One Forth

P12 · 第 3 章 · 第二编 量子场与相互作用

自由场量子化与粒子解释

把自由标量场和 Dirac 场分解为独立动量模，以等时对易或反对易关系建立产生湮灭算符与 Fock 空间，处理真空零点能和正规序，并由时间有序二点函数得到自由传播子及粒子解释的适用边界。

难度 5/5约 210 分钟最近修订 2026-07-14
报告页面错误
预备知识Klein–Gordon 场与 Dirac 场微扰、变分与量子力学综合复习傅里叶方法与偏微分方程综合复习

本章目标

  1. 在固定度规、自然单位和周期边界下写出自由场模展开及归一。
  2. 由等时正则对易关系推导玻色产生湮灭算符代数和 Fock 态。
  3. 用反对易关系量子化 Dirac 场，并解释反粒子与 Pauli 占据。
  4. 区分零点能、正规序和可观测真空能差，避免把形式减法当作普遍物理结论。
  5. 从时间有序二点函数得到自由传播子，并说明粒子解释依赖的时空和相互作用条件。
页面阅读位置0% · 仅保存在此浏览器
章节未开始
本册完成进度0/6 章 · 0%
本页目录

约定、单位与有限盒

本章采用 Minkowski 度规

ημν=diag⁡(+1,−1,−1,−1),\eta_{\mu\nu}=\operatorname{diag}(+1,-1,-1,-1),

并在推导中取自然单位 ℏ=c=1\hbar=c=1。于是质量、能量和三动量都用 eV、MeV 或 GeV，时间和长度用能量倒数。恢复 SI 时，色散关系为 Ep=p2c2+m2c4E_{\boldsymbol p}=\sqrt{p^2c^2+m^2c^4}，相位写成 (Et−p⋅x)/ℏ(Et-\boldsymbol p\cdot\boldsymbol x)/\hbar。同一公式不能一部分用自然单位、一部分保留 SI 的 cc 和 ℏ\hbar。

为避免连续 delta 函数的形式发散，先把场放在体积 V=LxLyLzV=L_xL_yL_z 的盒中，并取周期边界

ϕ(t,x+Liei)=ϕ(t,x).\phi(t,\boldsymbol x+L_i\boldsymbol e_i)=\phi(t,\boldsymbol x).

允许波矢 ki=2πni/Lik_i=2\pi n_i/L_i，动量为 p=ℏk\boldsymbol p=\hbar\boldsymbol k；自然单位下常把二者都记作 p\boldsymbol p。有限盒求和满足

1V∑plongrightarrow∫d3p(2π)3\frac1V\sum_{\boldsymbol p}longrightarrow \int\frac{\mathrm d^3p}{(2\pi)^3}

的连续极限。周期边界是体态计数工具，真实边界或曲面会改变模函数和零点能谱，不能在研究边界效应时继续忽略。

自由实标量场是无穷多个振子

实标量场 Lagrange 密度取

L=12∂μϕ ∂μϕ−12m2ϕ2.\mathcal L=\frac12\partial_\mu\phi\,\partial^\mu\phi -\frac12m^2\phi^2.

共轭动量为 π=∂L/∂ϕ˙=ϕ˙\pi=\partial\mathcal L/\partial\dot\phi=\dot\phi，Hamilton 密度

H=12π2+12(∇ϕ)2+12m2ϕ2.\mathcal H=\frac12\pi^2+\frac12(\nabla\phi)^2+\frac12m^2\phi^2.

场方程 (□+m2)ϕ=0(\Box+m^2)\phi=0 的每个动量模频率

Ep=p2+m2.E_{\boldsymbol p}=\sqrt{\boldsymbol p^2+m^2}.

由于实场满足 Fourier 系数的共轭条件，正频和负频部分不是两套独立自由度。量子化后的连续模展开选为

ϕ(x)=∫d3p(2π)312Ep[a(p)e−ip⋅x+a†(p)eip⋅x],\phi(x)=\int\frac{\mathrm d^3p}{(2\pi)^3} \frac1{\sqrt{2E_{\boldsymbol p}}} \left[a(\boldsymbol p)e^{-ip\cdot x} +a^\dagger(\boldsymbol p)e^{ip\cdot x}\right],

其中 p0=Ep>0p^0=E_{\boldsymbol p}>0、p⋅x=Et−p⋅xp\cdot x=Et-\boldsymbol p\cdot\boldsymbol x。1/2E1/\sqrt{2E} 因子与后面的算符归一配套；换一种因子时，对易关系和单粒子态归一必须一起改变。

例 1：有限盒中一个标量模的频率与能量阶梯

一维周期长度 LL 的允许波数为 kn=2πn/Lk_n=2\pi n/L。恢复 cc 与 ℏ\hbar 后，质量为 mm 的第 nn 模单粒子能量

En=(ℏckn)2+m2c4.E_n=\sqrt{(\hbar ck_n)^2+m^2c^4}.

该模等价于角频率 ωn=En/ℏ\omega_n=E_n/\hbar 的量子谐振子。占据数 r=0,1,2,…r=0,1,2,\ldots 时模能量为

En,r=(r+12)En.\mathcal E_{n,r}=\left(r+\frac12\right)E_n.

nn 标记空间动量模，rr 标记该模中粒子数，两者不能混为一个量子数。nn 可正可负，而玻色占据 rr 不能为负。

等时对易关系固定模算符代数

把经典场提升为算符值分布，并在同一时刻施加

[ϕ(t,x),π(t,y)]=iδ(3)(x−y),[\phi(t,\boldsymbol x),\pi(t,\boldsymbol y)] =i\delta^{(3)}(\boldsymbol x-\boldsymbol y),
[ϕ(t,x),ϕ(t,y)]=0,[π(t,x),π(t,y)]=0.[\phi(t,\boldsymbol x),\phi(t,\boldsymbol y)]=0, \qquad [\pi(t,\boldsymbol x),\pi(t,\boldsymbol y)]=0.

代入模展开得到

[a(p),a†(q)]=(2π)3δ(3)(p−q),[a(\boldsymbol p),a^\dagger(\boldsymbol q)] =(2\pi)^3\delta^{(3)}(\boldsymbol p-\boldsymbol q),

其余同类对易为零。这里 delta 函数单位为动量的负三次方，正好补偿连续模算符的归一维度。有限盒中对应 [ap,aq†]=δpq[a_{\boldsymbol p},a^\dagger_{\boldsymbol q}]=\delta_{\boldsymbol p\boldsymbol q}。

对空间分离的两点，局域相对论理论要求场可观测量相容，标量场对易子在类空间隔处为零。正频部分单独并不满足这一点；正、负频贡献共同恢复微观因果性。因此不能只保留“粒子波”一半模而仍声称得到完整局域实场。

例 2：模归一如何再现等时 delta 函数

对模展开求时间导数得到 π=ϕ˙\pi=\dot\phi。只保留 [a,a†][a,a^\dagger] 的交叉项，在等时 tt 下有

[ϕ(t,x),π(t,y)]=i2∫d3p(2π)3[eip⋅(x−y)+e−ip⋅(x−y)].[\phi(t,\boldsymbol x),\pi(t,\boldsymbol y)] =\frac i2\int\frac{\mathrm d^3p}{(2\pi)^3} \left[e^{i\boldsymbol p\cdot(\boldsymbol x-\boldsymbol y)} +e^{-i\boldsymbol p\cdot(\boldsymbol x-\boldsymbol y)}\right].

两个积分经 p→−p\boldsymbol p\to-\boldsymbol p 相等，结果为

i∫d3p(2π)3eip⋅(x−y)=iδ(3)(x−y).i\int\frac{\mathrm d^3p}{(2\pi)^3} e^{i\boldsymbol p\cdot(\boldsymbol x-\boldsymbol y)} =i\delta^{(3)}(\boldsymbol x-\boldsymbol y).

若模展开漏掉 1/2E1/\sqrt{2E}，剩余积分会多出能量因子，无法得到正则 delta 函数。

真空与玻色 Fock 空间

真空定义为

a(p)∣0⟩=0a(\boldsymbol p)|0\rangle=0

对所有动量成立。有限盒中单模数算符 Np=ap†apN_{\boldsymbol p}=a^\dagger_{\boldsymbol p}a_{\boldsymbol p}，归一占据态

∣np⟩=(ap†)nn!∣0⟩.|n_{\boldsymbol p}\rangle =\frac{(a^\dagger_{\boldsymbol p})^n}{\sqrt{n!}}|0\rangle.

梯算符作用为

a†∣n⟩=n+1∣n+1⟩,a∣n⟩=n∣n−1⟩.a^\dagger|n\rangle=\sqrt{n+1}|n+1\rangle, \qquad a|n\rangle=\sqrt n|n-1\rangle.

全 Fock 空间是所有动量模占据数组的直和，允许粒子总数改变。相同标量粒子的多粒子波函数自动对称；这不是另加的统计假设，而是产生算符彼此对易的结果。

连续归一下 ∣p⟩=a†(p)∣0⟩|\boldsymbol p\rangle=a^\dagger(\boldsymbol p)|0\rangle 满足

⟨q∣p⟩=(2π)3δ(3)(p−q).\langle\boldsymbol q|\boldsymbol p\rangle =(2\pi)^3\delta^{(3)}(\boldsymbol p-\boldsymbol q).

散射理论也常用协变归一 ⟨q∣p⟩=(2π)32Epδ(3)(p−q)\langle q|p\rangle=(2\pi)^32E_{\boldsymbol p}\delta^{(3)}(\boldsymbol p-\boldsymbol q)，相当于重定义单粒子态。外腿因子、相空间测度和振幅定义必须与所选归一一致。

例 3：两模玻色 Fock 态的能量和占据

有限盒中取两个不同模 p\boldsymbol p、q\boldsymbol q，态

∣2p,1q⟩=(ap†)22!aq†∣0⟩.|2_{\boldsymbol p},1_{\boldsymbol q}\rangle =\frac{(a^\dagger_{\boldsymbol p})^2}{\sqrt{2!}} a^\dagger_{\boldsymbol q}|0\rangle.

数算符给 Np=2N_{\boldsymbol p}=2、Nq=1N_{\boldsymbol q}=1。去掉真空常数后的自由能量为

E=2Ep+Eq,E=2E_{\boldsymbol p}+E_{\boldsymbol q},

总动量为 2p+q2\boldsymbol p+\boldsymbol q。因为两个 p\boldsymbol p 粒子不可区分，归一需有 1/2!1/\sqrt{2!}；漏掉会使态范数为二。

复标量场、反粒子与守恒荷

实标量场等于自身共轭，一个产生算符族已经包含全部粒子。带全局 U(1)U(1) 相位对称的复标量场则写成

ϕ(x)=∫d3p(2π)32Ep[a(p)e−ipx+b†(p)eipx],\phi(x)=\int\frac{\mathrm d^3p}{(2\pi)^3\sqrt{2E_{\boldsymbol p}}} \left[a(\boldsymbol p)e^{-ipx}+b^\dagger(\boldsymbol p)e^{ipx}\right],

a†a^\dagger 产生粒子，b†b^\dagger 产生反粒子。正规序后的守恒荷具有结构

Q=q∫d3p(2π)3[a†a−b†b].Q=q\int\frac{\mathrm d^3p}{(2\pi)^3} \left[a^\dagger a-b^\dagger b\right].

粒子和反粒子质量相同、荷相反。正负频模式都需要保留，但“负频”不等于探测器测得负能量；Hamiltonian 中两类占据都贡献正的 EpE_{\boldsymbol p}。实场没有独立 U(1)U(1) 荷，常被描述为中性、自共轭粒子。

荷算符与场的对易生成相位变换，说明内部对称性和粒子量子数由同一算符代数联系。若相互作用保持该 U(1)U(1)，过程可以改变粒子总数，却必须保持粒子数减反粒子数对应的净荷；“粒子数守恒”与“荷守恒”不是同一命题。

场的量纲与经典波极限

自然单位中作用量 S=∫d4x LS=\int\mathrm d^4x\,\mathcal L 无量纲，四维 Lagrange 密度质量量纲为四。由动能项可知标量场质量量纲为一，Dirac 场为 3/23/2。这里的“质量量纲”指随能标缩放的幂，不是 SI 单位 kg。恢复 SI 时场归一还含 ℏ,c\hbar,c，因此比较不同资料的场数值前必须先确认作用量和模展开约定。

玻色场的经典波行为可由相干态描述。单模相干态满足

a∣α⟩=α∣α⟩,a|\alpha\rangle=\alpha|\alpha\rangle,

其平均占据 ⟨N⟩=∣α∣2\langle N\rangle=|\alpha|^2，场算符期望值按经典振子轨迹演化。相干态不是固定粒子数态，而是不同占据数的叠加；占据很大时相对数涨落约 1/⟨N⟩1/\sqrt{\langle N\rangle}，经典场近似更好。占据大并非唯一经典极限条件，退相干、观测尺度和相互作用也会影响。

费米模因占据最多一，不能以同样单模大占据构造经典 c 数场。费米路径积分使用 Grassmann 变量只是计算表示，不表示实验中的 Dirac 场取普通反交换数值。

Hamiltonian、零点能与正规序

把模展开代入 Hamiltonian，有限盒形式为

H=∑pEp(ap†ap+12).H=\sum_{\boldsymbol p}E_{\boldsymbol p} \left(a^\dagger_{\boldsymbol p}a_{\boldsymbol p}+\frac12\right).

真空能 E0=12∑pEpE_0=\frac12\sum_{\boldsymbol p}E_{\boldsymbol p} 在连续极限紫外发散。正规序把所有产生算符移到湮灭算符左侧，并对玻色算符写

:H:=∑pEpap†ap,:H:=\sum_{\boldsymbol p}E_{\boldsymbol p}a^\dagger_{\boldsymbol p}a_{\boldsymbol p},

相当于在平直时空自由理论中选择真空能零点。没有引力且只比较能量差时，常数平移不影响动力学。边界改变造成的真空能差、弯曲时空应力能张量以及引力对绝对能量密度的响应不能靠一句“正规序为零”普遍解决，需要一致正则化、重整化和物理参考态。

正规序也不是把所有量子修正删除。相互作用理论的真空泡、质量修正和复合算符仍会出现发散；后续需要按可观测量定义重整化条件。

任何实际正则化都要附加尺度：动量截断 Λ\Lambda、有限晶格间距或维数延拓参数。截断可让中间表达有限，却通常破坏部分对称性；最终结果应以重整化参数表达，并检查可观测量在所需精度内不依赖任意正则化细节。把一个很大的有限截断和“已消除发散”混为一谈，会把数值选择伪装成物理预测。

Dirac 场为何使用反对易关系

自由 Dirac 场含粒子和反粒子模：

ψ(x)=∑s∫d3p(2π)312Ep[bs(p)us(p)e−ip⋅x+ds†(p)vs(p)eip⋅x].\psi(x)=\sum_s\int\frac{\mathrm d^3p}{(2\pi)^3} \frac1{\sqrt{2E_{\boldsymbol p}}} \left[b_s(\boldsymbol p)u_s(\boldsymbol p)e^{-ip\cdot x} +d_s^\dagger(\boldsymbol p)v_s(\boldsymbol p)e^{ip\cdot x}\right].

bdaggerb^dagger 产生粒子，ddaggerd^dagger 产生反粒子，ss 标记自旋。等时正则关系取

{ψα(t,x),ψβ†(t,y)}=δαβδ(3)(x−y),\{\psi_\alpha(t,\boldsymbol x), \psi_\beta^\dagger(t,\boldsymbol y)\} =\delta_{\alpha\beta}\delta^{(3)}(\boldsymbol x-\boldsymbol y),

从而

{bs(p),bs′†(q)}=(2π)3δss′δ(3)(p−q),\{b_s(\boldsymbol p),b_{s'}^\dagger(\boldsymbol q)\} =(2\pi)^3\delta_{ss'}\delta^{(3)}(\boldsymbol p-\boldsymbol q),

dd 算符同理，其余反对易为零。单个模有 (bdagger)2=0(b^dagger)^2=0，所以同一量子态最多一个相同费米子。负频解被解释为正能反粒子产生，而不是允许任意下降的负能粒子。

费米算符换序会产生负号。多费米子态必须固定算符排序约定；交换两个外部费米子会改变振幅符号。概率仍由完整振幅绝对值平方得到，符号通过不同过程的干涉产生可观测影响。

例 4：一个费米模只有空与占据两态

设单模满足 {b,b†}=1\{b,b^\dagger\}=1、b∣0⟩=0b|0\rangle=0。一粒子态 ∣1⟩=b†∣0⟩|1\rangle=b^\dagger|0\rangle，而

(b†)2=12{b†,b†}=0.(b^\dagger)^2 =\frac12\{b^\dagger,b^\dagger\}=0.

数算符 N=b†bN=b^\dagger b 满足 N∣0⟩=0N|0\rangle=0、N∣1⟩=∣1⟩N|1\rangle=|1\rangle。因此占据只能为零或一。反粒子模 dd 另有一套零或一占据，不应与粒子模合并为“最多一个粒子或反粒子”。

时间有序二点函数与自由传播子

实标量 Feynman 传播子定义为

DF(x−y)=⟨0∣T{ϕ(x)ϕ(y)}∣0⟩.D_F(x-y)=\langle0|T\{\phi(x)\phi(y)\}|0\rangle.

按本章约定，它的动量表示为

DF(x−y)=∫d4p(2π)4i e−ip⋅(x−y)p2−m2+iϵ.D_F(x-y)=\int\frac{\mathrm d^4p}{(2\pi)^4} \frac{i\,e^{-ip\cdot(x-y)}}{p^2-m^2+i\epsilon}.

iϵi\epsilon 规定能量积分绕过极点的方式，并实现时间有序边界条件。它满足

(□x+m2)DF(x−y)=−iδ(4)(x−y).(\Box_x+m^2)D_F(x-y)=-i\delta^{(4)}(x-y).

传播子是自由场算符二点相关和线性算符的 Green 函数，不是一个可直接测量的经典粒子概率。其极点 p2=m2p^2=m^2 对应自由单粒子壳，分母离壳部分则在内部线和相关函数中出现。

Dirac 传播子为

SF(x−y)=∫d4p(2π)4i(̸ ⁣p+m)e−ip⋅(x−y)p2−m2+iϵ,S_F(x-y)=\int\frac{\mathrm d^4p}{(2\pi)^4} \frac{i(\not\!p+m)e^{-ip\cdot(x-y)}}{p^2-m^2+i\epsilon},

并满足相应一阶 Dirac Green 方程。分子 ̸ ⁣p+m\not\!p+m 编码自旋结构，不能把标量传播子分母直接当作完整费米内线。

例 5：传播子作用一次场算符得到点源

对标量动量积分作用 (□x+m2)(\Box_x+m^2)。由于

□xe−ip⋅(x−y)=−p2e−ip⋅(x−y),\Box_x e^{-ip\cdot(x-y)}=-p^2e^{-ip\cdot(x-y)},

积分核被乘以 m2−p2m^2-p^2。在分布和 iϵi\epsilon 约定下，分母消去后得到

−i∫d4p(2π)4e−ip⋅(x−y)=−iδ(4)(x−y).-i\int\frac{\mathrm d^4p}{(2\pi)^4}e^{-ip\cdot(x-y)} =-i\delta^{(4)}(x-y).

等式说明传播子反演的是带 Feynman 边界条件的 Klein–Gordon 算符。若采用把传播子定义多乘或少乘 ii 的教材约定，右侧也会相应改变，必须整套保持一致。

粒子解释的边界

自由、平直且具有全局时间平移对称的时空允许按正频率唯一选择真空，并把 a†a^\dagger 作用解释为稳定粒子。相互作用开启后，精确 Hamiltonian 的本征态不再等于自由 Fock 态；散射理论通常假设遥远过去和未来存在可辨认的渐近粒子。束缚态和不稳定共振需要从相关函数极点与谱密度识别，不能简单等同某个基本场算符产生的一粒子态。

时变背景或一般弯曲时空中，正负频率分解可能依赖观察者和所选时间，两个自然真空可由 Bogoliubov 变换联系并给出不同粒子数。规范场还含冗余分量，物理 Hilbert 空间必须施加约束或处理规范固定与幽灵；不能把四个势分量都当独立可观测粒子偏振。

场本身比粒子概念更基础：局域相关函数、守恒荷和散射可观测量在粒子解释模糊时仍可定义。粒子数算符也通常不是相互作用相对论场论中的局域守恒量。

量子化就是把经典场值改成离散数
量子化提升的是场及共轭动量的算符代数；场幅本征值可连续，离散的是给定自由模的占据数。
正规序证明真空没有任何物理效应
正规序选择了特定自由真空的能量零点，边界差、引力耦合和相互作用重整化仍需单独处理。
传播子表示粒子以某概率沿一条经典路径传播
传播子是时间有序二点函数和 Green 函数；内部动量可离壳，最终概率来自完整振幅及相空间。

练习

练习 1：有限盒归一
所属知识
模计数
难度
2/5
写出三维周期盒的允许模及求和到积分规则。
查看提示
周期边界给 ki=2πni/Lik_i=2\pi n_i/L_i，连续极限每态占 (2π)3/V(2\pi)^{3}/V。
查看解答
允许动量格点间隔由盒长决定，(1/V)Σp(1/V)\Sigma_p 在大盒极限变为 ∫d3p/(2π)3\int d^{3}p/(2\pi)^{3}；边界改变时有限尺寸谱会变。
练习 2：玻色梯算符
所属知识
Fock 空间
难度
3/5
推导单模玻色梯算符作用系数。
查看提示
反复使用 [a,a†]=1[a,a^{\dagger}]=1 把 a 移过 (a†)n(a^{\dagger})^n。
查看解答
a(a†)n∣0⟩=n(a†)n−1∣0⟩a(a^{\dagger})^n|0\rangle=n(a^{\dagger})^{n-1}|0\rangle，结合 1/n!1/\sqrt{n!} 归一得 a∣n⟩=n∣n−1⟩a|n\rangle=\sqrt{n}|n-1\rangle，产生算符同理给 n+1\sqrt{n+1}。
练习 3：真空能
所属知识
正规序
难度
3/5
说明自由标量真空能的来源及正规序适用范围。
查看提示
每个自由玻色模贡献 Ep/2E_p/2，再讨论能量差与引力。
查看解答
E0=(1/2)ΣpEpE_{0}=(1/2)\Sigma_p E_p 在连续极限发散；平直自由理论中正规序减去该常数，但边界真空能差和引力源不能据此自动置零。
练习 4：费米占据
所属知识
反对易
难度
2/5
证明单个费米模不能容纳两个相同粒子。
查看提示
由 b†,b†=0{b^{\dagger},b^{\dagger}}=0 得 (b†)2=0(b^{\dagger})^{2}=0。
查看解答
同一模连续产生两次为零，数算符本征值只有零和一；反粒子是独立 d 模，也各自满足 Pauli 限制。
练习 5：传播子方程
所属知识
Green 函数
难度
3/5
验证标量 Feynman 传播子的点源方程。
查看提示
让 □+m2+m^{2} 作用在指数并与分母 p2−m2p^{2}-m^{2} 比较。
查看解答
按本章定义得到 (□+m2)DF=−iδ4+m^{2})D_F=-i\delta^{4}；若传播子定义改变整体 i，点源方程也要同步改变。
练习 6：粒子概念何时可靠
所属知识
适用边界
难度
4/5
列出把产生算符态解释为可探测粒子的条件。
查看提示
检查时间平移、渐近自由态、稳定极点和规范约束。
查看解答
平直静态背景的自由稳定场最清楚；强相互作用、时变背景、弯曲时空、不稳定共振和规范冗余都要求用相关函数或物理子空间细化。

关系与资源

课程 · 2023

Relativistic Quantum Field Theory I

Hong Liu

用于核对 P12 的场作用量、相对论场方程、自由场量子化、相互作用展开、散射规则和规范不变性。

打开官方来源

MIT OpenCourseWare 8.323 覆盖自由标量与 Dirac 场、正则量子化、传播子和微扰理论，可用于核对本章度规、模归一和 iϵi\epsilon 约定。不同资料采用的度规和传播子整体 ii 可能不同，比较时应以整套定义而非孤立公式为单位。