Euler 方程、Bernoulli 定理与涡量

研究对象、方向和单位

流体用密度场 $\rho(\boldsymbol x,t)$、速度场 $\boldsymbol u(\boldsymbol x,t)$ 和压力场 $p(\boldsymbol x,t)$ 描述。SI 单位分别为

单位质量体力 $\boldsymbol b$ 用 $\mathrm{m\,s^{-2}}$，体积力密度 $\rho\boldsymbol b$ 用 $\mathrm{N\,m^{-3}}$。重力坐标取 $z$ 向上时，$\boldsymbol b=-g\boldsymbol e_z=-\nabla(gz)$。符号方向一旦选定，压力梯度、重力势和高度项必须保持同一约定。

取空间中固定控制体 $V$，边界 $S=\partial V$ 的单位法向 $\boldsymbol n$ 指向控制体外。$\boldsymbol u\cdot\boldsymbol n>0$ 表示流出，负值表示流入。这里的控制体是分析边界，不是跟随同一批流体质点的控制质量；边界可以被流体穿过。

质量守恒先于 Bernoulli 公式

固定控制体的质量收支为

第二项按外向为正，单位为 $\mathrm{kg\,s^{-1}}$。利用散度定理并允许任意控制体，得到连续方程

物质导数

跟随流体质点变化，连续方程也可写为 $D\rho/Dt+\rho\nabla\cdot\boldsymbol u=0$。不可压缩运动的运动学条件是 $\nabla\cdot\boldsymbol u=0$；若流体密度还可视为常数，则控制体中稳态一维流给 $A_1u_1=A_2u_2$。可压缩流不能把体积流量直接当作守恒量，应守恒质量流率 $\rho Au$。

无黏应力与 Euler 动量方程

采用拉伸为正的 Cauchy 应力约定。理想无黏流体不能承受切向黏性应力，故

压力对控制体表面的力指向内部；若把 $+p\boldsymbol n$ 当作流体所受力，动量方向会整体颠倒。固定控制体的动量平衡为

表面动量通量单位为 N，压力合力和体力也为 N。转成局部形式并使用连续方程，得到 Euler 方程

$\nabla p$ 的单位是 $\mathrm{Pa\,m^{-1}}=\mathrm{N\,m^{-3}}$。方程假设连续介质尺度有效、应力各向同性且无黏；它没有边界切向摩擦，也不能描述壁面无滑移层中的速度梯度耗散。

固定控制体公式常用于求管壁、喷嘴或叶片受力。动量通量 $\rho\boldsymbol u(\boldsymbol u\cdot\boldsymbol n)$ 是向量，必须逐分量计算；入口处两个负号不应被提前当成“流量大小”删掉。表面压力力应覆盖所有开口和固壁。使用表压时，大气压在闭合控制面上的合力相消；若控制面没有闭合或各处外界压力不同，就不能随意把绝对压改成表压。

例 1：直角弯管的动量转向力

水平等截面弯管把水流从 $+x$ 转到 $+y$。体积流量 $Q=0.020\,\mathrm{m^3\,s^{-1}}$，截面积 $A=0.010\,\mathrm{m^2}$，故两端平均速度均为 $u=2.0\,\mathrm{m\,s^{-1}}$。取两开口表压为零，忽略重力和蓄积。流出减流入的动量流率为

$$\rho Q(\boldsymbol u_2-\boldsymbol u_1) =(1000)(0.020)[(0,2)-(2,0)] =(-40,40)\,\mathrm N.$$

这是管壁对流体的合力；流体对弯管的力为 $(40,-40)\,\mathrm N$。若开口表压非零，还要加入 $-p\boldsymbol n A$。仅用速率大小会得到零动量变化，漏掉方向改变所需的力。

静止流体是 Euler 方程的基准解

当 $\boldsymbol u=0$ 且重力向下时，Euler 方程化为

常密度液体从自由表面向下深度 $h$ 的压力为 $p=p_{\rm surface}+\rho gh$。压力在同一静止连通液体的同一高度相同，但不同密度层的梯度不同。静水公式使用竖直高度差，不是沿倾斜管道的路径长度。

例 2：水下压力与受力方向

水面接大气，测点位于水下 $3.0\,\mathrm m$。取 $\rho=1000\,\mathrm{kg\,m^{-3}}$、$g=9.81\,\mathrm{m\,s^{-2}}$，表压

$$p_g=\rho gh=2.94\times10^4\,\mathrm{Pa}.$$

面积 $0.20\,\mathrm{m^2}$ 的小平板若各点深度近似相同，水的表压合力大小为 $5.89\,\mathrm{kN}$，方向垂直板面并压向板。大面积板深度变化明显时，应积分 $\int p\boldsymbol n\,\mathrm dA$，不能用中心压力乘面积而不检查压力分布。

沿流线积分得到 Bernoulli 关系

设流动稳态，体力保守且 $\boldsymbol b=-\nabla\Phi$，其中 $\Phi$ 是单位质量势能，单位 $\mathrm{J\,kg^{-1}}=\mathrm{m^2\,s^{-2}}$。沿流线弧长方向 $\mathrm d\boldsymbol s$ 点乘 Euler 方程：

若流体为 barotropic，即 $\rho=\rho(p)$，定义比焓型函数

则每条流线上

对常密度流体和重力场 $\Phi=gz$，

三项单位都是 $\mathrm{J\,kg^{-1}}$。也常乘 $\rho$ 写成压力形式 $p+\rho u^2/2+\rho gz$，单位 Pa；或除以 $g$ 写成水头形式，单位 m。三种形式不能在同一等式中混用。

Bernoulli 常量默认只沿同一条稳态流线不变。利用恒等式

可见稳态 Euler 方程给 $\nabla B=\boldsymbol u\times\boldsymbol\omega$。若区域无旋且连通，$\boldsymbol\omega=0$，则 $B$ 可在整个区域取同一常数；有旋流中不同流线的常数一般不同。

例 3：水平收缩喷管的压降

水可视为常密度 $\rho=1000\,\mathrm{kg\,m^{-3}}$。水平喷管两截面面积比 $A_1/A_2=4$，上游平均速度 $u_1=1.0\,\mathrm{m\,s^{-1}}$。稳态质量守恒给 $u_2=4.0\,\mathrm{m\,s^{-1}}$。忽略黏性和高度差，

$$p_1-p_2=\frac12\rho(u_2^2-u_1^2) =\frac12(1000)(16-1)=7.5\times10^3\,\mathrm{Pa}.$$

下游速度增大、静压降低。结果适用于入口与出口速度分布近似均匀且损失可忽略的流线管；真实短喷管还会有边界层和局部损失。

停滞压、出流和不可忽略的边界

同一高度、常密度、无黏流线上，把速度可逆减到零的停滞点满足

$p_0$ 是该模型下的停滞压，不是所有方向都自动相同的材料常数。Pitot 管朝向来流时，前端停滞点与远处来流可近似由同一流线连接；孔口偏转、强黏性、湍流损失或高 Mach 可压缩效应都会破坏简单公式。

工程管流常把截面平均速度 $\bar u=Q/A$ 代入能量方程，但局部动能通量实际含 $u^3$。定义动能修正系数

截面平均机械能项应写成 $\alpha\bar u^2/2$。均匀速度分布有 $\alpha=1$，充分发展圆管层流有 $\alpha=2$。因此“截面平均速度代入 Bernoulli”还隐含速度分布近似均匀；在强剪切入口段或层流管道中需保留修正或直接积分。

例 4：低速空气的 Pitot 压差

空气密度取 $1.20\,\mathrm{kg\,m^{-3}}$，来流速度 $30.0\,\mathrm{m\,s^{-1}}$。若 Mach 数足够小且高度差可忽略，动压为

$$q=\frac12\rho u^2=\frac12(1.20)(30.0)^2=540\,\mathrm{Pa}.$$

Pitot 总压孔与合适的静压孔压差约为 $540\,\mathrm{Pa}$。若误把表压与绝对压混用，或静压孔处速度场受探头扰动，反算速度会带系统误差。

例 5：大水箱侧孔出流

大水箱自由表面与侧孔都接大气，侧孔低于自由表面 $h$。因箱体截面积远大于孔口，表面速度近似零。沿自由表面到出口的一条流线应用 Bernoulli：

$$\frac{p_{\rm atm}}\rho+gh =\frac{p_{\rm atm}}\rho+\frac{u^2}{2}, \qquad u=\sqrt{2gh}.$$

$h=1.25\,\mathrm m$ 时理想速度约 $4.95\,\mathrm{m\,s^{-1}}$。实际流量还要乘小于一的流量系数，以反映收缩和黏性损失；出口附近压力若降至蒸气压还会发生空化。

空化判据必须使用绝对压力。液体某处绝对压接近给定温度下的蒸气压时，会出现蒸气泡；表压为负并不自动等于空化，仍需加当地大气压后比较。Bernoulli 预测的最低压若低于蒸气压，单相不可压缩模型已自相矛盾，不能继续把公式结果当作真实压力。气泡生成、塌陷和由此产生的噪声与侵蚀需要两相流模型。

非稳态势流的 Bernoulli 形式

若无旋区域可写 $\boldsymbol u=\nabla\phi$，则 Euler 方程可积分为空间上的梯度关系：

$C(t)$ 只随时间变化，可吸收到速度势的规范选择中。稳态 Bernoulli 是其特殊情形。若流场随时间变化却仍机械使用 $p/\rho+u^2/2+gz=\text{常量}$，就会漏掉 $\partial_t\phi$。速度势也可能在含孔洞区域是多值的；局部 $\nabla\times\boldsymbol u=0$ 不必保证绕孔环量为零。

涡量、环量与旋转流

涡量 $\boldsymbol\omega=\nabla\times\boldsymbol u$ 单位为 $\mathrm{s^{-1}}$，表示局部流体微团角速度的两倍。环量

单位为 $\mathrm{m^2\,s^{-1}}$。Stokes 定理把固定曲线的环量与跨面涡量通量联系起来。对无黏、barotropic 流体，在保守体力下，随流体运动的物质闭合曲线满足 Kelvin 环量定理 $D\Gamma/Dt=0$。边界黏性、非 barotropic 压力密度梯度或非保守体力都可生成或改变环量。

对常密度不可压缩 Euler 流，取旋度得到

右侧表示三维涡管的拉伸和倾斜。二维流中若速度与坐标都不沿垂直方向变化，该项消失，标量涡量随质点守恒。密度不恒定时还可出现与 $\nabla\rho\times\nabla p$ 成正比的斜压涡量生成；因此“无黏”不等于“永远不能产生涡量”。初始条件、边界和热力状态决定 Kelvin 定理是否适用。

例 6：刚体旋转流的压力并非常数 Bernoulli 场

圆柱容器中理想化稳态旋转流取 $u_\theta=\Omega r$。径向 Euler 方程给

$$\frac{\mathrm dp}{\mathrm dr}=\rho\frac{u_\theta^2}{r}=\rho\Omega^2r, \qquad p(r)=p(0)+\frac12\rho\Omega^2r^2.$$

涡量为 $\boldsymbol\omega=2\Omega\boldsymbol e_z$。每个圆形流线上 $p/\rho+u^2/2$ 都恒定，但其值为 $p(0)/\rho+\Omega^2r^2$，随流线半径改变。把一条流线的 Bernoulli 常量跨流线使用，会错误地漏掉有旋性。

无量纲数说明哪项可以忽略

即使目标是 Euler 模型，也要先估计被删去的物理量。取速度 $U$、长度 $L$、压差 $\Delta p$、动力黏度 $\mu$、声速 $c_s$：

Reynolds 数比较惯性与黏性，Mach 数评估压缩性，Froude 数比较惯性与重力，Euler 数衡量压力变化。$\mathrm{Re}\gg1$ 只说明远离壁面处黏性可能次要；固壁附近无滑移边界层、尾迹和耗散仍可控制总阻力。$\mathrm{Ma}\lesssim0.3$ 常支持低速气流密度变化较小的工程近似，但最终还要看温度、压差和所需精度。

边界条件决定可接受的 Euler 解

不可穿透固壁给法向条件

无黏模型通常不强制切向速度等于壁速，因此允许滑移；若同时施加真实黏性流的无滑移条件，Euler 方程往往过度约束。自由表面还需运动学条件，保证界面随流体移动，并需动力学条件平衡两侧法向应力；忽略表面张力时常取液面压力等于外界气压。喷口、入口和远场则要按信息传播方向给足够而不过量的速度或压力数据。

流线是在固定时刻与速度场相切的曲线，迹线是单个质点的时间轨迹，脉线由连续释放示踪物形成。稳态流中三者重合，非稳态流中一般不同。Bernoulli 的“沿流线”是某一时刻的空间陈述；物质导数则沿质点轨迹。把两种路径混同，会在非稳态问题中错误删除局部时间导数。

使用清单与常见误区

应用 Bernoulli 前依次写明：两点是否位于同一稳态流线；流体是否无黏或损失可忽略；密度是否常数或 barotropic；体力是否来自势；两点压力是绝对压还是同一基准表压；速度是否为局部值还是截面平均值。泵、涡轮和显著摩擦存在时，应在机械能方程中加入轴功与损失项，而不是强行令三项和相等。

流速大处压力一定低

结论只在满足 Bernoulli 条件并比较相应流线与高度时成立；外加泵功、黏性损失和非稳态都可改变关系。

高 Reynolds 数允许整个区域无黏

壁面边界层和尾迹可在很薄区域内产生有限阻力与涡量，不能因主体 Re 大就删除所有黏性影响。

涡线弯曲就必有涡量

流线形状和局部微团旋转不同；势涡流的圆形流线在核心外仍可有零涡量。

练习

练习 1：控制体符号标记完成

所属知识

质量通量

难度

2/5

说明固定控制体入口和出口的 $\rho\boldsymbol u\cdot\boldsymbol n$ 符号。

查看提示

外法向为正，入口处 $u\cdot n$ 为负。

查看解答

入口质量通量项为负，出口为正；稳态时所有表面外向质量流率的代数和为零。若只报正的流量大小，必须另加流入或流出标签。

练习 2：连续方程标记完成

所属知识

可压缩流

难度

3/5

推导密度变化喷管的出口速度比。

查看提示

稳态一维时守恒的是 $\rho Au$。

查看解答

$\rho_{1}A_{1}u_{1}=\rho_{2}A_{2}u_{2}$，所以 $u_{2}/u_{1}=(\rho_{1}/\rho_{2})(A_{1}/A_{2})$；只有 $\rho_{1}=\rho_{2}$ 时才化为 $A_{1}u_{1}=A_{2}u_{2}$。

练习 3：压力水头标记完成

所属知识

单位

难度

2/5

把常密度 Bernoulli 方程改写成水头形式并核对单位。

查看提示

把 $p/\rho$ 除以 g。

查看解答

压力水头为 $p/(\rho g)$，单位 $Pa/(kg\cdot m^{-3}\cdot m\cdot s^{-2})=m$；速度水头为 $u^{2}/(2g)$，高度项为 z。

练习 4：停滞压反算速度标记完成

所属知识

Pitot 管

难度

3/5

空气密度 $1.20\,\mathrm{kg\,m^{-3}}$、压差 $300\,\mathrm{Pa}$ 时估算速度。

查看提示

低速不可压缩近似下 $\Delta p=\rho u^{2}/2$。

查看解答

$u=\sqrt{2\Delta p/\rho}=\sqrt{600/1.20}=22.4\,\mathrm{m}\cdot s^{-1}$；还应检查 Mach 数、探头对准和静压孔误差。

练习 5：跨流线常量标记完成

所属知识

涡量

难度

3/5

说明何时 Bernoulli 常量可从一条流线推广到整个区域。

查看提示

使用 $\nabla B=u\times \omega$。

查看解答

若 $\omega=0$ 且区域连通，则 $\nabla B=0$，B 全场相同；若 u 与 $\omega$ 平行也有 $\nabla B=0$。一般有旋流只能保证每条稳态流线上 B 不变。

练习 6：模型选择标记完成

所属知识

无量纲数

难度

4/5

为高速水槽和低速风洞各列出采用 Euler 模型前应检查的无量纲数与边界。

查看提示

分别估计 Re、Ma 和 Fr，并检查固壁与自由表面。

查看解答

大 Re 支持主体区近似无黏，小 Ma 支持弱压缩；Fr 决定重力自由表面效应。即使 Re 很大，固壁无滑移层仍需 Navier–Stokes 或边界层模型。

关系与资源

• 质量、动量与能量守恒方程 提供 Reynolds 输运和控制体收支。
• 功与能量 解释压力功、动能和势能的单位质量平衡。
• 线积分与曲面积分 连接流线积分、环量和 Stokes 定理。
• Navier–Stokes 方程与黏性流 将恢复剪切应力、耗散和无滑移边界。
• 边界层、相似性与流动不稳定性 处理高 Reynolds 数下的薄黏性区域。

课程 · 2013

Advanced Fluid Mechanics

Gareth McKinley

用于核对 P09 的守恒方程符号、应力量纲、无黏与黏性流推导、边界层尺度和流动稳定性例题。

打开官方来源

MIT OpenCourseWare 2.25 覆盖控制体守恒、势流、涡量和 Bernoulli 关系，可用于核对本章压力应力方向、积分边界与无黏假设。