规范对称性与标准模型结构

约定、自然单位与场的量纲

采用 Minkowski 度规 $\eta_{\mu\nu}=\operatorname{diag}(+1,-1,-1,-1)$ 和自然单位 $\hbar=c=1$。作用量 $S=\int\mathrm d^4x\,\mathcal L$ 无量纲，因此四维 Lagrange 密度量纲为能量四次方。坐标量纲为能量倒数，标量场与规范场量纲为能量一次方，Dirac 场量纲为能量的 $3/2$ 次方，规范耦合 $g$ 无量纲。质量通常用 eV、MeV 或 GeV；恢复 SI 时必须把 $\hbar,c$ 成套放回，不能把自然单位质量直接写成 kg 而不换算。

本章取 Hermitian 生成元 $T^a$，满足

作为常用归一化。不同资料可把耦合或生成元符号移入协变导数，场强交叉项的正负会随之改变；只要变换律、$D_\mu$ 和 $F_{\mu\nu}$ 使用同一约定，物理结论一致。

全局 U(1)：同一相位选择与 Noether 荷

自由 Dirac 场

在常数参数 $\alpha$ 下对 $\psi\to e^{-iq\alpha}\psi$、$\bar\psi\to\bar\psi e^{iq\alpha}$ 不变。$q$ 是该表示的无量纲 U(1) 荷。连续全局对称性给 Noether 流

（使用场方程）。守恒荷 $Q=\int\mathrm d^3x\,j^0$ 依场归一化带相应荷单位。这里“全局”表示所有时空点采用同一个 $\alpha$；它把不同物理态联系起来，并可产生守恒量。

若令 $\alpha=\alpha(x)$，普通导数产生附加项 $\partial_\mu\psi\to e^{-iq\alpha}(\partial_\mu-iq\partial_\mu\alpha)\psi$，自由 Lagrange 密度不再不变。局域相位选择更像描述同一物理构型的冗余，不能直接套用“每个时空点都有独立可观测守恒荷”的说法。

局域 U(1) 强制引入联络

定义

要求 $D_\mu\psi$ 与 $\psi$ 同样变换，即 $D_\mu'\psi'=e^{-iq\alpha}D_\mu\psi$，迫使

$A_\mu$ 是比较相邻时空点内部相位的规范联络。Abel 场强

在该变换下不变，因为混合偏导相消。最小耦合 Lagrange 密度为

局域势 $A_\mu$ 的分量依规范选择，$F_{\mu\nu}$、闭合回路的 Wilson 相位以及最终散射概率才具有规范不变意义。固定规范是消除重复描述以定义传播子，不是给场附加新的实验力。

对 $A_\nu$ 变分得到带源方程

右侧负号来自本章 $D_\mu=\partial_\mu-igqA_\mu$ 与 $j^\mu=q\bar\psi\gamma^\mu\psi$ 的组合；若反向定义带电流或协变导数，源项符号同步改变。而场强定义自动满足 Bianchi 恒等式 $\partial_{[\lambda}F_{\mu\nu]}=0$。前者对应有源 Maxwell 方程，后者对应无磁单极和 Faraday 结构；具体电场、磁场符号仍随度规和张量分量约定。对有源方程再取 $\partial_\nu$，左侧因反对称性为零，得到 $\partial_\nu j^\nu=0$。因此规范不变性、场方程一致性和荷守恒互相约束，而不是三条无关规则。

四分量 $A_\mu$ 并不表示无质量矢量有四个物理极化。$A_0$ 的方程含约束，局域规范冗余还可移除一个分量，最终自由无质量规范玻色子只有两个横向极化。Lorenz 条件 $\partial_\mu A^\mu=0$ 仍允许满足 $\Box\alpha=0$ 的残余变换；固定条件不是新的物理运动方程。量子化时若把未物理极化当外态，会破坏概率解释。

沿闭合曲线 $C$ 的 Abel Wilson 因子

在单值规范变换下不变。对可用 Stokes 定理的区域，它由曲面上的 $F_{\mu\nu}$ 通量决定，说明局部势虽依规范，闭合输运仍可留下可观测相位。开放路径的相位必须连同端点物质场变换一起处理。

例 1：逐项核对 U(1) 协变导数

代入 $\psi'=e^{-iq\alpha}\psi$ 和 $A_\mu'=A_\mu-g^{-1}\partial_\mu\alpha$：

$$\begin{aligned} D_\mu'\psi' &=(\partial_\mu-igqA_\mu')e^{-iq\alpha}\psi\\ &=e^{-iq\alpha} [\partial_\mu-iq\partial_\mu\alpha-igqA_\mu+iq\partial_\mu\alpha]\psi\\ &=e^{-iq\alpha}D_\mu\psi. \end{aligned}$$

两个含 $\partial_\mu\alpha$ 的项精确抵消。若协变导数改取加号，$A_\mu$ 的变换号也必须同步改变。

非 Abel 推广：矩阵联络和曲率

令物质场属于群 $G$ 的表示 $R$，局域变换 $\psi'(x)=U_R(x)\psi(x)$。矩阵规范场 $A_\mu=A_\mu^aT_R^a$，协变导数仍取

条件 $D_\mu'=U_RD_\mu U_R^{-1}$ 给

场强由协变导数的对易定义：

分量形式为 $F_{\mu\nu}^a=\partial_\mu A_\nu^a-\partial_\nu A_\mu^a+gf^{abc}A_\mu^bA_\nu^c$。它按 $F_{\mu\nu}'=U_RF_{\mu\nu}U_R^{-1}$ 协变变换，故

规范不变。

例 2：常数联络也可有非零场强

取 SU(2) 的 $[T^1,T^2]=iT^3$，令只有常数 $A_x=aT^1$、$A_y=bT^2$ 非零。导数项全为零，但

$$F_{xy}=-ig[A_x,A_y] =-ig(ab)(iT^3)=gabT^3.$$

所以非 Abel 曲率可完全来自联络的矩阵不对易。U(1) 只有一个彼此对易的生成元，同一构造给零。

非线性 $AA$ 项代入 $F^2$ 后产生三个和四个规范玻色子顶角。Abel Maxwell 经典作用量没有这种树级光子自耦合；量子电动力学仍可通过带电粒子圈产生有效多光子过程。Yang–Mills 自相互作用的强弱由群结构常数与能标相关耦合共同决定，不能只凭“非 Abel”判断任意能量下都强耦合。

非 Abel 场方程具有协变形式

其中 $D_\mu$ 在伴随表示中作用。普通导数作用于单个颜色分量一般不为零，因为物质与规范场可交换规范荷；一致关系是 $(D_\nu J^\nu)^a=0$，并需把规范场自相互作用的贡献按所用定义计入。相应 Bianchi 恒等式为 $D_{[\lambda}F_{\mu\nu]}=0$。这也是不能把八个胶子简单看成八份互不耦合 Maxwell 场的原因。

生成元、表示和选择规则

生成元说明场沿内部空间怎样变换。物质场可取基本、共轭或更高表示；规范场自身属于伴随表示，其分量数等于群生成元数。表示矩阵决定顶角中的群因子，群的二次 Casimir 与迹归一化进入散射和量子修正。仅写群名而不写表示，不能确定某粒子如何耦合。

对直积群 $G_1\times G_2\times U(1)$，一个场用 $(R_1,R_2,q)$ 标记。它对 singlet 因子没有对应规范耦合，对非平凡表示因子通过相应生成元耦合。Lorentz 自旋与内部表示是不同结构：两个场都为 Dirac 旋量，并不表示它们有相同色荷或弱同位旋。

例 3：基本表示的颜色耦合数目

SU(3) 有 $3^2-1=8$ 个生成元，基本表示场 $q$ 为三分量列向量。协变导数含

$$D_\mu q=\left(\partial_\mu-ig_sA_\mu^aT^a\right)q, \qquad a=1,\ldots,8.$$

这表示一个颜色三重态与八个规范场分量按 $T^a$ 耦合，不表示存在 24 种独立粒子。规范场的八个分量共同组成伴随表示，物理态计数还需处理极化和约束。

自发对称性破缺与 Higgs 自由度重组

先用 Abel 模型展示机制。令复标量荷为 $q$，

其中 $\mu^2>0$、$\lambda>0$。势能极小满足 $|\phi|=v/\sqrt2$，$v=\mu/\sqrt\lambda$。在某一规范中写

全局连续对称性若自发破缺，$\theta$ 对应无质量 Goldstone 模；局域理论中，相位自由度与规范场纵向分量重组。选取单位规范后，$|D\phi|^2$ 含 $g^2q^2v^2A_\mu A^\mu/2$，故

自由度守恒：破缺前一个无质量矢量有两个物理极化，复标量有两个实自由度；破缺后一个有质量矢量有三个极化，另留一个实标量 $h$。局域规范变换是描述冗余，严格说不能把规范依赖的真空方向当直接可观测量；“规范对称性破缺”是固定规范后的简便语言，物理内容是谱、关联函数和残余未破缺群的改变。

例 4：从协变动能读出规范场质量

单位规范下 $\phi=(v+h)/\sqrt2$，忽略 $h$ 的导数时

$$|D_\mu\phi|^2 \supset\frac12g^2q^2(v+h)^2A_\mu A^\mu.$$

与矢量质量项 $m_A^2A_\mu A^\mu/2$ 比较得 $m_A^2=g^2q^2v^2$。同一展开还产生 $hAA$ 与 $hhAA$ 顶角；质量和相互作用系数由同一个规范不变动能联系，而不是分别任意加入。

电弱群：未破缺电磁 U(1)

标准模型电弱部分为 $SU(2)_L\times U(1)_Y$。本章采用

定义弱超荷 $Y$；若资料写 $Q=T_3+Y/2$，其 $Y$ 归一化不同。Higgs 场是 $SU(2)_L$ 双重态并取 $Y=1/2$：

上、下分量的 $T_3$ 分别为 $+1/2$、$-1/2$，所以电荷为 $+1$、0。真空期望值选择中性分量，保留由 $Q$ 生成的 $U(1)_{\mathrm{em}}$。三个弱规范场与超荷场重组为带电 $W^\pm$、中性 $Z$ 和无质量光子。树级符号关系为

光子对应未破缺方向而无质量。这些关系依赖规范与标量表示；量子修正和实验提取需要明确重整化方案，不应把树级式当无限精度数据。

定义弱混合角

带电组合为 $W_\mu^\pm=(W_\mu^1\mp iW_\mu^2)/\sqrt2$；中性组合可取

把 Higgs 真空代入 $|D_\mu H|^2$ 可直接验证 $A_\mu$ 方向的质量矩阵本征值为零，$Z_\mu$ 方向非零。混合不是说光子“部分有质量”，而是破缺前场基底与质量本征基底不同。

标准模型表示表而不是粒子清单

规范群为

在 $Q=T_3+Y$ 约定下，每一代左手夸克双重态 $Q_L=(u_L,d_L)$ 为 $(\mathbf3,\mathbf2,1/6)$，右手 $u_R$、$d_R$ 分别为 $(\mathbf3,\mathbf1,2/3)$、 $(\mathbf3,\mathbf1,-1/3)$。左手轻子双重态 $L_L=(\nu_L,e_L)$ 为 $(\mathbf1,\mathbf2,-1/2)$，右手 $e_R$ 为 $(\mathbf1,\mathbf1,-1)$。最小标准模型不含右手中微子。括号前两项是色和弱表示维数，第三项是超荷，不是三种空间坐标。

八个胶子为 $(\mathbf8,\mathbf1,0)$，三个弱规范场为 $(\mathbf1,\mathbf3,0)$，超荷规范场为 $(\mathbf1,\mathbf1,0)$。色 $SU(3)_c$ 不被 Higgs 真空破缺；Lagrange 密度中的胶子无质量，但强相互作用禁闭意味着实验不观察孤立自由胶子。电弱破缺后用光子、$W^\pm$、$Z$ 基底描述。

色表示也限制可形成的复合态。例如 $\mathbf3\otimes\overline{\mathbf3}=\mathbf1\oplus\mathbf8$，夸克—反夸克可组合为颜色 singlet 或 octet；孤立渐近强子态取 singlet。三个基本表示也含 singlet，可组织重子颜色波函数。这个群分解只给允许颜色通道，束缚能谱仍需非微扰 QCD 动力学。高能短距离下耦合变弱使微扰展开更可靠，低能禁闭区不能靠有限阶图直接推出完整强子谱。

Higgs 与手征 fermion 的 Yukawa 耦合在取得 $v$ 后生成 fermion 质量矩阵。对角化不同种类的质量矩阵会留下混合矩阵。规范对称性规定允许项的形式，却不单独预测 Yukawa 系数及由此得到的质量和混合参数；这些是理论输入并由实验确定。

例 5：用超荷核对 Yukawa 项

下型 Yukawa 结构为 $\bar Q_LHd_R$。三项超荷相加：

$$Y(\bar Q_L)+Y(H)+Y(d_R) =-\frac16+\frac12-\frac13=0.$$

上型需共轭双重态 $\widetilde H=i\sigma^2H^*$，其 $Y=-1/2$：

$$Y(\bar Q_L)+Y(\widetilde H)+Y(u_R) =-\frac16-\frac12+\frac23=0.$$

超荷总和为零只是 $U(1)_Y$ 条件；完整允许性还需把色和 $SU(2)$ 指标收缩成 singlet，并满足 Lorentz 标量结构。

理论结构与实验陈述的边界

规范不变性组织传播子、顶角和恒等式，量子理论还要求规范固定、ghost（对非 Abel 协变量子化）及重整化。物质表示并非可任意挑选：量子规范反常必须相消，否则经典规范对称性不能成为一致量子约束。本章只给结构轮廓，没有完成反常、重整化群、禁闭或精确散射计算。

量子修正后的耦合依赖重整化能标 $\mu_R$。$g(\mu_R)$ 本身不是脱离方案和能标的固定常数；同一阶计算中的圈图、反项和运行耦合共同给可观测振幅。截断微扰级数后残留的 $\mu_R$ 依赖可用于估计缺失高阶，而不能通过挑选某个能标把理论误差“调没”。类似地，重标度 U(1) 生成元并反向重标度 $g'$ 不改变协变导数，所以比较超荷数值前必须确认归一化约定。

实验直接报告的是事件率、截面、衰变宽度、角分布、共振参数及其不确定度，不是“看见一个 Lagrange 项”。从模型到事件需计算矩阵元、相空间、束流与探测器响应，并与背景和系统误差比较。一个允许顶角不保证过程容易观测；还可能受耦合阶数、相空间、选择规则和能标压低。

标准模型在其已检验能标内提供粒子与三种规范相互作用的量子描述，但本章不把它宣称为包含引力或所有宇宙成分的最终理论。任何超出所写场内容和能标的推断都需另加有效算符或新自由度，并接受新的实验约束。

练习

练习 1：局域相位项标记完成

所属知识

U(1)

难度

3/5

推导局域 U(1) 下普通导数为何不协变。

查看提示

对 $e^{-iq\alpha(x)}\psi$ 使用乘积求导。

查看解答

普通导数多出 $-iq(\partial_\mu \alpha)\psi$；令 $A_\mu \to A_\mu-g^{-1}\partial_\mu \alpha$ 后，$D_\mu=\partial_\mu-igqA_\mu$ 中由联络产生的正号项与之抵消。

练习 2：Abel 场强标记完成

所属知识

场强

难度

2/5

证明 U(1) 场强规范不变。

查看提示

把 $A_\mu$ 的梯度变换代入反对称导数。

查看解答

附加项为 $g^{-1}(\partial_\mu \partial_\nu \alpha-\partial_\nu \partial_\mu \alpha)=0$，故 $F_\mu \nu$ 不变。

练习 3：自相互作用来源标记完成

所属知识

Yang–Mills

难度

3/5

解释非 Abel 规范玻色子为何自相互作用。

查看提示

展开 F 中的交换子，再平方。

查看解答

非零结构常数给 F 中的 gAA 项，$F^{2}$ 因而产生三场和四场顶角；U(1) 交换子为零，无经典树级自耦合。

练习 4：Higgs 自由度标记完成

所属知识

对称性破缺

难度

3/5

核对 Abel Higgs 机制前后的自由度。

查看提示

分别数无质量矢量、复标量、有质量矢量和实标量。

查看解答

破缺前 $2+2=4$ 个物理自由度；破缺后有质量矢量 3 个，加 Higgs 幅值 1 个，仍为 4。

练习 5：双重态电荷标记完成

所属知识

电弱理论

难度

3/5

求 Higgs 双重态两分量电荷。

查看提示

使用 $Q=T_3+Y$，双重态 $T_3=\pm 1/2$。

查看解答

Higgs 的 $Y=1/2$，故上分量 Q=1、下分量 Q=0；中性分量真空值保留电磁 U(1)。

练习 6：表示与观测标记完成

所属知识

标准模型边界

难度

4/5

说明规范量子数为何不足以预测截面。

查看提示

区分允许耦合、参数大小与实验事件率。

查看解答

表示决定哪些规范不变项允许，但耦合、质量、相空间、束流和探测效率决定数值事件率；允许过程不等于必然易见。

关系与资源

• 自由场量子化与粒子解释
• 群、子群、陪集与同态
• 电磁学综合复习
• 粒子物理与场论导论综合复习

课程 · 2023

Relativistic Quantum Field Theory I

Hong Liu

用于核对 P12 的场作用量、相对论场方程、自由场量子化、相互作用展开、散射规则和规范不变性。

打开官方来源

课程 · 2020

Introduction to Nuclear and Particle Physics

Markus Klute

用于核对 P12 标准模型概述、散射可观测量、量子数与守恒律，并保持理论陈述与实验建立范围一致。

打开官方来源

MIT OpenCourseWare 8.323 用于核对规范不变性与量子场约定，8.701 用于核对标准模型表示和实验解释层级。本文省略具体质量、截面和拟合数值，只保留稳定的结构关系。