连续介质运动学、应变与应力

连续体假设与尺度

连续介质模型把分子组成的物质视为可微场。质量密度 $\rho(\boldsymbol x,t)$ 的单位为 $\mathrm{kg\,m^{-3}}$，速度 $\boldsymbol v$ 为 $\mathrm{m\,s^{-1}}$，应力为帕斯卡（$\mathrm{Pa=N\,m^{-2}}$）。一个计算体元必须大到包含足够多分子，使统计涨落可忽略，又小到能解析宏观梯度。

当平均自由程与几何尺度之比不可忽略，或材料微结构尺寸与观测尺度相近，普通局部连续体模型可能失效，需要稀薄气体动力学、非局部本构或多尺度描述。连续体假设不是“物质真的没有分子”，而是给定尺度上的有效模型。

物质体、空间区域与运动映射

给每个物质点一个参考位置 $\boldsymbol X$，运动写为

$\boldsymbol X$ 标记同一个粒子，$\boldsymbol x$ 是它在时刻 $t$ 的当前位置。Lagrange 描述把场写成 $\boldsymbol X,t$ 的函数；Euler 描述在固定空间位置 $\boldsymbol x$ 观察随时间通过的物质。

物质体 $\mathcal B_t=\boldsymbol\chi(\mathcal B_0,t)$ 始终由同一批粒子组成，边界随物质速度移动；空间控制区域可以固定或按另一个给定速度移动，粒子可穿过边界。守恒定律中二者不能混称。

速度与加速度为

物质导数 $D/Dt$ 跟随粒子。即使 Euler 速度场不显含时间，粒子经过空间梯度时仍可有非零对流加速度。

例 1：稳态速度场仍有加速度

一维稳态流 $v_x(x)=ax$，其中 $a=2.00\,\mathrm{s^{-1}}$。虽然 $\partial v_x/\partial t=0$，

$$a_x=v_x\frac{\partial v_x}{\partial x} =(ax)a=a^2x.$$

在 $x=0.50\,\mathrm m$，速度为 $1.00\,\mathrm{m\,s^{-1}}$，加速度为 $2.00\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。单位核对：$a^2x$ 为 $\mathrm{s^{-2}m}$。粒子沿流向进入更高速度区域，所以即使仪器在每个固定点读数不随时间变，随体粒子仍在加速。

变形梯度与体积比

变形梯度

$$\boldsymbol F(\boldsymbol X,t) =\frac{\partial\boldsymbol\chi}{\partial\boldsymbol X}, \qquad F_{iJ}=\frac{\partial x_i}{\partial X_J}.$$

$F$ 无量纲，把参考线元映为当前线元：$\mathrm d\boldsymbol x=F\,\mathrm d\boldsymbol X$。Jacobian

$$J=\det F$$

给局部有向体积比 $\mathrm dV=J\,\mathrm dV_0$。物理连续运动通常要求 $J>0$，避免局部体积塌缩或取向翻转。

右 Cauchy–Green 张量与 Green–Lagrange 应变为

它们消除纯刚体转动：若 $F=R$ 且 $R^TR=I$，则 $E=0$。有限变形不能只用位移梯度对称部分，因为二次项可能与线性项同阶。

例 2：体积不变单轴伸长

运动映射取

$$x=\lambda X, \qquad y=\lambda^{-1/2}Y, \qquad z=\lambda^{-1/2}Z,$$

$\lambda>0$。于是

$$F=\operatorname{diag}(\lambda,\lambda^{-1/2},\lambda^{-1/2}), \qquad J=1.$$

材料沿 $x$ 伸长，同时两个横向各缩短 $\lambda^{-1/2}$，局部体积保持。Green–Lagrange 应变为

$$E=\frac12\operatorname{diag} (\lambda^2-1,\lambda^{-1}-1,\lambda^{-1}-1).$$

若 $\lambda=1.20$，轴向分量 $E_{xx}=0.22$，并不等于工程应变 $\lambda-1=0.20$；差异来自有限变形二次项。

速度梯度、应变率与旋转

空间速度梯度定义为

单位为 $\mathrm{s^{-1}}$。分解为

$D$ 是应变率张量，控制瞬时长度和角度变化；$W$ 是局部刚体旋转率。体积变化率由

给出。不可压缩运动满足 $J$ 沿粒子保持，局部形式为 $\nabla\cdot\boldsymbol v=0$；恒密度还需要结合质量守恒和初始条件。

例 3：简单剪切中的变形与旋转

速度场

$$\boldsymbol v=(\dot\gamma y,0,0), \qquad \dot\gamma=20.0\,\mathrm{s^{-1}}$$

给出

$$L= \begin{pmatrix}0&\dot\gamma&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix},$$

$$D=\frac{\dot\gamma}{2} \begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}, \qquad W=\frac{\dot\gamma}{2} \begin{pmatrix}0&1&0\\-1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}.$$

$D_{xy}=D_{yx}=10.0\,\mathrm{s^{-1}}$，代表剪切形变率；$W$ 同时给出局部旋转。$\operatorname{tr}D=0$，所以该运动局部体积不变。把全部 $L$ 称作应变率会把刚体旋转错误计为形变。

线元、方向与角度的瞬时变化

取相邻两个物质点的当前线元 $\mathrm d\boldsymbol x=F\,\mathrm d\boldsymbol X$。沿粒子运动求导并使用 $\dot F=LF$，得到

令线元长度为 $\ell=|\mathrm d\boldsymbol x|$、单位方向为 $\boldsymbol n=\mathrm d\boldsymbol x/\ell$。对 $\ell^2=\mathrm d\boldsymbol x\cdot\mathrm d\boldsymbol x$ 求导，

左侧是相对伸长率，单位 $\mathrm{s^{-1}}$。反对称的 $W$ 不贡献长度变化，因为任意向量都满足 $\boldsymbol n\cdot W\boldsymbol n=0$。方向本身则按

转动；投影算子删去沿 $\boldsymbol n$ 的伸长分量，因而保持 $|\boldsymbol n|=1$。

对两个物质单位方向 $\boldsymbol n_1,\boldsymbol n_2$，夹角余弦的变化率为

若两方向当前正交，第二行消失，剪切分量 $\boldsymbol n_1\cdot D\boldsymbol n_2$ 直接控制直角改变。刚体旋转只同时转动两条线，不改变它们的夹角，这再次解释了为什么角度变化公式只含 $D$。

以此前简单剪切为例，取方向 $\boldsymbol n=(\cos\theta,\sin\theta,0)$，则

沿 $x$ 或 $y$ 的线元瞬时伸长率为零，而 $\theta=45^\circ$ 的线元以 $\dot\gamma/2=10.0\,\mathrm{s^{-1}}$ 伸长。原本沿坐标轴的两条正交线满足 $D(\cos\theta_{12})/Dt=\dot\gamma$，所以直角会发生剪切畸变。零体积变化并不意味着每条线的长度或夹角都保持。

三维中涡量 $\boldsymbol\omega=\nabla\times\boldsymbol v$ 与旋转张量满足 $W\boldsymbol a=(\boldsymbol\omega/2)\times\boldsymbol a$。因此 $\boldsymbol\omega/2$ 是局部刚体角速度，而不是完整速度梯度；有涡量的运动仍可同时具有应变率，零涡量的势流也可发生显著伸缩。

由于 $D$ 是实对称张量，它在每一点都有正交主方向和实主应变率 $d_1,d_2,d_3$。任意单位方向的相对伸长率 $\boldsymbol n\cdot D\boldsymbol n$ 位于最小与最大主应变率之间；极值恰在相应主方向取得。三者之和 $d_1+d_2+d_3=\operatorname{tr}D$ 是瞬时体积膨胀率。因此体积不变只约束主应变率之和为零，并不要求每个主应变率为零。

简单剪切的 $D$ 有主值 $+\dot\gamma/2$、$-\dot\gamma/2$ 和 $0$，对应平面内相差 $90^\circ$ 的 $45^\circ$ 主方向及垂直方向。一个方向伸长、另一个等速缩短，主值之和仍为零。这一谱分解同时复核了前式在 $\theta=45^\circ$ 时取最大值，并说明“纯剪切”在旋转后的坐标中可表示为等量拉伸与压缩。

主值的单位仍为 $\mathrm{s^{-1}}$，不随正交坐标轴旋转而改变；只有分量矩阵随基变换。用主值比较材料不同位置的瞬时变形强度，比只观察某个坐标分量更可靠。

$F$、$L$ 与 $J$ 的演化关系

沿物质点对变形梯度求时间导数，链式法则给

这连接了参考构形中的有限变形与当前构形中的瞬时速度梯度。对行列式使用 Jacobi 公式：

因此 $\nabla\cdot v=0$ 使每个物质体元的 $J$ 沿时间保持常数。若初态 $J=1$，之后仍为 1；若初态已相对参考体积缩放，散度零只保持该现有体积比，不把它自动重置为 1。

给定时间依赖均匀伸长 $F(t)=\operatorname{diag}(e^{at},e^{bt},e^{ct})$，有 $L=\operatorname{diag}(a,b,c)$、 $J=e^{(a+b+c)t}$。体积不变条件是 $a+b+c=0$，但各方向仍可发生有限伸缩。

极分解与客观应变量

任意 $J>0$ 的变形梯度可作极分解

$R$ 是正交转动，$U=\sqrt{F^TF}$ 为右伸长张量，$V=\sqrt{FF^T}$ 为左伸长张量。$U,V$ 的正本征值是主伸长比。$C=F^TF=U^2$ 因而不含左乘刚体转动。

若观察者叠加时间依赖刚体运动

则 $F^*=QF$，但 $C^*=F^{*T}F^*=C$。这说明 Green–Lagrange 应变是客观的。速度梯度变为

其中 $\dot QQ^T$ 反对称；故 $D^*=QDQ^T$，而 $W$ 会额外包含观察者转动。材料本构通常应依赖客观量，而非绝对旋转率。

例 4：平面伸长流与体积保持

二维速度场

$$\boldsymbol v=(ax,-ay,0), \qquad a=0.50\,\mathrm{s^{-1}}$$

给 $L=D=\operatorname{diag}(a,-a,0)$、$W=0$、$\nabla\cdot v=0$。粒子方程积分为

$$x(t)=X e^{at}, \qquad y(t)=Y e^{-at}, \qquad z(t)=Z,$$

所以 $F=\operatorname{diag}(e^{at},e^{-at},1)$、$J=1$。在 $t=2.00\,\mathrm s$，主伸长比为 $e^1\approx2.72$、$e^{-1}\approx0.368$、$1$。虽然体积不变，形状变化可以很大。

面积变换与 Nanson 公式

参考构形中的有向面积元 $\boldsymbol N\,\mathrm dA_0$ 与当前构形中的 $\boldsymbol n\,\mathrm dA$ 不简单由 $F$ 直接相乘，而满足

这称为 Nanson 公式。逆转法向会同时反转两侧。公式可由两个参考切向线元的叉积变换推导：

它在把当前牵引积分拉回参考构形时必不可少。第一 Piola–Kirchhoff 应力

使 $P\boldsymbol N\,\mathrm dA_0=\sigma\boldsymbol n\,\mathrm dA$。$P$ 通常不对称，不能把 Cauchy 应力的对称性直接搬到参考应力。

质量守恒还给局部关系

两侧单位均为 $\mathrm{kg\,m^{-3}}$，因为 $J$ 无量纲。这里先把它作为物质体质量不变的结果；下一章会由控制体形式系统推导连续性方程。

小变形近似

若位移 $\boldsymbol u(\boldsymbol X,t)=\boldsymbol x-\boldsymbol X$ 的梯度远小于 1，

Green–Lagrange 应变在一阶近似为

反对称部分描述小转动。小位移不必然意味着小应变梯度，反之，大刚体位移或转动也可有零应变；近似条件应检查梯度，而不是只看物体移动距离。

Cauchy 牵引与法向约定

在当前构形中取一条通过某点的有向切面，单位法向为 $\boldsymbol n$。约定 $\boldsymbol n$ 指向所考察物质子体的外侧，另一侧物质对该面的单位面积作用力称为牵引 $\boldsymbol t(\boldsymbol n)$，单位为帕斯卡。

Cauchy 牵引公式

存在二阶 Cauchy 应力张量 $\boldsymbol\sigma$，使任意法向上的牵引满足

$$\boldsymbol t(\boldsymbol n)=\boldsymbol\sigma\boldsymbol n, \qquad t_i=\sigma_{ij}n_j.$$

分量 $\sigma_{ij}$ 表示法向为坐标基 $\boldsymbol e_j$ 的面上，牵引沿 $\boldsymbol e_i$ 的分量。

反向切面法向给 $\boldsymbol t(-\boldsymbol n)=-\boldsymbol t(\boldsymbol n)$，符合内力作用反作用。正应力为

本章约定拉应力为正。剪切牵引为

与 $\boldsymbol n$ 正交。若没有体偶力和偶应力，局部角动量守恒给 $\sigma_{ij}=\sigma_{ji}$；更一般的 Cosserat 连续体可有非对称应力。

流体压强为何带负号

静止简单流体不能承受持续剪应力，其应力为

因此外法向面上的牵引为 $\boldsymbol t=-p\boldsymbol n$，指向物质体内部；正应力 $\sigma_n=-p$ 为负，与“拉为正”的固体力学约定一致。若采用“压应力为正”的另一约定，所有应力分量和边界条件符号要成套改变。

运动黏性流体可写

$\boldsymbol\tau$ 是偏应力，需要本构关系才能由运动学量确定。运动学和守恒定律本身不能决定材料对变形率的响应。

例 5：给定应力张量求斜面牵引

在某点给定

$$\sigma= \begin{pmatrix} 10&3&0\\3&-5&0\\0&0&2 \end{pmatrix}\mathrm{MPa}, \qquad \boldsymbol n=\frac1{\sqrt2}(1,1,0).$$

牵引为

$$\boldsymbol t=\sigma\boldsymbol n =\frac1{\sqrt2}(13,-2,0)\,\mathrm{MPa} \approx(9.19,-1.41,0)\,\mathrm{MPa}.$$

正应力

$$\sigma_n=\boldsymbol n\cdot\boldsymbol t=5.50\,\mathrm{MPa}.$$

剪切牵引为 $\boldsymbol t_s=\boldsymbol t-\sigma_n\boldsymbol n \approx(5.30,-5.30,0)\,\mathrm{MPa}$，大小为 $7.50\,\mathrm{MPa}$。点积 $\boldsymbol t_s\cdot\boldsymbol n=0$，提供分解复核。

主应力与客观性

对称 Cauchy 应力可正交对角化。主方向满足

主平面牵引完全沿法向，没有剪切分量。应力不变量 $\operatorname{tr}\sigma$、二阶主不变量和 $\det\sigma$ 不随坐标旋转改变。坐标分量会变，物理牵引不会因换轴而改变。

本构关系还应满足客观性：叠加刚体运动不应改变材料测得的应力响应。普通时间导数在大转动下可能不客观，需要适当的客观应力率；本章只建立瞬时运动学和 Cauchy 应力，不预设具体材料模型。

界面上的牵引跳跃

两种介质在光滑界面相接，选单位法向 $\boldsymbol n$ 从负侧指向正侧。若界面没有面质量、面张力或其他奇异表面力，局部动量平衡要求

这表示两侧作用在同一几何界面上的牵引相容。若存在常表面张力 $\gamma_s$ 和平均曲率约定 $\kappa=\nabla_s\cdot\boldsymbol n$，法向牵引会出现与 $\gamma_s\kappa\boldsymbol n$ 有关的跳跃；符号依赖曲率和法向定义，必须成套声明。

固壁边界也由牵引表达外力：已知表面力时给定 $\sigma n=\bar t$，已知位移或速度时给定运动学条件。对同一边界分量同时任意指定牵引和位移通常会过度约束问题。流体中的无滑移、自由表面剪切和压力边界都是这些一般条件的具体化。

常见误区

常见误区

“速度场的反对称梯度也是材料剪切变形。”反对称部分描述局部旋转；形变率由对称部分 $D$ 给出。

常见误区

“压强 $p>0$ 所以应力张量是 $+pI$。”在本章拉为正约定下，静止流体受压，故 $\sigma=-pI$。

常见误区

“$\sigma_{xy}$ 是法向 $x$ 的面上沿 $y$ 的力。”按 $t_i=\sigma_{ij}n_j$，第二下标标记面法向，第一下标标记牵引分量；应为法向 $y$ 面上的 $x$ 向分量。

练习：运动映射与牵引

练习标记完成

所属知识

物质导数

难度

2/5

对标量场 $f(x,t)=x^2+t$ 和速度 $\boldsymbol v=(ax,0,0)$，形式计算 $Df/Dt$；再说明实际物理量为何必须先检查两项单位相容。

查看提示

计算 $\partial_t f$ 与 $v\cdot \nabla f$，再相加。

查看解答

若 $f=x^{2}+t$、$v=(ax,0,0)$，则 $Df/Dt=1+ax(2x)=1+2ax^{2}$。第一项单位取决于 f 的定义，使用前必须保证两项同量纲。

练习标记完成

所属知识

Jacobian

难度

3/5

求映射 $x=2X,y=Y/2,z=Z$ 的 $F,J$，并判断是否无形变。

查看提示

对三个坐标分别求 X,Y,Z 导数，形成对角 F 后取行列式。

查看解答

映射 $x=2X,y=Y/2,z=Z$ 给 $F=\operatorname{diag}(2,1/2,1)$，J=1，局部体积不变；长度却沿 x 加倍、y 减半，所以体积不变不等于无形变。

练习标记完成

所属知识

速度梯度分解

难度

3/5

对刚体转动 $\boldsymbol v=(-\Omega y,\Omega x,0)$ 求 $L,D,W$ 和散度。

查看提示

先写 $L_{ij}=\partial v_i/\partial x_j$，再取对称与反对称部分。

查看解答

刚体转动 $v=(-\Omega y,\Omega x,0)$ 给 $L=[[0,-\Omega,0],[\Omega,0,0],[0,0,0]]$，所以 D=0、$W=L$，且 $\nabla \cdot v=0$。它只有旋转，没有局部应变率。

练习标记完成

所属知识

体积变化率

难度

3/5

某物质点沿轨迹满足 $\nabla\cdot\boldsymbol v=\alpha$ 常数。由 $J(0)=1$ 求 $J(t)$ 并核对单位。

查看提示

使用 $DJ/Dt=J\nabla \cdot v$；均匀散度可直接积分。

查看解答

若 $\nabla \cdot v=\alpha$ 为常数，$J(t)=J(0)e^{\alpha t}$。$\alpha>0$ 体积指数增长，$\alpha<0$ 收缩；$\alpha$ 的单位 $s^{-1}$，使 $\alpha t$ 无量纲。

练习标记完成

所属知识

流体牵引

难度

2/5

静止流体压强 $200\,\mathrm{kPa}$，某物质体边界外法向为 $\boldsymbol e_x$。求牵引、正应力和剪切牵引。

查看提示

使用 $\sigma=-pI$ 和 $t=\sigma n$，保持 n 为外法向。

查看解答

静止流体 t=-pn。若 $p=200\,\mathrm{kPa}$、$n=e_x$，则 $t=(-200,0,0) kPa$，正应力 $n\cdot t=-200\,\mathrm{kPa}$，剪切为零。

练习标记完成

所属知识

主应力

难度

4/5

求二维应力 $\begin{pmatrix}8&3\\3&2\end{pmatrix}\,\mathrm{MPa}$ 的主应力，并解释主平面为何无剪切牵引。

查看提示

主方向是对称应力矩阵的本征向量；主平面剪切为零。

查看解答

二维应力 $[[8,3],[3,2]] MPa$ 的本征值满足 $\lambda^{2}-10\lambda+7=0$，故 $\lambda=5\pm 3\sqrt{2} MPa$。对应归一化本征向量给主平面法向；在其上 $t=\lambda n$，所以剪切分量为零。

知识连接与后续路线

• 经典力学综合复习 提供质点速度、加速度、力与角动量守恒。
• 多变量微积分与向量分析综合复习 支撑梯度、散度、Jacobian 和曲面积分。
• 矩阵与线性变换 用于变形梯度、应变率、应力和主方向。
• 质量、动量与能量守恒方程 将把牵引积分转为应力散度并引入控制体通量。
• Navier–Stokes 方程与黏性流 将用 Newton 本构把偏应力与 $D$ 连接。

课程 · 2013

Advanced Fluid Mechanics

Gareth McKinley

用于核对 P09 的守恒方程符号、应力量纲、无黏与黏性流推导、边界层尺度和流动稳定性例题。

打开官方来源

MIT OpenCourseWare 2.25 的连续介质基础覆盖物质导数、应变率、应力、牵引和流体本构，可用于核对本章分量与符号。下一章保持外法向和 $\sigma=-pI+\tau$ 约定，从物质体平衡推导固定及移动控制体的质量、动量和能量方程。