本章路线
振子、耦合摆、弦上的行波和双缝条纹看似属于不同题型，实际共享一条结构主线：局部惯性与恢复作用产生振动，单元之间的线性耦合让扰动传播，边界选择允许的模态，而多个模态或多条路径的复振幅叠加形成拍频、驻波、干涉和衍射。本章的任务是把这些对象放进同一套“模型—方程—尺度—边界—观测”流程，而不是记忆互不相干的公式。
统一采用 SI：位移 x , u x,u x , u t t t m m m k k k N m − 1 \mathrm{N\,m^{-1}} N m − 1 b b b k g s − 1 \mathrm{kg\,s^{-1}} kg s − 1 f f f ω \omega ω r a d s − 1 \mathrm{rad\,s^{-1}} rad s − 1 k w k_w k w r a d m − 1 \mathrm{rad\,m^{-1}} rad m − 1 λ \lambda λ W m − 2 \mathrm{W\,m^{-2}} W m − 2
先声明模型边界
以下推导依赖几项可检查的近似。
线性： 恢复力与位移成正比，叠加后的场仍满足同一方程。若弹簧出现明显非线性、弦张力随振幅改变或介质响应饱和，简正模会交换能量，线性叠加不再精确。小振幅或小斜率： 振子位移相对装置尺度足够小；弦满足 ∣ ∂ u / ∂ x ∣ ≪ 1 |\partial u/\partial x|\ll1 ∣ ∂ u / ∂ x ∣ ≪ 1 介质与参数稳定： 质量、劲度、张力和线密度在所研究时间内不变；忽略项如空气阻力必须与目标精度相容。相干： 稳定干涉要求两路波在观测时间内保持确定相位差，并具有相同偏振分量；独立光源的快速随机相位通常使时间平均交叉项消失。远场与小角： Fraunhofer 衍射要求观察距离 D D D sin θ ≈ tan θ ≈ y / D \sin\theta\approx\tan\theta\approx y/D sin θ ≈ tan θ ≈ y / D D D D
先写条件再代公式，可以避免把“同形的数学表达式”误当作“同一个物理系统”。
从单振子到受迫响应
一维线性阻尼受迫振子满足
m x ¨ + b x ˙ + k x = F 0 cos ( Ω t ) . m\ddot x+b\dot x+kx=F_0\cos(\Omega t). m x ¨ + b x ˙ + k x = F 0 cos ( Ω t ) . 三项 m x ¨ m\ddot x m x ¨ b x ˙ b\dot x b x ˙ k x kx k x x = A cos ( ω 0 t + ϕ ) x=A\cos(\omega_0t+\phi) x = A cos ( ω 0 t + ϕ )
ω 0 = k m , T 0 = 2 π ω 0 . \omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}},\qquad
T_0=\frac{2\pi}{\omega_0}. ω 0 = m k , T 0 = ω 0 2 π . ω 0 \omega_0 ω 0 r a d s − 1 \mathrm{rad\,s^{-1}} rad s − 1 T 0 T_0 T 0
E = 1 2 m x ˙ 2 + 1 2 k x 2 E=\frac12m\dot x^2+\frac12kx^2 E = 2 1 m x ˙ 2 + 2 1 k x 2 在理想无阻尼情形守恒。加入阻尼后，乘方程以 x ˙ \dot x x ˙
d E d t = − b x ˙ 2 + F ( t ) x ˙ . \frac{\mathrm dE}{\mathrm dt}=-b\dot x^2+F(t)\dot x. d t d E = − b x ˙ 2 + F ( t ) x ˙ . 第一项单位为 W，表示耗散功率；第二项是外力输入功率。稳态取 x = A ( Ω ) cos ( Ω t − δ ) x=A(\Omega)\cos(\Omega t-\delta) x = A ( Ω ) cos ( Ω t − δ )
A ( Ω ) = F 0 ( k − m Ω 2 ) 2 + ( b Ω ) 2 , tan δ = b Ω k − m Ω 2 . A(\Omega)=\frac{F_0}{\sqrt{(k-m\Omega^2)^2+(b\Omega)^2}},
\qquad
\tan\delta=\frac{b\Omega}{k-m\Omega^2}. A ( Ω ) = ( k − m Ω 2 ) 2 + ( b Ω ) 2 F 0 , tan δ = k − m Ω 2 b Ω . 分母每一项的单位都是 N m − 1 \mathrm{N\,m^{-1}} N m − 1 ω 0 \omega_0 ω 0
例 1：受迫振子的振幅、相位与近似检查
质量 m = 0.500 k g m=0.500\,\mathrm{kg} m = 0.500 kg k = 200 N m − 1 k=200\,\mathrm{N\,m^{-1}} k = 200 N m − 1 b = 4.00 k g s − 1 b=4.00\,\mathrm{kg\,s^{-1}} b = 4.00 kg s − 1 F 0 = 2.00 N F_0=2.00\,\mathrm N F 0 = 2.00 N Ω = 18.0 r a d s − 1 \Omega=18.0\,\mathrm{rad\,s^{-1}} Ω = 18.0 rad s − 1
ω 0 = 200 / 0.500 = 20.0 r a d s − 1 . \omega_0=\sqrt{200/0.500}=20.0\,\mathrm{rad\,s^{-1}}. ω 0 = 200/0.500 = 20.0 rad s − 1 . 动态劲度的实部与虚部分别为
k − m Ω 2 = 38.0 N m − 1 , b Ω = 72.0 N m − 1 . k-m\Omega^2=38.0\,\mathrm{N\,m^{-1}},
\qquad b\Omega=72.0\,\mathrm{N\,m^{-1}}. k − m Ω 2 = 38.0 N m − 1 , b Ω = 72.0 N m − 1 . 故
A = 2.00 38.0 2 + 72.0 2 m = 2.46 × 10 − 2 m , δ = atan2 ( 72.0 , 38.0 ) = 1.09 r a d . A=\frac{2.00}{\sqrt{38.0^2+72.0^2}}\,\mathrm m
=2.46\times10^{-2}\,\mathrm m,
\qquad
\delta=\operatorname{atan2}(72.0,38.0)=1.09\,\mathrm{rad}. A = 38. 0 2 + 72. 0 2 2.00 m = 2.46 × 1 0 − 2 m , δ = atan2 ( 72.0 , 38.0 ) = 1.09 rad . 若弹簧的线性工作范围只有 ∣ x ∣ ≤ 0.020 m |x|\le0.020\,\mathrm m ∣ x ∣ ≤ 0.020 m
耦合、简正模与连续极限
对 n n n q \boldsymbol q q
M q ¨ + K q = 0 . \mathbf M\ddot{\boldsymbol q}+\mathbf K\boldsymbol q=\boldsymbol 0. M q ¨ + K q = 0 . 试探 q = a cos ( ω t + ϕ ) \boldsymbol q=\boldsymbol a\cos(\omega t+\phi) q = a cos ( ω t + ϕ )
K a = ω 2 M a . \mathbf K\boldsymbol a=\omega^2\mathbf M\boldsymbol a. K a = ω 2 M a . 在 M \mathbf M M K \mathbf K K q = ∑ r Q r ( t ) a r \boldsymbol q=\sum_rQ_r(t)\boldsymbol a_r q = ∑ r Q r ( t ) a r Q ¨ r + ω r 2 Q r = 0 \ddot Q_r+\omega_r^2Q_r=0 Q ¨ r + ω r 2 Q r = 0
例 2：两个质量的模态与能量转移
两个相同质量 m = 1.00 k g m=1.00\,\mathrm{kg} m = 1.00 kg k 0 = 100 N m − 1 k_0=100\,\mathrm{N\,m^{-1}} k 0 = 100 N m − 1 k c = 50.0 N m − 1 k_c=50.0\,\mathrm{N\,m^{-1}} k c = 50.0 N m − 1
M = m ( 1 0 0 1 ) , K = ( k 0 + k c − k c − k c k 0 + k c ) . \mathbf M=m\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix},\qquad
\mathbf K=\begin{pmatrix}k_0+k_c&-k_c\\-k_c&k_0+k_c\end{pmatrix}. M = m ( 1 0 0 1 ) , K = ( k 0 + k c − k c − k c k 0 + k c ) . 同相模态 ( 1 , 1 ) (1,1) ( 1 , 1 ) ( 1 , − 1 ) (1,-1) ( 1 , − 1 )
ω + = k 0 m = 10.0 r a d s − 1 , ω − = k 0 + 2 k c m = 14.1 r a d s − 1 . \omega_+=\sqrt{\frac{k_0}{m}}=10.0\,\mathrm{rad\,s^{-1}},
\qquad
\omega_-=\sqrt{\frac{k_0+2k_c}{m}}=14.1\,\mathrm{rad\,s^{-1}}. ω + = m k 0 = 10.0 rad s − 1 , ω − = m k 0 + 2 k c = 14.1 rad s − 1 . 若 x 1 ( 0 ) = 0.0200 m x_1(0)=0.0200\,\mathrm m x 1 ( 0 ) = 0.0200 m x 2 ( 0 ) = 0 m x_2(0)=0\,\mathrm m x 2 ( 0 ) = 0 m Q ± = ( x 1 ± x 2 ) / 2 Q_\pm=(x_1\pm x_2)/\sqrt2 Q ± = ( x 1 ± x 2 ) / 2 0.0141 m 0.0141\,\mathrm m 0.0141 m
x 2 ( t ) = 0.0100 [ cos ( 10.0 t ) − cos ( 14.1 t ) ] m . x_2(t)=0.0100\,[\cos(10.0t)-\cos(14.1t)]\,\mathrm m. x 2 ( t ) = 0.0100 [ cos ( 10.0 t ) − cos ( 14.1 t )] m . 第二个质量后来运动不是能量凭空产生，而是两个模态相位逐渐分离后的叠加结果。若初态严格为同相模态，则中间弹簧始终不伸缩，也不会出现这种拍动交换。
把大量相同质量以间距 a a a u j + 1 − 2 u j + u j − 1 u_{j+1}-2u_j+u_{j-1} u j + 1 − 2 u j + u j − 1 a a a a 2 a^2 a 2
∂ 2 u ∂ t 2 = c 2 ∂ 2 u ∂ x 2 . \frac{\partial^2u}{\partial t^2}=c^2\frac{\partial^2u}{\partial x^2}. ∂ t 2 ∂ 2 u = c 2 ∂ x 2 ∂ 2 u . 对受恒定张力 T s T_s T s μ \mu μ c = T s / μ c=\sqrt{T_s/\mu} c = T s / μ m s − 1 \mathrm{m\,s^{-1}} m s − 1
行波、边界与色散
简谐行波可写为
u ( x , t ) = A cos ( k w x − ω t + ϕ ) . u(x,t)=A\cos(k_wx-\omega t+\phi). u ( x , t ) = A cos ( k w x − ω t + ϕ ) . A A A k w = 2 π / λ k_w=2\pi/\lambda k w = 2 π / λ r a d m − 1 \mathrm{rad\,m^{-1}} rad m − 1 ω = 2 π f \omega=2\pi f ω = 2 π f r a d s − 1 \mathrm{rad\,s^{-1}} rad s − 1 k w x − ω t = 常数 k_wx-\omega t=\text{常数} k w x − ω t = 常数
v p = ω k w . v_{\mathrm p}=\frac{\omega}{k_w}. v p = k w ω . 若介质无色散且 ω = c k w \omega=ck_w ω = c k w ω = ω ( k w ) \omega=\omega(k_w) ω = ω ( k w )
v g = d ω d k w v_{\mathrm g}=\frac{\mathrm d\omega}{\mathrm dk_w} v g = d k w d ω 传播。相速度追踪单一相位，群速度描述窄带包络；它们都用 m s − 1 \mathrm{m\,s^{-1}} m s − 1 d 2 ω / d k w 2 ≠ 0 \mathrm d^2\omega/\mathrm dk_w^2\ne0 d 2 ω / d k w 2 = 0
边界把连续波数变成离散允许值。长度 L L L u ( 0 , t ) = u ( L , t ) = 0 u(0,t)=u(L,t)=0 u ( 0 , t ) = u ( L , t ) = 0
k n = n π L , ω n = c k n , f n = n c 2 L , n = 1 , 2 , … k_n=\frac{n\pi}{L},\qquad
\omega_n=ck_n,\qquad
f_n=\frac{nc}{2L},\quad n=1,2,\ldots k n = L nπ , ω n = c k n , f n = 2 L n c , n = 1 , 2 , … 允许频率由介质和边界共同决定，振幅则由初始条件或驱动决定。把频率随意设为任意值后仍声称“两端固定自由振动”，会同时违背边界和本征值条件。
例 3：由材料参数到固定端驻波
弦长 L = 1.20 m L=1.20\,\mathrm m L = 1.20 m T s = 90.0 N T_s=90.0\,\mathrm N T s = 90.0 N μ = 0.0100 k g m − 1 \mu=0.0100\,\mathrm{kg\,m^{-1}} μ = 0.0100 kg m − 1
c = 90.0 / 0.0100 = 94.9 m s − 1 . c=\sqrt{90.0/0.0100}=94.9\,\mathrm{m\,s^{-1}}. c = 90.0/0.0100 = 94.9 m s − 1 . 基频与第三模频率分别为
f 1 = 94.9 2 ( 1.20 ) = 39.5 H z , f 3 = 118.6 H z . f_1=\frac{94.9}{2(1.20)}=39.5\,\mathrm{Hz},
\qquad f_3=118.6\,\mathrm{Hz}. f 1 = 2 ( 1.20 ) 94.9 = 39.5 Hz , f 3 = 118.6 Hz . 第三模可写为 u = A sin ( 3 π x / L ) cos ( 2 π f 3 t ) u=A\sin(3\pi x/L)\cos(2\pi f_3t) u = A sin ( 3 π x / L ) cos ( 2 π f 3 t ) x = L / 3 = 0.400 m x=L/3=0.400\,\mathrm m x = L /3 = 0.400 m sin π = 0 \sin\pi=0 sin π = 0
叠加、干涉与有限孔径
线性方程允许把解相加。两列同频标量波在一点的复振幅为 E ~ 1 \tilde E_1 E ~ 1 E ~ 2 \tilde E_2 E ~ 2
I = I 1 + I 2 + 2 I 1 I 2 cos Δ ϕ . I=I_1+I_2+2\sqrt{I_1I_2}\cos\Delta\phi. I = I 1 + I 2 + 2 I 1 I 2 cos Δ ϕ . 交叉项来自场振幅相加后再平方，不是“两个强度直接相加”。等强时，Δ ϕ = 2 m π \Delta\phi=2m\pi Δ ϕ = 2 mπ Δ ϕ = ( 2 m + 1 ) π \Delta\phi=(2m+1)\pi Δ ϕ = ( 2 m + 1 ) π
双缝间距为 d d d θ \theta θ d sin θ d\sin\theta d sin θ 2 π d sin θ / λ 2\pi d\sin\theta/\lambda 2 π d sin θ / λ
d sin θ = m λ . d\sin\theta=m\lambda. d sin θ = mλ . 真实缝宽 a a a
E ~ ( θ ) ∝ ∫ − a / 2 a / 2 e i ( 2 π / λ ) x sin θ d x = a sin β β , β = π a sin θ λ . \tilde E(\theta)\propto
\int_{-a/2}^{a/2}
e^{i(2\pi/\lambda)x\sin\theta}\,\mathrm dx
=a\frac{\sin\beta}{\beta},
\qquad
\beta=\frac{\pi a\sin\theta}{\lambda}. E ~ ( θ ) ∝ ∫ − a /2 a /2 e i ( 2 π / λ ) x s i n θ d x = a β sin β , β = λ πa sin θ . 因此单缝强度包络为 I ∝ ( sin β / β ) 2 I\propto(\sin\beta/\beta)^2 I ∝ ( sin β / β ) 2 a sin θ = n λ a\sin\theta=n\lambda a sin θ = nλ n n n
例 4：双缝细条纹落在单缝包络中
波长 λ = 632.8 n m = 6.328 × 10 − 7 m \lambda=632.8\,\mathrm{nm}=6.328\times10^{-7}\,\mathrm m λ = 632.8 nm = 6.328 × 1 0 − 7 m d = 0.250 m m = 2.50 × 10 − 4 m d=0.250\,\mathrm{mm}=2.50\times10^{-4}\,\mathrm m d = 0.250 mm = 2.50 × 1 0 − 4 m a = 0.0800 m m = 8.00 × 10 − 5 m a=0.0800\,\mathrm{mm}=8.00\times10^{-5}\,\mathrm m a = 0.0800 mm = 8.00 × 1 0 − 5 m D = 2.00 m D=2.00\,\mathrm m D = 2.00 m
Δ y = D λ d = 5.06 × 10 − 3 m = 5.06 m m . \Delta y=\frac{D\lambda}{d}=5.06\times10^{-3}\,\mathrm m=5.06\,\mathrm{mm}. Δ y = d D λ = 5.06 × 1 0 − 3 m = 5.06 mm . 单缝第一暗纹位置为
y 1 = D λ a = 1.58 × 10 − 2 m = 15.8 m m . y_1=\frac{D\lambda}{a}=1.58\times10^{-2}\,\mathrm m=15.8\,\mathrm{mm}. y 1 = a D λ = 1.58 × 1 0 − 2 m = 15.8 mm . 中央包络内满足 ∣ m ∣ < d / a = 3.125 |m|<d/a=3.125 ∣ m ∣ < d / a = 3.125 m = − 3 m=-3 m = − 3 3 3 3 a 2 / λ ≈ 1.01 × 10 − 2 m a^2/\lambda\approx1.01\times10^{-2}\,\mathrm m a 2 / λ ≈ 1.01 × 1 0 − 2 m D = 2.00 m D=2.00\,\mathrm m D = 2.00 m y 1 / D = 7.91 × 10 − 3 r a d y_1/D=7.91\times10^{-3}\,\mathrm{rad} y 1 / D = 7.91 × 1 0 − 3 rad
一套跨章推导与核对流程
遇到新问题时可依次执行六步。
画出系统边界，列出状态量、参数和 SI 单位；说明阻尼、驱动、偏振、孔径与观察距离是否进入模型。
写出线性方程并核对每项量纲。单振子看 m , b , k m,b,k m , b , k M , K \mathbf M,\mathbf K M , K
先解齐次本征问题。固有频率和模态由系统参数与边界给出，不由初始振幅给出。
再处理初始条件、驱动或入射场。它们决定各模态系数及相位；受迫稳态还要保留阻尼造成的相位差。
明确观测量。位移、速度、能量、强度和可见度不是同一量，共振峰位置或叠加规则可能不同。
用三个独立检查收尾：量纲；零耦合、零阻尼、窄缝或长波等极限；近似参数是否足够小或足够大。
这套流程也揭示从离散到连续、从近场到远场的共同思想：简化不是删掉术语，而是识别无量纲小参数并报告其大小。
常见误区
振幅越大，线性振子的频率一定越高
理想简谐振子的频率由 k / m k/m k / m
两个物体就一定有两个不同频率
两个自由度通常给两个模态，但对称性可能造成频率简并；约束也可能减少自由度。应由 det ( K − ω 2 M ) = 0 \det(\mathbf K-\omega^2\mathbf M)=0 det ( K − ω 2 M ) = 0
群速度总是能量或信息速度
d ω / d k w \mathrm d\omega/\mathrm dk_w d ω / d k w
两束光叠加时强度处处相加
先叠加的是场振幅。相干且偏振有共同分量时存在交叉项；只有相位平均消失或偏振正交等条件下，时间平均强度才退化为简单相加。
任何双缝公式都自动属于远场
条纹位置 y m ≈ m λ D / d y_m\approx m\lambda D/d y m ≈ mλ D / d
探索：用同一数据表追踪四种叠加
准备一根软弹簧、两个相同小质量滑块或摆、低振幅弦振动装置，以及有安全防护和固定光路的低功率可见光双缝演示器。光学部分不得直视光束，也不得让反射光进入眼睛。若没有合规光学设备，可只分析教师提供的带单位数据，不以手机屏幕图样代替可追溯参数。
建立四张共享字段的数据表：参数及单位、初始或驱动条件、观测位置与时间、近似判据。单振子逐步改变驱动频率，记录稳态振幅和相位；耦合系统分别给同相、反相和单侧初始位移，比较模态纯度与拍动；弦上改变张力，核对 c ∝ T s c\propto\sqrt{T_s} c ∝ T s λ , d , a , D \lambda,d,a,D λ , d , a , D D / ( a 2 / λ ) D/(a^2/\lambda) D / ( a 2 / λ )
每组至少做三次重复，原始数据保留 SI 单位。图中用点形或线型配合颜色，不能只靠颜色区分模态。报告中分别写出：哪一项是直接测量，哪一项由模型推导，哪一项只在小振幅、长波或远场下成立。若振子振幅随频率的峰值、弦的节点或衍射暗纹与预测不符，先检查边界、阻尼、相干性和单位，再讨论新效应。
练习
练习 1：振子的固有尺度与能量
所属知识 简谐振动
难度 2/5 质量 m = 0.250 k g m=0.250\,\mathrm{kg} m = 0.250 kg k = 64.0 N m − 1 k=64.0\,\mathrm{N\,m^{-1}} k = 64.0 N m − 1 A = 0.0300 m A=0.0300\,\mathrm m A = 0.0300 m
查看提示 先由
ω 0 = k / m \omega_{0}=\sqrt{k/m} ω 0 = k / m 求角频率，再用
T 0 = 2 π / ω 0 T_{0}=2\pi/\omega_{0} T 0 = 2 π / ω 0 ；最大位移处速度为零。
查看解答 ω 0 = 64.0 / 0.250 = 16.0 r a d s − 1 , T 0 = 2 π / 16.0 = 0.393 s . \omega_0=\sqrt{64.0/0.250}=16.0\,\mathrm{rad\,s^{-1}},
\qquad T_0=2\pi/16.0=0.393\,\mathrm s. ω 0 = 64.0/0.250 = 16.0 rad s − 1 , T 0 = 2 π /16.0 = 0.393 s . 最大位移处能量全为弹性势能：
E = 1 2 k A 2 = 1 2 ( 64.0 N m − 1 ) ( 0.0300 m ) 2 = 2.88 × 10 − 2 J . E=\frac12kA^2
=\frac12(64.0\,\mathrm{N\,m^{-1}})(0.0300\,\mathrm m)^2
=2.88\times10^{-2}\,\mathrm J. E = 2 1 k A 2 = 2 1 ( 64.0 N m − 1 ) ( 0.0300 m ) 2 = 2.88 × 1 0 − 2 J . k / m k/m k / m s − 2 \mathrm{s^{-2}} s − 2 s − 1 \mathrm{s^{-1}} s − 1 N m − 1 \mathrm{N\,m^{-1}} N m − 1 m 2 \mathrm{m^2} m 2
练习 2：受迫响应的低频与高频极限
所属知识 阻尼受迫振动
难度 3/5 从稳态振幅公式说明：当 Ω ≪ ω 0 \Omega\ll\omega_0 Ω ≪ ω 0 Ω ≫ ω 0 \Omega\gg\omega_0 Ω ≫ ω 0
查看提示 在振幅公式中分别令
Ω \Omega Ω 远小于和远大于
ω 0 \omega_{0} ω 0 ，比较 k、
m Ω 2 m\Omega^{2} m Ω 2 与
b Ω b\Omega b Ω 的大小。
查看解答 低频时分母由 k k k A ≈ F 0 / k A\approx F_0/k A ≈ F 0 / k N m − 1 \mathrm{N\,m^{-1}} N m − 1 m Ω 2 m\Omega^2 m Ω 2
A ≈ F 0 m Ω 2 , A\approx\frac{F_0}{m\Omega^2}, A ≈ m Ω 2 F 0 , 按 Ω − 2 \Omega^{-2} Ω − 2 m Ω 2 m\Omega^2 m Ω 2 k g s − 2 = N m − 1 \mathrm{kg\,s^{-2}}=\mathrm{N\,m^{-1}} kg s − 2 = N m − 1
练习 3：由初态选择简正模
所属知识 耦合振动
难度 3/5 对例题二的系统，判断以下两个零初速度初态各激发哪些模态：甲为 x 1 = x 2 = 0.0100 m x_1=x_2=0.0100\,\mathrm m x 1 = x 2 = 0.0100 m x 1 = 0.0100 m x_1=0.0100\,\mathrm m x 1 = 0.0100 m x 2 = − 0.0100 m x_2=-0.0100\,\mathrm m x 2 = − 0.0100 m
查看提示 分别把初始向量与 (1,1) 和 (1,-1) 比较；纯模态在演化中保持分量比例。
查看解答 甲与同相本征向量平行，只激发 ω + = 10.0 r a d s − 1 \omega_+=10.0\,\mathrm{rad\,s^{-1}} ω + = 10.0 rad s − 1
x 1 ( t ) = x 2 ( t ) = 0.0100 cos ( 10.0 t ) m . x_1(t)=x_2(t)=0.0100\cos(10.0t)\,\mathrm m. x 1 ( t ) = x 2 ( t ) = 0.0100 cos ( 10.0 t ) m . 乙与反相本征向量平行，只激发 ω − = 14.1 r a d s − 1 \omega_-=14.1\,\mathrm{rad\,s^{-1}} ω − = 14.1 rad s − 1
x 1 ( t ) = 0.0100 cos ( 14.1 t ) m , x 2 ( t ) = − x 1 ( t ) . x_1(t)=0.0100\cos(14.1t)\,\mathrm m,
\qquad x_2(t)=-x_1(t). x 1 ( t ) = 0.0100 cos ( 14.1 t ) m , x 2 ( t ) = − x 1 ( t ) . 两者都没有拍频，因为初态没有混合两个不同频率的模态。
练习 4：核验行波与传播方向
所属知识 波动方程
难度 3/5 证明 u = A cos ( k w x − ω t ) u=A\cos(k_wx-\omega t) u = A cos ( k w x − ω t ) ω = c k w \omega=ck_w ω = c k w u t t = c 2 u x x u_{tt}=c^2u_{xx} u tt = c 2 u xx k w = 4.00 r a d m − 1 k_w=4.00\,\mathrm{rad\,m^{-1}} k w = 4.00 rad m − 1 ω = 12.0 r a d s − 1 \omega=12.0\,\mathrm{rad\,s^{-1}} ω = 12.0 rad s − 1
查看提示 对
u = A cos ( k w x − ω t ) u=A \cos(k_w x-\omega t) u = A cos ( k w x − ω t ) 分别求两次时间导数和空间导数，再比较
ω \omega ω 与
c k w ck_w c k w 。
查看解答 两次求导得 u t t = − ω 2 u u_{tt}=-\omega^2u u tt = − ω 2 u u x x = − k w 2 u u_{xx}=-k_w^2u u xx = − k w 2 u ω 2 = c 2 k w 2 \omega^2=c^2k_w^2 ω 2 = c 2 k w 2
v p = ω / k w = 3.00 m s − 1 . v_{\mathrm p}=\omega/k_w=3.00\,\mathrm{m\,s^{-1}}. v p = ω / k w = 3.00 m s − 1 . 保持 k w x − ω t k_wx-\omega t k w x − ω t d x / d t = ω / k w > 0 \mathrm dx/\mathrm dt=\omega/k_w>0 d x / d t = ω / k w > 0 x x x k w , o m e g a k_w,omega k w , o m e g a
练习 5：相速度与群速度
所属知识 色散
难度 4/5 某线性介质色散关系为 ω 2 = ω c 2 + c 2 k w 2 \omega^2=\omega_c^2+c^2k_w^2 ω 2 = ω c 2 + c 2 k w 2 ω c \omega_c ω c r a d s − 1 \mathrm{rad\,s^{-1}} rad s − 1 c c c m s − 1 \mathrm{m\,s^{-1}} m s − 1 c 2 c^2 c 2
查看提示 先对
ω ( k w ) = ω c 2 + c 2 k w 2 \omega(k_w)=\sqrt{\omega_c^{2}+c^{2}k_w^{2}} ω ( k w ) = ω c 2 + c 2 k w 2 求导，再把结果与
ω / k w \omega/k_w ω / k w 相乘。
查看解答 正频率支上
v p = ω k w , v g = d ω d k w = c 2 k w ω . v_{\mathrm p}=\frac{\omega}{k_w},
\qquad
v_{\mathrm g}=\frac{\mathrm d\omega}{\mathrm dk_w}
=\frac{c^2k_w}{\omega}. v p = k w ω , v g = d k w d ω = ω c 2 k w . 故 v p v g = c 2 v_{\mathrm p}v_{\mathrm g}=c^2 v p v g = c 2 m s − 1 \mathrm{m\,s^{-1}} m s − 1 ω c ≠ 0 \omega_c\ne0 ω c = 0 v p > c v_{\mathrm p}>c v p > c v g < c v_{\mathrm g}<c v g < c
练习 6：干涉条纹与衍射缺级
所属知识 远场波动光学
难度 4/5 双缝中心距 d = 0.300 m m d=0.300\,\mathrm{mm} d = 0.300 mm a = 0.100 m m a=0.100\,\mathrm{mm} a = 0.100 mm
查看提示 干涉第 m 级满足
d sin θ = m λ d \sin\theta=m\lambda d sin θ = mλ ；单缝暗纹满足
a sin θ = n λ a \sin\theta=n\lambda a sin θ = nλ 。两条件在同一角度成立时该级消失。
查看解答 同一方向同时满足
m λ / d = n λ / a , m = n d a = 3 n . m\lambda/d=n\lambda/a,
\qquad m=n\frac d a=3n. mλ / d = nλ / a , m = n a d = 3 n . 因此 m = ± 3 , ± 6 , … m=\pm3,\pm6,\ldots m = ± 3 , ± 6 , … ∣ sin θ ∣ < λ / a |\sin\theta|<\lambda/a ∣ sin θ ∣ < λ / a ∣ m ∣ < d / a = 3 |m|<d/a=3 ∣ m ∣ < d / a = 3 m = − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 m=-2,-1,0,1,2 m = − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 m = ± 3 m=\pm3 m = ± 3
关系、资源与后续学习
课程 · 2016 MIT 8.03SC Physics III: Vibrations and Waves Yen-Jie Lee
连接波动方程的数学解、边界条件、驻波和物理观测。
打开官方来源 MIT OpenCourseWare 8.03SC《Physics III: Vibrations and Waves》把机械振动、耦合振子、正常模、行波、波动方程、干涉与衍射组织在同一课程脉络中，可用于复核本章采用的线性模型、推导顺序和术语边界。本章的数值算例、练习答案与实验参数均在此独立给出，不把未逐项核对的具体数值归于课程资源。
完成本章后，下一步可沿三条路线继续：进入更一般的本征函数与边值问题，研究非均匀介质和不同边界下的模态；进入 Fourier 分析与频域方法，定量处理脉冲、滤波和成像；或进入非线性振动与色散波，研究模态耦合、孤子及波包稳定性。无论选择哪条路线，都应继续保留本章的四项纪律：单位明确、近似可量化、边界先声明、观测结论不超出模型证据。