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P04 · 第 5 章 · 第三编 Maxwell 理论与综合复习

Maxwell 方程与电磁波

统一 Maxwell 方程的积分与微分形式，核对曲面法向、环路方向和源项符号，并从真空场方程推导横向电磁波、波速、场幅关系、能量密度与 Poynting 能流。

难度 5/5约 170 分钟最近修订 2026-07-14
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预备知识电磁感应、位移电流与电路响应Green、Stokes 与 Gauss 定理一维波动方程

本章目标

  1. 按照曲面法向与右手定则写出 Maxwell 方程的积分形式，并转换为微分形式。
  2. 由 Ampère–Maxwell 定律推出电荷连续性方程，解释位移电流项的必要性。
  3. 在无源均匀真空中推导电场和磁场的波动方程及传播速度。
  4. 由平面波相位确定传播方向、偏振方向、磁场方向、波长和场幅关系。
  5. 使用电磁能量密度、Poynting 向量和守恒方程计算平均功率。
  6. 说明介质参数、界面条件、色散和损耗对真空结论的限制。
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统一约定：方向先于公式

本章在右手直角坐标系中工作，单位矢量满足 x^×y^=z^\hat{\mathbf x}\times\hat{\mathbf y}=\hat{\mathbf z}。对开曲面 SS，先指定单位法向 n^\hat{\mathbf n}；其边界曲线 C=∂SC=\partial S 的正向由右手定则确定：右手拇指指向 n^\hat{\mathbf n}，四指弯曲方向就是正向。若把法向反向，曲面通量与环路积分同时变号，定律本身不变。闭曲面默认取外法向。

主要物理量采用 SI：电场 E\mathbf E 的单位为 V m−1\mathrm{V\,m^{-1}} 或 N C−1\mathrm{N\,C^{-1}}，磁感应强度 B\mathbf B 为特斯拉（T），电荷密度 ρ\rho 为 C m−3\mathrm{C\,m^{-3}}，电流密度 J\mathbf J 为 A m−2\mathrm{A\,m^{-2}}。真空介电常数 ε0\varepsilon_0 的单位为 F m−1\mathrm{F\,m^{-1}}，真空磁导率 μ0\mu_0 为 H m−1\mathrm{H\,m^{-1}}。面积元写成 da=n^ da\mathrm d\mathbf a=\hat{\mathbf n}\,\mathrm da，线元 dℓ\mathrm d\boldsymbol\ell 沿选定环路正向。

这些方向和单位不是附加说明。Faraday 定律中的负号、Poynting 向量的方向以及界面反射的相位，都依赖它们。

四条积分定律

真空中含电荷和电流时，Maxwell 方程的积分形式为

∯SE⋅da=Qencε0,∯SB⋅da=0,\oiint_S\mathbf E\cdot\mathrm d\mathbf a =\frac{Q_{\mathrm{enc}}}{\varepsilon_0}, \qquad \oiint_S\mathbf B\cdot\mathrm d\mathbf a=0,
∮CE⋅dℓ=−ddt∫SB⋅da,\oint_C\mathbf E\cdot\mathrm d\boldsymbol\ell =-\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\int_S\mathbf B\cdot\mathrm d\mathbf a,
∮CB⋅dℓ=μ0Ienc+μ0ε0ddt∫SE⋅da.\oint_C\mathbf B\cdot\mathrm d\boldsymbol\ell =\mu_0 I_{\mathrm{enc}} +\mu_0\varepsilon_0\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \int_S\mathbf E\cdot\mathrm d\mathbf a.

第一式把闭曲面的电通量与包围电荷连接。第二式说明任意闭曲面的净磁通为零；它并不要求每一点的磁场为零。第三式表明随时间变化的磁通产生非保守电场，负号编码 Lenz 方向。第四式包含传导电流和电通量变化。最后一项称为位移电流项，其量纲与电流相同：ε0 dΦE/dt\varepsilon_0\,\mathrm d\Phi_E/\mathrm dt 的单位为 A。

对第三、第四式，同一个边界 CC 可以张成不同曲面。只要场和源满足 Maxwell 方程，所得环路积分必须一致。正在充电的电容器正好暴露了这一要求：穿过导线的曲面截到传导电流，穿过极板间隙的曲面没有传导电流，却截到变化的电通量。位移电流使两种曲面给出相同磁场。

从整体定律到局部方程

使用 Gauss 定理和 Stokes 定理，在场足够光滑且源可用密度描述的区域得到

∇⋅E=ρε0,∇⋅B=0,\nabla\cdot\mathbf E=\frac{\rho}{\varepsilon_0}, \qquad \nabla\cdot\mathbf B=0,
∇×E=−∂B∂t,∇×B=μ0J+μ0ε0∂E∂t.\nabla\times\mathbf E=-\frac{\partial\mathbf B}{\partial t}, \qquad \nabla\times\mathbf B=\mu_0\mathbf J +\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\mathbf E}{\partial t}.

微分形式描述一点邻域内的散度和旋度；积分形式适合含界面、奇异源或高对称性的整体计算。二者在相应正则条件下等价，但不能在跨越面电荷或面电流的点上把普通导数当成处处连续。

对 Ampère–Maxwell 方程取散度。恒等式 ∇⋅(∇×B)=0\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf B)=0 给出

0=μ0∇⋅J+μ0ε0∂∂t(∇⋅E)=μ0(∇⋅J+∂ρ∂t).0=\mu_0\nabla\cdot\mathbf J +\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial}{\partial t} (\nabla\cdot\mathbf E) =\mu_0\left(\nabla\cdot\mathbf J+\frac{\partial\rho}{\partial t}\right).

于是

∂ρ∂t+∇⋅J=0.\frac{\partial\rho}{\partial t}+\nabla\cdot\mathbf J=0.

这是局部电荷守恒。若删去位移电流项，时变电荷分布一般会与 Ampère 定律矛盾。位移电流并不表示真空中有带电粒子穿过；它是时变电场在磁场旋度方程中的源项。

例 1：充电电容器间隙中的磁场

半径 R=5.0 cmR=5.0\,\mathrm{cm} 的圆形平行板电容器由恒定电流 I=0.150 AI=0.150\,\mathrm A 充电。忽略边缘效应，求极板间距轴线 r=2.0 cmr=2.0\,\mathrm{cm} 处的磁场大小与方向。

极板内电场近似均匀，面积比例给出半径 rr 的环路所包围的位移电流

Id,enc=Iπr2πR2=0.150(0.0200.050)2=2.40×10−2 A.I_{d,\mathrm{enc}}=I\frac{\pi r^2}{\pi R^2} =0.150\left(\frac{0.020}{0.050}\right)^2 =2.40\times10^{-2}\,\mathrm A.

取法向沿充电电流方向，正环路按右手定则绕轴。由 Ampère–Maxwell 定律

B(2πr)=μ0Id,enc,B(2\pi r)=\mu_0 I_{d,\mathrm{enc}},

所以

B=μ0Id,enc2πr=2.40×10−7 T.B=\frac{\mu_0 I_{d,\mathrm{enc}}}{2\pi r} =2.40\times10^{-7}\,\mathrm T.

方向沿以轴线为中心的方位角方向；若从电流指向的一侧观察，磁场按右手四指方向环绕。若 r>Rr>R，包围的位移电流应取全部 II，不能继续按 r2/R2r^2/R^2 放大。

无源真空中的波动方程

在没有自由电荷和电流的均匀真空区域，ρ=0\rho=0、J=0\mathbf J=0，四条局部方程化为

∇⋅E=0,∇⋅B=0,∇×E=−∂tB,∇×B=μ0ε0∂tE.\nabla\cdot\mathbf E=0, \quad \nabla\cdot\mathbf B=0, \quad \nabla\times\mathbf E=-\partial_t\mathbf B, \quad \nabla\times\mathbf B=\mu_0\varepsilon_0\partial_t\mathbf E.

对 Faraday 方程再取旋度，并使用矢量恒等式 ∇×(∇×E)=∇(∇⋅E)−∇2E\nabla\times(\nabla\times\mathbf E)=\nabla(\nabla\cdot\mathbf E)-\nabla^2\mathbf E：

−∇2E=−μ0ε0∂2E∂t2.-\nabla^2\mathbf E =-\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial^2\mathbf E}{\partial t^2}.

因此

∇2E=μ0ε0∂2E∂t2.\nabla^2\mathbf E =\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial^2\mathbf E}{\partial t^2}.

同样对 Ampère–Maxwell 方程取旋度可得

∇2B=μ0ε0∂2B∂t2.\nabla^2\mathbf B =\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial^2\mathbf B}{\partial t^2}.

与标准波动方程比较，真空传播速度为

c=1μ0ε0≈2.998×108 m s−1.c=\frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}} \approx2.998\times10^8\,\mathrm{m\,s^{-1}}.

推导同时使用了无源条件和均匀真空参数。若 ρ\rho 或 J\mathbf J 非零，波动方程右侧出现源项；若材料参数随位置、频率或场强变化，简单常系数形式也会改变。

平面波、横向条件与右手三元组

取单色平面波

E(r,t)=E0cos⁡(k⋅r−ωt+ϕ0),\mathbf E(\mathbf r,t)=\mathbf E_0\cos(\mathbf k\cdot\mathbf r-\omega t+\phi_0),

其中 k\mathbf k 指向相位传播方向，单位为 rad m−1\mathrm{rad\,m^{-1}}；ω\omega 的单位为 rad s−1\mathrm{rad\,s^{-1}}。Gauss 定律给出

k⋅E0=0,k⋅B0=0.\mathbf k\cdot\mathbf E_0=0, \qquad \mathbf k\cdot\mathbf B_0=0.

Faraday 方程和 Ampère–Maxwell 方程分别给出

k×E0=ωB0,k×B0=−ωc2E0.\mathbf k\times\mathbf E_0=\omega\mathbf B_0, \qquad \mathbf k\times\mathbf B_0=-\frac{\omega}{c^2}\mathbf E_0.

于是

ω=ck,B0=1ck^×E0,B0=E0c.\omega=ck, \qquad \mathbf B_0=\frac{1}{c}\hat{\mathbf k}\times\mathbf E_0, \qquad B_0=\frac{E_0}{c}.

E\mathbf E、B\mathbf B 和传播方向两两垂直，且 E×B\mathbf E\times\mathbf B 指向能量传播方向。这里的横向性来自无源 Gauss 定律，不是只凭示意图作出的猜测。线偏振表示 E0\mathbf E_0 的方向固定；圆偏振或椭圆偏振由两个正交分量及其相位差形成，传播方向仍由场的叉积确定。

例 2：由电场写出完整平面波

一束真空无线电波沿 +x^+\hat{\mathbf x} 传播，频率 f=100 MHzf=100\,\mathrm{MHz}，电场振幅 E0=12.0 V m−1E_0=12.0\,\mathrm{V\,m^{-1}}，在原点 t=0t=0 时电场沿 +y^+\hat{\mathbf y} 且达到正最大值。

角频率和波长为

ω=2πf=6.283×108 rad s−1,λ=cf=2.998 m,\omega=2\pi f=6.283\times10^8\,\mathrm{rad\,s^{-1}}, \qquad \lambda=\frac{c}{f}=2.998\,\mathrm m,

故 k=2π/λ=2.096 rad m−1k=2\pi/\lambda=2.096\,\mathrm{rad\,m^{-1}}。由于 x^×y^=z^\hat{\mathbf x}\times\hat{\mathbf y}=\hat{\mathbf z}，磁场沿 +z^+\hat{\mathbf z}，振幅为

B0=E0c=4.00×10−8 T.B_0=\frac{E_0}{c}=4.00\times10^{-8}\,\mathrm T.

一组满足初相条件的场是

E=12.0cos⁡(kx−ωt) y^ V m−1,\mathbf E=12.0\cos(kx-\omega t)\,\hat{\mathbf y}\ \mathrm{V\,m^{-1}},
B=4.00×10−8cos⁡(kx−ωt) z^ T.\mathbf B=4.00\times10^{-8}\cos(kx-\omega t)\,\hat{\mathbf z}\ \mathrm T.

若只把相位改为 kx+ωtkx+\omega t，传播方向变成 −x^-\hat{\mathbf x}，磁场方向也必须随之调整，不能保留原来的右手三元组。

能量密度、Poynting 向量与守恒

真空电磁场的能量密度为

u=uE+uB=ε02E2+12μ0B2,u=u_E+u_B =\frac{\varepsilon_0}{2}E^2+\frac{1}{2\mu_0}B^2,

单位是 J m−3\mathrm{J\,m^{-3}}。能流密度由 Poynting 向量表示：

S=1μ0E×B,\mathbf S=\frac{1}{\mu_0}\mathbf E\times\mathbf B,

单位是 W m−2\mathrm{W\,m^{-2}}。由 E\mathbf E 点乘 Ampère–Maxwell 方程、B/μ0\mathbf B/\mu_0 点乘 Faraday 方程并相减，得到

∂u∂t+∇⋅S=−J⋅E.\frac{\partial u}{\partial t}+\nabla\cdot\mathbf S =-\mathbf J\cdot\mathbf E.

右侧是场对单位体积物质所做功率的负值。对固定体积 VV 积分并取外法向，∯∂VS⋅da\oiint_{\partial V}\mathbf S\cdot\mathrm d\mathbf a 表示净流出功率。若它为正且内部没有电源补充，体积内场能下降。

真空平面波满足 B=E/cB=E/c，因此电能密度和磁能密度瞬时相等。正弦波一个周期的平均强度为

⟨S⟩=12cε0E02=c2μ0B02.\langle S\rangle =\frac12c\varepsilon_0E_0^2 =\frac{c}{2\mu_0}B_0^2.

这里 E0E_0、B0B_0 是峰值。若输入的是均方根电场 Erms=E0/2E_{\mathrm{rms}}=E_0/\sqrt2，则 ⟨S⟩=cε0Erms2\langle S\rangle=c\varepsilon_0E_{\mathrm{rms}}^2，不能再乘 1/21/2。

例 3：倾斜接收面获得的平均功率

真空平面波的峰值电场为 E0=180 V m−1E_0=180\,\mathrm{V\,m^{-1}}。一块面积 A=1.20×10−2 m2A=1.20\times10^{-2}\,\mathrm{m^2} 的吸收面，其外法向与传播方向夹角为 30∘30^\circ。求平均强度、磁场峰值和入射平均功率。

⟨S⟩=12cε0E02≈43.0 W m−2,B0=E0c=6.00×10−7 T.\langle S\rangle =\frac12c\varepsilon_0E_0^2 \approx43.0\,\mathrm{W\,m^{-2}}, \qquad B_0=\frac{E_0}{c}=6.00\times10^{-7}\,\mathrm T.

穿过表面的功率取法向分量：

P=⟨S⟩Acos⁡30∘≈0.447 W.P=\langle S\rangle A\cos30^\circ \approx0.447\,\mathrm W.

若法向反向，通量积分变负，表示能量流入该体积；吸收器获得的功率仍报告正的输入大小。若接收面与传播方向平行，即法向与传播方向成 90∘90^\circ，理想几何通量为零。

均匀介质与平面界面

在线性、各向同性、无色散介质中可写 D=εE\mathbf D=\varepsilon\mathbf E、B=μH\mathbf B=\mu\mathbf H。无自由源区域的相速度为

v=1με,v=\frac{1}{\sqrt{\mu\varepsilon}},

波阻抗为 Z=μ/εZ=\sqrt{\mu/\varepsilon}，且平面波满足 E/H=ZE/H=Z。真实材料的 ε\varepsilon、μ\mu 往往依赖频率并可能为复数，复数虚部描述损耗。此时相速度、群速度和能量传输速度需要分别判断，不能把 c/nc/n 当作所有脉冲的唯一速度。

没有自由面电荷和自由面电流时，界面两侧的切向 E\mathbf E、切向 H\mathbf H、法向 D\mathbf D、法向 B\mathbf B 连续。若存在自由面电荷密度 σf\sigma_f，取法向 n^\hat{\mathbf n} 从介质 1 指向介质 2，则

n^⋅(D2−D1)=σf.\hat{\mathbf n}\cdot(\mathbf D_2-\mathbf D_1)=\sigma_f.

方向约定改变时，等式两侧必须一起改变。边界关系与传播相位共同决定反射和透射。

例 4：正入射介质界面的反射相位

非磁性、无损介质 1 的折射率 n1=1.00n_1=1.00，介质 2 的折射率 n2=1.50n_2=1.50。线偏振波从介质 1 垂直入射。取界面法向与入射传播方向均为 +z^+\hat{\mathbf z}，入射电场沿 +x^+\hat{\mathbf x}。

正入射电场振幅系数为

r=n1−n2n1+n2=−0.200,t=2n1n1+n2=0.800.r=\frac{n_1-n_2}{n_1+n_2}=-0.200, \qquad t=\frac{2n_1}{n_1+n_2}=0.800.

负的 rr 表示反射电场相对入射电场发生 π\pi 相位翻转。能流比例为

R=∣r∣2=0.0400,T=n2n1∣t∣2=0.960,R=|r|^2=0.0400, \qquad T=\frac{n_2}{n_1}|t|^2=0.960,

故 R+T=1R+T=1，与无损界面的能量守恒一致。反射波沿 −z^-\hat{\mathbf z} 传播，必须重新用 B=(1/v)k^×E\mathbf B=(1/v)\hat{\mathbf k}\times\mathbf E 判断其磁场方向；不能只把入射波的 B\mathbf B 整体复制。

源区、近场与辐射区

平面波是远离有限源时的重要局部模型，却不能描述源附近的全部场。若源的特征尺寸为 aa、角频率为 ω\omega，相应波长为 λ=2πc/ω\lambda=2\pi c/\omega。在距离与波长同量级或更大、且观察方向固定的辐射区，场的主导项通常按 1/r1/r 衰减，E\mathbf E 与 B\mathbf B 近似同相、互相垂直，平均能流按 1/r21/r^2 衰减，使穿过大球面的总辐射功率保持有限。

靠近天线或振荡偶极子的近场还含按 1/r21/r^2、1/r31/r^3 等更快衰减的项。近场中电场与磁场可以存在相位差，局部 E×B\mathbf E\times\mathbf B 也可能在一个周期内往返，表示能量暂时储存在源附近后又返回，而非持续输送到无穷远。因此用 B=E/cB=E/c 或“场强乘球面积”估算辐射功率之前，必须确认观察点处于辐射区。有限源还要求迟滞时间：距离改变 Δr\Delta r 时，源信息至少经过 Δr/c\Delta r/c 才能到达；静电或准静态表达式不能瞬时更新整个空间。

适用范围与常见误判

电磁波必须由附近电荷持续推动

源负责产生和辐射场；波离开源后，在无源真空中由时变电场和磁场的耦合自行传播。无源不等于无场。

位移电流就是极板间的电子流

理想电容器间隙没有传导电子穿越，ε0 dΦE/dt\varepsilon_0\,\mathrm d\Phi_E/\mathrm dt 仍在 Ampère–Maxwell 定律中产生磁场。它保证不同跨界曲面的计算一致并维持电荷守恒。

电场和磁场的峰值具有相同数值

E0/B0=cE_0/B_0=c，两者单位也不同。只在特定单位制中二者数值形式可能相近；SI 中不能直接比较数值。

Poynting 向量总等于设备实际吸收功率

S\mathbf S 是局部能流密度。实际功率还需对有向表面积分，并结合反射、透射、损耗和时间平均。表面方向与传播方向不垂直时必须取点积。

练习：方程、方向与能量核验

练习 1：四条定律的量纲
所属知识
Maxwell 方程
难度
2/5

逐式核对 Maxwell 四条积分定律的 SI 单位，并说明为什么量纲一致不足以确定 Faraday 定律的负号。

查看提示
分别把电通量、磁通、环路电场和环路磁场写成场量乘面积或长度，再核对源项。
查看解答
电通量单位为 V⋅mV\cdot m，Q/ϵ0Q/\epsilon_{0} 也是 V⋅mV\cdot m；磁通单位为 T⋅m2T\cdot m^{2}。环路电场单位为 V，磁通变化率为 Wb⋅s−1=VWb\cdot s^{-1}=V。环路磁场单位为 T⋅mT\cdot m，μ0I\mu_{0}I 与 μ0ϵ0dΦE/dt\mu_{0}\epsilon_{0}d\Phi_E/dt 均为 T⋅mT\cdot m。量纲一致只说明公式可能成立，不能替代方向和边界核验。
练习 2：高斯脉冲不是纵向真空电场
所属知识
横向条件
难度
3/5

有人写出沿 +x^+\hat{\mathbf x} 传播的真空波 E=E0cos⁡(kx−ωt)x^\mathbf E=E_0\cos(kx-\omega t)\hat{\mathbf x}。指出它与哪条方程冲突，并说明横向结论的适用条件。

查看提示
对无源区域使用 ∇⋅E=0\nabla \cdot E=0；对平面波振幅使用 k⋅E0=0k\cdot E_{0}=0。
查看解答
无源单色平面波必须满足 k⋅E0=0k\cdot E_{0}=0，因此电场不能具有沿传播方向的恒定平面波分量。只写 Ex=E0cos⁡(kx−ωt)E_x=E_{0}\cos(kx-\omega t) 会给出 ∂Ex/∂x\partial E_x/\partial x 非零，对应非零电荷密度，和无源假设冲突。横向结论依赖无源 Maxwell 方程；近场、波导纵向分量或含源区域需另行分析。
练习 3：确定传播方向和磁场
所属知识
平面波方向
难度
3/5

真空波电场为 E=30cos⁡(2z+6.0×108t)x^ V m−1\mathbf E=30\cos(2z+6.0\times10^8t)\hat{\mathbf x}\,\mathrm{V\,m^{-1}}。求传播方向、磁场方向与峰值、波长和频率。

查看提示
相位 2z+6.0×108t2z+6.0\times 10^{8}t 为常数时，z 随 t 减小；再用 B=(1/c)k^×EB=(1/c)\hat{k}\times E。
查看解答
相位 kz+ωtkz+\omega t 表示沿 −z-z 传播，所以 k^=−z^\hat{k}=-\hat{z}。若 E 沿 +x，则 B 方向为 (−z^)×x^=−y^(-\hat{z})\times \hat{x}=-\hat{y}，峰值为 30/c≈1.00×10−7T30/c\approx 1.00\times 10^{-7} T。波长为 2π/k=πm2\pi/k=\pi m，频率为 ω/(2π)=9.55×107Hz\omega/(2\pi)=9.55\times 10^{7} Hz；给定 k 与 ω\omega 近似满足 ω/k≈3.0×108m⋅s−1\omega/k\approx 3.0\times 10^{8} m\cdot s^{-1}。
练习 4：电容器内外的磁场
所属知识
位移电流
难度
4/5

半径为 RR 的平行板电容器由恒流 II 充电。推导极板间 r≤Rr\le R 与 r≥Rr\ge R 两个区域的 B(r)B(r)，并检查 r=Rr=R 处是否连续。

查看提示
环路半径小于极板半径时取面积比例，大于极板半径时包围全部位移电流。
查看解答
对 r≤Rr\le R，B=μ0Ir/(2πR2)B=\mu_{0}Ir/(2\pi R^{2})，因此磁场从轴线起线性增加；对 r≥Rr\ge R，B=μ0I/(2πr)B=\mu_{0}I/(2\pi r)，随半径反比下降。r=R 两式都给 μ0I/(2πR)\mu_{0}I/(2\pi R)，场连续。方向由充电电流方向和右手定则确定。该结果忽略边缘场和辐射。
练习 5：由平均强度反求场幅
所属知识
电磁能流
难度
3/5

一束真空正弦波的平均强度为 1.00 W m−21.00\,\mathrm{W\,m^{-2}}。求电场和磁场峰值，并写明所用的是峰值还是均方根值。

查看提示
题目给的是周期平均强度，使用 ⟨S⟩=cϵ0E02/2\langle S\rangle=c\epsilon_{0}E_{0}^{2}/2；随后用 B0=E0/cB_{0}=E_{0}/c。
查看解答
E0=2⟨S⟩/(cϵ0)≈27.45 V⋅m−1E_{0}=\sqrt{2\langle S\rangle/(c\epsilon_{0})}\approx 27.45\,\mathrm{V}\cdot m^{-1}，B0=E0/c≈9.16×10−8TB_{0}=E_{0}/c\approx 9.16\times 10^{-8} T。电能与磁能的周期平均各为总平均能量密度的一半；不能把 1.00W⋅m−21.00 W\cdot m^{-2} 直接当成能量密度。
练习 6：吸收体积的能量账本
所属知识
Poynting 定理
难度
4/5

某固定体积边界的外向 Poynting 净通量为 1.8 W1.8\,\mathrm W，内部场对物质做功率为 0.6 W0.6\,\mathrm W，二者在 0.50 s0.50\,\mathrm s 内近似恒定。求场能变化，并列出物质吸收与边界流出的能量。

查看提示
对体积积分 ∂tu+∇⋅S=−J⋅E\partial_t u+\nabla \cdot S=-J\cdot E；外法向通量为正表示场能流出。
查看解答
场能变化率为 dUfield/dt=−Pout−Pmatter=−1.8W−0.6W=−2.4WdU_{field}/dt=-P_{out}-P_{matter}=-1.8 W-0.6 W=-2.4 W。经过 0.50 s，场能变化 −1.2J-1.2 J。物质获得 0.30 J，另有 0.90 J 流出边界；二者合计 1.20 J。符号取决于外法向约定，但物理账本不变。

概念关系与学习路线

已登记课程资源

课程 · 2007

Physics II: Electricity and Magnetism

用于核对 P04 的场与势定义、积分定律方向、边界条件、电路暂态、Maxwell 方程和波动例题。

打开官方来源

MIT OpenCourseWare 8.02 的课程范围覆盖 Maxwell 方程、电磁波和能流。本章只使用该已登记课程作为进一步核对入口；所有符号、方向、量纲、推导和数值算例均在正文中明确给出。

章末核对清单

处理新的电磁波问题时，依次写出相位约定、k\mathbf k 方向、E\mathbf E 偏振、由叉积确定的 B\mathbf B 方向，再核对 E/BE/B 与介质波速。涉及功率时区分瞬时值、峰值、均方根值和周期平均值，并对有向面积计算 S⋅n^\mathbf S\cdot\hat{\mathbf n}。涉及界面时声明法向从哪一侧指向哪一侧，检查自由面电荷或面电流是否存在。最后用量纲、无源散度条件和能量守恒作三项独立核验。