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P04 · 第 1 章 · 第一编 静电学

Coulomb 定律、电场与 Gauss 定律

从点电荷之间的 Coulomb 力建立电场与叠加原理，把离散电荷推广到连续分布，并以定向通量和 Gauss 定律求解球、柱、平面对称的静电场。

难度 3/5约 175 分钟最近修订 2026-07-14
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预备知识向量多重积分物理量、量纲与单位制

本章目标

  1. 在明确源点、场点和位移矢量方向后，计算点电荷系统的 Coulomb 力与电场。
  2. 把线、面、体电荷密度写成带 SI 单位的积分，并检查积分元与最终场强的量纲。
  3. 按闭合曲面的外法向定义电通量，区分通量的正负、场强大小和曲面形状。
  4. 由 Gauss 定律在球、柱和平面对称条件下求场，并说明为何缺少对称性时该定律仍正确却未必便于求解。
  5. 判断静电平衡导体内部、表面及空腔的场与电荷分布，保持法向和符号约定一致。
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电荷、方向与单位约定

静电学研究相对观察时间尺度近似静止的电荷。电荷量记为 qq，SI 单位为库仑（C\mathrm C）；基本电荷的大小约为 e=1.602×10−19 Ce=1.602\times10^{-19}\,\mathrm C。宏观物体的净电荷可以是正或负，电荷代数和在孤立系统中守恒。本章在真空中取

ε0=8.854×10−12 C2 N−1 m−2,ke=14πε0≈8.988×109 N m2 C−2.\varepsilon_0=8.854\times10^{-12}\,\mathrm{C^2\,N^{-1}\,m^{-2}}, \qquad k_e=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\approx8.988\times10^9\,\mathrm{N\,m^2\,C^{-2}}.

为避免方向错误，源电荷的位置记为 r′\boldsymbol r'，求场位置记为 r\boldsymbol r，并始终定义

R=r−r′,R=∥R∥,R^=RR.\boldsymbol R=\boldsymbol r-\boldsymbol r', \qquad R=\lVert\boldsymbol R\rVert, \qquad \widehat{\boldsymbol R}=\frac{\boldsymbol R}{R}.

R^\widehat{\boldsymbol R} 从源点指向场点。正电荷产生的场沿它，负电荷产生的场与它反向。这个约定比“向左取负、向右取正”的口头记忆可靠，因为它可以直接用于三维积分。

Coulomb 定律与电场定义

真空中的 Coulomb 定律

两个点电荷 q1q_1、q2q_2 位于 r1\boldsymbol r_1、r2\boldsymbol r_2。电荷 1 对电荷 2 的力为

F1→2=keq1q2∥r2−r1∥3(r2−r1).\boldsymbol F_{1\to2} =k_e\frac{q_1q_2}{\lVert\boldsymbol r_2-\boldsymbol r_1\rVert^3} (\boldsymbol r_2-\boldsymbol r_1).

若 q1q2>0q_1q_2>0，力从电荷 1 指向电荷 2，表现为排斥；若 q1q2<0q_1q_2<0，方向相反，表现为吸引。交换下标会使位移矢量反向，所以 F2→1=−F1→2\boldsymbol F_{2\to1}=-\boldsymbol F_{1\to2}。

电场把“源产生的环境”与“放入其中的试探电荷”分开。定义

E(r)=lim⁡q0→0Fq0,\boldsymbol E(\boldsymbol r)=\lim_{q_0\to0}\frac{\boldsymbol F}{q_0},

其中极限表示试探电荷不能显著扰动原电荷分布。电场单位为 N C−1\mathrm{N\,C^{-1}}，也等于 V m−1\mathrm{V\,m^{-1}}。点电荷 qq 在场点产生

E(r)=14πε0q(r−r′)∥r−r′∥3.\boldsymbol E(\boldsymbol r) =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q(\boldsymbol r-\boldsymbol r')}{\lVert\boldsymbol r-\boldsymbol r'\rVert^3}.

若把电荷 q0q_0 放在该处，所受电力是 F=q0E\boldsymbol F=q_0\boldsymbol E。当 q0<0q_0<0 时，受力方向与电场相反；电场方向的定义始终以正试探电荷为准。

叠加原理：矢量先分解再相加

经典静电场满足线性叠加。对 NN 个点电荷，

E(r)=14πε0∑i=1Nqir−ri∥r−ri∥3.\boldsymbol E(\boldsymbol r) =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \sum_{i=1}^N q_i \frac{\boldsymbol r-\boldsymbol r_i}{\lVert\boldsymbol r-\boldsymbol r_i\rVert^3}.

每一项都要保留符号和方向，最后才取合场大小。把各场强的大小直接相加，只在所有分量恰好同向时成立。

例 1：两个异号点电荷的二维合场

在 xyxy 平面上，q1=+3.00 nCq_1=+3.00\,\mathrm{nC} 位于 (−0.10,0) m(-0.10,0)\,\mathrm m，q2=−2.00 nCq_2=-2.00\,\mathrm{nC} 位于 (0.10,0) m(0.10,0)\,\mathrm m。求场点 P=(0,0.20) mP=(0,0.20)\,\mathrm m 的电场。两条源点到场点的位移为

R1=(0.10,0.20) m,R2=(−0.10,0.20) m,\boldsymbol R_1=(0.10,0.20)\,\mathrm m, \qquad \boldsymbol R_2=(-0.10,0.20)\,\mathrm m,

且 R1=R2=0.05 m≈0.2236 mR_1=R_2=\sqrt{0.05}\,\mathrm m\approx0.2236\,\mathrm m。代入带符号的矢量式，

E1≈(241.2,482.4) N C−1,E2≈(160.8,−321.5) N C−1.\boldsymbol E_1\approx(241.2,482.4)\,\mathrm{N\,C^{-1}}, \qquad \boldsymbol E_2\approx(160.8,-321.5)\,\mathrm{N\,C^{-1}}.

第二个分量的方向容易判断：负电荷的场指向 q2q_2，所以在 PP 处应向右下方。合场为

EP≈(402.0,160.9) N C−1,\boldsymbol E_P\approx(402.0,160.9)\,\mathrm{N\,C^{-1}},

大小约 433 N C−1433\,\mathrm{N\,C^{-1}}，方向相对 +x+x 轴逆时针约 21.8∘21.8^\circ。若放入 −1.00 nC-1.00\,\mathrm{nC} 的试探电荷，受力为 −EP×10−9 C-\boldsymbol E_P\times10^{-9}\,\mathrm C，方向与上面的合场相反。

从离散电荷到连续电荷分布

连续模型用电荷密度描述许多微观电荷的宏观分布。线电荷密度 λ\lambda 的单位为 C m−1\mathrm{C\,m^{-1}}，面电荷密度 σ\sigma 的单位为 C m−2\mathrm{C\,m^{-2}}，体电荷密度 ρ\rho 的单位为 C m−3\mathrm{C\,m^{-3}}。相应电荷元为

dq=λ dℓ′,dq=σ dA′,dq=ρ dV′.\mathrm dq=\lambda\,\mathrm d\ell', \qquad \mathrm dq=\sigma\,\mathrm dA', \qquad \mathrm dq=\rho\,\mathrm dV'.

例如体分布产生

E(r)=14πε0∭Vρ(r′)r−r′∥r−r′∥3 dV′.\boldsymbol E(\boldsymbol r)= \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \iiint_V \rho(\boldsymbol r') \frac{\boldsymbol r-\boldsymbol r'}{\lVert\boldsymbol r-\boldsymbol r'\rVert^3} \,\mathrm dV'.

积分变量带撇号，表示遍历源区；r\boldsymbol r 在积分时固定。ρ dV′\rho\,\mathrm dV' 的单位是库仑，核的单位是 m−2\mathrm{m^{-2}}，再乘 kek_e 得到 N C−1\mathrm{N\,C^{-1}}。连续模型并不消除奇点：若场点落在理想线电荷或点电荷上，模型会给出发散结果，真实有限半径结构需要更细的分布描述。

电通量与闭合曲面的取向

电通量

对有向曲面 SS，面积矢量写成 dA=n^ dA\mathrm d\boldsymbol A=\widehat{\boldsymbol n}\,\mathrm dA，电通量为

ΦE=∬SE⋅dA.\Phi_E=\iint_S\boldsymbol E\cdot\mathrm d\boldsymbol A.

闭合曲面记作 ∮S\oint_S，法向统一取外法向。场线穿出曲面给正贡献，穿入给负贡献，切向场贡献为零。通量单位是 N m2 C−1\mathrm{N\,m^2\,C^{-1}}。

通量不是“曲面内电场总量”。均匀场穿过一个封闭盒子时，一侧流入、另一侧流出，净通量可以为零，但盒内电场并不为零。开放曲面的法向必须另行声明；反转法向会使通量变号。

对包围点电荷 qq 的半径 rr 球面，场处处沿外法向且大小恒定，

ΦE=∮SE dA=q4πε0r2(4πr2)=qε0.\Phi_E=\oint_S E\,\mathrm dA =\frac{q}{4\pi\varepsilon_0r^2}(4\pi r^2) =\frac{q}{\varepsilon_0}.

球半径消失不是巧合。对任意不穿过电荷的变形闭合面，每个微小面积在源点张开的立体角改变，但总立体角仍为 4π4\pi；净通量只记录包围的净电荷。

Gauss 定律的积分形式与微分形式

真空中的 Gauss 定律

任意闭合曲面 S=∂VS=\partial V 满足

∮∂VE⋅dA=Qencε0=1ε0∭Vρ dV.\oint_{\partial V}\boldsymbol E\cdot\mathrm d\boldsymbol A =\frac{Q_{\mathrm{enc}}}{\varepsilon_0} =\frac{1}{\varepsilon_0}\iiint_V\rho\,\mathrm dV.

QencQ_{\mathrm{enc}} 是曲面内部的代数净电荷。曲面外电荷会影响曲面各处的 E\boldsymbol E，但其场线进入和离开所给的净通量相消。

使用 Gauss 散度定理，左侧可写为 ∭V∇⋅E dV\iiint_V\nabla\cdot\boldsymbol E\,\mathrm dV。若场与密度在所考察区域足够规则，并允许任取小体积，就得到局部形式

∇⋅E=ρε0.\nabla\cdot\boldsymbol E=\frac{\rho}{\varepsilon_0}.

积分形式适合处理点电荷和跨越表面电荷的场跳变；微分形式适合描述普通点附近的局部源强。点电荷处不能把普通函数意义下的散度简单设为零再宣称无源，其奇异性要由积分形式或三维 Dirac 分布表达。

Gauss 面如何借助对称性求场

Gauss 定律对所有电荷分布都成立，但只有当对称性足以确定曲面上场的方向和大小时，它才直接给出 EE。选择 Gauss 面前先问三件事：哪些刚体变换保持源分布不变；电场在这些变换下允许指向哪里；能否找到一块闭合曲面，使非零通量部分上的 EE 为常数。

例 2：无限长均匀线电荷

令无限线电荷沿 zz 轴，线密度为 λ=6.00 nC m−1\lambda=6.00\,\mathrm{nC\,m^{-1}}。绕轴旋转和平移源分布都不变，因此场只能沿柱坐标径向 e^r\widehat{\boldsymbol e}_r，且只依赖距离 rr。取半径 rr、长度 LL 的同轴圆柱作为 Gauss 面。侧面外法向与场同向，两个端面的法向为 ±e^z\pm\widehat{\boldsymbol e}_z，端面通量为零。于是

E(r)(2πrL)=λLε0,E(r)=λ2πε0re^r.E(r)(2\pi rL)=\frac{\lambda L}{\varepsilon_0}, \qquad \boldsymbol E(r)=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0r}\widehat{\boldsymbol e}_r.

在 r=0.0400 mr=0.0400\,\mathrm m 处，E≈2.70×103 N C−1E\approx2.70\times10^3\,\mathrm{N\,C^{-1}}，λ>0\lambda>0 所以方向离轴向外。长度 LL 被约去，说明它只是辅助曲面的参数。有限长细棒在端部附近没有平移对称性，不能沿用这个结果。

例 3：均匀带电实心球的内外场

半径 R=0.0500 mR=0.0500\,\mathrm m 的绝缘球内均匀分布 ρ=2.00 μC m−3\rho=2.00\,\mathrm{\mu C\,m^{-3}}。球对称要求 E=E(r)e^r\boldsymbol E=E(r)\widehat{\boldsymbol e}_r。当 r<Rr<R 时，包围电荷为 Qenc=ρ(4πr3/3)Q_{\mathrm{enc}}=\rho(4\pi r^3/3)，故

E(r)=ρr3ε0e^r,r<R.\boldsymbol E(r)=\frac{\rho r}{3\varepsilon_0}\widehat{\boldsymbol e}_r, \qquad r<R.

在 r=0.0200 mr=0.0200\,\mathrm m 处，E≈1.51×103 N C−1E\approx1.51\times10^3\,\mathrm{N\,C^{-1}}。当 r≥Rr\ge R 时，总电荷

Q=4πR33ρ≈1.047×10−9 C,Q=\frac{4\pi R^3}{3}\rho\approx1.047\times10^{-9}\,\mathrm C,

所以外场等于同电量点电荷的场。在 r=0.100 mr=0.100\,\mathrm m 处，E≈9.41×102 N C−1E\approx9.41\times10^2\,\mathrm{N\,C^{-1}}。内场随 rr 线性增大，外场随 r−2r^{-2} 减小；两式在 r=Rr=R 给出同一值，因为这里没有额外的理想面电荷层。

无限均匀平面也有可直接利用的对称性。若面电荷密度为 σ\sigma，场必须垂直平面且两侧大小相等。跨过平面的薄柱面给出 2EA=σA/ε02EA=\sigma A/\varepsilon_0，因此两侧 E=∣σ∣/(2ε0)E=|\sigma|/(2\varepsilon_0)。该场不随距离衰减，是“无限平面”理想化的结果；有限板远处仍呈现总电荷的 r−2r^{-2} 行为。

用局部方程复核积分结果

对称性给出候选场后，还应回到局部方程和边界检查。无限线电荷的外部区域 r>0r>0 没有体电荷；柱坐标中纯径向场的散度为

∇⋅E=1rddr[rEr(r)].\nabla\cdot\boldsymbol E =\frac1r\frac{\mathrm d}{\mathrm dr}[rE_r(r)].

代入 Er=λ/(2πε0r)E_r=\lambda/(2\pi\varepsilon_0r)，括号内为常数，故源线之外散度为零。奇异源仍由包围轴线的圆柱通量记录，不能因普通点上的散度为零就删掉线电荷。均匀实心球内部代入 Er=ρr/(3ε0)E_r=\rho r/(3\varepsilon_0)，球坐标散度

∇⋅E=1r2ddr[r2Er(r)]=ρε0,\nabla\cdot\boldsymbol E =\frac1{r^2}\frac{\mathrm d}{\mathrm dr}[r^2E_r(r)] =\frac{\rho}{\varepsilon_0},

正好恢复局部 Gauss 定律。球面两侧场连续，是因为体密度在边界截断却没有附加的零厚度面电荷；若另放置 σ\sigma，法向场必须跳变 σ/ε0\sigma/\varepsilon_0。这种“候选解—局部方程—边界跳变—远场”四步核验能及时发现遗漏因子、错误幂次和法向符号。

静电平衡导体与表面跳变

理想导体中有可移动电荷。静电平衡时，导体材料内部若有非零电场，自由电荷会继续运动，因而必须有 E=0\boldsymbol E=\boldsymbol0。取完全位于导体材料内部的 Gauss 面可得其包围净电荷为零，多余电荷停留在表面。导体表面的切向电场也必须为零，否则表面电荷仍会沿表面移动。

设单位法向 n^\widehat{\boldsymbol n} 从导体指向外部真空，表面自由电荷密度为 σ\sigma。用跨过表面的极薄柱面应用 Gauss 定律，得到

(Eout−Ein)⋅n^=σε0.(\boldsymbol E_{\mathrm{out}}-\boldsymbol E_{\mathrm{in}})\cdot\widehat{\boldsymbol n} =\frac{\sigma}{\varepsilon_0}.

静电平衡导体内 Ein=0\boldsymbol E_{\mathrm{in}}=0，所以紧邻表面的外场为 Eout=(σ/ε0)n^\boldsymbol E_{\mathrm{out}}=(\sigma/\varepsilon_0)\widehat{\boldsymbol n}。当 σ<0\sigma<0，场方向与所选外法向相反，指向导体。孤立导体空腔若内部没有电荷，在静电平衡下空腔场为零；若空腔中放入净电荷，内表面会感应出相反的总电荷，而导体材料内部仍保持零场。

方法边界与易错点

常见误区

“闭合面内没有净电荷，所以曲面上处处 E=0E=0。”Gauss 定律只给出净通量为零。外部电荷或内部异号电荷仍可产生非零场，只是穿入与穿出通量相消。

常见误区

“只要画一个圆柱就能求任意长棒的场。”辅助曲面的形状不会创造源分布缺少的对称性。有限棒、弯曲线电荷或非均匀 λ(z)\lambda(z) 通常要直接积分或用数值方法。

常见误区

“负电荷产生负的场强大小。”场强大小 E=∥E∥E=\lVert\boldsymbol E\rVert 非负；负号出现在分量或相对所选法向的投影中，用来表达方向。

Coulomb 定律采用点电荷、静止电荷、真空和经典尺度。介质会极化，快速变化的源还会产生不可忽略的磁场与辐射；这些情况要用介质关系或完整 Maxwell 方程。即使在静电近似内，理想点、线、面模型也可能在源处产生发散，不能把数学奇点直接当成可测的无限力。

练习：从叠加到对称场

练习
所属知识
点电荷与矢量方向
难度
2/5

+q+q 与 −q-q 分别位于 (0,a)(0,a) 和 (0,−a)(0,-a)。求原点的电场方向和大小，并说明放入负试探电荷后受力方向。要求写出两条位移矢量，不只画场线。

查看提示
先分别写出从每个源点指向场点的位移矢量；负电荷的符号留在 q 中，不要事后凭图改方向。
查看解答
对上方 +q，源点到原点的位移为 −aey-a e_y，故场为 −(keq/a2)ey-(k_e q/a^{2})e_y；对下方 -q，位移为 +aey+a e_y，但电荷为负，场仍为 −(keq/a2)ey-(k_e q/a^{2})e_y。合场为 −(2keq/a2)ey-(2k_e q/a^{2})e_y。负试探电荷受力与电场反向，沿 +y。
练习
所属知识
连续电荷积分
难度
3/5

均匀细棒长 LL、线密度 λ>0\lambda>0，求其中垂线上距离中心 y>0y>0 处的电场。再取 y≫Ly\gg L，说明结果如何退化为总电荷 Q=λLQ=\lambda L 的点电荷场。

查看提示
对称地把细棒中心放在原点；轴线上横向分量不存在，积分变量取源坐标 x'。
查看解答
若棒沿 xx 轴从 −L/2-L/2 到 L/2L/2，场点为 (0,y)(0,y)，则 dEy=keλy dx′/(x′2+y2)3/2\mathrm dE_y=k_e\lambda y\,\mathrm dx'/(x'^2+y^2)^{3/2}。积分得 Ey=keλL/[yy2+(L/2)2]E_y=k_e\lambda L/[y\sqrt{y^2+(L/2)^2}]，方向由 λ\lambda 与 yy 的符号决定；远场 y≫Ly\gg L 时化为 ke(λL)/y2k_e(\lambda L)/y^2。
练习
所属知识
球壳与 Gauss 定律
难度
2/5

半径 RR 的均匀薄球壳带总电荷 QQ。求壳内与壳外的场，并用 σ=Q/(4πR2)\sigma=Q/(4\pi R^2) 核对表面两侧法向场的跳变。

查看提示
分别选择半径 r<R 与 r>R 的同心球面，并只计算各自包围的电荷。
查看解答
半径 R 的均匀薄球壳在 r<R 时包围电荷为零；球对称又使球面上 E 恒定，故 E=0。r>R 时 E=Q/(4πϵ0r2)E=Q/(4\pi \epsilon_0r^2)，沿径向；Q>0 向外，Q<0 向内。壳面处法向分量跳变 Q/(4πϵ0R2)=σ/ϵ0Q/(4\pi \epsilon_0R^2)=\sigma/\epsilon_0。
练习
所属知识
无限平面与叠加
难度
3/5

两张平行无限薄片分别带 +σ+\sigma 与 −σ-\sigma。求两片之间及外侧的电场，明确每一区域相对片面法向的符号。

查看提示
先求单个无限面在两侧的方向，再在三个空间区间分别叠加。
查看解答
每个正面电荷片在两侧产生大小 σ/(2ϵ0)\sigma/(2\epsilon_0)、背离电荷片的场。两片之间，两场同向，大小 σ/ϵ0\sigma/\epsilon_0，从正片指向负片；两片外侧，两场等大反向而抵消。结论依赖无限平面近似。
练习
所属知识
均匀带电圆柱
难度
3/5

无限长绝缘圆柱半径为 RR，体电荷密度均匀为 ρ\rho。推导内外电场，检查 r=Rr=R 的连续性和 SI 单位。

查看提示
圆柱内部的包围电荷只含半径 r 内的截面；外部则使用完整半径 R。
查看解答
对体密度 ρ\rho、半径 R 的无限圆柱，r<R 时 E(2πrL)=ρπr2L/ϵ0E(2\pi rL)=\rho \pi r^2L/\epsilon_0，故 E=ρr/(2ϵ0)E=\rho r/(2\epsilon_0)；r≥Rr\ge R 时 E=ρR2/(2ϵ0r)E=\rho R^2/(2\epsilon_0r)。ρ>0\rho>0 时沿径向外。两式在 r=R 连续。
练习
所属知识
导体空腔与感应电荷
难度
4/5

一个净电荷为 QQ 的导体含有封闭空腔，空腔中放置 +q+q 点电荷但不接触导体。求内、外表面的总电荷，并说明 Gauss 定律能否单独给出内表面的局部 σ\sigma。

查看提示
在导体材料内部包住空腔作 Gauss 面；静电平衡时该面上 E=0。
查看解答
导体材料内的 Gauss 面通量为零，所以包围净电荷为零。空腔点电荷为 +q，内表面总感应电荷必须为 -q。若导体本来净电荷为 Q，则外表面剩余总电荷为 Q+q。该结论只确定总量，不确定非球形空腔上的局部分布。

知识连接与后续路线

课程 · 2007

Physics II: Electricity and Magnetism

用于核对 P04 的场与势定义、积分定律方向、边界条件、电路暂态、Maxwell 方程和波动例题。

打开官方来源

MIT OpenCourseWare 8.02 的静电学单元覆盖电荷、Coulomb 定律、电场、连续分布、通量、Gauss 定律与导体，可用于复核本章采用的 SI 约定和典型对称模型。下一章从静电场的路径无关性定义电势，进一步得到 Poisson 方程、唯一性定理和镜像法。