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P07 · 第 3 章 · 第二编 量子动力学

Schrödinger 方程、概率流与经典极限

以一维非相对论粒子为模型，明确波函数归一化、Hamilton 算符定义域与边界条件，推导含时和定态 Schrödinger 方程、概率连续性、幺正演化与 Ehrenfest 经典极限。

难度 5/5约 195 分钟最近修订 2026-07-15报告页面错误
预备知识测量、对易关系与不确定性算符与可观测量偏微分方程Hamilton 力学

本章目标

  1. 说明一维波函数和概率密度的归一化、单位及整体相位等价。
  2. 核对位置、动量和 Hamilton 算符的 SI 单位与定义域。
  3. 区分含时 Schrödinger 方程、定态本征方程和能量本征态。
  4. 由方程及其复共轭推导概率连续性方程和概率流。
  5. 解释自伴边界条件如何保证实能谱、幺正演化和概率守恒。
  6. 用 Ehrenfest 定理与窄波包条件说明经典极限，而非把波函数当作经典轨迹。
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模型边界与波函数单位

先研究质量 m>0m>0、无自旋、非相对论粒子在一维坐标 xx 上的运动。位置单位米，时间单位秒，势能 V(x,t)V(x,t) 和能量单位焦耳。模型要求粒子速度远低于真空光速，且不存在粒子产生、湮灭；相对论、高能散射和多粒子交换对称性不在本章方程的适用范围内。

量子态在位置表象中由复波函数 ψ(x,t)\psi(x,t) 表示。Born 规则给区间 [a,b][a,b] 内发现粒子的概率

P(a≤x≤b;t)=∫ab∣ψ(x,t)∣2 dx.P(a\le x\le b;t) =\int_a^b|\psi(x,t)|^2\,\mathrm dx.

归一化态满足

∫D∣ψ(x,t)∣2 dx=1,\int_{\mathcal D}|\psi(x,t)|^2\,\mathrm dx=1,

所以一维 ∣ψ∣2|\psi|^2 的单位是 m−1\mathrm{m^{-1}}， ψ\psi 的单位是 m−1/2\mathrm{m^{-1/2}}。波函数本身不是概率，也不是具有米单位的物质位移。整体相位 eiαψe^{i\alpha}\psi 不改变任何概率或期望值；不同分量之间的相对相位却会改变干涉。

含时 Schrödinger 方程与算符单位

状态演化由

iℏ∂ψ∂t=H^ψi\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t} =\hat H\psi

决定。约化 Planck 常数 ℏ=1.054571817×10−34 J s\hbar=1.054571817\times10^{-34}\,\mathrm{J\,s}。左侧 ℏ∂tψ\hbar\partial_t\psi 的单位是焦耳乘波函数，因此 H^\hat H 必须是能量算符。

对一维局域势，

H^=p^22m+V(x,t)=−ℏ22m∂2∂x2+V(x,t),\hat H =\frac{\hat p^2}{2m}+V(x,t) =-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2} +V(x,t),

其中

x^=x,p^=−iℏ∂∂x.\hat x=x, \qquad \hat p=-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}.

x^\hat x 的输出单位为米乘波函数； p^\hat p 的输出单位 kg m s−1\mathrm{kg\,m\,s^{-1}} 乘波函数； −ℏ2∂x2/(2m)-\hbar^2\partial_x^2/(2m) 的输出单位焦耳乘波函数。单位正确是必要检查，但不能替代定义域与边界条件。

方程对 ψ\psi 线性：若 ψ1,ψ2\psi_1,\psi_2 在相同势和相同齐次边界条件下是解，则 aψ1+bψ2a\psi_1+b\psi_2 也是解。归一化需要另行施加，并非任意线性组合自动为单位范数。

Hamilton 算符的定义域与边界

一个微分表达式只有连同允许函数集合才构成算符。要让 H^\hat H 代表可观测能量并生成概率守恒演化，需在所选定义域上自伴。对两函数 ϕ,ψ\phi,\psi，分部积分给动能边界项

⟨ϕ∣H^ψ⟩−⟨H^ϕ∣ψ⟩=−ℏ22m[ϕ∗ψ′−ϕ′∗ψ]∂D.\langle\phi|\hat H\psi\rangle -\langle\hat H\phi|\psi\rangle =-\frac{\hbar^2}{2m} \left[ \phi^*\psi'-\phi'^*\psi \right]_{\partial\mathcal D}.

边界条件必须让该项对定义域中任意 ϕ,ψ\phi,\psi 为零。常见选择包括：

  • 无限直线上平方可积态在无穷远充分衰减；
  • 有限区间硬壁条件 ψ(a)=ψ(b)=0\psi(a)=\psi(b)=0；
  • 周期条件 ψ(a)=ψ(b)\psi(a)=\psi(b)、 ψ′(a)=ψ′(b)\psi'(a)=\psi'(b)；
  • 其他满足自伴扩张条件的成对边界关系。

不能在同一端随意只规定 ψ=0\psi=0 又额外规定 ψ′=0\psi'=0，那通常会把二阶方程唯一解压成零函数。边界条件的数量、位置和物理来源必须与方程阶数相容。

若势 V(x)V(x) 在有限位置有有限跳跃，质量恒定且没有 δ\delta 奇异项，把定态方程在跳点两侧积分并令区间趋零，得到 ψ\psi 与 ψ′\psi' 连续。无限高势壁或 δ\delta 势具有不同匹配条件，应从相应极限重新推导。

含时方程对时间是一阶，因此给定合法初态 ψ(x,0)\psi(x,0) 与 Hamilton 定义域后，不再独立指定 ∂tψ(x,0)\partial_t\psi(x,0)；它由方程确定。空间二阶则需要相应的两项边界信息。初态必须平方可积并满足所选边界，若还要有限平均能量，通常需要更强的可微性。把不满足硬壁端点条件的初态直接送入演化，会在数学上改变问题或引入无法解释的高能边界成分。

定态方程与时间相位

若势不显含时间，尝试分离

ψ(x,t)=ϕ(x)T(t).\psi(x,t)=\phi(x)T(t).

代入并除以 ϕT\phi T，两侧分别只依赖 xx 或 tt，所以等于常量 EE。得到定态 Schrödinger 方程

H^ϕ=Eϕ\hat H\phi=E\phi

以及

T(t)=e−iEt/ℏ.T(t)=e^{-iEt/\hbar}.

因此能量本征态

ψE(x,t)=ϕE(x)e−iEt/ℏ\psi_E(x,t)=\phi_E(x)e^{-iEt/\hbar}

的概率密度 ∣ψE∣2=∣ϕE∣2|\psi_E|^2=|\phi_E|^2 不随时间变化。“定态”指统计密度稳定，不表示波函数没有时间相位，也不表示概率流必然为零；行进平面波就是密度恒定但流非零的例子。

自伴 H^\hat H 的本征值为实数，不同本征值的正规本征态正交。离散束缚态可归一化为一；连续谱散射态通常采用 δ\delta 归一化或盒归一化，单个无限平面波不能在整条实线上归一化为一。

例 1：归一化指数波函数

在整条实线上取

ϕ(x)=Ae−∣x∣/a,a>0.\phi(x)=A e^{-|x|/a}, \qquad a>0.

归一化要求

1=∣A∣2∫−∞∞e−2∣x∣/a dx=∣A∣2a,1=|A|^2 \int_{-\infty}^{\infty}e^{-2|x|/a}\,\mathrm dx =|A|^2a,

所以可选实正 A=1/aA=1/\sqrt a，单位 m−1/2\mathrm{m^{-1/2}}。由偶对称性 ⟨x⟩=0\langle x\rangle=0。落在 ∣x∣<a|x|<a 的概率为

P=2∫0a1ae−2x/a dx=1−e−2=0.865.P=2\int_0^a\frac1a e^{-2x/a}\,\mathrm dx =1-e^{-2}=0.865.

若把 AA 当成无量纲，概率积分会残留米单位，立即暴露错误。

概率连续性方程

定义概率密度 ρ=ψ∗ψ\rho=\psi^*\psi。由 Schrödinger 方程和复共轭方程

−iℏ∂ψ∗∂t=−ℏ22m∂2ψ∗∂x2+Vψ∗-i\hbar\frac{\partial\psi^*}{\partial t} =-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\psi^*}{\partial x^2} +V\psi^*

分别乘 ψ∗\psi^* 与 ψ\psi，相减后实势项抵消。整理得到

∂ρ∂t+∂j∂x=0,\frac{\partial\rho}{\partial t} +\frac{\partial j}{\partial x}=0,

其中一维概率流为

j(x,t)=ℏmIm⁡ ⁣(ψ∗∂ψ∂x)=ℏ2mi(ψ∗ψ′−ψψ′∗).j(x,t) =\frac{\hbar}{m} \operatorname{Im}\!\left( \psi^*\frac{\partial\psi}{\partial x} \right) =\frac{\hbar}{2mi} \left(\psi^*\psi'-\psi\psi'^*\right).

在一维归一化约定下， jj 的单位为 s−1\mathrm{s^{-1}}，表示每秒穿过某个位置的概率；三维流密度单位为 m−2 s−1\mathrm{m^{-2}\,s^{-1}}。对区间 [a,b][a,b] 积分：

ddt∫abρ dx=j(a,t)−j(b,t).\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \int_a^b\rho\,\mathrm dx =j(a,t)-j(b,t).

区间概率变化只由边界净流决定。硬壁条件使端点流为零；无限直线上若流在无穷远消失，总概率守恒。若势为复数，推导中势项不再抵消，可能表示吸收或增益的有效非封闭模型，此时不能声称幺正。

自由粒子、动量与群速度

自由粒子 V=0V=0 的形式解

ψ=Aei(kx−ωt)\psi=Ae^{i(kx-\omega t)}

满足

p=ℏk,E=ℏω=ℏ2k22m.p=\hbar k, \qquad E=\hbar\omega =\frac{\hbar^2k^2}{2m}.

kk 单位 m−1\mathrm{m^{-1}}， pp 单位 kg m s−1\mathrm{kg\,m\,s^{-1}}。相速度 ω/k=ℏk/(2m)\omega/k=\hbar k/(2m)，波包群速度

vg=dωdk=ℏkm=pmv_g=\frac{\mathrm d\omega}{\mathrm dk} =\frac{\hbar k}{m} =\frac pm

与经典非相对论速度一致。单平面波在无限直线上不可归一化；物理局域粒子应由一段 kk 分布叠加成波包。

例 2：周期盒中的自由粒子概率流

长度 L=1.00 nmL=1.00\,\mathrm{nm} 的周期盒中取

ψ(x,t)=1Lei(kx−ωt),k=2πL=6.28×109 m−1.\psi(x,t)=\frac1{\sqrt L}e^{i(kx-\omega t)}, \qquad k=\frac{2\pi}{L} =6.28\times10^9\,\mathrm{m^{-1}}.

对电子 me=9.11×10−31 kgm_e=9.11\times10^{-31}\,\mathrm{kg}，群速度

vg=ℏkme=7.27×105 m s−1.v_g=\frac{\hbar k}{m_e} =7.27\times10^5\,\mathrm{m\,s^{-1}}.

概率密度 1/L=1.00×109 m−11/L=1.00\times10^9\,\mathrm{m^{-1}}，所以

j=vg∣ψ∣2=7.27×1014 s−1.j=v_g|\psi|^2 =7.27\times10^{14}\,\mathrm{s^{-1}}.

这里 kL=2πkL=2\pi，满足周期边界并对应 n=1n=1。若任取不满足 kL=2πnkL=2\pi n 的波数，局部微分方程仍成立，却不是该周期盒 Hamilton 定义域中的本征态。这说明公式代入和边界合法性必须分开核对。

幺正演化与能量本征态叠加

时间无关且自伴的 Hamilton 算符生成

∣ψ(t)⟩=e−iH^t/ℏ∣ψ(0)⟩.|\psi(t)\rangle =e^{-i\hat Ht/\hbar}|\psi(0)\rangle.

演化算符 U^(t)\hat U(t) 满足 U^†U^=1\hat U^\dagger\hat U=1，因而保持内积、归一化和态间夹角。把初态展开为正交能量本征态

∣ψ(0)⟩=∑ncn∣n⟩,∑n∣cn∣2=1,|\psi(0)\rangle=\sum_n c_n|n\rangle, \qquad \sum_n|c_n|^2=1,

则

∣ψ(t)⟩=∑ncne−iEnt/ℏ∣n⟩.|\psi(t)\rangle =\sum_n c_ne^{-iE_nt/\hbar}|n\rangle.

每个能量概率 ∣cn∣2|c_n|^2 不变，但不同能量间相对相位演化，使位置密度和其他不与 H^\hat H 对易的可观测量随时间改变。

例 3：两能级叠加的相位与能量

正交本征态 ∣1⟩,∣2⟩|1\rangle,|2\rangle 的能量为 E1,E2E_1,E_2，初态

∣ψ(0)⟩=∣1⟩+∣2⟩2.|\psi(0)\rangle =\frac{|1\rangle+|2\rangle}{\sqrt2}.

时刻 tt 的态为

∣ψ(t)⟩=e−iE1t/ℏ∣1⟩+e−iE2t/ℏ∣2⟩2.|\psi(t)\rangle =\frac{ e^{-iE_1t/\hbar}|1\rangle +e^{-iE_2t/\hbar}|2\rangle}{\sqrt2}.

能量测量仍各以 1/21/2 概率得到 E1,E2E_1,E_2， ⟨H⟩=(E1+E2)/2\langle H\rangle=(E_1+E_2)/2。相对相位以角频率 ω21=(E2−E1)/ℏ\omega_{21}=(E_2-E_1)/\hbar 演化；若某可观测量连接两态，其期望值会以这一频率振荡。

期望值与 Ehrenfest 定理

归一化态的位置和动量期望为

⟨x⟩=∫ψ∗xψ dx,⟨p⟩=∫ψ∗(−iℏ∂∂x)ψ dx.\langle x\rangle =\int\psi^*x\psi\,\mathrm dx, \qquad \langle p\rangle =\int\psi^* \left(-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}\right) \psi\,\mathrm dx.

在边界项消失、势足够光滑的条件下，

d⟨x⟩dt=⟨p⟩m,d⟨p⟩dt=−⟨∂V∂x⟩.\frac{\mathrm d\langle x\rangle}{\mathrm dt} =\frac{\langle p\rangle}{m}, \qquad \frac{\mathrm d\langle p\rangle}{\mathrm dt} =-\left\langle\frac{\partial V}{\partial x}\right\rangle.

这与 Hamilton 方程形式相似，但一般 ⟨V′(x)⟩≠V′(⟨x⟩)\langle V'(x)\rangle\ne V'(\langle x\rangle)。只有波包相对势变化尺度足够窄，或势至多二次时，质心才近似满足经典 Newton 方程。

例 4：谐振子质心严格服从经典方程

若 V(x)=mω02x2/2V(x)=m\omega_0^2x^2/2，则 V′(x)=mω02xV'(x)=m\omega_0^2x，线性性给

d⟨p⟩dt=−mω02⟨x⟩.\frac{\mathrm d\langle p\rangle}{\mathrm dt} =-m\omega_0^2\langle x\rangle.

再用 d⟨x⟩/dt=⟨p⟩/m\mathrm d\langle x\rangle/\mathrm dt=\langle p\rangle/m，

d2⟨x⟩dt2+ω02⟨x⟩=0.\frac{\mathrm d^2\langle x\rangle}{\mathrm dt^2} +\omega_0^2\langle x\rangle=0.

任意满足定义域条件的态，其质心都作经典简谐运动；但波包宽度和形状仍可体现量子行为，质心方程相同不表示整个态等同经典点粒子。

能量变化与显含时 Hamilton 算符

对满足 Schrödinger 方程的归一化态，

ddt⟨H⟩=⟨∂H^∂t⟩,\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\langle H\rangle =\left\langle\frac{\partial\hat H}{\partial t}\right\rangle,

前提是定义域不随时间产生额外边界项。若势和边界不显含时间，平均能量守恒；状态仍可由多个能量分量组成，位置概率仍可变化。若外部驱动使 V(x,t)V(x,t) 改变，右侧一般非零，外部装置可向系统输入或取出能量。

例如 V(x,t)=λ(t)x2V(x,t)=\lambda(t)x^2 时，

d⟨H⟩dt=λ˙(t)⟨x2⟩.\frac{\mathrm d\langle H\rangle}{\mathrm dt} =\dot\lambda(t)\langle x^2\rangle.

λ\lambda 的单位为 J m−2\mathrm{J\,m^{-2}}， λ˙⟨x2⟩\dot\lambda\langle x^2\rangle 的单位为 J s−1\mathrm{J\,s^{-1}}。仅看到 Hamilton 算符“是自伴的”不能推出能量守恒；还要检查它是否显含时间。

自由 Gaussian 波包与展宽

取初始概率密度方差为 σ02\sigma_0^2 的最小不确定 Gaussian 波包，

ψ(x,0)∝exp⁡ ⁣[−(x−x0)24σ02+ik0x].\psi(x,0) \propto \exp\!\left[ -\frac{(x-x_0)^2}{4\sigma_0^2} +ik_0x \right].

它满足 Δx(0)=σ0\Delta x(0)=\sigma_0、 Δp=ℏ/(2σ0)\Delta p=\hbar/(2\sigma_0)。自由演化时质心按

⟨x⟩(t)=x0+ℏk0mt\langle x\rangle(t) =x_0+\frac{\hbar k_0}{m}t

移动，而宽度变为

σx(t)=σ01+(ℏt2mσ02)2.\sigma_x(t) =\sigma_0 \sqrt{ 1+\left( \frac{\hbar t}{2m\sigma_0^2} \right)^2 }.

这里换行表示乘法： σ0\sigma_0 乘根号。特征展宽时间

td=2mσ02ℏt_d=\frac{2m\sigma_0^2}{\hbar}

单位为秒。展宽不是来自外力，而是不同动量分量具有不同群速度。自由粒子经典点轨迹没有这一内禀宽度，但经典粒子系综若初始速度有分布，也会发生统计展宽。

例 5：电子波包的展宽时间

电子初始位置标准差 σ0=1.00 nm\sigma_0=1.00\,\mathrm{nm}。取 me=9.11×10−31 kgm_e=9.11\times10^{-31}\,\mathrm{kg}，

td=2(9.11×10−31)(1.00×10−9)21.055×10−34=1.73×10−14 s.t_d =\frac{2(9.11\times10^{-31})(1.00\times10^{-9})^2} {1.055\times10^{-34}} =1.73\times10^{-14}\,\mathrm s.

在 t=tdt=t_d 时， σx=2 σ0=1.41 nm\sigma_x=\sqrt2\,\sigma_0=1.41\,\mathrm{nm}。若质量增大或初始宽度增大，展宽时间按 mσ02m\sigma_0^2 增长，这解释了宏观局域波包在日常时间尺度上更接近经典。

对称性与守恒量

若 VV 与位置无关，Hamilton 算符与动量对易， d⟨p⟩/dt=0\mathrm d\langle p\rangle/\mathrm dt=0，对应空间平移对称。若 V(x)=V(−x)V(x)=V(-x)，宇称算符把 ψ(x)\psi(x) 变成 ψ(−x)\psi(-x)，并与 H^\hat H 对易；初态若具有确定偶奇性，演化保持该宇称。

对易只保证相应可观测量的概率分布在时间无关 Hamilton 下保持，并不要求态是该可观测量的单一本征态。边界也属于物理系统：有限硬壁盒即使内部 V=0V=0，边界破坏连续平移对称，动量不再像无限自由空间那样守恒。判断守恒量必须同时检查微分表达式与定义域。

经典极限的条件

经典极限不是简单把 ℏ\hbar 在已归一化方程中设为零，那会改变微分方程阶数并造成奇异极限。更有意义的条件是典型作用量 Scl≫ℏS_{\rm cl}\gg\hbar、波包在势变化尺度上足够窄、退相干抑制宏观不同路径的相位干涉，并且观察分辨率不解析细微振荡。

将 ψ=ReiS/ℏ\psi=R e^{iS/\hbar} 代入 Schrödinger 方程并分离实虚部，实部给

∂S∂t+(∂xS)22m+V+Q=0,\frac{\partial S}{\partial t} +\frac{(\partial_xS)^2}{2m} +V +Q=0,

其中量子势

Q=−ℏ22m∂x2RR.Q=-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial_x^2R}{R}.

当振幅 RR 的变化尺度足够长，使 ∣Q∣|Q| 相对经典动能和势能可忽略，方程趋向 Hamilton–Jacobi 形式。但在节点附近 R→0R\to0、隧穿区或干涉条纹中，量子项不能忽略，即使宏观参数较大。

常见误区与边界

常见误区

“波函数是在空间中振动的真实材料高度。”波函数是复概率振幅；不同系统中没有统一的机械位移单位。一维归一化波函数单位为 m−1/2\mathrm{m^{-1/2}}。

常见误区

“定态意味着粒子静止。”定态只表示概率密度不变。具有确定动量的行进态可有恒定非零概率流。

常见误区

“满足微分方程就一定是物理解。”还必须满足定义域、边界、匹配、归一化或散射归一化条件。错误边界可使能量非实或概率泄漏。

任意复势不保持概率

若有效势含负虚部 V=VR−iWV=V_R-iW、 W>0W>0，连续性方程会出现概率损失项。这可模拟吸收边界，却不再是封闭系统的自伴 Hamilton 演化；把范数下降称为“数值误差”或仍宣称幺正都不准确。

数据探索：归一化、能量和流的三项审计

在周期区间 L=1.00 mL=1.00\,\mathrm m 上构造

ψ(x,0)=12L(1+ei2πx/L).\psi(x,0)=\frac1{\sqrt{2L}} \left(1+e^{i2\pi x/L}\right).

先展开 ∣ψ∣2|\psi|^2 并在一个周期积分，核对归一化为一。两个动量分量分别为 00 与 2πℏ/L2\pi\hbar/L，概率各半，因此 ⟨p⟩=πℏ/L\langle p\rangle=\pi\hbar/L。再用流公式计算 j(x,0)j(x,0)，观察交叉项怎样让局部流随位置改变，而区间平均流与 ⟨p⟩/(mL)\langle p\rangle/(mL) 相容。

若做离散演化，每一步至少记录范数、能量期望和左右边界净流。范数漂移可能来自非幺正时间步或边界吸收；能量漂移只应在 VV 不显含时间且无吸收时作为误差指标。网格间距和时间步必须附 SI 单位，不能只展示动画。

练习

练习
所属知识
波函数单位与归一化
难度
2/5

粒子在长度 L=4.00 nmL=4.00\,\mathrm{nm} 的周期区间内有常量波函数 ψ=A\psi=A。求 ∣A∣|A| 及其 SI 单位。

查看提示
常量波函数在长度 L 的区间归一化要求 ∣A∣2L=1|A|^{2}L=1。
查看解答

∣A∣=1/L=1/4.00×10−9 m=1.58×104 m−1/2|A|=1/\sqrt L =1/\sqrt{4.00\times10^{-9}\,\mathrm m} =1.58\times10^4\,\mathrm{m^{-1/2}}。整体相位任意。

练习
所属知识
算符单位
难度
2/5

证明 −iℏ∂x-i\hbar\partial_x 具有动量单位， −ℏ2∂x2/(2m)-\hbar^2\partial_x^2/(2m) 具有能量单位。

查看提示
∂/∂x\partial/\partial x 提供 m−1m^-1，ℏ\hbar 的单位是 J⋅sJ\cdot s。
查看解答

[ℏ∂x]=(kg m2 s−1)(m−1)=kg m s−1[\hbar\partial_x] =(\mathrm{kg\,m^2\,s^{-1}})(\mathrm{m^{-1}}) =\mathrm{kg\,m\,s^{-1}}。 [ℏ2∂x2/m]=kg m2 s−2=J[\hbar^2\partial_x^2/m] =\mathrm{kg\,m^2\,s^{-2}}=\mathrm J。

练习
所属知识
定态时间相位
难度
3/5

能量本征值 E=2.00 eVE=2.00\,\mathrm{eV}。求时间相位角速度 E/ℏE/\hbar，并说明概率密度是否随时间改变。

查看提示
本征态只乘 e−iEt/ℏe^{-iEt/\hbar}；概率密度取模平方。
查看解答

E=3.204×10−19 JE=3.204\times10^{-19}\,\mathrm J， E/ℏ=3.04×1015 rad s−1E/\hbar=3.04\times10^{15}\,\mathrm{rad\,s^{-1}}。 ∣e−iEt/ℏ∣2=1|e^{-iEt/\hbar}|^2=1，所以单一本征态概率密度不变。

练习
所属知识
概率流
难度
3/5

一维周期归一化盒中 L=2.00 mL=2.00\,\mathrm m， ψ=L−1/2e−ikx\psi=L^{-1/2}e^{-ikx}， k=π m−1k=\pi\,\mathrm{m^{-1}}，粒子质量 m=1.00 kgm=1.00\,\mathrm{kg}。求概率流。

查看提示
平面波 j=(ℏk/m)∣A∣2j=(\hbar k/m)|A|^{2}；负 k 给负方向。
查看解答

j=(ℏ/m)(−k)(1/L)=−1.66×10−34 s−1j=(\hbar/m)(-k)(1/L) =-1.66\times10^{-34}\,\mathrm{s^{-1}}。 负号表示流向 −x-x；极小数值来自题设宏观质量。

练习
所属知识
两能级拍频
难度
3/5

两能级差 ΔE=1.00 eV\Delta E=1.00\,\mathrm{eV}。求相对相位周期。

查看提示
相对相位角频率是 ΔE/ℏ\Delta E/\hbar，周期为 2πℏ/ΔE=h/ΔE2\pi \hbar/\Delta E=h/\Delta E。
查看解答

T=h/ΔE=(6.626×10−34)/(1.602×10−19)=4.14×10−15 sT=h/\Delta E =(6.626\times10^{-34})/(1.602\times10^{-19}) =4.14\times10^{-15}\,\mathrm s。

练习
所属知识
Ehrenfest 极限
难度
4/5

势 V(x)=αx3V(x)=\alpha x^3。写出质心加速度，并说明它何时近似满足以 ⟨x⟩\langle x\rangle 代入的经典方程。

查看提示
写出 〈V'(x)〉，再判断何时能近似为 V'(〈x〉)。
查看解答

m d2⟨x⟩/dt2=−⟨3αx2⟩=−3α(⟨x⟩2+Var⁡x)m\,\mathrm d^2\langle x\rangle/\mathrm dt^2 =-\langle3\alpha x^2\rangle =-3\alpha(\langle x\rangle^2+\operatorname{Var}x)。 只有波包方差相对 ⟨x⟩2\langle x\rangle^2 或势变化尺度足够小，才近似为 −3α⟨x⟩2-3\alpha\langle x\rangle^2。

关系、资源与后续学习

课程 · 2013

Quantum Physics I

Allan Adams, Matthew Evans, Barton Zwiebach

用于核对 P07 的态与概率解释、时间演化、概率流、一维束缚态和散射计算，并明确理想势模型的适用边界。

打开官方来源

MIT OpenCourseWare 8.04《Quantum Physics I》覆盖波函数、Schrödinger 方程、概率流、一维势与经典联系，可用于复习本章推导并继续学习具体势能模型。

下一章进入 一维势阱、隧穿与散射，把自伴边界、匹配条件和概率流用于具体势能。随后回到

测量、对易关系与不确定性 ，检验状态演化预测怎样转化为重复实验的统计结果。

课程 · 2013

Quantum Physics II

Barton Zwiebach

用于核对 P07 的算符表象、投影测量、角动量代数、自旋系统、复合系统与全同粒子例题。

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MIT OpenCourseWare 8.05《Quantum Physics II》支撑本章 Schrödinger 演化的算符化解释：自伴 Hamiltonian 生成幺正时间演化，定态相位不改变能量测量概率，而不同能量分量之间的相对相位产生可观测时间依赖。该来源具体支持谱分解与守恒范数的推导，并限定时间依赖 Hamiltonian 一般不能直接套用单一指数 e−iHt/ℏe^{-iHt/\hbar} 而忽略时间排序。