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P08 · 第 1 章 · 第一编 狭义相对论

Lorentz 变换与时空间隔

从相对性原理和光速不变建立标准 Lorentz 变换，以不变时空间隔、固有时和光锥分析同时性、时间膨胀、长度收缩、速度合成与因果结构。

难度 5/5约 195 分钟最近修订 2026-07-14
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预备知识引力、轨道与经典力学综合复习Maxwell 方程与电磁波矩阵

本章目标

  1. 说明两种常见度规号型的关系；本章固定使用 $(+,-,-,-)$，并据此计算不变间隔。
  2. 推导并应用沿 $x$ 方向的标准 Lorentz 变换，核对逆变换、光速不变与低速极限。
  3. 按类时、类光和类空间隔判断固有时、因果次序及可达惯性系。
  4. 从事件定义而非图形直觉推导同时性的相对性、时间膨胀和长度收缩。
  5. 使用相对论速度合成计算不同惯性系中的速度并证明亚光速闭合。
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约定：事件、坐标与度规

事件是时空中的一个点，在惯性系 SS 中记为

xμ=(ct,x,y,z).x^\mu=(ct,x,y,z).

本章固定使用 Minkowski 度规号型

ημν=diag⁡(+1,−1,−1,−1).\eta_{\mu\nu}=\operatorname{diag}(+1,-1,-1,-1).

因此两个事件之差 Δxμ\Delta x^\mu 的不变间隔为

Δs2=ημνΔxμΔxν=c2Δt2−Δx2−Δy2−Δz2.\Delta s^2 =\eta_{\mu\nu}\Delta x^\mu\Delta x^\nu =c^2\Delta t^2-\Delta x^2-\Delta y^2-\Delta z^2.

c=299 792 458 m s−1c=299\,792\,458\,\mathrm{m\,s^{-1}} 是真空光速的精确定义值。ctct 与空间坐标均以米计，所以 s2s^2 的单位为 m2\mathrm{m^2}。使用另一常见号型 (−,+,+,+)(-,+,+,+) 会使所有间隔符号反转；只要全程一致，物理结论相同，但不能在同一推导中混用。

两条原理与标准构型

狭义相对论采用两条经验原则：所有惯性系中的物理定律形式相同；真空光速对所有惯性观察者均为 cc，与光源运动无关。假设时空均匀、空间各向同性，惯性系之间的坐标变换应为线性。

取标准构型：S′S' 相对 SS 以速度 vv 沿 +x+x 方向运动，两系原点在 t=t′=0t=t'=0 重合，坐标轴平行。定义

β=vc,γ=11−β2.\beta=\frac vc, \qquad \gamma=\frac1{\sqrt{1-\beta^2}}.

对有质量惯性观察者要求 ∣v∣<c|v|<c，故 γ≥1\gamma\ge1 且无量纲。

沿 x 方向的标准 Lorentz boost
ct′=γ(ct−βx),x′=γ(x−βct),y′=y,z′=z.\begin{aligned} ct'&=\gamma(ct-\beta x),\\ x'&=\gamma(x-\beta ct),\\ y'&=y,\\ z'&=z. \end{aligned}

逆变换由 v→−vv\to-v 得到：ct=γ(ct′+βx′)ct=\gamma(ct'+\beta x')、x=γ(x′+βct′)x=\gamma(x'+\beta ct')。

矩阵形式为

(ct′x′y′z′)=(γ−γβ00−γβγ0000100001)(ctxyz).\begin{pmatrix}ct'\\x'\\y'\\z'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \gamma&-\gamma\beta&0&0\\ -\gamma\beta&\gamma&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}ct\\x\\y\\z\end{pmatrix}.

该矩阵 Λ\Lambda 满足 ΛTηΛ=η\Lambda^T\eta\Lambda=\eta，所以保持间隔。直接代入也可核对

c2Δt′2−Δx′2=γ2[(cΔt−βΔx)2−(Δx−βcΔt)2]=c2Δt2−Δx2.c^2\Delta t'^2-\Delta x'^2 =\gamma^2[(c\Delta t-\beta\Delta x)^2 -(\Delta x-\beta c\Delta t)^2] =c^2\Delta t^2-\Delta x^2.

若光沿 xx 传播，x=ctx=ct，变换后仍有 x′=ct′x'=ct'。这不是额外代入规则，而是零间隔在 Lorentz 变换下保持的结果。

从线性假设看变换系数如何确定

标准构型中，S′S' 原点的世界线是 x=vtx=vt，所以满足 x′=0x'=0 的线性表达必须形如

x′=A(v)(x−vt).x'=A(v)(x-vt).

若向右、向左光线在两系都满足 x=±ctx=\pm ct 与 x′=±ct′x'=\pm ct'，把两条光线分别代入可解得

t′=A(v)(t−vxc2).t'=A(v)\left(t-\frac{vx}{c^2}\right).

此时只剩比例 A(v)A(v)。相对性原理要求逆变换形式相同且速度反号：

x=A(−v)(x′+vt′).x=A(-v)(x'+vt').

空间各向同性给 A(−v)=A(v)A(-v)=A(v)。把正逆变换复合为恒等变换，得到

A(v)2(1−v2/c2)=1,A(v)^2(1-v^2/c^2)=1,

连续低速极限选择正根，因此 A(v)=γA(v)=\gamma。这个推导明确使用了线性、各向同性和相对性；仅说“光速不变”而省略这些结构，不能唯一排除更一般的非线性坐标重标。

Lorentz 变换的行列式为 1，保持四维有向体积；它还保持时间方向，因为 Λ00=γ>0\Lambda^0{}_0=\gamma>0。空间反射或时间反演也保持间隔，但不属于与恒等变换连续相连的标准 boost。

间隔分类与光锥

类时、类光与类空间隔
  • Δs2>0\Delta s^2>0 为类时间隔，存在惯性系使两事件发生在同一空间位置，但不存在使它们同时的惯性系。
  • Δs2=0\Delta s^2=0 为类光间隔，事件可由真空光信号连接。
  • Δs2<0\Delta s^2<0 为类空间隔，存在惯性系使两事件同时，但不存在速度低于 cc 的信号把它们连接。

类时与类光事件的时间先后在所有保持时间方向的惯性系中一致，构成因果关系。类空事件的先后可随参考系改变，因为没有亚光速因果链要求固定次序。这不产生悖论：次序改变只发生在不能互相影响的事件之间。

在时空图上，经过某事件、满足 c2Δt2=∣Δx∣2c^2\Delta t^2=|\Delta\boldsymbol x|^2 的方向形成光锥。锥内为类时区，锥外为类空区。图形斜率取决于纵轴画 tt 还是 ctct，因此因果判断应最终回到间隔计算。

例 1：运动时钟世界线上的事件

S′S' 以 v=0.600cv=0.600c 运动，故 γ=1.25\gamma=1.25。某事件在 SS 中位于该原点世界线上，t=5.00 μst=5.00\,\mathrm{\mu s}、x=vt=899.4 mx=vt=899.4\,\mathrm m。变换得

x′=γ(x−vt)=0,x'=\gamma(x-vt)=0,
t′=γ(t−vxc2)=γt(1−β2)=tγ=4.00 μs.t'=\gamma\left(t-\frac{vx}{c^2}\right) =\gamma t(1-\beta^2)=\frac t\gamma =4.00\,\mathrm{\mu s}.

间隔在 SS 中为 Δs2=c2t2−x2=c2t2(1−β2)\Delta s^2=c^2t^2-x^2=c^2t^2(1-\beta^2)，在 S′S' 中为 c2t′2c^2t'^2，两者相等。因为两事件在 S′S' 同地，t′t' 就是该运动时钟记录的固有时。

固有时与时间膨胀

对类时世界线定义固有时

c2dτ2=c2dt2−dx2,dτ=dtγ(v).c^2\mathrm d\tau^2 =c^2\mathrm dt^2-\mathrm d\boldsymbol x^2, \qquad \mathrm d\tau=\frac{\mathrm dt}{\gamma(v)}.

τ\tau 是沿世界线随行时钟的读数，单位为秒。若惯性运动速度恒定，实验室中两个事件的时间间隔为

Δt=γΔτ.\Delta t=\gamma\Delta\tau.

时间膨胀比较的是同一只运动时钟上发生的两事件；在随行系中必须同地。任取两个不同位置的钟读数，若没有同步协议，就不能直接使用该式。

例 2：高速不稳定粒子的实验室寿命

某粒子在自身静止系的平均寿命为 τ0=2.20 μs\tau_0=2.20\,\mathrm{\mu s}，实验室速度为 0.980c0.980c。有

γ=11−0.9802≈5.03,τlab=γτ0≈11.1 μs.\gamma=\frac1{\sqrt{1-0.980^2}}\approx5.03, \qquad \tau_{\mathrm{lab}}=\gamma\tau_0\approx11.1\,\mathrm{\mu s}.

在这段平均实验室时间内的平均飞行距离为

d=vτlab≈0.980(2.998×108)(11.1×10−6)≈3.25×103 m.d=v\tau_{\mathrm{lab}} \approx0.980(2.998\times10^8)(11.1\times10^{-6}) \approx3.25\times10^3\,\mathrm m.

寿命是随机变量，上式给指数衰变分布的均值变换，不表示每个粒子都恰在 3.25 km3.25\,\mathrm{km} 处衰变。

固有时取决于整条世界线

非匀速运动的总固有时要沿路径积分：

τ=∫t1t21−v(t)2c2 dt.\tau=\int_{t_1}^{t_2} \sqrt{1-\frac{v(t)^2}{c^2}}\,\mathrm dt.

两个共同起点和终点之间，不同世界线可以积累不同固有时。平直时空中，连接两类时事件的惯性直线使固有时取极大；这与欧氏几何中直线长度最短不同，差异来自 Minkowski 号型。

例如旅行者在实验室系中以 0.800c0.800c 从原点到达 L=1.20×1012 mL=1.20\times10^{12}\,\mathrm m 后瞬时反向，以同速返回。忽略转向阶段，单程实验室时间为

t1=L0.800c≈5.00×103 s,t_1=\frac{L}{0.800c}\approx5.00\times10^3\,\mathrm s,

往返约 1.00×104 s1.00\times10^4\,\mathrm s。γ=5/3\gamma=5/3，旅行者固有时约

τ=2t1γ≈6.00×103 s.\tau=\frac{2t_1}{\gamma}\approx6.00\times10^3\,\mathrm s.

两人重逢时可直接比较同一事件处的钟读数，差约 4.00×103 s4.00\times10^3\,\mathrm s。不对称性来自旅行者改变惯性世界线，而非匀速观察阶段谁“真正运动”。真实有限加速段也可纳入固有时积分。

相对同时性与长度收缩

两个事件在 SS 同时，Δt=0\Delta t=0，但

Δt′=−γvΔxc2.\Delta t'=-\gamma\frac{v\Delta x}{c^2}.

若 v≠0v\ne0 且事件相隔 Δx≠0\Delta x\ne0，它们在 S′S' 不同时。这就是同时性的相对性。它来自时钟同步的参考系依赖，不是信号传播延迟未校正的错觉。

还可以反向求“哪一个惯性系会认为两事件同时”。令 Δt′=0\Delta t'=0，由变换式得到

vsim=c2ΔtΔx.v_{\mathrm{sim}}=\frac{c^2\Delta t}{\Delta x}.

右侧单位是速度；只有类空间隔满足 ∣cΔt∣<∣Δx∣|c\Delta t|<|\Delta x|，才有 ∣vsim∣<c|v_{\mathrm{sim}}|<c 的物理惯性系。类时间隔代入会要求超光速参考系，正好对应“不存在使两事件同时的惯性系”。例如 Δx=900 m\Delta x=900\,\mathrm m、Δt=1.00 μs\Delta t=1.00\,\mathrm{\mu s} 时，vsim≈0.333cv_{\mathrm{sim}}\approx0.333c；把该速度代回 Δt′=γ(Δt−vΔx/c2)\Delta t'=\gamma(\Delta t-v\Delta x/c^2) 可复算为零。

物体的固有长度 L0L_0 在其静止系中测量，要求同时记录两端位置。若物体相对实验室沿自身长度方向运动，实验室必须在同一实验室时刻取两端事件。Lorentz 变换给

L=L0γ.L=\frac{L_0}{\gamma}.

长度收缩只作用于平行运动方向的尺寸，垂直尺寸不变。若在物体静止系选择同时的两端事件再直接变换，它们在实验室不同时，所得空间差不是实验室测得的长度。

例 3：两端同时闪光在另一系中的时差

实验室中相距 L=600 mL=600\,\mathrm m 的两个灯在同一时刻闪光。令右端事件相对左端有 Δx=+600 m\Delta x=+600\,\mathrm m、Δt=0\Delta t=0。对 v=0.800cv=0.800c 的 S′S'，γ=5/3\gamma=5/3，

Δt′=−γvLc2=−530.800×600c≈−2.67 μs.\Delta t' =-\gamma\frac{vL}{c^2} =-\frac53\frac{0.800\times600}{c} \approx-2.67\,\mathrm{\mu s}.

负号表示右端闪光在 S′S' 更早。间隔为 Δs2=−L2<0\Delta s^2=-L^2<0，确属类空；因此存在参考系反转次序而不破坏因果性。

速度合成

对粒子速度 ux=dx/dtu_x=\mathrm dx/\mathrm dt，由微分 Lorentz 变换得到

ux′=ux−v1−uxv/c2,u_x'=\frac{u_x-v}{1-u_xv/c^2},

横向分量为

uy′=uyγ(1−uxv/c2),uz′=uzγ(1−uxv/c2).u_y'=\frac{u_y}{\gamma(1-u_xv/c^2)}, \qquad u_z'=\frac{u_z}{\gamma(1-u_xv/c^2)}.

若 ux=cu_x=c，仍有 ux′=cu_x'=c。若两亚光速共线速度在同方向合成，

u=u′+v1+u′v/c2<c.u=\frac{u'+v}{1+u'v/c^2}<c.

例如飞船相对地面为 0.800c0.800c，探测器相对飞船同向为 0.700c0.700c，地面测得

u=1.501+0.56c≈0.962c,u=\frac{1.50}{1+0.56}c\approx0.962c,

不是经典相加的 1.50c1.50c。

光的相对论 Doppler 频移

频率和波矢可组成四波矢

kμ=(ω/c,k),k^\mu=(\omega/c,\boldsymbol k),

真空光满足 kμkμ=0k^\mu k_\mu=0 和 ω=c∣k∣\omega=c|\boldsymbol k|。沿 xx boost 时

ω′=γ(ω−vkx)=γω(1−βcos⁡θ),\omega'=\gamma(\omega-vk_x) =\gamma\omega(1-\beta\cos\theta),

θ\theta 是 SS 中光传播方向与 +x+x 的夹角。频率单位为赫兹（Hz=s−1\mathrm{Hz=s^{-1}}），角频率为 rad s−1\mathrm{rad\,s^{-1}}；弧度无量纲，但两者相差 2π2\pi。

观察者沿光传播方向远离光源时 θ=0\theta=0，

f′f=γ(1−β)=1−β1+β.\frac{f'}f=\gamma(1-\beta) =\sqrt{\frac{1-\beta}{1+\beta}}.

若 β=0.600\beta=0.600，频率比例为 0.5000.500。实验室中 f=5.00×1014 Hzf=5.00\times10^{14}\,\mathrm{Hz} 的光，在该远离观察者处测为 2.50×1014 Hz2.50\times10^{14}\,\mathrm{Hz}。反向接近时比例为 2。该公式同时包含波峰到达率和时钟变换，不能用经典声学 Doppler 公式把“介质中的波速”设为 cc 来替代。

距离与同步的操作定义

惯性系的一组空间坐标需要一列静止、按 Einstein 规则同步的钟。若位于中点的钟在 t0t_0 发光，两个等距端点在同一坐标时刻收到信号，便可建立该系的同步。另一个运动系对这些远处分布钟的同步判断不同，正是 Lorentz 变换中的 −vx/c2-vx/c^2 项。

单个观察者也可用雷达方式给远事件赋坐标：在固有时 τ−\tau_- 发出光，在 τ+\tau_+ 收到回波，定义雷达时间和距离

τr=τ++τ−2,rr=c2(τ+−τ−).\tau_{\mathrm r}=\frac{\tau_++\tau_-}{2}, \qquad r_{\mathrm r}=\frac c2(\tau_+-\tau_-).

这种定义明确包含发送、反射和接收事件。在惯性平直情形它与该观察者静止系坐标一致；对加速观察者或弯曲时空，雷达坐标的覆盖范围和同时面需要另行分析。

“看到物体变短”常混合光传播、像差和拍照时刻；Lorentz 长度收缩讨论的是同步测量坐标差。成像预测还要沿光锥追踪不同发光事件，不能只把照片横向缩放 1/γ1/\gamma。

低速极限与 rapidity

当 ∣v∣≪c|v|\ll c，

γ=1+12v2c2+O(v4/c4).\gamma=1+\frac12\frac{v^2}{c^2}+O(v^4/c^4).

于是 x′≈x−vtx'\approx x-vt、t′≈tt'\approx t，恢复 Galilei 变换的主导项。相对论修正通常从 v2/c2v^2/c^2 进入时间膨胀和长度收缩，但同时性修正 vx/c2vx/c^2 还与事件空间尺度有关；低速不代表任意远距离上都可忽略。

还可定义快速度 φ\varphi 使 tanh⁡φ=β\tanh\varphi=\beta，则 γ=cosh⁡φ\gamma=\cosh\varphi、γβ=sinh⁡φ\gamma\beta=\sinh\varphi。同轴 Lorentz boost 的快速度直接相加，速度合成公式由双曲正切加法得到。这个参数化显示 boost 是 Minkowski 平面中的双曲旋转，而非欧氏旋转。

更具体地，把沿 xx 方向的 boost 写成

B(φ)=(cosh⁡φ−sinh⁡φ−sinh⁡φcosh⁡φ)B(\varphi)= \begin{pmatrix} \cosh\varphi&-\sinh\varphi\\ -\sinh\varphi&\cosh\varphi \end{pmatrix}

作用于列向量 (ct,x)T(ct,x)^T。双曲函数加法公式直接给出

B(φ2)B(φ1)=B(φ1+φ2),B(φ)−1=B(−φ).B(\varphi_2)B(\varphi_1)=B(\varphi_1+\varphi_2), \qquad B(\varphi)^{-1}=B(-\varphi).

因此同轴 boost 在复合下封闭，恒等元是 B(0)B(0)，逆元对应反向速度。若两个相继参考系的速度参数分别为 β1\beta_1 与 β2\beta_2，复合参数为

β21=tanh⁡(φ1+φ2)=β1+β21+β1β2.\beta_{21}=\tanh(\varphi_1+\varphi_2) =\frac{\beta_1+\beta_2}{1+\beta_1\beta_2}.

这里 β\beta 和 φ\varphi 都无量纲；恢复速度时必须写 v21=cβ21v_{21}=c\beta_{21}。例如两个同向 boost 各有 v1=v2=0.600cv_1=v_2=0.600c，则 β21=1.20/1.36≈0.882\beta_{21}=1.20/1.36\approx0.882，而不是 1.201.20。对应快速度各为 artanh⁡(0.600)=ln⁡2\operatorname{artanh}(0.600)=\ln2，复合快速度为 ln⁡4\ln4，代回 tanh⁡\tanh 得到同一结果。

这种简单相加只适用于共线 boost。不同方向的 boost 复合后一般还包含空间转动，称为 Wigner 转动；因此三维 boost 的集合本身不是一个对复合封闭的子群，但完整的保持时间方向、保持空间取向的 Lorentz 变换构成群。无论怎样复合，每一步都满足 ΛTηΛ=η\Lambda^T\eta\Lambda=\eta，所以最终仍保持光锥、间隔分类与因果次序。

快速度也给出一个稳健的数值边界检查：任意有限 φ\varphi 都有 ∣tanh⁡φ∣<1|\tanh\varphi|<1，故复合有限次亚光速 boost 不会越过 cc。当 ∣φ∣→∞|\varphi|\to\infty 时速度才趋近 cc，同时 γ=cosh⁡φ\gamma=\cosh\varphi 发散。有质量观察者不能通过有限 boost 到达光速；光的世界线则始终位于零间隔边界，不能定义通常意义的光子静止系。

常见误区

常见误区

“运动钟自己真的变慢，所以它看到静止钟也慢是矛盾。”匀速阶段的比较具有对称性；要让两只钟再次相遇，至少一方改变惯性状态或路径。最终固有时由各自世界线积分决定。

常见误区

“长度收缩来自光到达眼睛的延迟。”测量定义已校正传播，并要求同一参考系同时记录两端；收缩来自事件切片不同。

常见误区

“类空事件先后可反转，所以可以向过去发送信号。”类空分离恰好意味着亚光速或光速信号无法连接两事件，先后反转不构成因果回路。

练习：事件、间隔与变换

练习
所属知识
间隔分类
难度
2/5

两个事件相隔 2.00 μs2.00\,\mathrm{\mu s} 和 300 m300\,\mathrm m。按本章号型分类，并求它们之间的固有时。

查看提示
先把 cΔtc\Delta t 换成米，再与空间距离平方比较。
查看解答
Δt=2.00μs\Delta t=2.00 \mu s 给 cΔt≈599.6 mc\Delta t\approx 599.6\,\mathrm{m}。若空间距离为 300 m，则 Δs2≈(599.62−3002)m2>0\Delta s^{2}\approx(599.6^{2}-300^{2})m^{2}>0，为类时；固有时 Δτ=Δt2−r2/c2≈1.73μs\Delta \tau=\sqrt{\Delta t^{2}-r^{2}/c^{2}}\approx 1.73 \mu s。
练习
所属知识
标准 boost
难度
3/5

v=0.600cv=0.600c，某事件在 SS 中有 ct=1000 mct=1000\,\mathrm m、x=400 mx=400\,\mathrm m。求 ct′,x′ct',x' 并核对间隔。

查看提示
使用 ct' 与 x' 的矩阵式，并先计算 β\beta、γ\gamma。
查看解答
v=0.600c 时 γ=1.25\gamma=1.25。事件 ct=1000 mct=1000\,\mathrm{m}、x=400 mx=400\,\mathrm{m} 给 ct′=1.25(1000−0.6×400)=950 mct'=1.25(1000-0.6\times 400)=950\,\mathrm{m}，x′=1.25(400−0.6×1000)=−250 mx'=1.25(400-0.6\times 1000)=-250\,\mathrm{m}。间隔 10002−4002=840000 m21000^{2}-400^{2}=840000\,\mathrm{m}^{2}，与 9502−(−250)2950^{2}-(-250)^{2} 相同。
练习
所属知识
长度收缩
难度
2/5

静止长度 L0=120 mL_0=120\,\mathrm m 的飞船以 0.800c0.800c 掠过实验室。求实验室同时测得的长度并说明事件条件。

查看提示
固有长度在物体静止系；实验室长度需要实验室同时测两端。
查看解答
v=0.800c 时 γ=5/3\gamma=5/3，故 L=L0/γ=120/(5/3)=72.0 mL=L_0/\gamma=120/(5/3)=72.0\,\mathrm{m}。实验室两端事件同时，但在物体静止系不同时。
练习
所属知识
同时性
难度
3/5

实验室中相距 900 m900\,\mathrm m 的两事件同时发生。S′S' 以 0.600c0.600c 向右运动，求其时差和先后。

查看提示
取 Δt=0\Delta t=0，直接计算 Δt′=−γvΔx/c2\Delta t'=-\gamma v\Delta x/c^{2}，并保留 Δx\Delta x 符号。
查看解答
v=0.600c、γ=1.25\gamma=1.25、Δx=+900 m\Delta x=+900\,\mathrm{m} 时，Δt′=−1.25×0.6×900/c≈−2.25μs\Delta t'=-1.25\times 0.6\times 900/c\approx-2.25 \mu s。右侧事件在 S' 更早；两事件类空。
练习
所属知识
速度合成
难度
3/5

飞船以 0.750c0.750c 前进，并向后发射相对飞船速度 0.500c0.500c 的粒子。求地面速度及方向。

查看提示
同向速度用 (u′+v)/(1+u′v/c2)(u'+v)/(1+u'v/c^{2})，反向时给 u' 带负号。
查看解答
飞船 v=0.750c，粒子相对飞船反向 u′=−0.500cu'=-0.500c，地面速度 u=(u′+v)/(1+u′v/c2)=0.250c/(1−0.375)=0.400cu=(u'+v)/(1+u'v/c^{2})=0.250c/(1-0.375)=0.400c，仍向前。
练习
所属知识
低速展开
难度
4/5

推导低速时间膨胀的一阶非零修正，并估算速度 30.0 km s−130.0\,\mathrm{km\,s^{-1}} 的钟运行一天后与共动固有时的差。

查看提示
对 γ=(1−β2)−1/2\gamma=(1-\beta^{2})^{-1/2} 作二项展开到 β2\beta^{2}。
查看解答
γ≈1+β2/2\gamma \approx 1+\beta^{2}/2，所以 Δt−Δτ≈(v2/2c2)Δτ\Delta t-\Delta \tau \approx(v^{2}/2c^{2})\Delta \tau。v=30km⋅s−1v=30 km\cdot s^{-1} 时 β≈10−4\beta \approx 10^{-4}，一天 86400 s 的差约 (β2/2)×86400≈4.32×10−4s(\beta^{2}/2)\times 86400\approx 4.32\times 10^{-4} s，即 0.432 ms。

知识连接与后续路线

课程 · 2024

Introduction to Relativity and Spacetime Physics

Scott Hughes

用于核对 P08 的 Lorentz 变换、时空间隔、四动量、相对论电磁学、等效原理和弱场观测例题。

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MIT OpenCourseWare 8.033 的狭义相对论部分覆盖 Lorentz 变换、时空间隔、Minkowski 图和相对论运动学，可用于核对本章约定与算例。下一章保持同一 (+,−,−,−)(+,-,-,-) 号型，用四速度、四动量和场张量处理动力学与电磁场变换。