测量、对易关系与不确定性

概率针对重复制备的统计集合

量子测量预言的操作对象是重复、独立地制备为同一状态的系统集合。单次实验得到一个结果；大量重复试验的频率才与理论概率比较。期望值不是每次都出现的“隐藏真实读数”，概率分布也不能由一次结果完整反推。

设可观测量 $A$ 为自伴算符，谱分解为

（连续谱时把求和换为投影值测度积分）。$a$ 的单位就是可观测量单位，$\Pi_a$ 无量纲并满足

Born 规则与投影测量

Born 规则

对归一化纯态 $|\psi\rangle$，测得 $A$ 的结果落在本征值 $a$ 对应子空间的概率为

$$p(a)=\langle\psi|\Pi_a|\psi\rangle =\|\Pi_a|\psi\rangle\|^2.$$

概率无量纲、非负，且 $\sum_ap(a)=1$。若谱不简并，$\Pi_a=|a\rangle\langle a|$，于是 $p(a)=|\langle a|\psi\rangle|^2$。

简并结果只告诉系统落入整个本征子空间，不能凭结果选定其中某个基向量。理想选择性投影测量得到结果 $a$ 后，Lüders 规则给出条件态

或密度算符形式

这只在 $p(a)>0$ 时定义。若记录结果，使用相应条件态；若装置发生测量但结果被丢弃，非选择性测后态为 $\rho'=\sum_a\Pi_a\rho\Pi_a$。两种情形不能混用。

例 1：自旋 z 测量的概率与测后态

在 $S_z$ 基底中，

$$|\psi\rangle =\cos\frac\theta2|0\rangle +e^{i\phi}\sin\frac\theta2|1\rangle.$$

测量 $S_z=(\hbar/2)\sigma_z$，结果 $+\hbar/2$、$-\hbar/2$ 的概率分别为

$$p_+=\cos^2\frac\theta2, \qquad p_-=\sin^2\frac\theta2.$$

取 $\theta=\pi/3$，得到 $p_+=3/4$、$p_-=1/4$，与 $\phi$ 无关。若记录到正结果，测后态为 $|0\rangle$；若只知道测量发生却不知道结果，

$$\rho'=\frac34|0\rangle\langle0| +\frac14|1\rangle\langle1|,$$

原来两个分量间的相干项被去除。$\langle S_z\rangle=\hbar/4$，标准差为 $\Delta S_z=\sqrt3\hbar/4$，单位均为 $\mathrm{J\,s}$。

连续位置测量与概率密度

一维位置测量在区间 $R$ 内的概率为

$|\psi(x)|^2$ 是概率密度，单位为 $\mathrm{m^{-1}}$，不是单点概率。理想连续位置结果恰等于某一个数学点的概率为零，并不表示位置无法测量；真实仪器有有限分辨区间，预测应对相应区间积分。

位置投影后的“精确 delta 态”不属于普通 $L^2$ Hilbert 空间，并会带来无限动量扩展。实际测量由有限宽响应函数描述。把仪器分辨率趋于零的理想极限当作可无代价实现的装置，会混淆数学模型与实验资源。

密度算符：统一纯态与混合态

密度算符

一般量子态由密度算符 $\rho$ 表示，满足

$$\rho^\dagger=\rho, \qquad \rho\ge0, \qquad \operatorname{Tr}\rho=1.$$

测量概率和期望值为

$$p(a)=\operatorname{Tr}(\rho\Pi_a), \qquad \langle A\rangle=\operatorname{Tr}(\rho A).$$

纯态满足 $\rho=|\psi\rangle\langle\psi|$ 与 $\operatorname{Tr}\rho^2=1$；非纯混合态有 $\operatorname{Tr}\rho^2<1$。

同一个密度算符可以有多种纯态系综分解，所以“系统实际上属于哪一个分解中的纯态”不是仅由 $\rho$ 决定的可观测陈述。密度矩阵的非对角元依赖所选基底；相干性必须相对具体可观测量或基底讨论。

例 2：相干叠加与经典混合的区分

相干态 $|+\rangle=(|0\rangle+|1\rangle)/\sqrt2$ 的密度矩阵是

$$\rho_+=\frac12 \begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}.$$

等概率经典混合的密度矩阵为

$$\rho_{\mathrm{mix}}=\frac12|0\rangle\langle0| +\frac12|1\rangle\langle1| =\frac12I.$$

两者测量 $S_z$ 都得到各 $1/2$，但测量 $S_x$ 时，$\rho_+$ 必得 $+\hbar/2$，而 $\rho_{\mathrm{mix}}$ 仍各 $1/2$。差异来自 $z$ 基底的非对角相干项；只查看一个测量基底的频率不足以完成态层析。

更一般的测量：POVM 与测量算符

现实装置可有噪声、有限效率或多个内部输出。一般测量用正算符值测度 $\{E_m\}$ 表示，

$E_m$ 不必互相正交，也不必是投影。若还要描述测后态，可选测量算符 $M_m$ 使 $E_m=M_m^\dagger M_m$，条件态为

同一个 POVM 概率算符可对应不同测量实现和不同测后扰动；仅给 $E_m$ 不能唯一决定状态更新。投影测量是 $M_a=\Pi_a$ 的特殊情形。

对不保留结果的测量，量子通道为

完备条件 $\sum_mM_m^\dagger M_m=I$ 保证 $\operatorname{Tr}\mathcal E(\rho)=1$。若每个结果还有多个未分辨的内部通道，需要用 $M_{m\alpha}$ 求和；只保留一个随意选择的算符可能破坏正性或归一化。

例 3：有限清晰度的二元自旋读出

定义

$$E_+=\frac12(I+\eta\sigma_z), \qquad E_-=\frac12(I-\eta\sigma_z), \qquad 0\le\eta\le1.$$

两算符本征值为 $(1\pm\eta)/2$，因此均为正，且 $E_++E_-=I$。对 $|0\rangle$，

$$p(+)=\frac{1+\eta}{2}, \qquad p(-)=\frac{1-\eta}{2}.$$

若 $\eta=0.80$，正确标记正结果的概率为 $0.90$；$\eta=1$ 恢复理想 $z$ 投影，$\eta=0$ 时输出与状态无关。$0<\eta<1$ 时 $E_\pm$ 不是投影，因为 $E_\pm^2\ne E_\pm$。这些概率还不能唯一指定测后态，需要另给测量算符。

不确定度是状态中的统计分散

对归一化态或密度算符，定义

$\Delta A$ 是同态重复测量结果的标准差，单位与 $A$ 相同。它不是自动等于仪器读数误差，也不等于“测量时把系统碰乱了多少”。仪器误差需要实际值或校准基准与读数差的操作定义；测量扰动则比较测量前后另一个量的统计。三者在特定模型中可相关，但不能用同一符号替代。

若 $A,B$ 为自伴算符，定义中心化算符 $\widetilde A=A-\langle A\rangle$、 $\widetilde B=B-\langle B\rangle$。Cauchy–Schwarz 不等式给

把乘积分成对易子与反对易子，得到更强的 Schrödinger 形式

舍去非负的协方差项，得到

Robertson 不确定关系

$$\boxed{ \Delta A\,\Delta B \ge\frac12|\langle[A,B]\rangle| }.$$

推导要求相关向量与乘积期望存在；对无界算符，$|\psi\rangle$ 必须处在足以定义 $A\psi,B\psi,AB\psi,BA\psi$ 的共同定义域中。

右侧依赖状态，可能为零。$\langle[A,B]\rangle=0$ 不保证两个量对易，也不保证存在共同确定值；此时应检查完整方差或 Schrödinger 协方差项。等号成立要求中心化后的两个态向量线性相关，属于特殊最小不确定态条件。

反对易子项等于对称协方差的平方。若定义

则 Schrödinger 关系写成

即使对易子期望在某态中恰为零，非零协方差仍可给出下界。反过来，两个方差都有限也不保证乘积算符 $AB$、$BA$ 的期望自动存在；无界算符问题必须先核对共同定义域，再写对易子期望。

量子分散与有限样本误差

理论标准差 $\Delta A$ 描述单次结果分布。若独立制备并测量 $M$ 次，以样本均值估计 $\langle A\rangle$，在方差有限时样本均值的标准误差约为

增加重复次数能提高均值估计精度，却不会把每个副本的内禀分布压缩；要减小单次标准差必须改变制备态。若试验之间存在漂移或相关性，$1/\sqrt M$ 缩放也会失效，需把设备噪声和时间相关单独建模。

实验报告应至少区分三项：由量子态给出的理论方差、装置校准和分辨率产生的测量不确定度、有限样本造成的统计置信区间。把三者只写成一个“误差条”会使 Robertson 下界无法被正确检验。

实际核验 Born 预测时还应报告每个结果的计数、总重复次数和装置响应校正。只给归一化百分比会隐藏样本量；只给均值会隐藏分布是否与理论谱一致。概率和偏离一通常提示漏记结果、后选择或归一化错误，而不是新的量子效应。

位置—动量不确定关系与高斯波包

在实线上适当定义域中，

所以

$\Delta x$ 单位为米，$\Delta p$ 为 $\mathrm{kg\,m\,s^{-1}}$，乘积单位为 $\mathrm{J\,s}$，与 $\hbar$ 相同。该关系不是显微镜分辨率的经验乘积，而是由态空间、算符对易关系和方差定义推导出的制备不确定关系。

例 4：饱和位置—动量界的高斯波包

取

$$\psi(x)=\frac1{(2\pi\sigma_x^2)^{1/4}} \exp\left[-\frac{(x-x_0)^2}{4\sigma_x^2} +\frac{ip_0x}{\hbar}\right].$$

其归一化积分为 1，前因子单位为 $\mathrm{m^{-1/2}}$。直接计算得到

$$\langle X\rangle=x_0, \quad \Delta x=\sigma_x, \quad \langle P\rangle=p_0, \quad \Delta p=\frac\hbar{2\sigma_x}.$$

因此 $\Delta x\Delta p=\hbar/2$。若 $\sigma_x=1.00\,\mathrm{nm}$，则

$$\Delta p\approx5.27\times10^{-26}\,\mathrm{kg\,m\,s^{-1}}.$$

减小位置宽度会增大动量宽度，但不强迫平均动量 $p_0$ 改变。非高斯态通常给出更大的乘积。

自旋不确定关系

角动量分量满足

及循环置换，所以

例 5：$S_z$ 本征态中的横向不确定度

对自旋 $1/2$ 的 $|0\rangle$，$S_z|0\rangle=(\hbar/2)|0\rangle$。因为 $S_x^2=S_y^2=(\hbar^2/4)I$，且 $\langle S_x\rangle=\langle S_y\rangle=0$，

$$\Delta S_x=\Delta S_y=\frac\hbar2.$$

左侧为 $\hbar^2/4$；右侧为 $(\hbar/2)|\langle S_z\rangle|=\hbar^2/4$，恰好饱和。与此同时 $\Delta S_z=0$。一个分量确定并不使另两个分量“没有值”，而是它们的重复测量分布具有非零方差。

顺序测量与对易性

若 $A$ 与 $B$ 的谱投影彼此对易，可以构造联合投影并讨论共同概率；有限维中它们可在各简并块内共同对角化。若不对易，先测 $A$ 会按 $\sum_a\Pi_a^A\rho\Pi_a^A$ 改变状态，随后 $B$ 的分布通常不同于直接测 $B$。

顺序概率应按条件更新计算：

交换测量顺序一般改变该数值。不能把经典联合概率表直接套到不对易可观测量，也不能从 Robertson 关系单独推导任意具体仪器的误差—扰动界。

“对易”与“测量装置互不影响”也不是同一句话。对易谱投影允许一个理想联合概率模型，但实际装置仍可能因耦合设计产生额外扰动；不对易则排除了由同一投影值测度精确联合测量的可能，但可以用带噪 POVM 做近似联合测量。近似程度要由具体误差度量说明。

若 $A$ 有简并谱，测量 $A$ 后仍可能保留同一本征子空间内部与 $B$ 有关的信息。只有当使用的精细测量进一步分辨了该子空间，测后态才会额外去除其中相干。写顺序测量题时必须说明装置实现的是 Lüders 投影还是更细的简并分辨测量。

时间—能量关系的边界

在普通非相对论量子力学中，时间通常是外部参数，不一定由与 Hamiltonian 正则共轭的自伴算符表示。因此不能把 $[T,H]=i\hbar$ 当作普遍公设，机械复制 $\Delta t\Delta E\ge\hbar/2$。常见时间—能量关系描述态发生显著变化的特征时间、寿命导致的谱线宽度或参数估计精度，每一种都需要单独定义 $\Delta t$。

Mandelstam–Tamm 型界可由可观测量变化速率导出，但它不是“能量守恒在短时间内可违反”。封闭系统的幺正演化仍严格保持相应能量期望和分布。

常见误区

常见误区

“测量前系统偷偷带着所有可观测量的确定值，只是仪器不知道。”标准量子形式只给态和测量的概率规则；不对易量的联合确定值不能由 Born 规则直接推出。

常见误区

“不确定关系来自仪器粗糙，所以改进显微镜就能同时使 $\Delta x$、$\Delta p$ 任意小。”Robertson 关系约束制备态本身的统计分散，独立于某台仪器的校准误差。

常见误区

“测到简并本征值后必定坍缩到某个指定本征向量。”理想 Lüders 更新投影到整个简并子空间；子空间内部状态由入射态投影和具体测量实现决定。

练习：概率、测后态与不确定度

练习标记完成

所属知识

Born 概率

难度

2/5

对 $|\psi\rangle=(|0\rangle+\sqrt3e^{i\phi}|1\rangle)/2$，求 $\sigma_z$ 两个结果的概率和期望值。

查看提示

在给定正交基底中取振幅模平方，并检查概率和。

查看解答

态 $(|0\rangle+\sqrt{3}e^{i\phi}|1\rangle)/2$ 已归一化。z 测量概率为 1/4 与 3/4，与 $\phi$ 无关；期望 $\langle \sigma_z\rangle=1/4-3/4=-1/2$。

练习标记完成

所属知识

非选择性测量

难度

3/5

推导一般两态 $a|0\rangle+b|1\rangle$ 经非选择性 $z$ 投影测量后的密度矩阵。

查看提示

展开 $\rho=|\psi \rangle \langle \psi |$，再保留 $\Pi_0\rho \Pi_0$ 与 $\Pi_1\rho \Pi_1$。

查看解答

若 $|\psi\rangle=a|0\rangle+b|1\rangle$，非选择性 $z$ 测量后 $\rho'=|a|^2|0\rangle\langle0|+|b|^2|1\rangle\langle1|$，非对角项 $ab^*$ 与 $a^*b$ 消失；迹仍为 $1$。

练习标记完成

所属知识

纯态与混合态

难度

3/5

判断 $\rho=\operatorname{diag}(3/4,1/4)$ 是否纯态，并计算纯度与 $\sigma_z$ 期望值。

查看提示

计算 $\operatorname{Tr}\rho^{2}$；纯态投影满足 $\rho^{2}=\rho$。

查看解答

$\rho=\operatorname{diag}(3/4,1/4)$ 给 $\operatorname{Tr}\rho^{2}=9/16+1/16=5/8<1$，故为混合态。其 z 期望为 1/2，若观测量是 $S_z$ 则期望为 $\hbar/4$。

练习标记完成

所属知识

位置动量单位

难度

3/5

一个态的位置标准差为 $0.20\,\mathrm{nm}$。求动量标准差的 Robertson 下界并写出 SI 单位。

查看提示

先用 $\Delta p\ge \hbar/(2\Delta x)$，再把纳米换成米。

查看解答

$\Delta x=0.20 nm=2.0\times 10^{-10} m$，故 $\Delta p\ge 1.0546\times 10^{-34}/(4.0\times 10^{-10})=2.64\times 10^{-25} kg\cdot m\cdot s^{-1}$。等号只由满足条件的最小不确定波包达到。

练习标记完成

所属知识

状态相关下界

难度

4/5

说明为什么某个态中 Robertson 下界为零不能推出两个算符对易，并用 $S_x$ 本征态举例。

查看提示

使用 $[S_x,S_y]=i\hbar S_z$；若 $\langle S_z\rangle=0$，Robertson 右侧可能为零。

查看解答

在 $S_x$ 的 $+\hbar/2$ 本征态中 $\Delta S_x=0$，$\langle S_z\rangle=0$，所以 x-y 的 Robertson 右侧为零，与 $\Delta S_x\Delta S_y=0$ 相容。这不表示 $S_x$ 与 $S_y$ 对易；换到 z 本征态时该下界为 $\hbar^{2}/4$。

练习标记完成

所属知识

顺序测量

难度

4/5

系统初态为 $S_z$ 的正本征态。先测 $S_x$ 并丢弃结果，再测 $S_z$；求最终概率，并与直接测 $S_z$ 比较。

查看提示

先用第一次结果更新状态，再计算第二次 Born 概率。

查看解答

初态 |0⟩ 先测 $S_x$，得到 $\pm$ 各 1/2，条件态为 $|\pm \rangle$；随后测 $S_z$，每个条件态给 0、1 各 1/2，所以最终 z 结果各 1/2。若不先测 $S_x$，直接测 $S_z$ 必得 $+\hbar/2$。

知识连接与后续路线

• Hilbert 空间、量子态与可观测量 提供归一化、自伴算符、谱投影和定义域。
• 条件概率 支撑选择性结果后的归一化更新与顺序测量。
• Schrödinger 方程 将描述测量之间的幺正时间演化并保持概率归一化。
• 角动量、自旋与全同粒子 会系统使用不对易分量、简并投影和复合态测量。

课程 · 2013

Quantum Physics I

Allan Adams, Matthew Evans, Barton Zwiebach

用于核对 P07 的态与概率解释、时间演化、概率流、一维束缚态和散射计算，并明确理想势模型的适用边界。

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课程 · 2013

Quantum Physics II

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用于核对 P07 的算符表象、投影测量、角动量代数、自旋系统、复合系统与全同粒子例题。

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MIT OpenCourseWare 8.04 覆盖 Born 解释、波函数概率和位置—动量不确定性，8.05 系统处理抽象测量、两态系统、密度算符和自旋。下一章把当前统计规则与 Schrödinger 幺正动力学分开组织，再进入一维势阱、隧穿和散射中的具体概率流计算。