Hilbert 空间、量子态与可观测量

复 Hilbert 空间是状态语言

量子理论把一个系统的状态空间建模为复 Hilbert 空间 $\mathcal H$。它是带内积且对内积诱导范数完备的复向量空间。本章采用物理学约定：

对右侧 ket $|\psi\rangle$ 线性，对左侧 bra $\langle\phi|$ 共轭线性，并满足

范数为 $\|\psi\|=\sqrt{\langle\psi|\psi\rangle}$。完备性保证 Cauchy 收敛序列的极限仍在空间内，使傅里叶展开、极限态和微分方程解可以在同一空间中处理。

有限两态系统可用 $\mathbb C^2$；一维无自旋粒子常用 $L^2(\mathbb R)$，即平方可积复函数空间。选哪个 Hilbert 空间取决于自由度、边界和粒子类型，不能把所有量子系统都当作同一个无限维波函数空间。

纯态是射线，不是带绝对相位的向量

纯态与射线

纯态由 Hilbert 空间中的一维射线表示。若 $c\ne0$，$|\psi\rangle$ 与 $c|\psi\rangle$ 表示同一射线；计算时通常选择归一化代表元

$$\langle\psi|\psi\rangle=1.$$

特别地，$|\psi\rangle$ 与 $e^{i\alpha}|\psi\rangle$ 的整体相位不产生不同物理预测。

整体相位不可观测，不等于所有相位都无意义。叠加态

中 $a$ 与 $b$ 的相对相位会改变在其他基底中的干涉概率。归一化要求 $|a|^2+|b|^2=1$。线性叠加是状态空间结构：若两个向量属于 $\mathcal H$，其线性组合也属于 $\mathcal H$；但归一化和射线等价仍需在组合后处理。

例 1：两态归一化、整体相位与自旋方向

在 $S_z$ 基底中取

$$|\psi\rangle=\frac1{\sqrt2} \begin{pmatrix}1\\ i\end{pmatrix}.$$

范数为 $(1+|i|^2)/2=1$。乘 $e^{i\pi/7}$ 后，任意内积振幅整体乘同一相位，模平方不变，所以物理态相同。Pauli 矩阵

$$\sigma_y=\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}$$

满足 $\sigma_y|\psi\rangle=|\psi\rangle$，故该态是 $S_y=(\hbar/2)\sigma_y$ 的本征态，本征值为 $+\hbar/2$。因此 $\langle S_y\rangle=\hbar/2$、$\Delta S_y=0$；而 $\langle S_x\rangle=\langle S_z\rangle=0$，相应标准差均为 $\hbar/2$。自旋角动量单位为 $\mathrm{J\,s}$。

正交基底、完备关系与振幅

离散正交归一基底 $\{|n\rangle\}$ 满足

任意态展开为

$c_n$ 是概率振幅，通常为复数；$|c_n|^2$ 才是对应正交结果的概率。振幅可以相消，概率不能在不同互斥结果间先取平方根再相加。

例 2：同一两态在两个基底中的坐标

令

$$|\psi\rangle=\frac{\sqrt3}{2}|0\rangle+\frac i2|1\rangle.$$

在 $z$ 基底中两分量概率为 $3/4$ 和 $1/4$。改用 $|+\rangle=(|0\rangle+|1\rangle)/\sqrt2$、 $|-\rangle=(|0\rangle-|1\rangle)/\sqrt2$，有

$$\langle+|\psi\rangle=\frac{\sqrt3+i}{2\sqrt2}, \qquad \langle-|\psi\rangle=\frac{\sqrt3-i}{2\sqrt2}.$$

两个模平方都为 $1/2$。若把相对相位 $i$ 改成 $+1$，$z$ 基底概率不变，但 $x$ 基底概率改变。这具体说明相对相位可观测，而整体相位不可观测。

位置表象、归一化与单位

对一维粒子，位置表象波函数定义为

连续位置本征 ket 满足广义归一化

Dirac delta 的单位为 $\mathrm{m^{-1}}$。概率元

必须无量纲，所以一维 $\psi$ 的单位为 $\mathrm{m^{-1/2}}$，三维波函数的单位为 $\mathrm{m^{-3/2}}$。归一化为

$|x\rangle$ 和动量本征态通常不属于 $L^2$，而是广义本征向量。可归一化物理态由波包给出；把平面波的无限范数忽略后直接称为单粒子归一态，会混淆 delta 归一化与普通归一化。

动量表象与 Fourier 变换

在实线上常取

于是动量波函数为

反变换恢复 $\psi(x)$，Parseval 等式给

因此 $\widetilde\psi$ 的单位是 $(\mathrm{kg\,m\,s^{-1}})^{-1/2}$。在位置表象中 $P=-i\hbar\partial_x$、$X$ 为乘以 $x$；在动量表象中 $P$ 为乘以 $p$、$X=i\hbar\partial_p$。两种表达必须连同 Fourier 约定与定义域一起变换。

平面波 $e^{ipx/\hbar}$ 的模平方恒定，在整条实线上不可普通归一化。它表示精确动量的广义态；有限空间宽度的物理波包需要叠加一段动量，并因此产生非零动量分散。

例 3：有限区间上的波函数归一化

一维区间 $0<x<L$ 上给定

$$\psi(x)=A\sin\frac{\pi x}{L},$$

区间外为零。由

$$1=|A|^2\int_0^L\sin^2\frac{\pi x}{L}\,\mathrm dx =|A|^2\frac L2$$

得 $|A|=\sqrt{2/L}$，单位为 $\mathrm{m^{-1/2}}$。可选 $A$ 为正实数，因为整体相位任意。概率密度关于 $L/2$ 对称，所以粒子在左半区与右半区的概率各为 $1/2$；但密度并不均匀，在边界为零、中心最大。位置期望值由对称性或积分得到 $\langle x\rangle=L/2$，单位为米。

可观测量需要自伴算符

可观测量与自伴算符

可观测量由 Hilbert 空间上的自伴算符 $A$ 表示。自伴要求

$$A=A^\dagger$$

连同定义域一起成立：$D(A)=D(A^\dagger)$，且在该域上作用相同。有限维情形中这等价于矩阵 Hermitian，即 $A_{mn}=A_{nm}^*$。

自伴性保证谱为实数，并允许通过谱定理构造投影和幺正演化。无限维中，仅满足

的“对称”条件未必足够；边界条件会影响伴随算符定义域。位置、动量和 Hamiltonian 常为无界算符，不可能在整个 Hilbert 空间上连续定义。写算符时必须同时声明 $D(A)$，而不是只写一个微分表达式。

例如在 $L^2(\mathbb R)$ 上，位置算符 $(X\psi)(x)=x\psi(x)$ 的自然域要求 $x\psi\in L^2$。动量算符 $P=-i\hbar\,\mathrm d/\mathrm dx$ 需要波函数具有适当弱导数和边界行为。$\hbar=1.054571817\times10^{-34}\,\mathrm{J\,s}$，因此 $P$ 的单位为 $\mathrm{kg\,m\,s^{-1}}$。

例 4：周期边界决定动量谱

在 $L^2([0,L])$ 上取

$$P=-i\hbar\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}, \qquad D(P)=\{\psi:\psi'\in L^2,\ \psi(L)=\psi(0)\}.$$

分部积分给出边界型

$$\langle\phi|P\psi\rangle-\langle P\phi|\psi\rangle =-i\hbar[\phi^*(x)\psi(x)]_0^L.$$

若 $\phi,\psi$ 都满足周期边界，右侧为零，并且相应伴随域一致，得到自伴周期动量算符。本征函数为

$$\psi_n(x)=\frac1{\sqrt L}e^{i2\pi nx/L}, \qquad p_n=\frac{2\pi n\hbar}{L}, \qquad n\in\mathbb Z.$$

若只写同一微分式而改用其他边界条件，谱和自伴性可能改变。微分表达式相同不代表物理可观测量相同。

谱分解、期望值与方差

有限维自伴算符可写为

$a$ 为实本征值，$\Pi_a$ 投影到对应本征子空间；简并时一个 $\Pi_a$ 可包含多个正交本征向量。连续谱用投影值测度写成 $A=\int a\,\mathrm d\Pi(a)$，不能把所有连续本征 ket 当成普通可数基。

归一化态中的期望值和方差为

若 $A$ 有物理单位，期望值同单位，方差是单位平方，标准差恢复原单位。期望值是重复制备同态后结果均值的理论预言，不保证单次读数等于它。要定义 $\langle A\rangle$，态必须在 $D(A)$；直接写 $\langle A^2\rangle$ 还要求相应二阶作用有定义。无界算符下，归一化本身不能保证所有矩都有限。

若 $|\psi\rangle$ 是 $A$ 的本征态，方差为零。反之，对自伴 $A$，方差为零意味着 $(A-\langle A\rangle)|\psi\rangle=0$，所以该态位于相应本征子空间。这个结论来自范数非负性，不来自“测量不会扰动”的直觉。

谱定理还允许定义算符函数

或连续谱积分。取 $f(a)=a^2$ 得 $A^2$，取 $f(a)=e^{-ita/\hbar}$ 得幺正相位演化，取某个区间的示性函数则得到“结果落在该区间”的谱投影。对无界 $f$，$f(A)$ 会有新的定义域；不能因为 $A$ 自伴就假定任意高阶矩对所有归一化态都有限。

若算符谱有上下界 $a_{\min},a_{\max}$，任何归一化态都满足 $a_{\min}\le\langle A\rangle\le a_{\max}$。但期望值落在谱凸包内并不表示该数一定是可测本征值。例如两能级 $\pm1$ 的等权态期望为零，单次理想测量仍只给 $+1$ 或 $-1$。

复合系统与张量积

两个系统的状态空间不是普通直和，而是张量积

若 $\{|i\rangle_A\}$、$\{|j\rangle_B\}$ 为基底，则 $|i\rangle_A\otimes|j\rangle_B$ 构成复合基底。一般纯态为

若系数可分解为 $c_{ij}=a_ib_j$，状态是乘积态；否则为纠缠态。两量子比特 Bell 态

不能写成单个 $A$ 态与单个 $B$ 态的乘积，因为展开乘积 $(a|0\rangle+b|1\rangle)(c|0\rangle+d|1\rangle)$ 若同时保留 $00$ 和 $11$，一般也会产生 $01$ 或 $10$ 项；令交叉项都为零又无法同时保留两端项。

只作用于 $A$ 的可观测量在复合空间写为 $A\otimes I_B$，只作用于 $B$ 的写为 $I_A\otimes B$，二者自动对易。复合可观测量还可包含相互作用项，不能总拆成局部算符之和。张量积维数相乘：两个两态系统形成四维空间，而非只有两个独立概率表。

纠缠不允许用单个子系统纯态完整描述整体相关性。下一章会用密度算符和部分迹描述局部统计；在此先保留关键区别：叠加发生在复合 Hilbert 空间，不能把量子相关性解释成不知道两个预先存在局部纯态的经典混合。

简并谱与完备标记

若同一本征值 $a$ 对应维数大于一的子空间，$A$ 的测量只能确定投影 $\Pi_a$，不能区分其中的正交方向。可再选与 $A$ 对易、并保持该子空间的另一个自伴算符 $B$，用共同本征值 $(a,b)$ 细分状态。若一组两两对易可观测量的共同本征空间均为一维，常称它们构成完备对易可观测量组。

简并子空间内部的基底并不唯一。把该子空间内基向量作任意幺正混合，$A=aI$ 在其中的作用不变。只有额外可观测量、对称性或实验装置选择，才赋予某组基向量额外意义。把任意计算基当成测量已经分辨的物理结果，会错误增加可观测信息。

对易是共同谱分解的重要条件，但无限维无界算符还涉及强对易和定义域问题；仅在形式上算出 $[A,B]\psi=0$ 对某些测试函数成立，未必足以建立全局共同谱。教材中的有限矩阵结论推广到微分算符时必须保留这一边界。

态的重叠与可区分性

两个归一化纯态的重叠模平方

无量纲且在幺正表象变换下不变。$F=1$ 表示同一射线，$F=0$ 表示正交态；只有正交态才能由一次理想测量无误地区分。若 $0<F<1$，不存在对所有单次输入都零错误、同时必给结论的测量。这个结论来自线性内积保持：若某装置把两输入确定映到两个正交记录态，幺正实现将要求输入内积也为零。

重叠接近一只表示两个纯态难以凭少量副本区分，不代表它们的坐标逐项接近；坐标还依赖基底和整体相位。比较态时应使用归一化、表象不变的量，而不是直接比较某一表象波函数的实部图像。

表象变换与物理不变量

正交基底变换由幺正算符 $U$ 实现。若采用主动写法，态与算符同时变为

则

坐标表象、动量表象和自旋不同轴基底只是同一抽象态的不同坐标语言。只变换态而忘记变换算符，或把主动变换和被动换基的 $U,U^\dagger$ 次序混用，会产生虚假的物理差异。

常见误区

常见误区

“波函数就是一条可直接测量的物质波曲线。”可实验检验的是由态和测量共同决定的概率；波函数依赖表象和整体相位，不是经典介质位移。

常见误区

“矩阵元素看起来 Hermitian，就足以证明无限维微分算符是可观测量。”无限维还要比较算符与伴随算符的定义域，边界条件不可省略。

常见误区

“期望值一定是一次测量可能出现的本征值。”期望值可以位于离散谱本征值之间；它描述重复试验均值。

练习：态、基底与算符

练习标记完成

所属知识

复向量归一化

难度

2/5

归一化 $\mathbb C^2$ 中的向量 $(1,1+i)^T$，并给出在标准基底中的两个概率。

查看提示

范数平方是各分量模平方之和，$|1+i|^{2}=2$。

查看解答

向量 $(1,1+i)^T$ 的范数平方为 $1+2=3$，所以归一化态为 $(1,1+i)^T/\sqrt{3}$。在该基底中两分量概率为 1/3 与 2/3。

练习标记完成

所属知识

整体相位与相对相位

难度

2/5

证明 $|\psi\rangle$ 与 $e^{i\alpha}|\psi\rangle$ 给出相同投影概率，并说明只给一个分量乘 $i$ 为何通常不是整体相位。

查看提示

比较任意投影振幅的模平方；再把第二分量单独乘 i。

查看解答

整体乘 $e^{i\alpha}$ 使所有振幅乘同一相位，模平方不变；只把一个分量乘 i 改变相对相位，在旋转基底中会改变干涉项，因此一般是不同物理态。

练习标记完成

所属知识

波函数单位

难度

2/5

由归一化条件推导一维与三维位置波函数、概率密度的 SI 单位。

查看提示

概率 $\int |\psi |^{2}dx$ 必须无量纲。

查看解答

一维中 $[\psi]^{2}\cdot m=1$，所以 $[\psi]=m^{-1/2}$；三维中 $[\psi]^{2}\cdot m^{3}=1$，所以 $[\psi]=m^{-3/2}$。概率密度 $|\psi |^{2}$ 的单位分别为 $m^{-1}$ 与 $m^{-3}$。

练习标记完成

所属知识

Hermitian 矩阵

难度

3/5

判断 $A=\begin{pmatrix}a&c-id\\c+id&b\end{pmatrix}$ 在什么条件下表示有限维可观测量，并说明本征值为何为实数。

查看提示

计算共轭转置并与原矩阵比较；对角元必须为实数。

查看解答

矩阵 $[[a,c-id],[c+id,b]]$ 在 a,b,c,d 都为实数时满足 $A^{\dagger}=A$。本征值为 $\lambda_\pm=[a+b\pm \sqrt{(a-b)^{2}+4(c^{2}+d^{2})}]/2$；根号内非负，所以两者均为实数。

练习标记完成

所属知识

期望值与方差

难度

3/5

对例 2 的态求 $\sigma_z$ 和 $S_z=(\hbar/2)\sigma_z$ 的期望值与标准差。

查看提示

使用 $\sigma_z^{2}=I$，先算 $\langle \sigma_z\rangle$ 再算方差。

查看解答

态 $\sqrt{3}|0\rangle/2+i|1\rangle/2$ 给 $\langle \sigma_z\rangle=3/4-1/4=1/2$，$\langle \sigma_z^{2}\rangle=1$，所以 $\operatorname{Var}(\sigma_z)=1-1/4=3/4$。对 $S_z=(\hbar/2)\sigma_z$，期望为 $\hbar/4$，标准差为 $\sqrt{3}\hbar/4$。

练习标记完成

所属知识

动量定义域

难度

5/5

复核周期区间动量算符的边界型，并推导离散本征值 $p_n=2\pi n\hbar/L$。

查看提示

对 $\langle \phi |P\psi \rangle$ 分部积分，检查端点边界型是否对域中任意 $\phi,\psi$ 消失。

查看解答

边界型为 $-i\hbar [\phi^{*}\psi]_0^L$。周期条件使 $\phi^{*}(L)\psi(L)=\phi^{*}(0)\psi(0)$，故消失；本征条件 $-i\hbar \psi '=p\psi$ 给 $\psi \propto e^{ipx/\hbar}$，周期性要求 $pL/\hbar=2\pi n$，所以 $p_n=2\pi n\hbar/L$。

知识连接与后续路线

• Hilbert 空间 提供完备内积空间、正交展开和有界算符语言。
• 谱定理 支撑自伴算符的投影分解与函数演算。
• 复数 解释概率振幅、共轭内积和相对相位。
• 测量、对易关系与不确定性 将用谱投影和 Born 规则连接态与实验结果。
• Schrödinger 方程 将以 Hamilton 算符生成态的时间演化。

课程 · 2013

Quantum Physics I

Allan Adams, Matthew Evans, Barton Zwiebach

用于核对 P07 的态与概率解释、时间演化、概率流、一维束缚态和散射计算，并明确理想势模型的适用边界。

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课程 · 2013

Quantum Physics II

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用于核对 P07 的算符表象、投影测量、角动量代数、自旋系统、复合系统与全同粒子例题。

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MIT OpenCourseWare 8.04 提供波函数、归一化与一维量子态的基础，8.05 进一步系统处理抽象态、算符、两态系统和表象。下一章在当前数学结构上加入 Born 规则、投影测量、密度算符和 Robertson 不确定关系，并严格区分态的内禀统计分散与仪器误差。