111 = 0.360 nm / 3 = 0.208 nm 。对应
∣ G 111 ∣ = 2 π / d ≈ 3.02 × 10 10 m − 1 |G_{111}|=2\pi/d\approx 3.02\times 10^{10} m^{-1} ∣ G 111 ∣ = 2 π / d ≈ 3.02 × 1 0 10 m − 1 。指数无量纲，d 是长度，G 是逆长度。
练习
所属知识 Bragg 边界
难度 3/5 晶面间距 d = 0.200 n m d=0.200\,\mathrm{nm} d = 0.200 nm λ = 0.250 n m \lambda=0.250\,\mathrm{nm} λ = 0.250 nm
查看提示 一级反射先计算
λ / ( 2 d ) \lambda/(2d) λ / ( 2 d ) ，并检查是否不大于 1。
查看解答 d=0.200 nm、
λ = 0.250 n m \lambda=0.250 nm λ = 0.250 nm 时
sin θ = 0.625 \sin\theta=0.625 sin θ = 0.625 ，
θ ≈ 38.7 \theta \approx 38.7 θ ≈ 38.7 °、
2 θ ≈ 77.4 2\theta \approx 77.4 2 θ ≈ 77.4 °。二级需要
sin θ = 1.25 > 1 \sin\theta=1.25>1 sin θ = 1.25 > 1 ，因此不存在。
练习
所属知识 结构因子
难度 4/5 对 ( 0 , 0 , 0 ) (0,0,0) ( 0 , 0 , 0 ) ( a / 2 , a / 2 , a / 2 ) (a/2,a/2,a/2) ( a /2 , a /2 , a /2 ) f 1 ≠ f 2 f_1\ne f_2 f 1 = f 2 F h k l F_{hkl} F hk l
查看提示 把两位置分别代入
exp ( − i G ⋅ τ ) \exp(-iG\cdot \tau) exp ( − i G ⋅ τ ) ，按 h+k+l 奇偶分类。
查看解答 F = f 1 + f 2 ( − 1 ) h + k + l F=f_1+f_2(-1)^{h+k+l} F = f 1 + f 2 ( − 1 ) h + k + l 。若
f 1 = f 2 f_1=f_2 f 1 = f 2 ，奇数和严格消光、偶数和振幅 2f；若
f 1 ≠ f 2 f_1\ne f_2 f 1 = f 2 ，奇数和振幅
f 1 − f 2 f_1-f_2 f 1 − f 2 ，一般不为零。
知识连接与后续路线
课程 · 2006 Physics of Solids I Xiao-Gang Wen
用于核对 P10 的晶格记号、倒易空间、声子色散、电子态密度、Bloch 能带和半导体例题。
打开官方来源 MIT OpenCourseWare 8.231 的晶体结构与倒易空间内容可用于核对本章基矢约定、Brillouin 区及衍射推导。本章所有数值均为明确给定的教学例题参数，不把理想模型结果冒充特定材料的测量值。