刚体转动、角动量与转动惯量

学习目标、动机与直觉：每个转动量都必须说明“绕哪条轴”

质点模型忽略物体的尺寸，因而不能区分同一合力作用在门轴附近还是门把手处。刚体模型保留质量在空间中的分布，并假设任意两质点间距离不随时间改变。它使我们能够描述飞轮储能、车轮滚动、滑轮牵引和陀螺定向，也迫使我们在计算前补充一个问题：转动是相对哪个原点、绕哪条轴定义的？

除非另行说明，本章采用地面惯性系和右手直角坐标系，固定转轴沿 $+z$；从 $+z$ 端看，逆时针为角位移、角速度、角加速度和力矩的正方向。长度用米，质量用千克，力矩用牛顿米，转动惯量用千克平方米，角动量用千克平方米每秒。弧度是角度的自然单位；虽然它在 SI 中无量纲，角速度仍写作 $mathrm{rad,s^{-1}}$，以免与普通频率混淆。

刚体角运动学：同一个角度，不同的线速度

固定轴角运动学

刚体绕固定轴转动时，所有质点在同一时间间隔内具有相同角位移 $\theta$、角速度 $\omega=\mathrm d\theta/\mathrm dt$ 和角加速度 $\alpha=\mathrm d\omega/\mathrm dt$。距轴垂直距离为 $r_\perp$ 的质点具有

$$v=r_\perp|\omega|,\qquad a_t=r_\perp|\alpha|,\qquad a_n=r_\perp\omega^2,$$

其中切向加速度沿速度切线，法向加速度始终指向转轴。

同一刚体上离轴越远的点线速度越大，但角速度相同。若 $\alpha$ 恒定，角运动学公式与一维恒加速度公式同构：

这里正负号服从选定轴向；不能把转速大小直接当作带方向的角速度。对一般三维转动，角速度是矢量，而有限角位移的合成次序会影响结果。本章多数计算限于固定轴或瞬时轴明确的情形。

转动惯量：从质元动能推导质量对轴的二次矩

关于指定轴的转动惯量

离散质点系关于一条轴的转动惯量为

$$I=\sum_i m_i r_{\perp i}^2,$$

连续刚体则为 $I=\int r_\perp^2\,\mathrm dm$。$r_\perp$ 是质元到转轴的最短距离，不一定是它到原点的距离。$I$ 的 SI 单位为 $\mathrm{kg,m^2}$。

转动惯量不是只由物体名称决定的常数；同一根细杆绕中心垂直轴、绕端点垂直轴或绕自身长轴会得到不同数值。它既依赖质量分布，也依赖轴的位置和方向。由每个质元的动能 $\tfrac12\,\mathrm dm\,(\omega r_\perp)^2$ 相加可得

若已知过质心且与目标轴平行的转动惯量 $I_{\rm cm}$，目标轴与质心轴相距 $d$，平行轴定理给出

定理中的两轴必须平行，$d$ 是轴间垂直距离。由于 $Md^2\ge0$，在所有方向相同的平行轴中，过质心轴的转动惯量最小。

例 1：细杆换轴后求角加速度

一根均匀细杆质量 $M=3.00\,\mathrm{kg}$、长度 $L=1.20\,\mathrm m$。转轴垂直杆并位于质心左侧 $d=0.200\,\mathrm m$。在杆右端施加垂直于杆、大小 $F=8.00\,\mathrm N$ 的力，取该力产生的转动为正，忽略轴摩擦。

细杆关于质心垂直轴的转动惯量为

$$I_{\rm cm}=\frac1{12}ML^2 =\frac1{12}(3.00)(1.20)^2 =0.360\,\mathrm{kg,m^2}.$$

换到目标轴得 $I=0.360+3.00(0.200)^2=0.480\,\mathrm{kg,m^2}$。右端到轴的力臂是 $0.600+0.200=0.800\,\mathrm m$，所以

$$\tau_z=(0.800)(8.00)=6.40\,\mathrm{N,m}, \qquad \alpha_z=\frac{\tau_z}{I}=13.3\,\mathrm{rad,s^{-2}}.$$

若误把轴放在质心，会同时错算惯量与力臂；两处错误通常不会相互抵消。

惯量张量与轴选择策略

三维转动中，质量分布由对称惯量张量描述：

张量每个分量的单位仍是 $\mathrm{kg,m^2}$。对称刚体存在使张量对角化的主轴；角速度沿主轴时，角动量与角速度平行，标量关系 $L=I\omega$ 才直接成立。解题选轴应服务于方程：固定铰链问题常取铰链轴以消去未知铰链力矩；自由刚体常取质心以分离质心平动和绕质心转动；质量高度对称时优先取对称主轴。换轴可以简化某一项，却必须把所有力矩、角动量和惯量都换到同一轴，不能混用。

力矩与固定轴动力学

相对原点 $O$ 的力矩定义为

其中 $\boldsymbol r$ 从 $O$ 指向力的作用点。大小为 $rF\sin\phi=F\ell$，$\ell$ 是作用线到轴的垂直力臂。力矩单位写作 $mathrm{N,m}$，虽与焦耳具有相同基本量纲，却不应写成焦耳，因为力矩是轴向矢量，功是标量。

对绕固定主轴转动、且 $I$ 不随时间改变的刚体，沿轴分量满足

这是角动量方程在特殊条件下的形式。若轴本身移动、质量重新分布或角速度不沿惯量主轴，直接套用标量式会漏项；更一般的起点是 $\sum\boldsymbol\tau_O=\mathrm d\boldsymbol L_O/\mathrm dt$，并核查 $O$ 是否为惯性系固定点或质心。

例 2：飞轮的力矩、角位移与能量互相核对

均匀圆盘飞轮质量 $M=4.00\,\mathrm{kg}$、半径 $R=0.250\,\mathrm m$，初始静止。轮缘受到恒定切向力 $F=10.0\,\mathrm N$，轴承同时施加大小 $0.400\,\mathrm{N,m}$ 的反向阻力矩。取驱动力矩方向为正，作用 $t=3.00\,\mathrm s$。

圆盘惯量 $I=\tfrac12MR^2=0.125\,\mathrm{kg,m^2}$；净力矩为 $\tau=RF-0.400=2.10\,\mathrm{N,m}$。于是

$$\alpha=16.8\,\mathrm{rad,s^{-2}},\quad \omega=50.4\,\mathrm{rad,s^{-1}},\quad \Delta\theta=\frac12\alpha t^2=75.6\,\mathrm{rad}.$$

净力矩做功 $W=\tau\Delta\theta=158.8\,\mathrm J$；末态转动能为 $\tfrac12I\omega^2=158.8\,\mathrm J$。动力学和能量法给出同一数值，也确认阻力矩的功已从输入功中扣除。

角动量与轴选择

质点相对 $O$ 的角动量为 $\boldsymbol L_O=\boldsymbol r\times\boldsymbol p$。刚体总角动量是各质元之和。固定轴平面转动时，轴向分量可写为 $L_z=I_z\omega_z$；一般三维刚体则需使用惯量张量，$\boldsymbol L$ 未必与 $\boldsymbol\omega$ 平行。

角动量定理为

因此，在选定时间区间内，若系统关于同一原点的外力矩冲量可忽略，系统角动量守恒。这里“外力矩为零”必须针对指定系统和指定原点判断。重力对质心的力矩关于质心为零，却可能关于地面某点不为零；铰链力关于铰链力矩为零，却可能关于质心产生力矩。

例 3：收臂为何加速，但机械能不守恒

水平转台关于竖直轴的惯量为 $I_0=3.00\,\mathrm{kg,m^2}$。质量 $m=50.0\,\mathrm{kg}$ 的人可近似为位于半径 $r$ 的质点。开始时 $r_i=0.800\,\mathrm m$、$\omega_i=0.500\,\mathrm{rad,s^{-1}}$；随后人收臂至 $r_f=0.200\,\mathrm m$。轴承外力矩忽略。

总惯量从 $I_i=I_0+mr_i^2=35.0\,\mathrm{kg,m^2}$ 变为 $I_f=5.00\,\mathrm{kg,m^2}$。角动量守恒给

$$\omega_f=\frac{I_i}{I_f}\omega_i =3.50\,\mathrm{rad,s^{-1}}.$$

初末转动能分别是 $4.38\,\mathrm J$ 和 $30.6\,\mathrm J$。增加的能量来自人体肌肉做功；“无外力矩”保证角动量守恒，并不保证机械能不变。

若快速旋转转子的角动量近似沿轴，重力力矩主要改变 $\boldsymbol L$ 的方向而非大小，就出现进动。若力矩与角动量近似垂直，慢进动角速度的数量级满足 $\Omega\approx\tau/L$。这是受外力矩驱动的方向变化，不是“角动量守恒使陀螺永不倒下”；当转速降低、摩擦明显或倾角快速变化时，该近似会失效。

转动功、功率与纯滚动约束

固定轴上一小角位移的功为 $\mathrm dW=\tau_z\,\mathrm d\theta$，功率为 $P=\tau_z\omega_z$。对刚体质心平动与绕质心转动，动能可拆成

半径为 $R$ 的轮在静止地面上纯滚动时，接触点瞬时速度为零，因而有

（后一式沿切向、且约束持续成立时使用）。纯滚动是运动学约束，不是自动成立的动力学定律；所需静摩擦必须不超过 $\mu_sN$。静摩擦方向由防止相对滑动的需要决定，不能简单断言总与质心速度相反。

例 4：实心球滚下斜面

质量 $M=2.00\,\mathrm{kg}$、半径 $R=0.100\,\mathrm m$ 的均匀实心球从竖直高度 $h=1.20\,\mathrm m$ 处由静止沿倾角 $30.0^\circ$ 的固定粗糙斜面纯滚下。取沿斜面向下为正，$I_{\rm cm}=\tfrac25MR^2$。

理想静摩擦接触点无相对位移，故机械能给

$$Mgh=\frac12Mv^2+\frac12\left(\frac25MR^2\right)\frac{v^2}{R^2} =\frac7{10}Mv^2.$$

所以 $v=\sqrt{10gh/7}=4.10\,\mathrm{m,s^{-1}}$，且 $|\omega|=v/R=41.0\,\mathrm{rad,s^{-1}}$。由平动与转动方程联立可得 $a=(5/7)g\sin30.0^\circ=3.50\,\mathrm{m,s^{-2}}$，静摩擦大小 $f=(2/7)Mg\sin30.0^\circ=2.80\,\mathrm N$，方向沿斜面向上。摩擦虽然向上，却提供使球自转加快所需的力矩。

常见误区与诊断顺序

常见误区

“物体的转动惯量只有一个值。”转动惯量必须附带轴；同一质量分布换轴后会改变 $r_\perp$，数值随之改变。

常见误区

“合力为零就没有角加速度。”一对大小相等、方向相反但作用线不同的力合力为零，仍可形成非零力偶矩；平动与转动方程必须分别检查。

常见误区

“无滑动滚动时没有摩擦。”无滑动只说明接触点相对速度为零。静摩擦可以非零，并负责建立所需角加速度；是否做功还取决于接触面是否静止。

常见误区

“角动量守恒就意味着转动能守恒。”内部构形改变可在外力矩近零时保持角动量，却通过内力做功改变转动能。

诊断转动题可按固定次序进行：先画系统边界和转轴；再规定正方向；然后分别列合力、合力矩、能量或角动量方程；最后检查 $mathrm{kg,m^2}$、$mathrm{N,m}$、$mathrm{kg,m^2,s^{-1}}$ 等单位，并验证极限情形。

探索实验：滚动物体的惯量系数

准备直轨斜面、卷尺、量角工具、手机慢动作视频，以及外形可辨认的实心圆柱和圆环。标出同一竖直落差 $h$，分别让物体无初速滚下。地面系中取沿斜面向下为正，记录质心位置 $s(t)$，拟合恒加速度 $s=s_0+\tfrac12at^2$。若写 $I_{\rm cm}=kMR^2$，纯滚动模型预测

每种物体至少重复五次，报告 $h$、$\theta$、距离、时间、拟合 $a$ 的 SI 单位和反算 $k$。同时在视频中标记轮缘一点，确认 $v_{\rm cm}=R|\omega|$。若反算值随斜率系统变化，应检查起点推力、滚动阻力、打滑、半径测量和质量分布，而不是只保留最接近理论的一次。

练习

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所属知识

转动惯量

难度

2/5

质量均为 $2.00\,\mathrm{kg}$、半径均为 $0.300\,\mathrm m$ 的薄圆环和均匀圆盘，分别绕过中心且垂直盘面的轴转动。求两者转动惯量，并比较在相同 $10.0\,\mathrm{N,m}$ 力矩下的角加速度。

查看提示

分别代入圆环 $MR^{2}$ 与圆盘 $MR^{2}/2$；两者质量和半径相同。

查看解答

圆环 $I_h=MR^2=0.180\,\mathrm{kg,m^2}$，圆盘 $I_d=\tfrac12MR^2=0.0900\,\mathrm{kg,m^2}$。角加速度分别为 $55.6\,\mathrm{rad,s^{-2}}$ 与 $111\,\mathrm{rad,s^{-2}}$。质量靠近轴的圆盘惯量较小，角加速度较大。

练习标记完成

所属知识

平行轴定理

难度

2/5

均匀细杆质量 $4.00\,\mathrm{kg}$、长度 $1.50\,\mathrm m$，求它关于端点垂直轴的转动惯量。

查看提示

细杆关于质心垂直轴的惯量是 $ML^{2}/12$，端点轴距质心 L/2。

查看解答

$I=ML^2/12+M(L/2)^2=ML^2/3=(4.00)(1.50)^2/3=3.00\,\mathrm{kg,m^2}$。结果大于质心轴惯量 $0.750\,\mathrm{kg,m^2}$，符合换到平行远轴后惯量增大的判断。

练习标记完成

所属知识

力矩与转动功

难度

3/5

惯量 $I=0.500\,\mathrm{kg,m^2}$ 的轮受到恒定正力矩 $3.00\,\mathrm{N,m}$ 和反向摩擦力矩 $0.500\,\mathrm{N,m}$。它从静止转过 $20.0\,\mathrm{rad}$，求角加速度、末角速度和净功。

查看提示

先取垂直分量计算力矩，再用 $\omega^{2}=\omega_{0}^{2}+2\alpha \Delta \theta$。

查看解答

净力矩 $2.50\,\mathrm{N,m}$，故 $\alpha=5.00\,\mathrm{rad,s^{-2}}$。末角速度 $\omega=\sqrt{2\alpha\Delta\theta}=14.1\,\mathrm{rad,s^{-1}}$。净功 $W=\tau\Delta\theta=50.0\,\mathrm J$，也等于 $\tfrac12I\omega^2$。

练习标记完成

所属知识

角动量守恒

难度

3/5

转台总惯量由 $8.00\,\mathrm{kg,m^2}$ 减到 $5.00\,\mathrm{kg,m^2}$，初角速度为 $2.00\,\mathrm{rad,s^{-1}}$。求末角速度，并求转动能的变化。

查看提示

外力矩忽略时令 $I_i\omega_i=I_f\omega_f$；能量要另算。

查看解答

$\omega_f=(8.00/5.00)(2.00)=3.20\,\mathrm{rad,s^{-1}}$。初能量为 $16.0\,\mathrm J$，末能量为 $25.6\,\mathrm J$，增加 $9.60\,\mathrm J$；这部分来自改变构形时的内部做功。

练习标记完成

所属知识

纯滚动

难度

3/5

均匀实心圆柱从高度 $0.600\,\mathrm m$ 处由静止纯滚下，$I_{\rm cm}=MR^2/2$。求底端质心速度，并与无转动滑块的速度比较。

查看提示

总动能含质心平动和绕质心转动，且 $\omega=v/R$。

查看解答

$Mgh=\tfrac12Mv^2+\tfrac14Mv^2=\tfrac34Mv^2$，故 $v=\sqrt{4gh/3}=2.80\,\mathrm{m,s^{-1}}$。无转动滑块为 $\sqrt{2gh}=3.43\,\mathrm{m,s^{-1}}$；圆柱有一部分势能进入转动，所以质心较慢。

练习标记完成

所属知识

角动量方向

难度

4/5

一转子角动量大小为 $L=6.00\,\mathrm{kg,m^2,s^{-1}}$，受到始终与角动量垂直、大小为 $1.20\,\mathrm{N,m}$ 的缓慢力矩。估算进动角速度，并说明为何这不直接改变 $L$ 的大小。

查看提示

先用右手定则确定 L 与 $\tau$ 的方向；垂直力矩主要改变方向。

查看解答

慢进动近似给 $\Omega=\tau/L=0.200\,\mathrm{s^{-1}}$，通常写作 $0.200\,\mathrm{rad,s^{-1}}$。因为 $\mathrm d\boldsymbol L/\mathrm dt$ 与 $\boldsymbol L$ 垂直，一阶变化转动方向而不改变大小；若力矩含平行分量，大小也会变化。

关系、资源与后续学习

• Newton 运动定律 提供合力与质心加速度方程，本章补上关于指定轴的合力矩方程。
• 功、势能与机械能守恒 推广为平动能、转动能、力矩功和滚动能量收支。
• 动量、冲量与碰撞 与角动量共同决定有限尺寸物体在碰撞前后的平动和转动。
• 向量 中的叉积给出力矩和角动量的大小、方向与右手定则。
• 引力、轨道与经典力学综合复习 将平动、转动、守恒律和系统边界用于多阶段问题。

课程 · 2016

Classical Mechanics

Deepto Chakrabarty, Peter Dourmashkin, Michelle Tomasik, Anna Frebel, Vladan Vuletic

用于核对 P01 的受力模型、守恒定律、参考系约定、转动公式、完整例题和练习。

打开官方来源

MIT OpenCourseWare 8.01SC《Classical Mechanics》把角运动学、转动惯量、力矩、角动量、滚动和陀螺置于同一经典力学课程序列。本章只引用这一已登记课程资源作为延伸入口；正文中的假设、轴约定、方程与数值均已逐步给出，读者可据此独立复算。

完成本章后进入 引力、轨道与经典力学综合复习，练习在同一道题中切换质心平动、绕质心转动和守恒量。随后可学习更一般的解析力学，用广义坐标处理约束；但无论采用何种形式，系统边界、参考系、单位与适用条件仍必须先说明。