P08 · 第 5 章 · 第三编场方程与综合复习

Einstein 场方程与典型解

固定度规号型与曲率约定，核对 Einstein 张量和应力能张量单位，由 Bianchi 恒等式连接协变守恒，并在弱场、球对称、均匀宇宙及线性引力波边界下分析典型解。

难度 5/5约 190 分钟最近修订 2026-07-14

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预备知识等效原理、测地线与引力红移张量、联络与曲率偏微分方程

本章目标

在号型 (−,+,+,+) 和明确曲率约定下写出 Einstein 场方程。
核对 G、c、Λ、曲率与 T_μν 的 SI 单位。
由 Bianchi 恒等式推出协变能量动量守恒。
在静态弱场慢速条件下恢复 Poisson 方程。
说明 Schwarzschild 与 FLRW 解所依赖的对称性和坐标边界。
区分线性引力波近似、规范选择和完整非线性解。

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约定、坐标和单位

采用度规号型 $(-,+,+,+)$ ，坐标 $x^0=ct$ ，因此四个坐标都用 m，度规分量无量纲，线元

\mathrm ds^2=g_{\mu\nu}\mathrm dx^\mu\mathrm dx^\nu.

时间样曲线满足 $\mathrm ds^2=-c^2\mathrm d\tau^2$ 。Riemann 张量约定为

R^\rho{}_{\sigma\mu\nu} =\partial_\mu\Gamma^\rho_{\nu\sigma}-\partial_\nu\Gamma^\rho_{\mu\sigma} +\Gamma^\rho_{\mu\lambda}\Gamma^\lambda_{\nu\sigma} -\Gamma^\rho_{\nu\lambda}\Gamma^\lambda_{\mu\sigma},

$R_{\sigma\nu}=R^\rho{}_{\sigma\rho\nu}$ 。换用相反 Riemann 符号约定时 Ricci 张量和场方程相应符号要成套改变。Christoffel 符号在当前坐标单位下为 $\mathrm{m^{-1}}$ ，曲率 $R_{\mu\nu}$ 、 $R$ 和 Einstein 张量 $G_{\mu\nu}$ 为 $\mathrm{m^{-2}}$ 。

常数采用 SI： $c$ 单位 $\mathrm{m\,s^{-1}}$ ，Newton 常数 $G$ 单位 $\mathrm{m^3\,kg^{-1}\,s^{-2}}$ ，宇宙学常数 $\Lambda$ 单位 $\mathrm{m^{-2}}$ 。应力能张量 $T_{\mu\nu}$ 的各分量按坐标基包含能量密度、动量密度与应力，统一量纲为 $\mathrm{J\,m^{-3}}=\mathrm{Pa}$ ；具体 $c$ 因子取决于 $x^0$ 约定，不能从另一约定复制单个分量。

场方程与几何守恒

Einstein 张量

G_{\mu\nu}=R_{\mu\nu}-\frac12Rg_{\mu\nu}

满足收缩 Bianchi 恒等式 $\nabla^\mu G_{\mu\nu}=0$ 。场方程为

G_{\mu\nu}+\Lambda g_{\mu\nu} =\frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}.

$G/c^4$ 单位为 $\mathrm{m\,J^{-1}}$ ，乘 $T_{\mu\nu}$ 后为 $\mathrm{m^{-2}}$ ，与曲率一致。对方程取协变散度得到

\nabla_\mu T^{\mu\nu}=0.

这是局部协变能量动量守恒。它一般不能在任意弯曲时空中积分成唯一的全局总能量，因为缺少全局时间平移对称；具有时间样 Killing 矢量时才可构造相应守恒量。引力场的能量不能由普通张量在每一点唯一表示。

场方程有十个对称分量，但坐标自由度和约束使它们不是十个独立标量 Poisson 方程。求解必须给物质本构、初始数据、边界条件和坐标规范；仅写 $T_{\mu\nu}$ 不足以唯一决定一个坐标表达式。

作用量、边界项与物质闭合

场方程可由 Einstein–Hilbert 作用量组织：

S_g=\frac{c^3}{16\pi G}\int(R-2\Lambda)\sqrt{-g}\,\mathrm d^4x.

按 $x^0=ct$ ， $\mathrm d^4x$ 单位为 $\mathrm{m^4}$ ， $R$ 为 $\mathrm{m^{-2}}$ ，所以 $S_g$ 具有 $\mathrm{J\,s}$ 。物质作用量对逆度规的变分定义应力能张量；对总作用量作度规变分，体积分给出场方程。由于 $R$ 含度规二阶导数，有边界的区域还需匹配固定的几何边界数据和相应边界项，不能无条件丢弃分部积分项。

典型模型把物质近似为完美流体。令 $u_\mu u^\mu=-c^2$ ，能量密度 $\varepsilon$ 与压强 $p$ 均用 $\mathrm{J\,m^{-3}}$ ：

T^{\mu\nu}=\frac{\varepsilon+p}{c^2}u^\mu u^\nu+pg^{\mu\nu}.

在流体局部静止正交标架中，时间—时间分量是 $\varepsilon$ ，三个空间对角分量是 $p$ 。压强也参与引力源。若存在黏性、热流或各向异性应力，必须添加对应项；场方程本身不提供物质本构。

例 1：场方程耦合常数的量纲

由 $[G]=\mathrm{m^3kg^{-1}s^{-2}}$ 、 $[c^4]=\mathrm{m^4s^{-4}}$ ，

\left[\frac G{c^4}\right]=\mathrm{s^2\,kg^{-1}\,m^{-1}}=\mathrm{m\,J^{-1}}.

乘能量密度 $[T]=\mathrm{J\,m^{-3}}$ 得 $\mathrm{m^{-2}}$ 。若误把 $T_{00}$ 写成质量密度 $\mathrm{kg\,m^{-3}}$ 而不补 $c^2$ ，右侧会少能量单位。单位检查不能确定 $8\pi$ ，但能排除大量坐标与 $c$ 因子错误。

Newton 弱场边界

取静态弱场、源速度远小于 $c$ 、压强远小于能量密度，且

g_{00}=-(1+2\Phi/c^2), \qquad |\Phi|/c^2\ll1.

保留度规扰动一阶，忽略时间导数和高阶速度， $00$ 分量恢复

\nabla^2\Phi=4\pi G\rho,

其中 $\rho$ 是质量密度，单位 $\mathrm{kg\,m^{-3}}$ ， $\Phi$ 单位 $\mathrm{m^2\,s^{-2}}$ 。弱场极限同时要求空间曲率分量与 $g_{00}$ 扰动一致，不能只改时间分量后声称得到完整解。

例 2：球体表面的弱场参数

质量 $M=5.97\times10^{24}\,\mathrm{kg}$ 、半径 $R=6.37\times10^6\,\mathrm m$ 的球对外部产生 $\Phi=-GM/r$ 。Schwarzschild 半径

r_s=\frac{2GM}{c^2}\approx8.87\times10^{-3}\,\mathrm m.

表面无量纲弱场参数

\frac{|\Phi(R)|}{c^2}=\frac{r_s}{2R} \approx6.96\times10^{-10}\ll1.

因此 Newton 近似对表面轨道动力学很准确。这个结论不说明球心曲率或材料压力可由外部真空解求得；内部解还需密度与压强分布。

Poisson 极限的可复算链条

令 $g_{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu}+h_{\mu\nu}$ 且 $|h_{\mu\nu}|\ll1$ 。静态慢速测试粒子的测地线主阶为

\frac{\mathrm d^2x^i}{\mathrm dt^2} \approx-c^2\Gamma^i_{00} \approx-\frac{c^2}{2}\partial_i h_{00}.

与 $\ddot{\mathbf x}=-\nabla\Phi$ 比较得 $h_{00}=2\Phi/c^2$ 。再用缓变、低压源 $T_{00}\approx\rho c^2$ ，线性场方程的 $00$ 分量才化为 $\nabla^2\Phi=4\pi G\rho$ 。

这条链同时使用四个小量： $|\Phi|/c^2$ 、 $v/c$ 、 $p/(\rho c^2)$ 和源变化时间相对光行时的比值。致密星内部可能压强显著，即使外部轨道仍近似弱场，也不能把内部源只写成质量密度。弱场并不自动等于静态，快速变化的小振幅源仍会辐射。

真空球对称：Schwarzschild 几何

球对称、静态、真空且渐近平坦的外部解可写为

\mathrm ds^2=-\left(1-\frac{r_s}{r}\right)c^2\mathrm dt^2 +\left(1-\frac{r_s}{r}\right)^{-1}\mathrm dr^2 +r^2\mathrm d\Omega^2,

$r_s=2GM/c^2$ ， $r$ 由球面面积 $4\pi r^2$ 定义，不是任意径向尺读数。 $r=r_s$ 处 Schwarzschild 坐标分量发散，但可换成穿越视界的坐标；曲率不在此发散。 $r=0$ 的曲率不变量发散才是真正奇点。静态坐标只覆盖视界外，不能用它描述自由落体穿越全过程。

例 3：静态钟的弱场频移

视界外固定 $r$ 的钟满足

\mathrm d\tau=\sqrt{1-r_s/r}\,\mathrm dt.

两半径 $r_1<r_2$ 的静态观察者比较同一光信号，

\frac{\nu_2}{\nu_1} =\sqrt{\frac{1-r_s/r_1}{1-r_s/r_2}}<1,

所以上升的光相对高处静态钟红移。弱场展开给 $\Delta\nu/\nu\approx(\Phi_1-\Phi_2)/c^2$ 。若发射者自由落体，还要叠加相对运动 Doppler 效应，不能只用静态公式。

曲率不变量、轨道和内部匹配

Schwarzschild 真空的 Ricci 张量为零，但 Riemann 曲率不为零。Kretschmann 不变量

K=R_{\alpha\beta\gamma\delta}R^{\alpha\beta\gamma\delta} =\frac{48G^2M^2}{c^4r^6}

单位为 $\mathrm{m^{-4}}$ 。它在 $r=r_s$ 有限，在 $r\to0$ 发散，独立验证视界是坐标奇异而中心是曲率奇异。固定 $r/r_s$ 时，大质量黑洞的视界曲率反而更小。

由时间平移和轴对称 Killing 矢量可得测试粒子的能量与角动量守恒，进而构造径向有效势。非旋转真空中，光子球位于 $3GM/c^2$ ，最内稳定圆形时间样轨道位于 $6GM/c^2$ ，两者都不同于视界 $2GM/c^2$ 。若物质球表面 $R_*>r_s$ ，外部可用 Schwarzschild，内部仍需解密度与压强并在表面匹配；把真空式延伸到普通恒星中心没有物理依据。

均匀各向同性：FLRW 约化

宇宙学原理把空间切片限制为均匀各向同性。取尺度因子 $a(t)$ 无量纲、平直空间 $k=0$ ，

\mathrm ds^2=-c^2\mathrm dt^2+a(t)^2\mathrm d\mathbf x^2.

物质近似为完美流体，能量密度 $\varepsilon$ 与压强 $p$ 均用 $\mathrm{J\,m^{-3}}$ 。场方程约化为

H^2=\left(\frac{\dot a}{a}\right)^2 =\frac{8\pi G}{3c^2}\varepsilon+\frac{\Lambda c^2}{3},

\frac{\ddot a}{a}=-\frac{4\pi G}{3c^2}(\varepsilon+3p) +\frac{\Lambda c^2}{3},

并有

\dot\varepsilon+3H(\varepsilon+p)=0.

$H$ 单位 $\mathrm{s^{-1}}$ 。这些方程描述背景平均，不直接包含星系尺度非均匀结构。若空间曲率非零，第一式还需曲率项，并明确共动坐标与 $k$ 的单位约定。

例 4：状态方程决定密度标度

令 $p=w\varepsilon$ 且 $w$ 常数，连续性方程给

\frac{\dot\varepsilon}{\varepsilon}=-3(1+w)\frac{\dot a}{a}, \qquad \varepsilon\propto a^{-3(1+w)}.

无压物质 $w=0$ 时 $\varepsilon\propto a^{-3}$ ，对应粒子数稀释；辐射 $w=1/3$ 时 $a^{-4}$ ，额外一因子来自光子红移；真空能 $w=-1$ 时密度常数。该推导假设各成分分别守恒；有能量交换时每个分量方程需加源项。

空间曲率、约束与初始数据

一般 FLRW 空间线元可写

\mathrm d\ell^2=a(t)^2\left[ \frac{\mathrm dr^2}{1-kr^2}+r^2\mathrm d\Omega^2\right].

若 $r$ 有长度， $k$ 单位为 $\mathrm{m^{-2}}$ ；若 $r$ 无量纲，常把 $k$ 规范为 $-1,0,+1$ 并让 $a$ 带长度。两种约定不可混用。曲率项存在时第一 Friedmann 方程增加 $-kc^2/a^2$ 。给定状态方程后，第一式充当初始约束，连续性和加速度方程推进背景，它们不是三条完全独立演化式。

一般相对论初值也有约束：空间度量与外曲率必须满足 Hamilton 和动量约束，其余演化在选定 lapse、shift 或等价坐标规范后进行。数值解即使演化变量平滑，若约束残差不随网格加密下降，也不能视为场方程的可靠解。

线性化场与引力波

在 Minkowski 背景上写 $g_{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu}+h_{\mu\nu}$ ，要求 $|h_{\mu\nu}|\ll1$ 。定义迹反转扰动并选 Lorenz 规范后，线性方程形如

\Box\bar h_{\mu\nu}=-\frac{16\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}.

真空区满足波动方程，传播速度为 $c$ 。 $h_{\mu\nu}$ 无量纲；可观测效应是自由落体测试质量间的固有距离相对变化和曲率，不是某个坐标分量本身。横向无迹规范适用于远离源的辐射区，不能覆盖强场源区或任意背景。

沿 $+z$ 传播的横向无迹波只剩 $h_+(t-z/c)$ 与 $h_\times(t-z/c)$ 。对横向测试质量环， $+$ 模式沿两正交轴交替伸缩， $\times$ 模式相对旋转 $45^\circ$ 。探测器臂长响应数量级为 $\Delta L/L\sim h/2$ ，还依赖入射方向和偏振。

波的有效能流只在波长远小于背景曲率尺度、并对多个周期平均后定义；它不是任意点上的精确引力应力能张量。强场并合区、非平直背景散射或 $|h|$ 不小时，应使用完整非线性方程或曲背景扰动理论。

方程的迹、真空和宇宙学常数

对四维场方程与 $g^{\mu\nu}$ 缩并，利用 $G^\mu{}_\mu=-R$ 得

-R+4\Lambda=\frac{8\pi G}{c^4}T, \qquad T=T^\mu{}_\mu.

因此

R=4\Lambda-\frac{8\pi G}{c^4}T.

无宇宙学常数的真空满足 $R_{\mu\nu}=0$ ，却不要求完整 Riemann 张量为零；Schwarzschild 和真空引力波正是 Ricci 平坦但有潮汐曲率的例子。含 $\Lambda$ 的真空满足 $R_{\mu\nu}=\Lambda g_{\mu\nu}$ ，曲率尺度约为 $|\Lambda|^{-1/2}$ 。

完美流体在局部正交标架的迹为 $T=-\varepsilon+3p$ 。辐射 $p=\varepsilon/3$ 时迹为零，但 $T_{\mu\nu}$ 并不为零，仍通过无迹部分弯曲时空。仅检查迹不能重建全部源。

对称性约化不能替代边界条件

球对称真空的 Birkhoff 结论表明局部外部解是静态 Schwarzschild，即使球形物质内部随时间脉动，也不产生球对称真空引力波。该结论依赖严格球对称、真空和 Einstein 方程；存在非球形多极、外部物质或 $\Lambda$ 时需相应推广。

求典型解时可按四步核验。第一，写最一般兼容对称性的度规 ansatz，而不是直接假定答案。第二，计算或独立核对 $G_{\mu\nu}$ 与源的非零分量。第三，施加正则中心、渐近平坦、视界可延拓或宇宙初值等边界。第四，用曲率不变量、Newton 极限和守恒式检查。坐标变换可能让两个表达式外观不同；只有不变量、因果结构和边界一致，才可判断它们描述同一几何区域。

尺度估算与曲率效应

质量 $M$ 在尺度 $r$ 产生的无量纲紧致度

\mathcal C=\frac{GM}{rc^2}=\frac{r_s}{2r}.

$\mathcal C\ll1$ 控制许多弱场修正，但潮汐还与装置尺寸 $\ell$ 有关。Schwarzschild 外部 Riemann 分量数量级为 $GM/(c^2r^3)$ ，两自由落体质点相距 $\ell$ 的相对加速度数量级 $GM\ell/r^3$ 。因此局部装置可在曲率非零处近似惯性，只要曲率乘 $\ell^2$ 很小；扩大实验区域后潮汐无法消除。这是等效原理的定量边界。

当 $\mathcal C$ 接近 1，后 Newton 展开失效；当扰动幅度小但传播距离长，线性波仍可能适用。场强、速度、时间变化和观测尺度是不同参数，不能用单一“相对论性强弱”标签替代。

一个解是否可信的最小检查

给定候选度规后，先确认行列式在目标区域不退化、号型保持 $(-,+,+,+)$ ，再计算 Christoffel、Ricci 与 Einstein 张量。把结果代入场方程时，源的每个分量都要用同一坐标基；不能把正交标架中的能量密度直接塞进坐标分量而漏掉 tetrad 变换。

随后检查 $\nabla_\mu T^{\mu\nu}=0$ 、边界匹配和极限。渐近平坦解应在远处趋于 Minkowski；弱静态解应恢复 $g_{00}=-(1+2\Phi/c^2)$ ；真空区应满足规定的 Ricci 条件。最后用固有时、面积、红移或曲率不变量构造可观测量。只展示度规分量图而没有坐标范围、单位和不变量，无法区分物理解、坐标伪影与代数错误。

若解含参数，还应说明参数由哪一个渐近量或守恒荷定义。例如 Schwarzschild 的 $M$ 由远处度规的 $1/r$ 项识别，不是任意坐标常数。参数定义、边界和坐标域三者缺一，数值相同也未必代表同一物理量。

所有比较还应采用同一号型、曲率符号和单位制。

常见误区

T_μν 只有质量密度

它还含能流、动量密度和应力；压强也参与引力源。

视界处度规发散就是曲率奇点

Schwarzschild 的

r=r_s

是坐标奇异；应检查可延拓坐标和曲率不变量。

弱场等于低速

恢复 Newton 理论同时需要小度规扰动、静态或缓变、低压及慢速源等条件。

练习

练习 1：单位与常数

所属知识: 场方程
难度: 2/5

核对场方程各项 SI 单位。

查看提示

把 Pa 写成

J\cdot m^{-3}

，再乘

G/c^{4}

。

查看解答

(G/c^{4})T

的单位为

m\cdot J^{-1}\times J\cdot m^{-3}=m^{-2}

，与

G_\mu \nu

、

\Lambda g_\mu \nu

一致。T 若用质量密度需乘

c^{2}

才成为能量密度。

练习 2：协变守恒

所属知识: Bianchi 恒等式
难度: 3/5

从场方程推出

\nabla_\mu T^{\mu\nu}=0

。

查看提示

对场方程取

\nabla^\mu

，并用度规相容性。

查看解答

\nabla^\mu G_\mu \nu=0

且

\nabla^\mu g_\mu \nu=0

，常数

\Lambda

的项散度也为零，因此

\nabla^\mu T_\mu \nu=0

。该局部式不自动给任意时空的全局能量。

练习 3：弱场适用性

所属知识: Newton 极限
难度: 3/5

列出检验球形源 Newton 极限的无量纲量。

查看提示

计算

GM/(Rc^{2})

，并检查速度和压强尺度。

查看解答

只有

GM/(Rc^{2})\ll 1

、

v/c\ll 1

、

p/(\rho c^{2})\ll 1

且场缓变时，Poisson 极限可靠；任一条件失效都需保留相对论修正。

练习 4：视界面积

所属知识: Schwarzschild
难度: 3/5

求 Schwarzschild 视界面积及质量标度。

查看提示

r 是面积半径，视界

r=r_s

。

查看解答

A_H=4\pi r_s^{2}=16\pi G^{2}M^{2}/c^{4}

，单位

m^{2}

。坐标径向系数发散不改变面积有限性。

练习 5：宇宙流体标度

所属知识: FLRW
难度: 3/5

推导常数 $w$ 流体的能量密度标度。

查看提示

将

p=w\varepsilon

代入连续性方程后对

\ln a

积分。

查看解答

\epsilon \propto a^{-3(1+w)}

；w=0、1/3、

-1

分别给

a^{-3}

、

a^{-4}

、常数。

练习 6：线性波边界

所属知识: 引力波
难度: 4/5

说明何时可把完整场方程化成真空波动方程。

查看提示

列出

|h|\ll 1

、背景尺度与波长、真空远区和规范条件。

查看解答

线性波要求扰动小、背景可近似固定、远离强源并保留一致阶数；TT 规范是辐射区选择，不是强场全局坐标。

关系与资源

张量、联络与曲率定义场方程左侧。
等效原理、测地线与引力红移描述测试物质在几何中的运动。
偏微分方程提供初边值与约束语言。
黑洞、宇宙学与相对论综合复习串联典型解和可观测量。

课程 · 2020

General Relativity

Scott Hughes

用于核对 P08 的张量与曲率约定、测地线、场方程、Schwarzschild 时空和宇宙学解的推导边界。

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MIT OpenCourseWare 8.962 覆盖曲率约定、场方程、黑洞、引力波和宇宙学。本章的号型、单位、常数和近似边界已独立列明。