质点运动学与参考系

本章路线

运动学只回答物体怎样运动，不先追问是什么力造成这种运动。看似简单的“汽车以 $20\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 前进”仍缺少关键信息：速度是相对地面还是另一辆车？“前进”对应哪一个坐标轴正方向？计时从何时开始？汽车能否近似为一个质点？这些约定一旦含糊，正负号、分量乃至“是否运动”都会失去共同含义。

除非另行说明，本章使用地面惯性参考系；二维坐标取水平向右为 $+x$、竖直向上为 $+y$，时钟读数以秒为单位。位置和位移的 SI 单位为米，速度为米每秒，加速度为米每二次方秒。重力场附近的抛体例题取 $\boldsymbol g=(0,-9.81)\,\mathrm{m\,s^{-2}}$，忽略空气阻力并把研究对象视为质点。每次改变约定时都会显式说明。

参考系、质点模型与坐标表示

参考系与事件坐标

一个参考系包含用于标记空间位置的参考物、坐标系和时钟。一个事件在该系中由时间 $t$ 与位置矢量 $\boldsymbol r(t)$ 描述。改变原点或坐标轴会改变分量数值；改变参考物还可能改变速度与加速度的观测值，但事件本身并未因此发生两次。

质点模型把物体的尺寸、形状和转动暂时忽略，只保留质量集中位置。研究一列长 $200\,\mathrm m$ 的列车在两城之间行驶时，质点近似通常合适；研究车头何时进入隧道、车尾何时离开隧道时，长度不可忽略。选择模型不是宣称物体真的没有大小，而是说明当前问题只追踪哪些自由度。

在直角坐标系中，二维位置写成

其中 $\boldsymbol e_x,\boldsymbol e_y$ 是固定单位基矢，$x,y$ 的单位均为米。矢量是几何对象，分量是它在所选基底下的坐标。旋转坐标轴会改变分量，却不改变同一位移的长度。只有先确认分量使用同一参考系、同一时刻和相容单位，才能进行矢量加减。

位置、位移与路程不是同一个量

位置、位移与路程

质点在时刻 $t$ 的位置为 $\boldsymbol r(t)$。从 $t_1$ 到 $t_2$ 的位移是

$$\Delta\boldsymbol r=\boldsymbol r(t_2)-\boldsymbol r(t_1),$$

它只依赖起点和终点，是单位为米的矢量。路程 $s$ 是实际轨迹长度，是非负标量；一般有 $s\ge\lVert\Delta\boldsymbol r\rVert$，只有运动方向始终不折返且轨迹为直线时才取等号。

若跑者沿 $400\,\mathrm m$ 环形跑道恰好一周，路程为 $400\,\mathrm m$，位移却为零。位置也不是“已经走了多远”：它是相对于原点的有向坐标。例如一维轴上 $x=-3\,\mathrm m$ 表示物体位于原点负侧，并不表示路程为负。

连续可微轨迹的路程可由速度大小积分得到：

这里积分的是速率而不是速度矢量。速度矢量积分给位移；先取大小再积分给路程。两种运算通常不可交换。

平均量、瞬时量与导数

速度、速率与加速度

时间区间 $\Delta t=t_2-t_1>0$ 上的平均速度为

$$\overline{\boldsymbol v}=\frac{\Delta\boldsymbol r}{\Delta t}.$$

瞬时速度与加速度分别定义为

$$\boldsymbol v(t)=\frac{\mathrm d\boldsymbol r}{\mathrm dt}, \qquad \boldsymbol a(t)=\frac{\mathrm d\boldsymbol v}{\mathrm dt} =\frac{\mathrm d^2\boldsymbol r}{\mathrm dt^2}.$$

瞬时速率为 $v=\lVert\boldsymbol v\rVert$。加速度描述速度矢量每单位时间的变化，既可能改变速率，也可能只改变方向。

平均速率是路程除以时间，与平均速度的大小不同。往返运动可有正的平均速率和零平均速度。另一个常见误解是“加速度为负就一定减速”。在一维中，只有速度和加速度方向相反时速率才减小：若 $v<0$ 且 $a<0$，物体朝负方向越走越快。

位置—时间图的割线斜率给平均速度，切线斜率给瞬时速度；速度—时间图的切线斜率给加速度，而曲线与时间轴之间的有向面积给位移。若曲线落在时间轴下方，该段面积对位移贡献为负，但对路程仍应取绝对值后累加。

例 1：从位置函数读出方向、位移和转向

某小车沿直轨运动，以向东为 $+x$，位置为

$$x(t)=2.0\,\mathrm m+(4.0\,\mathrm{m\,s^{-1}})t -(1.0\,\mathrm{m\,s^{-2}})t^2,$$

考察 $0\le t\le5.0\,\mathrm s$。逐项微分得

$$v(t)=4.0\,\mathrm{m\,s^{-1}}-(2.0\,\mathrm{m\,s^{-2}})t, \qquad a(t)=-2.0\,\mathrm{m\,s^{-2}}.$$

在 $t=2.0\,\mathrm s$ 时 $v=0$，小车由向东改为向西。初、末位置分别为 $x(0)=2.0\,\mathrm m$ 与 $x(5.0)=-3.0\,\mathrm m$，故位移为 $-5.0\,\mathrm m$，平均速度为 $-1.0\,\mathrm{m\,s^{-1}}$。转向点位置为 $x(2.0)=6.0\,\mathrm m$，路程则是

$$|6.0-2.0|\,\mathrm m+|-3.0-6.0|\,\mathrm m=13.0\,\mathrm m.$$

因此平均速率为 $13.0/5.0=2.6\,\mathrm{m\,s^{-1}}$。负加速度在前 $2.0\,\mathrm s$ 使速率减小，转向后却使速率增大；方向约定解释了符号，不能把负号直接翻译成“变慢”。

从加速度积分回到速度与位置

微分给局部变化率，积分则把变化率在时间上累积。给定初始时刻 $t_0$ 的 $\boldsymbol r_0$、$\boldsymbol v_0$，有

积分常数正是初始条件；只知道加速度并不能唯一确定轨迹。单位也提供快速检查：$\boldsymbol a\,\mathrm dt$ 的单位是 $\mathrm{m\,s^{-1}}$，可与速度相加；$\boldsymbol v\,\mathrm dt$ 的单位是米，可与位置相加。

若一维加速度在考察区间恒为 $a$，取 $t_0=0$，逐次积分得到

消去时间还得到

这些不是任意运动的定义，而是恒加速度模型的推论。若 $a$ 随时间或位置显著变化，就应返回积分或微分方程，不可为了套公式把“平均加速度”代入所有关系。

例 2：制动距离与反应距离必须分开

汽车相对水平道路以 $v_0=25.0\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 向东行驶。驾驶员反应时间为 $0.80\,\mathrm s$，反应阶段速度近似不变；随后制动阶段加速度恒为 $a=-6.0\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。取向东为正。

反应距离为

$$\Delta x_r=v_0t_r=(25.0)(0.80)\,\mathrm m=20.0\,\mathrm m.$$

制动到 $v=0$，使用无时间公式：

$$0=(25.0\,\mathrm{m\,s^{-1}})^2 +2(-6.0\,\mathrm{m\,s^{-2}})\Delta x_b,$$

所以 $\Delta x_b=52.1\,\mathrm m$。总停车距离约为 $72.1\,\mathrm m$。制动时间由 $0=25.0-6.0t_b$ 得 $t_b=4.17\,\mathrm s$。这里 $-6.0\,\mathrm{m\,s^{-2}}$ 是坐标分量，不是“加速度大小为负”；加速度大小为 $6.0\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。

二维运动：一个时钟、两个分量

在固定直角坐标系中，微分按分量进行：

$x$ 与 $y$ 方向的方程可以分别求解，但它们共享同一个时间变量。所谓“分解运动”不是把一次运动变成两个互不相干的实验，而是把同一矢量方程投影到两个基矢上。

近地面抛体在忽略空气阻力、地面可视为平面且 $g$ 近似恒定时，满足

其中 $g=9.81\,\mathrm{m\,s^{-2}}$ 表示重力加速度大小，方向已通过 $y$ 方程中的负号体现。水平加速度为零并不表示水平速度为零；它表示水平速度保持不变。

例 3：从高台斜抛并判断落地速度

小球从距水平地面 $y_0=20.0\,\mathrm m$ 的平台以 $v_0=15.0\,\mathrm{m\,s^{-1}}$、仰角 $30.0^\circ$ 抛出。取抛出点正下方为 $x=0$，向右和向上为正，地面为 $y=0$。初速度分量为

$$v_{0x}=15.0\cos30.0^\circ=12.99\,\mathrm{m\,s^{-1}}, \qquad v_{0y}=7.50\,\mathrm{m\,s^{-1}}.$$

落地时满足

$$0=20.0+(7.50)t-\frac12(9.81)t^2.$$

二次方程的正根为 $t=2.92\,\mathrm s$；负根对应把理想抛物线向抛出前延拓，不属于本题时间区间。水平射程为

$$x=(12.99)(2.92)\,\mathrm m=37.9\,\mathrm m.$$

落地前速度分量是

$$v_x=12.99\,\mathrm{m\,s^{-1}}, \qquad v_y=7.50-(9.81)(2.92)=-21.1\,\mathrm{m\,s^{-1}}.$$

故速率约为 $24.8\,\mathrm{m\,s^{-1}}$，方向相对 $+x$ 轴向下约 $58.4^\circ$。该结果没有计入空气阻力、球的尺寸和地球曲率；它们是模型边界，不应藏在有效数字之后。

曲线运动：加速度可以垂直于速度

速度总沿轨迹切线方向。对速率 $v$ 与曲率半径 $R$，加速度可分解为切向与法向分量：

$\boldsymbol e_n$ 指向瞬时曲率中心。匀速圆周运动中 $a_t=0$，但 $a_n=v^2/R$ 不为零，因为速度方向持续变化。例如半径 $R=25.0\,\mathrm m$ 的圆弯上，车速为 $10.0\,\mathrm{m\,s^{-1}}$，向心加速度大小为 $4.00\,\mathrm{m\,s^{-2}}$，方向在每一点都指向圆心。“匀速”只表示速率不变，不表示速度矢量不变。

相对运动与 Galilean 速度变换

设参考系 $S'$ 的原点相对 $S$ 以恒定速度 $\boldsymbol V$ 平移，且两系坐标轴始终平行、时钟零点一致，则经典低速近似下

这里的加速度相等依赖 $\boldsymbol V$ 恒定。若 $S'$ 自身加速或转动，就不能直接沿用最后一个等式；后续动力学还需引入非惯性系中的惯性力。速度相加必须保留方向，不能把两个速率直接相加。

例 4：横渡河流的地面速度

河水相对河岸以 $3.0\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 向东流，船相对水以 $5.0\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 正北航行。取东为 $+x$、北为 $+y$。船相对岸的速度为

$$\boldsymbol v_{\text{船}/\text{岸}} =\boldsymbol v_{\text{船}/\text{水}}+\boldsymbol v_{\text{水}/\text{岸}} =(3.0,5.0)\,\mathrm{m\,s^{-1}}.$$

其速率为 $\sqrt{3.0^2+5.0^2}=5.83\,\mathrm{m\,s^{-1}}$，方向为北偏东 $\arctan(3/5)=31.0^\circ$。若河宽 $120\,\mathrm m$，过河时间由北向分量决定，为 $120/5.0=24.0\,\mathrm s$；向东漂移 $3.0\times24.0=72.0\,\mathrm m$。不能用合速率 $5.83\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 除河宽，因为河宽只沿北向测量。

常见误区与诊断顺序

常见误区

“位置为零就表示物体静止。”位置为零只表示物体此刻经过原点；是否静止要看该时刻的速度。

常见误区

“加速度方向总与速度方向相同。”制动时二者相反，匀速圆周运动时二者垂直；加速度由速度矢量的变化决定。

常见误区

“抛体到最高点时加速度为零。”最高点只有竖直速度分量瞬时为零，重力加速度仍为 $(0,-9.81)\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。

遇到运动学题，可依次检查：参考系与对象是否明确；坐标轴与正方向是否标出；已知量是否带 SI 单位；矢量分量是否来自同一基底；使用的恒加速度或质点近似是否成立；结果的单位、方向和极限是否合理。画草图和写分量通常比先搜索公式更可靠。

探索实验：用手机视频重建一维运动

把一条带米制刻度的纸带固定在水平桌边，令小车沿纸带运动。相机保持静止，使镜头光轴尽量垂直于运动平面，并在画面中保留至少 $1.00\,\mathrm m$ 的标尺。记录帧率，例如 $60\,\mathrm{frame\,s^{-1}}$，于是相邻帧时间间隔为 $1/60\,\mathrm s$。指定桌面左端为 $x=0$、向右为正，选小车上同一个标记点作为质点位置。

每隔若干帧读取一次 $x(t)$，保留原始像素到米的标定过程。用中心差分估计中间时刻速度：

再以相邻速度差估计加速度。绘制 $x$—$t$ 与 $v$—$t$ 图，比较前者斜率和后者数值，也比较后者有向面积与总位移。重复一次让小车中途折返的拍摄，观察位移、路程、平均速度和平均速率怎样分离。

这个实验的主要误差可能来自透视、运动模糊、选点不一致和有限帧率。不要把差分结果的小幅跳动立即解释成真实加速度突变；先改变取样间隔并比较结果稳定性。实验产出应包含坐标约定、原始位置表、单位、计算公式和不确定来源，而不只是轨迹截图。

练习

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所属知识

位移与路程

难度

1/5

行人沿东西直线运动，取向东为正。他从 $x=2.0\,\mathrm m$ 走到 $x=-5.0\,\mathrm m$，再走到 $x=1.0\,\mathrm m$，总用时 $13.0\,\mathrm s$。求位移、路程、平均速度和平均速率。

查看提示

先在数轴上标出 2.0 m、-5.0 m 和 1.0 m，再分别累加每段长度。

查看解答

位移为 $1.0-2.0=-1.0\,\mathrm m$，即向西 $1.0\,\mathrm m$。路程为 $|-5.0-2.0|+|1.0-(-5.0)|=13.0\,\mathrm m$。平均速度为 $-1.0/13.0=-0.0769\,\mathrm{m\,s^{-1}}$，平均速率为 $13.0/13.0=1.00\,\mathrm{m\,s^{-1}}$。

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所属知识

速度与加速度

难度

2/5

一维位置为 $x(t)=(1.0\,\mathrm m)+(3.0\,\mathrm{m\,s^{-1}})t-(0.50\,\mathrm{m\,s^{-3}})t^3$。求 $t=2.0\,\mathrm s$ 时的位置、速度和加速度，并判断此刻速率增大还是减小。

查看提示

对位置函数逐次求导；判断加速或减速时比较 v 与 a 的符号。

查看解答

$v(t)=3.0\,\mathrm{m\,s^{-1}}-(1.50\,\mathrm{m\,s^{-3}})t^2$，$a(t)=-(3.0\,\mathrm{m\,s^{-3}})t$。代入 $t=2.0\,\mathrm s$ 得 $x=3.0\,\mathrm m$、$v=-3.0\,\mathrm{m\,s^{-1}}$、$a=-6.0\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。速度与加速度同向，故物体向负方向运动且速率增大。

练习标记完成

所属知识

速度图像

难度

2/5

质点在 $0$ 到 $4.0\,\mathrm s$ 内速度由 $0$ 线性增至 $8.0\,\mathrm{m\,s^{-1}}$，随后在 $4.0$ 到 $6.0\,\mathrm s$ 内线性降至 $-4.0\,\mathrm{m\,s^{-1}}$。求两段加速度、总位移，并指出转向时刻。

查看提示

位移是 v-t 图的有向面积；路程需把负面积的绝对值也计入。

查看解答

第一段 $a_1=(8.0-0)/4.0=2.0\,\mathrm{m\,s^{-2}}$；第二段 $a_2=(-4.0-8.0)/2.0=-6.0\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。第一段位移是三角形面积 $16.0\,\mathrm m$，第二段有向面积是梯形面积 $(8.0-4.0)(2.0)/2=4.0\,\mathrm m$，总位移 $20.0\,\mathrm m$。第二段速度从 $8.0$ 以每秒 $6.0\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 下降，在 $t=4.0+8.0/6.0=5.33\,\mathrm s$ 时转向。

练习标记完成

所属知识

自由落体

难度

2/5

从地面竖直向上抛出小球，初速度为 $19.6\,\mathrm{m\,s^{-1}}$。忽略空气阻力，取向上为正，求到达最高点的时间、最大高度和最高点加速度。

查看提示

向上为正时 a=-g；到达最高点只令 v=0，不令 a=0。

查看解答

$v=v_0-gt$，令 $v=0$ 得 $t=19.6/9.81=2.00\,\mathrm s$。由 $v^2=v_0^2-2g\Delta y$ 得 $\Delta y=v_0^2/(2g)=19.6\,\mathrm m$。最高点加速度仍为 $-9.81\,\mathrm{m\,s^{-2}}$，即竖直向下。

练习标记完成

所属知识

抛体分量

难度

3/5

小球从地面以 $20.0\,\mathrm{m\,s^{-1}}$、仰角 $45.0^\circ$ 发射并落回同一高度。忽略空气阻力，求飞行时间、最高点高度和水平射程。

查看提示

落地时间由竖直方程决定；水平位移使用同一个时间。

查看解答

$v_{0x}=v_{0y}=20.0/\sqrt2=14.14\,\mathrm{m\,s^{-1}}$。回到同高的非零时间为 $T=2v_{0y}/g=2.88\,\mathrm s$。最高点高度为 $v_{0y}^2/(2g)=10.2\,\mathrm m$。射程为 $v_{0x}T=40.8\,\mathrm m$。三项均依赖“起落同高、$g$ 恒定、无阻力”的模型条件。

练习标记完成

所属知识

相对速度

难度

3/5

汽车 A 相对地面以 $18.0\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 向东，汽车 B 以 $12.0\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 向北。求 A 相对 B 的速度矢量、速率和方向。取东为 $+x$、北为 $+y$。

查看提示

先写 $v_A/B=v_A/$地$-v_B/$地，并在东西、南北分量上分别相减。

查看解答

$\boldsymbol v_{A/B}=\boldsymbol v_{A/\text{地}}-\boldsymbol v_{B/\text{地}}=(18.0,-12.0)\,\mathrm{m\,s^{-1}}$。速率为 $\sqrt{18.0^2+12.0^2}=21.6\,\mathrm{m\,s^{-1}}$，方向为东偏南 $\arctan(12.0/18.0)=33.7^\circ$。反向的 $\boldsymbol v_{B/A}$ 大小相同、方向相反。

关系、资源与后续学习

• 物理量、量纲与单位制 提供 SI 单位与量纲齐次性，本章把它们用于时空变化率。
• 向量 解释位置、速度和加速度的分量、方向与基底表示。
• 导数与微分 给出瞬时速度和加速度的极限语言。
• 积分与累积 把加速度恢复为速度、把速度恢复为位移。
• Newton 运动定律 将下一步从“怎样运动”推进到“合力怎样改变运动”。

课程 · 2016

Classical Mechanics

Deepto Chakrabarty, Peter Dourmashkin, Michelle Tomasik, Anna Frebel, Vladan Vuletic

用于核对 P01 的受力模型、守恒定律、参考系约定、转动公式、完整例题和练习。

打开官方来源

MIT OpenCourseWare 8.01SC《Classical Mechanics》系统组织一维与二维运动学、相对运动及后续动力学。本章据此保持参考系、矢量分量和适用条件的统一口径；资源卡用于追溯课程来源，不替代正文中的推导和数值核对。

完成本章后，应进入 Newton 运动定律：先画受力图，再用合力解释本章得到的加速度。随后在 功、势能与机械能守恒 中用路径和速度组织能量变化，并在 动量、冲量与碰撞 中处理短时相互作用与系统运动。