角动量、自旋与全同粒子

算符、单位与测量约定

角动量算符记作 $\mathbf J=(J_x,J_y,J_z)$。每个分量的 SI 单位是 $\mathrm{J\,s}$，即角动量单位；约化 Planck 常数 $\hbar\approx1.055\times10^{-34}\,\mathrm{J\,s}$。为避免把无量纲矩阵和有量纲可观测量混淆，本文始终把 $\hbar$ 明写在本征值和算符定义中。

选择右手坐标系，$\hat{\mathbf x}\times\hat{\mathbf y}=\hat{\mathbf z}$。角动量代数为

即

及其循环置换。总平方

满足 $[J^2,J_i]=0$。因此可以同时选择 $J^2$ 与一个分量（惯例取 $J_z$）的本征基，却不能同时给 $J_x,J_y,J_z$ 三个分量确定值。对易关系描述统计不相容，不是说三个算符在某一时刻轮流存在。

|j,m⟩ 基与升降算符

共同本征态定义为

$j=0,\tfrac12,1,\tfrac32,\ldots$，对固定 $j$，$m=-j,-j+1,\ldots,j$，共有 $2j+1$ 个态。$J^2$ 的本征值单位为 $\mathrm{J^2\,s^2}$，$J_z$ 本征值单位为 $\mathrm{J\,s}$。经典向量“长度等于 $\hbar\sqrt{j(j+1)}$”只是本征值结构的几何类比，不能据此给三个分量同时指定数值。

定义

它们满足

$J_+|j,j\rangle=0$、$J_-|j,-j\rangle=0$ 使梯子终止，并结合范数非负导出允许的 $j,m$。$J_\pm$ 不是自伴可观测量；它们是构造基态之间关系的算符。

例 1：j=1 态的分量概率与升降

状态

$$|\psi\rangle=\frac12|1,1\rangle +\frac{i}{\sqrt2}|1,0\rangle +\frac12|1,-1\rangle$$

已归一化，因为概率和为 $1/4+1/2+1/4=1$。测量 $J^2$ 必得 $2\hbar^2$。测量 $J_z$ 得 $+\hbar,0,-\hbar$ 的概率分别为 $1/4,1/2,1/4$，故 $\langle J_z\rangle=0$。

升降作用为

$$J_+|1,0\rangle=\hbar\sqrt2|1,1\rangle, \qquad J_+|1,1\rangle=0.$$

若对 $J_z$ 测得 $0$，理想投影后态为 $|1,0\rangle$；随后再次测 $J_z$ 仍必得 $0$，但测 $J_x$ 仍有分布。

固定 j 子空间中的矩阵与不确定性

给定 $j$ 后，Hilbert 子空间维数为 $2j+1$。按 $|j,j\rangle,|j,j-1\rangle,\ldots,|j,-j\rangle$ 排序，$J_z$ 是对角矩阵，对角元为 $\hbar m$；$J_+$ 只在相邻 $m$ 之间有上三角矩阵元，$J_-=J_+^\dagger$。再由

构造两个自伴分量。改变基矢相位会改变某些非对角矩阵元的相位，却不改变谱和测量概率；不同资料的 Clebsch–Gordan 符号也可能因相位约定不同，必须整套一致使用。

在 $|j,m\rangle$ 中，绕 $z$ 轴对称性给 $\langle J_x\rangle=\langle J_y\rangle=0$，并有

乘积满足

在最高权态 $m=j$ 取等号；一般 $m$ 态左侧更大。若 $m=0$，不确定关系右侧为零，但 $J_x,J_y$ 的方差并不为零。这说明只看对易子期望的下界可能不紧，不能误解成两个横向分量都确定。

轨道角动量

单粒子的轨道角动量为

$\mathbf r$ 用 m，$\mathbf p$ 用 $\mathrm{kg\,m\,s^{-1}}$，所以 $\mathbf L$ 用 $\mathrm{kg\,m^2\,s^{-1}}=\mathrm{J\,s}$。在位置表象中

球谐函数 $Y_{\ell m}(\theta,\phi)$ 是 $L^2,L_z$ 的本征函数，轨道量子数 $\ell$ 只能取非负整数，$m=-\ell,\ldots,ell$。整数限制还来自空间波函数绕 $2\pi$ 后单值。轨道态的空间反演宇称为 $(-1)^\ell$。

自旋不是粒子绕自身轴作经典刚体转动。它是旋转群表示中的内禀自由度，可以取半整数 $j$，没有对应的经典内部半径或表面速度。

中心势、旋转守恒与自旋—轨道耦合

若 Hamilton 算符为

则 $[H,L_i]=0$，轨道角动量三个分量都作为生成元与 $H$ 对易，但它们彼此不对易；定态可标记为 $|n,\ell,m\rangle$。能量是否只依赖 $n,\ell$ 或还出现额外简并，取决于具体势。加入不保持球对称的外场后，通常只有外场轴向分量或更少对称量守恒。

有效自旋—轨道相互作用常写成

其中 $\xi(r)$ 的单位应使乘积为 J。令 $\mathbf J=\mathbf L+\mathbf S$，则

在 $|\ell,s;j,m\rangle$ 基中该项对角，本征值含 $\hbar^2[j(j+1)-\ell(\ell+1)-s(s+1)]/2$。这说明选择与相互作用对易的耦合基能把矩阵分块；若外场强到使另一组量子数更合适，应重新判断近似层级，不能始终假设 $j$ 是好量子数。

自旋二分之一与 Pauli 矩阵

在 $S_z$ 基 $|+z\rangle=(1,0)^T$、$|-z\rangle=(0,1)^T$ 中，

$S^2=3\hbar^2/4$，任一单位方向 $\hat{\mathbf n}$ 上的 $S_n=(\hbar/2)\hat{\mathbf n}\cdot\boldsymbol\sigma$ 只有 $\pm\hbar/2$ 两个结果。一般纯态

测 $S_z$ 的概率为 $|\alpha|^2,|\beta|^2$。整体相位不影响概率，相对相位会改变其他方向的测量。

例 2：沿倾斜轴测量自旋

粒子制备在 $|+z\rangle$。测量轴 $\hat{\mathbf n}$ 与 $+z$ 夹角为 $\theta=60^\circ$，方位角取零。$S_n$ 的正本征态可写为

$$|+n\rangle=\cos\frac\theta2|+z\rangle +\sin\frac\theta2|-z\rangle.$$

因此

$$P(+\hbar/2)=|\langle+n|+z\rangle|^2 =\cos^2 30^\circ=\frac34,$$

$$P(-\hbar/2)=\frac14.$$

期望值为 $(\hbar/2)(3/4-1/4)=\hbar/4$。若第一步测得正结果，测后态变为 $|+n\rangle$；立即再沿同一轴测量必得正结果。概率描述的是同样制备的统计，不是单个粒子同时带有两种结果。

Bloch 向量、混合态与连续测量

自旋二分之一的一般密度算符可写成

$\mathbf r$ 是无量纲 Bloch 向量。$|\mathbf r|=1$ 表示纯态，$|\mathbf r|<1$ 表示经典混合或与未观测环境纠缠后的约化态。沿 $\hat{\mathbf n}$ 测量的投影为

概率、期望和方差分别为

完全混合态 $\rho=I/2$ 对任意轴都给各半概率，但它不同于某个未知方向的确定纯态：纯态集合的具体统计混合可以给同一 $\rho$，量子预测只由密度算符决定。

连续投影测量必须逐步更新状态。例如初态 $|+z\rangle$，先测 $S_x$ 并筛选 $+\hbar/2$，态变为 $|+x\rangle$；再测 $S_z$ 得正负各半。若最后再次测 $S_x$，由于中间 $S_z$ 测量破坏了 $x$ 基相干，结果也各半。不能把第一步已经获得的 $S_x$ 值跨过不对易测量继续当作确定属性。

磁矩、Zeeman 基与进动

自旋磁矩常与自旋成正比，写成

$\gamma$ 是旋磁比，单位可写为 $\mathrm{s^{-1}\,T^{-1}}$；其符号取决于粒子电荷与磁矩定义。均匀磁场中的相互作用

以 $\mathbf B=B\hat{\mathbf z}$ 为例。$BS_z\gamma$ 单位为 J。能量本征基就是 $S_z$ 基，两个能级差大小为 $\hbar|\gamma|B$。若 $\gamma<0$，低能态与磁场方向的关系和 $\gamma>0$ 相反，不能只画箭头判断。

初态若不是 $S_z$ 本征态，两个分量积累不同动力学相位，Bloch 向量以 Larmor 角频率 $\omega_L=|\gamma|B$ 绕磁场进动。角频率单位为 $\mathrm{rad\,s^{-1}}$，对应周期 $2\pi/\omega_L$。这段演化是幺正旋转，不是投影测量；只有与探测器或环境耦合后，才需要另行描述退相干和测后态。

若磁场方向随空间变化，Hamilton 算符的局部本征基也变化，空间波包和自旋会耦合。把粒子简单分成“向上、向下”两束需要磁场梯度、有限相互作用时间和近似绝热或脉冲条件，不能由 $S_z$ 的两个本征值单独推出完整轨迹。

旋转算符与符号

对态作绕单位轴 $\hat{\mathbf n}$ 的主动旋转，约定

指数无量纲。对无穷小 $\theta$，$U\approx I-i\theta J_n/\hbar$，从群乘法可恢复角动量对易代数。若采用被动旋转坐标轴，指数符号相反；计算中必须声明旋转的是态还是基。

对自旋二分之一，利用 $(\hat{\mathbf n}\cdot\boldsymbol\sigma)^2=I$：

旋转 $2\pi$ 得 $U=-I$，态矢量变号但所有单次系统概率不变；旋转 $4\pi$ 才回到同一向量。相对相位参与干涉时，这个表示性质可产生可观测影响。

例 3：自旋绕 z 轴旋转

初态 $|+x\rangle=(|+z\rangle+|-z\rangle)/\sqrt2$。绕 $+z$ 主动旋转角 $\theta$：

$$U_z(\theta)= \begin{pmatrix}e^{-i\theta/2}&0\\0&e^{i\theta/2}\end{pmatrix}.$$

当 $\theta=\pi/2$，

$$U_z|+x\rangle =\frac1{\sqrt2}(e^{-i\pi/4}|+z\rangle+e^{i\pi/4}|-z\rangle),$$

去掉整体相位后等于 $(|+z\rangle+i|-z\rangle)/\sqrt2=|+y\rangle$。这与右手规则下 $+x$ 方向绕 $+z$ 转到 $+y$ 一致。若得到 $|-y\rangle$，应检查主动/被动约定或指数符号。

两个角动量的加法

复合系统总角动量

非耦合基 $|j_1,m_1\rangle|j_2,m_2\rangle$ 对角化 $J_1^2,J_{1z},J_2^2,J_{2z}$；耦合基 $|J,M;j_1,j_2\rangle$ 对角化 $J_1^2,J_2^2,J^2,J_z$。允许值为

两组基由 Clebsch–Gordan 系数组成的幺正矩阵连接，概率范数保持。维数核验为

两个自旋二分之一给出三维 triplet 与一维 singlet：

triplet 对交换两粒子对称，singlet 反对称。

例 4：乘积态中的总角动量概率

制备 $|\uparrow\downarrow\rangle$。由上式反解

$$|\uparrow\downarrow\rangle =\frac1{\sqrt2}|1,0\rangle +\frac1{\sqrt2}|0,0\rangle.$$

测量总 $J^2$，得到 $J=1$、本征值 $2\hbar^2$ 的概率为 $1/2$；得到 $J=0$、本征值 $0$ 的概率也为 $1/2$。两种结果的 $M$ 都是零，所以测量 $J_z$ 必得零，却不能据此确定总 $J$。

若先测 $J^2$ 得 $J=0$，测后态是纠缠 singlet；随后沿同一轴分别测两粒子自旋，总得到相反结果，但每个粒子的边缘概率仍各为 $1/2$。

全同粒子的交换对称性

交换全同粒子标签的算符记为 $P_{12}$。三维非相对论量子力学中，boson 总态满足 $P_{12}|\Psi\rangle=+|\Psi\rangle$，fermion 总态满足 $P_{12}|\Psi\rangle=-|\Psi\rangle$。要求作用于包括空间、自旋及其他内部自由度的总态，不能只检查自旋部分。

对两个自旋二分之一 fermion，singlet 自旋态反对称，因此空间部分必须对称；triplet 自旋态对称，因此空间部分必须反对称。两个 fermion 处于完全相同单粒子空间态时，空间部分对称，只能配反对称 singlet 自旋态。这是交换对称导致的状态限制，不是粒子之间存在额外经典排斥力。

若粒子可由空间上完全分离且可追踪的模式有效区分，仍应从反对称总态出发；在相关观测中交换项可能因波包重叠很小而不可见。全同与“实验上暂时分得开”不是同一概念。

Slater 行列式与占据限制

给定正交单粒子态 $\phi_a(x),\phi_b(x)$，两个 fermion 的反对称态为

$x$ 包括空间和自旋坐标。若令 $a=b$，两项完全相消，说明两个 fermion 不能占据同一个完整单粒子态。对多个 fermion，这一结构推广为 Slater 行列式。boson 使用加号对称化；若两者处于同一态，归一化系数要根据重复占据重新计算，不能机械保留 $1/\sqrt2$。

交换对称还影响可观测量。物理算符必须在粒子标签交换下保持不变，例如总密度或总自旋；“第一粒子的轨迹”通常不是全同粒子的标签不变可观测量。空间模式或探测器位置可以作为可区分的观测通道，但通道标签不等于给粒子贴上永久身份。

对两个电子占据不同空间轨道时，singlet 与 triplet 的空间对称性不同，即使没有显式自旋依赖势，也可因交换项产生不同能量期望。该差异来自总波函数和相互作用矩阵元，不应描述成经典自旋磁针之间的简单吸引或排斥。

测量简并与概率

若测量算符 $A$ 的本征值 $a$ 对应简并子空间投影 $P_a$，概率为

不能任选简并子空间内某一基矢后只取一个振幅平方。理想 Lüders 测量的归一化测后态为

例如只测两个自旋的总 $J^2$ 并得到 $J=1$，不会进一步区分 $M=1,0,-1$；是否保留这些分量间相干取决于测量实际分辨了哪些可观测量。

常见误区

J² 的本征值是 ℏ²j²

正确值是 $\hbar^2j(j+1)$。$J_z$ 才是 $\hbar m$；两者单位也不同。

自旋二分之一表示粒子转半圈才回原状

它表示旋转群双值表示的量子数。不能用经典刚体表面转速解释；态矢量在 $2\pi$ 旋转后变号，概率保持。

singlet 意味着每个粒子自旋都为零

每个粒子仍有 $S^2=3\hbar^2/4$。为零的是复合系统总角动量量子数 $J$。

练习

练习 1：对易子与共同本征态标记完成

所属知识

角动量代数

难度

3/5

判断 $J^2,J_x,J_y,J_z$ 中哪些组合可选作完整共同本征标签，并说明理由。

查看提示

使用 $[J^{2},J_i]=0$ 与 $[J_x,J_y]=i\hbar J_z$；可对易是共同本征基的必要结构。

查看解答

$J^{2}$ 可与任一单个分量共同对角化，惯例选 $J_z$；$J_x$ 与 $J_y$ 一般不可同时有确定值。若某特殊态让对易子期望为零，也不等于两个算符作为算符对易。

练习 2：升降算符范数标记完成

所属知识

升降算符

难度

3/5

推导 $J_\pm|j,m\rangle$ 的系数，并解释梯子为什么有限。

查看提示

计算 $\langle j,m|J_\mp J_\pm |j,m\rangle$，并用 $J_\mp J_\pm=J^{2}-J_z^{2}\mp \hbar J_z$。

查看解答

范数平方为 $\hbar^{2}[j(j+1)-m(m\pm 1)]$。非负性与梯子终止给 m 从 $-j$ 到 j，每次增加 1；顶端 $J_+|j,j\rangle=0$，底端 $J_-|j,-j\rangle=0$。

练习 3：x 基与 z 基概率标记完成

所属知识

自旋测量

难度

2/5

粒子处于 $|+x\rangle$，求 $S_z$ 的结果、概率、期望和方差，并描述测后序列。

查看提示

写 $|+x\rangle=(|+z\rangle+|-z\rangle)/\sqrt{2}$，再使用振幅模平方。

查看解答

测 $S_z$ 得 $\pm \hbar/2$ 的概率各 1/2，期望值为 0，方差为 $\hbar^{2}/4$。若测得 $+\hbar/2$，测后态为 |+z⟩；随后测 $S_x$ 仍各有 1/2 概率。

练习 4：两个自旋的基变换标记完成

所属知识

角动量加法

难度

3/5

把 $|\uparrow\downarrow\rangle$、$|\downarrow\uparrow\rangle$ 写成耦合基，并检查归一化。

查看提示

使用 triplet m=0 与 singlet 的和差反解两个乘积态。

查看解答

$|\uparrow \downarrow \rangle=(|1,0\rangle+|0,0\rangle)/\sqrt{2}$，$|\downarrow \uparrow \rangle=(|1,0\rangle-|0,0\rangle)/\sqrt{2}$。变换矩阵幺正，故概率归一。测总 $J^{2}$ 时每个乘积态都以 1/2 概率落入 J=1 或 J=0。

练习 5：fermion 总态对称性标记完成

所属知识

全同粒子

难度

4/5

说明两个相同自旋二分之一 fermion 的 singlet/triplet 与空间交换对称性的配对。

查看提示

总交换符号等于空间部分和自旋部分交换符号的乘积。

查看解答

fermion 总态必须反对称。singlet 自旋反对称，故空间态需对称；triplet 自旋对称，故空间态需反对称。两个粒子占同一空间轨道时空间态对称，只允许 singlet。

练习 6：旋转约定核验标记完成

所属知识

旋转

难度

4/5

计算 $|+x\rangle$ 主动绕 $+z$ 旋转 $\pi/2$ 后的态，并说明被动旋转的差别。

查看提示

对主动旋转使用 $U=\exp(-i\theta J_z/\hbar)$，先展开到一阶或直接用 Pauli 指数。

查看解答

主动绕 +z 旋转 $\pi/2$ 把 |+x⟩变为 |+y⟩，只差整体相位。若采用被动旋转坐标基，指数符号反向。用 Bloch 向量右手旋转是检查符号的独立方法。

关系与资源

• Hilbert 空间、量子态与可观测量 提供谱分解、基变换和概率振幅。
• 算符与可观测量 提供自伴性、对易子和投影测量。
• 群、子群与同态 支撑旋转群表示和角动量张量积分解。
• 微扰、变分与量子力学综合复习 使用角动量选择定则和简并子空间。

课程 · 2013

Quantum Physics II

Barton Zwiebach

用于核对 P07 的算符表象、投影测量、角动量代数、自旋系统、复合系统与全同粒子例题。

打开官方来源

MIT OpenCourseWare 8.05 覆盖两态系统、角动量、自旋、角动量加法和全同粒子。本章仅使用该已登记课程作为延伸入口；对易关系、$\hbar$ 单位、基、测量概率和交换对称性均在正文中明确给出。