P08 · 第 2 章 · 第一编狭义相对论

四矢量、相对论动力学与电磁场

以四速度和四动量建立协变动力学，用能量—动量不变量处理加速、碰撞和衰变，并以电磁场张量统一不同惯性系中的电场与磁场。

难度 5/5约 210 分钟最近修订 2026-07-14

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预备知识Lorentz 变换与时空间隔动量、冲量与碰撞介质、能流与电磁学综合复习

本章目标

在 $(+,-,-,-)$ 度规下计算四速度、四动量及其 Minkowski 范数，并保持 $c$ 与 SI 单位显式。
从 $P^\mu P_\mu=m^2c^2$ 推导 $E^2=p^2c^2+m^2c^4$ 和低速动能极限。
用四动量守恒分析碰撞、复合系统不变质量与两体衰变，区分静质量和相对论质量旧称。
连接三力、功率和四力，说明平行与垂直加速在高速下的差异。
固定场张量符号约定，计算平行/垂直电磁场变换并核对两个场不变量。

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继续使用同一时空约定

本章沿用

x^\mu=(ct,\boldsymbol x), \qquad \eta_{\mu\nu}=\operatorname{diag}(+1,-1,-1,-1),

以及 $c=299\,792\,458\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 。四矢量内积为 $A^\mu B_\mu=A^0B^0-\boldsymbol A\cdot\boldsymbol B$ 。上、下指标通过度规升降，空间分量会变号；不能把欧氏点积直接代替 Minkowski 内积。

对有质量粒子的类时世界线，固有时满足

\mathrm d\tau=\mathrm dt\sqrt{1-v^2/c^2}=\frac{\mathrm dt}{\gamma}.

固有时是 Lorentz 标量，三速度 $\boldsymbol v=\mathrm d\boldsymbol x/\mathrm dt$ 不是四矢量的空间部分。

四速度与四动量

四速度

U^\mu=\frac{\mathrm dx^\mu}{\mathrm d\tau} =\gamma(c,\boldsymbol v).

它的单位为 $\mathrm{m\,s^{-1}}$ ，并满足

U^\mu U_\mu=\gamma^2(c^2-v^2)=c^2.

光的固有时为零，不能用同一公式定义光子四速度。无质量粒子仍有良好定义的四动量。

四动量

对静质量 $m$ 的粒子，

P^\mu=mU^\mu =\left(\frac Ec,\boldsymbol p\right),

其中

E=\gamma mc^2, \qquad \boldsymbol p=\gamma m\boldsymbol v.

$E$ 的单位为焦耳， $\boldsymbol p$ 为 $\mathrm{kg\,m\,s^{-1}}$ ，所以四动量每个分量都可用 $\mathrm{kg\,m\,s^{-1}}$ 表示。

这里 $m$ 是 Lorentz 不变的静质量。本章不使用“相对论质量 $\gamma m$ ”术语，因为它会掩盖能量和三动量属于一个四矢量的结构。

能量—动量不变量与低速极限

由四速度范数，

P^\mu P_\mu =\frac{E^2}{c^2}-p^2 =m^2c^2,

所以

\boxed{E^2=p^2c^2+m^2c^4}.

静止时 $p=0$ ，静能为 $E_0=mc^2$ 。动能定义为

K=E-E_0=(\gamma-1)mc^2.

当 $v\ll c$ ，

\gamma=1+\frac12\frac{v^2}{c^2} +\frac38\frac{v^4}{c^4}+\cdots,

故

K=\frac12mv^2+\frac38\frac{mv^4}{c^2}+\cdots.

经典动能是相对论表达的低速主导项，不适合在 $v$ 接近 $c$ 时由误差百分比线性外推。无质量粒子取 $m=0$ 得 $E=pc$ ，其速度为 $c$ ，不能通过连续减小有质量粒子的 $m$ 同时保持任意固定三速度来得到。

例 1：$0.800c$ 电子的能量与动量

电子质量取 $m=9.109\times10^{-31}\,\mathrm{kg}$ ，速度 $v=0.800c$ ，所以 $\gamma=5/3$ 。静能

mc^2\approx8.19\times10^{-14}\,\mathrm J,

总能量和动能为

E=\gamma mc^2\approx1.36\times10^{-13}\,\mathrm J, \qquad K=(\gamma-1)mc^2\approx5.46\times10^{-14}\,\mathrm J.

三动量为

p=\gamma mv\approx3.64\times10^{-22}\, \mathrm{kg\,m\,s^{-1}}.

代入 $p^2c^2+m^2c^4$ 可恢复 $E^2$ 。经典动能 $mv^2/2\approx2.62\times10^{-14}\,\mathrm J$ 明显偏低，说明 $0.800c$ 已不在低速近似范围。

四力、三力与功率

定义四力

K^\mu=\frac{\mathrm dP^\mu}{\mathrm d\tau}.

因 $P^2=m^2c^2$ 对恒定静质量不变， $K\cdot P=0$ ，四力与四速度 Minkowski 正交。若三力定义为

\boldsymbol F=\frac{\mathrm d\boldsymbol p}{\mathrm dt},

则

K^\mu=\gamma\left( \frac{\boldsymbol F\cdot\boldsymbol v}{c}, \boldsymbol F \right), \qquad \frac{\mathrm dE}{\mathrm dt} =\boldsymbol F\cdot\boldsymbol v.

功率关系与经典形式相同，但 $\boldsymbol p\ne m\boldsymbol v$ 。把力分成平行和垂直于速度的部分，可得

F_\parallel=\gamma^3ma_\parallel, \qquad F_\perp=\gamma ma_\perp.

同样大小的平行力在高速下产生更小的坐标加速度。粒子速度趋近 $c$ 时，有限持续力主要继续增加能量和动量，而不会把有质量粒子加速越过光速。

例 2：恒定一维三力下的速度

粒子从静止开始受恒定 $+x$ 三力 $F$ ，所以

p_x(t)=Ft.

由 $E^2=p^2c^2+m^2c^4$ 和 $v=pc^2/E$ ，

v(t)=\frac{Ft\,c}{\sqrt{(Ft)^2+m^2c^2}}.

当 $t=mc/F$ ，有 $p=mc$ 、 $\gamma=\sqrt2$ 、 $v=c/\sqrt2\approx0.707c$ 。继续增大 $t$ 时动量仍线性增长，速度只渐近 $c$ 。低速 $Ft\ll mc$ 时，分母约为 $mc$ ，恢复 $v\approx Ft/m$ 。这里 $mc/F$ 的单位为秒。

固有加速度与恒定推力边界

坐标加速度 $\boldsymbol a=\mathrm d\boldsymbol v/\mathrm dt$ 依赖参考系。加速度计随粒子运动时读到的是瞬时共动惯性系中的固有加速度。对一维运动，其大小满足

\alpha=\gamma^3 a, \qquad a=\frac{\alpha}{\gamma^3}.

所以“恒定加速度”必须说明恒定的是实验室坐标加速度还是乘员测得的固有加速度。前者若一直保持，会在有限时间把经典公式 $v=at$ 推到超光速，因而不是相对论中可无限延续的物理方案；恒定固有加速度则自动使实验室坐标加速度随速度升高而减小。

设粒子从 $t=0,x=0$ 静止出发，并沿 $+x$ 保持固有加速度 $\alpha>0$ 。以固有时参数化的世界线为

ct(\tau)=\frac{c^2}{\alpha} \sinh\!\left(\frac{\alpha\tau}{c}\right), \qquad x(\tau)=\frac{c^2}{\alpha} \left[ \cosh\!\left(\frac{\alpha\tau}{c}\right)-1 \right].

其中 $\alpha\tau/c$ 无量纲， $c^2/\alpha$ 的单位是米。微分可得

v(\tau)=c\tanh\!\left(\frac{\alpha\tau}{c}\right), \qquad \gamma(\tau)=\cosh\!\left(\frac{\alpha\tau}{c}\right).

任意有限固有时都有 $|v|<c$ 。消去 $\tau$ 后，

\left(x+\frac{c^2}{\alpha}\right)^2-c^2t^2 =\left(\frac{c^2}{\alpha}\right)^2,

是一支双曲线；它渐近于光线，却不会穿过光锥。若 $\alpha=9.81\,\mathrm{m\,s^{-2}}$ ，特征长度 $c^2/\alpha\approx9.16\times10^{15}\,\mathrm m$ ，说明日常加速度在短时内近似 Newton 运动，但长期累积必须使用双曲函数。

作为可复算的尺度例，若以这一固有加速度持续一个 Julian 年 $\tau=31\,557\,600\,\mathrm s$ ，则 $\alpha\tau/c\approx1.03$ 。随行者在这一年末相对出发系的速度为 $v=c\tanh(1.03)\approx0.775c$ ；出发系经过的坐标时间为 $t=(c/\alpha)\sinh(1.03)\approx1.19$ 年，位移为 $x=(c^2/\alpha)[\cosh(1.03)-1]\approx5.34\times10^{15}\,\mathrm m$ ，约 $0.565$ 光年。速度、时间与位移来自同一个世界线参数，不能分别套用 $v=\alpha\tau$ 与 $x=\alpha\tau^2/2$ 。当 $\alpha\tau/c\ll1$ 时，双曲函数展开才恢复这些低速式。

四加速度 $A^\mu=\mathrm dU^\mu/\mathrm d\tau$ 满足 $A\cdot U=0$ 。按本章 $(+,-,-,-)$ 号型， $A^\mu A_\mu=-\alpha^2$ ；负号表示四加速度是类空四矢量。这个不变量给出跨惯性系核对加速度计读数的方法，也避免把不同参考系的三维坐标加速度直接当成同一个物理量。

在严格一维且静质量恒定时，前面的 $F_\parallel=\gamma^3ma$ 与 $\alpha=\gamma^3a$ 合并为 $F=m\alpha$ 。因此恒定固有加速度恰对应出发惯性系中的恒定平行三力，这与例 2 的 $p=Ft$ 相容；但有横向力或推力方向随时间改变时不能直接沿用这一标量关系，必须回到四力或分量公式。

作用量、正则动量与机械动量

自由有质量粒子的作用量可写为

\mathcal S=-mc^2\int\mathrm d\tau =\int L\,\mathrm dt, \qquad L=-mc^2\sqrt{1-v^2/c^2}.

由 $\partial L/\partial\boldsymbol v$ 得机械动量 $\gamma m\boldsymbol v$ 。在电磁场中常用

L=-mc^2\sqrt{1-v^2/c^2} -q\phi+q\boldsymbol v\cdot\boldsymbol A.

此时正则动量为

\boldsymbol p_{\mathrm{can}} =\gamma m\boldsymbol v+q\boldsymbol A,

而机械动量仍是 $\gamma m\boldsymbol v$ 。两者在规范变换下行为不同；实验中的轨迹曲率由机械动量和 Lorentz 力决定。省略“正则”或“机械”限定，会在 Hamilton 方程与碰撞守恒之间混用不同量。

作用量的单位为 $\mathrm{J\,s}$ ， $q\boldsymbol A$ 的单位与动量相同。低速展开 $L=-mc^2+mv^2/2+\cdots$ ，常数静能项不改变经典 Euler–Lagrange 方程，但在相对论能量与引力耦合中不能因此宣称静能没有物理作用。

四动量守恒与系统不变质量

孤立过程满足总四动量守恒：

\sum_{\mathrm{in}}P_i^\mu =\sum_{\mathrm{out}}P_f^\mu.

它同时包含能量和三动量守恒，并在所有惯性系中保持同一形式。对任意多粒子系统定义总四动量 $P_{\mathrm{tot}}^\mu=(E_{\mathrm{tot}}/c,\boldsymbol p_{\mathrm{tot}})$ ，系统不变质量 $M$ 满足

M^2c^4 =E_{\mathrm{tot}}^2-p_{\mathrm{tot}}^2c^2.

$M$ 不一定等于各粒子静质量之和；相对动能、束缚能和内部激发都会进入系统静能。在质心系中 $\boldsymbol p_{\mathrm{tot}}=0$ ，所以 $E_{\mathrm{CM}}=Mc^2$ 。

例 3：对撞并粘合后的复合静质量

两个静质量均为 $m$ 的粒子在质心系中以速度 $+0.600c$ 和 $-0.600c$ 对撞，并形成静止复合物，忽略向外辐射。每个粒子 $\gamma=1.25$ ，总三动量为零，总能量为 $2\gamma mc^2$ 。能量守恒给

Mc^2=2\gamma mc^2, \qquad M=2.50m.

复合静质量大于 $2m$ ，差值 $0.50m$ 对应原相对动能转成的内部能量。若形成过程中发射光子，必须把光子四动量也纳入守恒，复合质量会相应减小。

质心速度与不变量 $s$

对总四动量类时的孤立系统，质心系满足 $\boldsymbol p_{\mathrm{tot}}'=0$ 。若实验室总能量和总动量同向一维，质心速度为

V_{\mathrm{CM}}=\frac{c^2p_{\mathrm{tot}}}{E_{\mathrm{tot}}},

其大小低于 $c$ 。高能物理常定义

s=(P_1+P_2)^\mu(P_1+P_2)_\mu, \qquad E_{\mathrm{CM}}=c\sqrt s.

在本章单位下 $s$ 的单位是动量平方， $c\sqrt s$ 为焦耳。若使用自然单位 $c=1$ ，文献常把 $s$ 直接写成能量平方；转换回 SI 时必须恢复 $c$ 因子。

固定靶碰撞中，一个入射粒子的部分能量不可避免地成为质心整体动能。以质量都为 $m$ 的入射粒子和静止靶为例，

s=2m^2c^2+2mE_{\mathrm{beam}},

其中 $E_{\mathrm{beam}}$ 是入射粒子总能量。高能极限下 $E_{\mathrm{CM}}\propto\sqrt{E_{\mathrm{beam}}}$ 。对称对撞束则可令质心静止，两个束流能量几乎全部进入 $E_{\mathrm{CM}}$ 。

两体衰变与阈值思想

若静止母粒子质量为 $M$ ，衰变成两个无质量粒子，初始三动量为零要求末态两动量大小相等、方向相反。能量守恒给

E_1=E_2=\frac{Mc^2}{2}, \qquad p_1=p_2=\frac{Mc}{2}.

例 4：静止母粒子的双光子衰变

取 $M=1.00\times10^{-27}\,\mathrm{kg}$ 。母粒子静能为

Mc^2\approx8.99\times10^{-11}\,\mathrm J.

每个光子能量为 $4.49\times10^{-11}\,\mathrm J$ ，动量大小为

p=\frac E c\approx1.50\times10^{-19}\, \mathrm{kg\,m\,s^{-1}}.

两光子必须背对背，才能使总三动量为零。只守恒能量而让它们同向发射，会留下非零总动量，不能匹配静止母粒子。

碰撞阈值问题应先构造总四动量不变量 $s=P_{\mathrm{tot}}^2$ 。实验室中把更多能量投入质心整体运动，不一定可用于产生新静质量；质心系能量才直接决定末态质量下限。这解释了对撞机相较固定靶更有效利用束流能量的原因。

一般静止母粒子 $M$ 衰变为静质量 $m_1,m_2$ 的两个粒子时，两者三动量背对背且大小相同。由四动量守恒可得

E_1=\frac{M^2+m_1^2-m_2^2}{2M}c^2, \qquad E_2=\frac{M^2+m_2^2-m_1^2}{2M}c^2.

要求 $M\ge m_1+m_2$ 才有实动量。等号对应阈值，末态在母粒子静止系没有相对动能；若 $M<m_1+m_2$ ，仅靠该孤立衰变不可能产生更大静质量总和。

电磁场张量约定

取四势

A^\mu=(\phi/c,\boldsymbol A),

并定义

F^{\mu\nu}=\partial^\mu A^\nu-\partial^\nu A^\mu.

在本章 $(+,-,-,-)$ 号型和 SI 单位下采用矩阵

F^{\mu\nu}= \begin{pmatrix} 0&-E_x/c&-E_y/c&-E_z/c\\ E_x/c&0&-B_z&B_y\\ E_y/c&B_z&0&-B_x\\ E_z/c&-B_y&B_x&0 \end{pmatrix}.

它反对称，统一包含 $\boldsymbol E$ 与 $\boldsymbol B$ 。带电粒子的协变 Lorentz 力写为

\frac{\mathrm dP^\mu}{\mathrm d\tau} =qF^\mu{}_{\nu}U^\nu,

对应三维形式 $\mathrm d\boldsymbol p/\mathrm dt=q(\boldsymbol E+\boldsymbol v\times\boldsymbol B)$ 。若改用不同度规、四势或 $F^{0i}$ 符号约定，矩阵与四力公式必须成套调整。

电荷与电流也组成四流

J^\mu=(c\rho_q,\boldsymbol J),

$\rho_q$ 单位为 $\mathrm{C\,m^{-3}}$ ， $\boldsymbol J$ 为 $\mathrm{A\,m^{-2}}$ ，故 $c\rho_q$ 与 $J$ 都具有 $\mathrm{A\,m^{-2}}$ 。电荷守恒写成协变连续性方程

\partial_\mu J^\mu=0.

总电荷是 Lorentz 不变量，但电荷密度与电流会因长度收缩和同时面改变而混合。某惯性系中整体电中性的载流导线，在另一运动系中可出现非零局部电荷密度；相应电场与磁场变换共同保证带电粒子所受四力一致。

惯性系之间的电磁场变换

令 $S'$ 相对 $S$ 以速度 $\boldsymbol v$ 运动。平行于 $\boldsymbol v$ 的分量满足

\boldsymbol E_\parallel'=\boldsymbol E_\parallel, \qquad \boldsymbol B_\parallel'=\boldsymbol B_\parallel,

垂直分量为

\boldsymbol E_\perp' =\gamma(\boldsymbol E+\boldsymbol v\times\boldsymbol B)_\perp,

\boldsymbol B_\perp' =\gamma\left(\boldsymbol B-\frac{\boldsymbol v\times\boldsymbol E}{c^2}\right)_\perp.

电场单位为 $\mathrm{V\,m^{-1}}$ ， $vB$ 也为 $\mathrm{V\,m^{-1}}$ ；磁场单位为特斯拉， $vE/c^2$ 同为特斯拉。两个 Lorentz 不变量可写为

\boldsymbol E^2-c^2\boldsymbol B^2, \qquad \boldsymbol E\cdot\boldsymbol B.

它们帮助判断是否存在某个惯性系使纯电场或纯磁场消失，但仅凭一个不变量不足以确定完整变换。

例 5：纯磁场在运动系中出现电场

$S$ 中 $\boldsymbol E=0$ ， $\boldsymbol B=0.200\widehat{\boldsymbol z}\,\mathrm T$ 。 $S'$ 以 $\boldsymbol v=0.600c\widehat{\boldsymbol x}$ 运动， $\gamma=1.25$ 。因 $\boldsymbol v\times\boldsymbol B$ 指向 $-y$ ，

\boldsymbol E'=-\gamma vB\widehat{\boldsymbol y} \approx-4.50\times10^7\widehat{\boldsymbol y}\, \mathrm{V\,m^{-1}},

\boldsymbol B'=\gamma B\widehat{\boldsymbol z} =0.250\widehat{\boldsymbol z}\,\mathrm T.

$\boldsymbol E'\cdot\boldsymbol B'=0$ ，且 $E'^2-c^2B'^2=-c^2B^2$ ，与原系一致。运动观察者看到电场和磁场重新组合，不表示原系“漏掉”了某种力。

场不变量给出的分类边界

若 $\boldsymbol E\cdot\boldsymbol B\ne0$ ，任何 Lorentz boost 后该点的两场仍不可能有一个完全为零，因为点积不变量不会变成零。若点积为零且 $E^2-c^2B^2>0$ ，称电型区域，可找到局部惯性系使 $\boldsymbol B'=0$ ；若该差小于零，称磁型区域，可找到 $\boldsymbol E'=0$ 的系。若两个不变量都为零但场非零，则是辐射型，满足 $E=cB$ 且两场正交，不能 boost 成纯电或纯磁静场。

这些判断是某个时空点的局部代数分类。即使每一点都属电型，使 $B$ 局部消失所需的速度也可能随位置变化，未必存在一个全局惯性系同时消去整个区域的磁场。场的空间导数和源分布还要满足 Maxwell 方程。

常见误区

“ $E=mc^2$ 是任何运动粒子的总能量。”该式是静止能；运动粒子总能量为 $E=\gamma mc^2$ ，并满足完整能量—动量关系。

常见误区

“非弹性碰撞不守恒质量，所以能量丢失。”封闭系统总四动量守恒；内部能量会改变复合系统不变质量，不能只相加组成粒子的静质量。

常见误区

“电场和磁场只是同一个量，所以任何场都能变换成纯电或纯磁。”场张量统一二者，但两个不变量限制可消去的分量，并非任意配置都可纯化。

练习：四动量与场变换

练习

所属知识: 四速度范数
难度: 2/5

证明任意有质量粒子的四速度范数为 $c^2$ ，并核对各分量单位。

查看提示

代入

U=\gamma(c,v)

，使用

\gamma^{2}(1-\beta^{2})=1

。

查看解答

U\cdot U=\gamma^{2}(c^{2}-v^{2})=\gamma^{2}c^{2}(1-\beta^{2})=c^{2}

。时间分量

\gamma c

与空间分量

\gamma v

单位均为

m\cdot s^{-1}

。

练习

所属知识: 动能低速极限
难度: 3/5

把 $K=(\gamma-1)mc^2$ 展开到 $v^4/c^2$ 阶，并识别经典项。

查看提示

将

\gamma

展开到

\beta^{4}

，再乘

mc^{2}

。

查看解答

\gamma-1=\beta^{2}/2+3\beta^{4}/8+O(\beta^{6})

，故

K=mv^{2}/2+3mv^{4}/(8c^{2})+O(v^{6}/c^{4})

。第一项恢复经典动能。

练习

所属知识: 无质量粒子
难度: 2/5

推导无质量粒子的 $E=pc$ ，并求能量 $3.00\times10^{-19}\,\mathrm J$ 光子的动量。

查看提示

在能量动量关系中令 m=0，并取正能量。

查看解答

m=0 给

E^{2}=p^{2}c^{2}

，正能量支取 E=pc。若光子能量为

3.00\times 10^{-19} J

，则

p=E/c\approx 1.00\times 10^{-27} kg\cdot m\cdot s^{-1}

。

练习

所属知识: 系统不变质量
难度: 4/5

比较两个同向光子与两个反向光子的系统不变质量，光子能量分别为 $E_1,E_2$ 。

查看提示

先相加总能量和总三动量，再用

M^{2}c^{4}=E_{tot}^{2}-p_{tot}^{2}c^{2}

。

查看解答

两个同向光子能量

E_{1},E_{2}

时

p_{tot}=(E_{1}+E_{2})/c

，故 M=0；若反向，则

p_{tot}=(E_{1}-E_{2})/c

，得到

M^{2}c^{4}=(E_{1}+E_{2})^{2}-(E_{1}-E_{2})^{2}=4E_{1}E_{2}

，所以

M=2\sqrt{E_{1}E_{2}}/c^{2}

。

练习

所属知识: 阈值与质心系
难度: 4/5

说明两粒子末态的质心系阈值能量为何为 $(m_1+m_2)c^2$ ，以及实验室总能量为何不能直接等同阈值可用能量。

查看提示

质心系末态阈值时各产物相对动量为零，总能量等于静能之和。

查看解答

若末态静质量为

m_{1},m_{2}

，在质心系阈值满足

E_{CM,\mathrm{min}}=(m_{1}+m_{2})c^{2}

。实验室总能量还可能含质心整体动能，不能全部用于产生静质量；应以

P_{tot}^{2}

不变量判断。

练习

所属知识: 场不变量
难度: 4/5

用两个场不变量分类 $\boldsymbol E\perp\boldsymbol B$ 时 $E>cB$ 、 $E<cB$ 与 $E=cB$ 三种情况。

查看提示

先算

E\cdot B

和

E^{2}-c^{2}B^{2}

；若要存在纯电场系，后者应为正且两场正交。

查看解答

若

E\perp B

、E>cB，则两个不变量为

E\cdot B=0

、

E^{2}-c^{2}B^{2}>0

，存在适当 boost 可使

B'=0

；若 E<cB 则可存在

E'=0

的纯磁场系。

E=cB

且正交对应零不变量的辐射型场，不能变成纯静电或纯磁。

知识连接与后续路线

Lorentz 变换与时空间隔提供度规、固有时和四矢量变换。
动量、冲量与碰撞的经典守恒在此扩展为总四动量守恒。
介质、能流与电磁学综合复习提供 Lorentz 力与 Maxwell 场的三维内容。
张量、联络与曲率将把平直四矢量推广到弯曲时空切空间。
黑洞、宇宙学与相对论综合复习将联合四动量、曲率和场方程分析高能与引力现象。

课程 · 2024

Introduction to Relativity and Spacetime Physics

Scott Hughes

用于核对 P08 的 Lorentz 变换、时空间隔、四动量、相对论电磁学、等效原理和弱场观测例题。

打开官方来源

MIT OpenCourseWare 8.033 覆盖四动量、相对论碰撞和协变电磁学，可用于核对本章号型与变换。后续进入张量、联络和曲率时，平直度规将由位置相关度规取代，但局部惯性系仍恢复本章关系。

继续使用同一时空约定

四速度与四动量

能量—动量不变量与低速极限

四力、三力与功率

固有加速度与恒定推力边界

作用量、正则动量与机械动量

四动量守恒与系统不变质量

质心速度与不变量 sss

两体衰变与阈值思想

电磁场张量约定

惯性系之间的电磁场变换

场不变量给出的分类边界

常见误区

练习：四动量与场变换

知识连接与后续路线

Introduction to Relativity and Spacetime Physics

质心速度与不变量 $s$