本章路线
给定精确的运动方程和精确的初始状态，经典力学的演化是确定的；然而，确定并不等于容易预测。一个非线性系统可以把初始状态中极小的差异持续放大，使有限精度测量在一段时间以后失去预测能力。确定性混沌 研究的正是这种由方程自身产生的长期不可预测性，而不是把未建模的随机噪声换一个名称。
本章不再只问“能否写出 q ( t ) q(t) q ( t )
所有有量纲数值均采用 SI。时间用秒，长度用米，速度用米每秒，质量用千克，能量用焦耳。角度以弧度表示；弧度在 SI 中量纲为一。Lyapunov 指数描述单位时间的指数增长，单位为 m a t h r m s − 1 mathrm{s^{-1}} ma t h r m s − 1 m a t h r m s − 1 mathrm{s^{-1}} ma t h r m s − 1
相空间状态与 Hamilton 相流
对 n n n q = ( q 1 , … , q n ) q=(q_1,\ldots,q_n) q = ( q 1 , … , q n )
z = ( q 1 , … , q n , p 1 , … , p n ) , z=(q_1,\ldots,q_n,p_1,\ldots,p_n), z = ( q 1 , … , q n , p 1 , … , p n ) , 即一个 2 n 2n 2 n H ( q , p , t ) H(q,p,t) H ( q , p , t )
z ˙ = X H ( z , t ) , X H = ( ∂ H / ∂ p − ∂ H / ∂ q ) . \dot z=X_H(z,t),
\qquad
X_H=
\begin{pmatrix}
\partial H/\partial p\\
-\partial H/\partial q
\end{pmatrix}. z ˙ = X H ( z , t ) , X H = ( ∂ H / ∂ p − ∂ H / ∂ q ) . 这里 X H X_H X H z 0 z_0 z 0 Φ t ( z 0 ) \Phi^t(z_0) Φ t ( z 0 ) Φ t + s = Φ t ∘ Φ s \Phi^{t+s}=\Phi^t\circ\Phi^s Φ t + s = Φ t ∘ Φ s
相轨道与相流
相轨道是初始状态在相流下生成的集合
Γ ( z 0 ) = { Φ t ( z 0 ) : t ∈ I } . \Gamma(z_0)=\{\Phi^t(z_0):t\in I\}. Γ ( z 0 ) = { Φ t ( z 0 ) : t ∈ I } . 相流是把一整片初始状态同时推进的映射。轨道是一条状态历史，流则说明所有允许初始状态怎样共同演化；两者不能混用。
自治 Hamilton 系统沿轨道满足 d H / d t = 0 \mathrm dH/\mathrm dt=0 d H / d t = 0 H = E H=E H = E
∇ z ⋅ X H = ∑ i = 1 n [ ∂ ∂ q i ( ∂ H ∂ p i ) + ∂ ∂ p i ( − ∂ H ∂ q i ) ] = 0. \nabla_z\!\cdot X_H
=\sum_{i=1}^{n}\left[
\frac{\partial}{\partial q_i}\left(\frac{\partial H}{\partial p_i}\right)
+\frac{\partial}{\partial p_i}\left(-\frac{\partial H}{\partial q_i}\right)
\right]=0. ∇ z ⋅ X H = i = 1 ∑ n [ ∂ q i ∂ ( ∂ p i ∂ H ) + ∂ p i ∂ ( − ∂ q i ∂ H ) ] = 0. 因此一小团初始条件可以被拉长、折叠和剪切，但其正则相空间体积不随时间改变。这不表示每个方向的长度不变，也不排除混沌；混沌中常见的正是某些方向指数伸长、另一些方向相应收缩。耗散系统的相空间散度可以为负，轨道可能收缩到吸引子；不能把这种图景无条件套到自治 Hamilton 流。
固定点与局部稳定性
固定点与线性化
若自治系统在 z ∗ z_\ast z ∗ X H ( z ∗ ) = 0 X_H(z_\ast)=0 X H ( z ∗ ) = 0 z ∗ z_\ast z ∗ ξ = z − z ∗ \xi=z-z_\ast ξ = z − z ∗
ξ ˙ = A ξ + O ( ∥ ξ ∥ 2 ) , A = ∂ X H ∂ z ∣ z ∗ . \dot\xi=A\xi+O(\lVert\xi\rVert^2),
\qquad
A=\left.\frac{\partial X_H}{\partial z}\right|_{z_\ast}. ξ ˙ = A ξ + O (∥ ξ ∥ 2 ) , A = ∂ z ∂ X H z ∗ . A A A
对一自由度自然 Hamiltonian
H ( x , p ) = p 2 2 m + V ( x ) , H(x,p)=\frac{p^2}{2m}+V(x), H ( x , p ) = 2 m p 2 + V ( x ) , 固定点满足 p ∗ = 0 p_\ast=0 p ∗ = 0 V ′ ( x ∗ ) = 0 V'(x_\ast)=0 V ′ ( x ∗ ) = 0
A = ( 0 1 / m − V ′ ′ ( x ∗ ) 0 ) , λ 2 = − V ′ ′ ( x ∗ ) m . A=\begin{pmatrix}
0&1/m\\
-V''(x_\ast)&0
\end{pmatrix},
\qquad
\lambda^2=-\frac{V''(x_\ast)}{m}. A = ( 0 − V ′′ ( x ∗ ) 1/ m 0 ) , λ 2 = − m V ′′ ( x ∗ ) . 若 V ′ ′ ( x ∗ ) > 0 V''(x_\ast)>0 V ′′ ( x ∗ ) > 0 V ′ ′ ( x ∗ ) < 0 V''(x_\ast)<0 V ′′ ( x ∗ ) < 0
例 1：双阱势中的中心、鞍点与分离能量
质量 m = 1.00 k g m=1.00\,\mathrm{kg} m = 1.00 kg
V ( x ) = a 4 x 4 − b 2 x 2 , V(x)=\frac{a}{4}x^4-\frac{b}{2}x^2, V ( x ) = 4 a x 4 − 2 b x 2 , 取 a = 4.00 J m − 4 a=4.00\,\mathrm{J\,m^{-4}} a = 4.00 J m − 4 b = 4.00 J m − 2 b=4.00\,\mathrm{J\,m^{-2}} b = 4.00 J m − 2 V ′ ( x ) = a x 3 − b x V'(x)=ax^3-bx V ′ ( x ) = a x 3 − b x x = 0 x=0 x = 0 x = ± b / a = ± 1.00 m x=\pm\sqrt{b/a}=\pm1.00\,\mathrm m x = ± b / a = ± 1.00 m p = 0 k g m s − 1 p=0\,\mathrm{kg\,m\,s^{-1}} p = 0 kg m s − 1
二阶导数 V ′ ′ ( x ) = 3 a x 2 − b V''(x)=3ax^2-b V ′′ ( x ) = 3 a x 2 − b V ′ ′ ( 0 ) = − 4.00 N m − 1 V''(0)=-4.00\,\mathrm{N\,m^{-1}} V ′′ ( 0 ) = − 4.00 N m − 1 λ = ± 4.00 / 1.00 = ± 2.00 s − 1 \lambda=\pm\sqrt{4.00/1.00}=\pm2.00\,\mathrm{s^{-1}} λ = ± 4.00/1.00 = ± 2.00 s − 1 V ′ ′ ( ± 1.00 m ) = 8.00 N m − 1 V''(\pm1.00\,\mathrm m)=8.00\,\mathrm{N\,m^{-1}} V ′′ ( ± 1.00 m ) = 8.00 N m − 1 ω = 8.00 / 1.00 = 2.83 r a d s − 1 \omega=\sqrt{8.00/1.00}=2.83\,\mathrm{rad\,s^{-1}} ω = 8.00/1.00 = 2.83 rad s − 1
鞍点能量为 E s = V ( 0 ) = 0 J E_s=V(0)=0\,\mathrm J E s = V ( 0 ) = 0 J E < 0 J E<0\,\mathrm J E < 0 J E > 0 J E>0\,\mathrm J E > 0 J E = 0 J E=0\,\mathrm J E = 0 J
可积、非可积与混沌不是同义词
Liouville 可积性
一个 n n n n n n F 1 = H , F 2 , … , F n F_1=H,F_2,\ldots,F_n F 1 = H , F 2 , … , F n
{ F i , F j } = 0 , \{F_i,F_j\}=0, { F i , F j } = 0 , 则称其在 Liouville 意义下可积。对规则紧致能级，局部可引入作用量—角变量，轨道位于不变环面上。
一自由度自治 Hamilton 系统一般由能量这一个积分就达到可积所需数目。两个及以上自由度时，能量守恒通常不够；还要寻找与之对易的独立积分。非可积 只表示缺少所需的全套积分，或者尚未找到它们；它不保证所有轨道都混沌。许多非可积系统的相空间同时包含规则不变环面、共振岛和混沌层。反过来，一张看似复杂的轨迹图也不能证明不可积。
混沌常用若干相互补充的特征识别：对初值敏感、正的最大 Lyapunov 指数、拓扑混合、稠密周期轨道等。不同严格定义所需条件不完全相同。在实际物理计算中，我们通常收集一致的数值证据，而不声称有限数据已经完成全局数学证明。
例 2：简谐振子的闭合相轨道与可积性
质量 m = 0.500 k g m=0.500\,\mathrm{kg} m = 0.500 kg k = 8.00 N m − 1 k=8.00\,\mathrm{N\,m^{-1}} k = 8.00 N m − 1
H ( x , p ) = p 2 2 m + 1 2 k x 2 = E . H(x,p)=\frac{p^2}{2m}+\frac12kx^2=E. H ( x , p ) = 2 m p 2 + 2 1 k x 2 = E . 取 E = 0.160 J E=0.160\,\mathrm J E = 0.160 J A = 2 E / k = 0.200 m A=\sqrt{2E/k}=0.200\,\mathrm m A = 2 E / k = 0.200 m p max = 2 m E = 0.400 k g m s − 1 p_{\max}=\sqrt{2mE}=0.400\,\mathrm{kg\,m\,s^{-1}} p m a x = 2 m E = 0.400 kg m s − 1 ( x , p ) (x,p) ( x , p ) ω = k / m = 4.00 r a d s − 1 \omega=\sqrt{k/m}=4.00\,\mathrm{rad\,s^{-1}} ω = k / m = 4.00 rad s − 1 T = 2 π / ω = 1.57 s T=2\pi/\omega=1.57\,\mathrm s T = 2 π / ω = 1.57 s
任意两条不同能量的椭圆不相交；同一能量上的初值只改变相位。这个一自由度自治系统以 H H H x ( t ) x(t) x ( t )
Poincaré 截面：把连续流压缩成离散映射
高维相轨道直接绘制往往难以判断结构。Poincaré 方法选择一个横截面 Σ \Sigma Σ
P : z k ∈ Σ ⟼ z k + 1 ∈ Σ . P:z_k\in\Sigma\longmapsto z_{k+1}\in\Sigma. P : z k ∈ Σ ⟼ z k + 1 ∈ Σ. 截面条件必须说完整。例如，对驱动周期为 T d T_d T d t k = t 0 + k T d t_k=t_0+kT_d t k = t 0 + k T d t 0 t_0 t 0 q 2 = 0 q_2=0 q 2 = 0 q ˙ 2 > 0 \dot q_2>0 q ˙ 2 > 0
在二维 Poincaré 图上，稳定周期轨道表现为有限个重复点；准周期轨道通常落在闭合曲线上；混沌轨道可在允许区域形成非规则点云。但“点云很散”也可能来自步长过大、事件定位误差、不同能量轨道混画或测量噪声。反之，积分时间太短会让混沌点看似落在一条曲线上。图形必须与误差控制和独立指标一起解释。
Lyapunov 指数：量化邻近轨道分离
设参考轨道 z ( t ) z(t) z ( t ) δ z ( t ) \delta z(t) δz ( t )
δ z ˙ = D z X H ( z ( t ) , t ) δ z . \delta\dot z=D_zX_H(z(t),t)\,\delta z. δ z ˙ = D z X H ( z ( t ) , t ) δz . 最大 Lyapunov 指数定义为
λ max = lim sup t → ∞ 1 t ln ∥ δ z ( t ) ∥ ∥ δ z ( 0 ) ∥ . \lambda_{\max}
=\limsup_{t\to\infty}\frac{1}{t}
\ln\frac{\lVert\delta z(t)\rVert}{\lVert\delta z(0)\rVert}. λ m a x = t → ∞ lim sup t 1 ln ∥ δz ( 0 )∥ ∥ δz ( t )∥ . 若 t t t λ max \lambda_{\max} λ m a x m a t h r m s − 1 mathrm{s^{-1}} ma t h r m s − 1 L 0 L_0 L 0 P 0 P_0 P 0
有限精度下，两轨道距离最终会达到系统尺度并饱和，不能对整段 ln d ( t ) \ln d(t) ln d ( t ) Δ t \Delta t Δ t r k = ∥ δ z k ∥ / δ 0 r_k=\lVert\delta z_k\rVert/\delta_0 r k = ∥ δ z k ∥ / δ 0 δ 0 \delta_0 δ 0 N N N
λ ^ N = 1 N Δ t ∑ k = 1 N ln r k . \widehat\lambda_N=
\frac{1}{N\Delta t}\sum_{k=1}^{N}\ln r_k. λ N = N Δ t 1 k = 1 ∑ N ln r k . 报告结果时至少要给出积分器、步长、总时长、重标定间隔、无量纲化尺度和初始扰动。对自治连续流，总有沿轨道方向对应的零指数；Hamilton 系统的指数常成正负对出现。有限时间略大于零的估计可能只是暂态，需观察随总时长是否形成平台。
例 3：周期受迫摆的截面与有限时间 Lyapunov 估计
取摆长 ℓ = 1.00 m \ell=1.00\,\mathrm m ℓ = 1.00 m m = 1.00 k g m=1.00\,\mathrm{kg} m = 1.00 kg g = 9.81 m s − 2 g=9.81\,\mathrm{m\,s^{-2}} g = 9.81 m s − 2
τ ( t ) = τ 0 cos ( Ω t ) , τ 0 = 9.00 N m , Ω = 2.00 r a d s − 1 . \tau(t)=\tau_0\cos(\Omega t),
\qquad
\tau_0=9.00\,\mathrm{N\,m},
\quad
\Omega=2.00\,\mathrm{rad\,s^{-1}}. τ ( t ) = τ 0 cos ( Ω t ) , τ 0 = 9.00 N m , Ω = 2.00 rad s − 1 . 方程为
m ℓ 2 θ ¨ + m g ℓ sin θ = τ 0 cos ( Ω t ) m\ell^2\ddot\theta+mg\ell\sin\theta=\tau_0\cos(\Omega t) m ℓ 2 θ ¨ + m g ℓ sin θ = τ 0 cos ( Ω t ) T d = 2 π / Ω = 3.14 s T_d=2\pi/\Omega=3.14\,\mathrm s T d = 2 π /Ω = 3.14 s t k = k T d t_k=kT_d t k = k T d ( θ m o d 2 π , p θ ) (\theta\bmod 2\pi,p_\theta) ( θ mod 2 π , p θ ) p θ = m ℓ 2 θ ˙ p_\theta=m\ell^2\dot\theta p θ = m ℓ 2 θ ˙ k g m 2 s − 1 \mathrm{kg\,m^2\,s^{-1}} kg m 2 s − 1
假设采用同一数值流程的两条轨道，经特征角尺度 1 r a d 1\,\mathrm{rad} 1 rad 1.00 k g m 2 s − 1 1.00\,\mathrm{kg\,m^2\,s^{-1}} 1.00 kg m 2 s − 1 d 0 = 1.00 × 10 − 6 d_0=1.00\times10^{-6} d 0 = 1.00 × 1 0 − 6 20.0 s 20.0\,\mathrm s 20.0 s d = 8.10 × 10 − 5 d=8.10\times10^{-5} d = 8.10 × 1 0 − 5
λ ^ = 1 20.0 s ln 8.10 × 10 − 5 1.00 × 10 − 6 = 0.220 s − 1 . \widehat\lambda
=\frac{1}{20.0\,\mathrm s}\ln\frac{8.10\times10^{-5}}{1.00\times10^{-6}}
=0.220\,\mathrm{s^{-1}}. λ = 20.0 s 1 ln 1.00 × 1 0 − 6 8.10 × 1 0 − 5 = 0.220 s − 1 . 对应的扰动放大时间约为 1 / λ ^ = 4.55 s 1/\widehat\lambda=4.55\,\mathrm s 1/ λ = 4.55 s
探索实验：一份可以复现的混沌诊断协议
选用例 3 的受迫摆，把状态写成 ( θ , p θ , ϕ ) (\theta,p_\theta,\phi) ( θ , p θ , ϕ ) ϕ = Ω t m o d 2 π \phi=\Omega t\bmod 2\pi ϕ = Ω t mod 2 π θ ( 0 ) = 0.200 r a d \theta(0)=0.200\,\mathrm{rad} θ ( 0 ) = 0.200 rad p θ ( 0 ) = 0 k g m 2 s − 1 p_\theta(0)=0\,\mathrm{kg\,m^2\,s^{-1}} p θ ( 0 ) = 0 kg m 2 s − 1 ϕ ( 0 ) = 0 \phi(0)=0 ϕ ( 0 ) = 0 h = 1.00 × 10 − 3 s h=1.00\times10^{-3}\,\mathrm s h = 1.00 × 1 0 − 3 s 2000 2000 2000 200 200 200 5.00 × 10 − 4 s 5.00\times10^{-4}\,\mathrm s 5.00 × 1 0 − 4 s
Lyapunov 估计另取无量纲初始扰动 δ 0 = 10 − 8 \delta_0=10^{-8} δ 0 = 1 0 − 8 Δ t = T d \Delta t=T_d Δ t = T d λ ^ N \widehat\lambda_N λ N 1.00 N m 1.00\,\mathrm{N\,m} 1.00 N m
该实验不要求得到某个预设的“漂亮混沌海”。它要求保存方程、单位、参数、初值、积分器、步长、取样相位、舍弃暂态长度和重标定规则。只有这些信息齐全，另一位读者才能复算并判断结论是否稳健。
数值证据的边界
有限时间不能实现定义中的无限时间极限。 可报告有限时间 Lyapunov 指数及其平台，但不能把它写成严格极限已经求得。轨道图不是证明。 闭曲线可能是积分时间不足，散点可能是事件定位或步长误差；应联合守恒误差、步长收敛和 Lyapunov 估计。没有找到积分不等于证明不存在积分。 非可积性的严格证明通常需要专门的解析工具；数值搜索只能说明在指定函数族和精度内未发现。正的局部伸长率不必等于正的渐近指数。 轨道经过鞍点附近会暂时放大扰动，之后仍可能回到规则区域。随机噪声也能制造表面分离。 应明确方程是否确定、数据是否含噪，并用重复试验和噪声模型区分两者。一个初值不能代表整个能量面。 混合相空间中规则岛与混沌海可以共存，结论必须限定参数和初值区域。
常见误区
把相空间轨道相交当作混沌证据。 对满足唯一性的自治方程，真正的相轨道不横穿；常见“交叉”来自构型投影或不同取样时相叠画。把非周期运动都叫混沌。 两个不可公度频率组成的准周期运动不重复，却可位于平滑不变环面且最大 Lyapunov 指数为零。把能量守恒当作可积。 n n n n n n H H H 认为混沌违反确定性。 方程仍确定；实际不可预测来自初始信息有限与误差指数放大。忽略坐标尺度。 用未经缩放的异量纲分量计算距离，会让 Lyapunov 数值依赖米、厘米等单位选择。只凭默认求解器设置下结论。 未报告容差、步长、事件定位与收敛检查的图不能形成可审计证据。
练习：从相流到证据边界
练习 1：自由粒子的相流
所属知识 相空间流
难度 2/5 质量 m = 2.00 k g m=2.00\,\mathrm{kg} m = 2.00 kg x ( 0 ) = 1.00 m x(0)=1.00\,\mathrm m x ( 0 ) = 1.00 m p ( 0 ) = 6.00 k g m s − 1 p(0)=6.00\,\mathrm{kg\,m\,s^{-1}} p ( 0 ) = 6.00 kg m s − 1 Φ t ( x 0 , p 0 ) \Phi^t(x_0,p_0) Φ t ( x 0 , p 0 ) t = 3.00 s t=3.00\,\mathrm s t = 3.00 s ( x , p ) (x,p) ( x , p )
查看提示 先写出
H = p 2 / ( 2 m ) H=p^{2}/(2m) H = p 2 / ( 2 m ) ，再积分两条正则方程；比较相空间轨道与构型投影。
查看解答 H = p 2 / ( 2 m ) H=p^2/(2m) H = p 2 / ( 2 m ) x ˙ = p / m \dot x=p/m x ˙ = p / m p ˙ = 0 \dot p=0 p ˙ = 0
Φ t ( x 0 , p 0 ) = ( x 0 + p 0 t / m , p 0 ) . \Phi^t(x_0,p_0)=(x_0+p_0t/m,p_0). Φ t ( x 0 , p 0 ) = ( x 0 + p 0 t / m , p 0 ) . 3.00 s 3.00\,\mathrm s 3.00 s x = 1.00 m + ( 6.00 / 2.00 ) m s − 1 ( 3.00 s ) = 10.0 m x=1.00\,\mathrm m+(6.00/2.00)\,\mathrm{m\,s^{-1}}(3.00\,\mathrm s)=10.0\,\mathrm m x = 1.00 m + ( 6.00/2.00 ) m s − 1 ( 3.00 s ) = 10.0 m p = 6.00 k g m s − 1 p=6.00\,\mathrm{kg\,m\,s^{-1}} p = 6.00 kg m s − 1 x x x
练习 2：倒立摆的局部指数
所属知识 固定点稳定性
难度 3/5 长度 ℓ = 0.800 m \ell=0.800\,\mathrm m ℓ = 0.800 m θ ¨ + ( g / ℓ ) sin θ = 0 \ddot\theta+(g/\ell)\sin\theta=0 θ ¨ + ( g / ℓ ) sin θ = 0 g = 9.81 m s − 2 g=9.81\,\mathrm{m\,s^{-2}} g = 9.81 m s − 2 θ = π \theta=\pi θ = π
查看提示 在
θ = π + η \theta=\pi+\eta θ = π + η 附近用
sin ( π + η ) ≈ − η \sin(\pi+\eta)\approx-\eta sin ( π + η ) ≈ − η ，得到关于
η \eta η 的线性方程。
查看解答 令 θ = π + η \theta=\pi+\eta θ = π + η sin ( π + η ) ≈ − η \sin(\pi+\eta)\approx-\eta sin ( π + η ) ≈ − η η ¨ − ( g / ℓ ) η = 0 \ddot\eta-(g/\ell)\eta=0 η ¨ − ( g / ℓ ) η = 0
λ = ± g / ℓ = ± 9.81 / 0.800 s − 1 = ± 3.50 s − 1 . \lambda=\pm\sqrt{g/\ell}
=\pm\sqrt{9.81/0.800}\,\mathrm{s^{-1}}
=\pm3.50\,\mathrm{s^{-1}}. λ = ± g / ℓ = ± 9.81/0.800 s − 1 = ± 3.50 s − 1 . 正指数表示局部非稳定方向；它没有单独证明单摆全局混沌。
练习 3：设计无歧义的 Poincaré 取样
所属知识 Poincaré 截面
难度 3/5 二维自治 Hamilton 系统状态为 ( q 1 , q 2 , p 1 , p 2 ) (q_1,q_2,p_1,p_2) ( q 1 , q 2 , p 1 , p 2 ) E = 5.00 J E=5.00\,\mathrm J E = 5.00 J q 2 = 0 m q_2=0\,\mathrm m q 2 = 0 m
查看提示 需要同时规定截面方程、穿越方向，以及能量或驱动相位。
查看解答 可定义
Σ = { ( q , p ) : H ( q , p ) = 5.00 J , q 2 = 0 m , q ˙ 2 > 0 m s − 1 } . \Sigma=\{(q,p):H(q,p)=5.00\,\mathrm J,
\ q_2=0\,\mathrm m,\ \dot q_2>0\,\mathrm{m\,s^{-1}}\}. Σ = {( q , p ) : H ( q , p ) = 5.00 J , q 2 = 0 m , q ˙ 2 > 0 m s − 1 } . 能量约束通常可消去一个动量分支，记录其余两个独立坐标。若不规定
q ˙ 2 > 0 \dot q_2>0 q ˙ 2 > 0
练习 4：由分离数据估计 Lyapunov 指数
所属知识 Lyapunov 指数
难度 3/5 两条无量纲化后的邻近轨道初始距离为 2.00 × 10 − 7 2.00\times10^{-7} 2.00 × 1 0 − 7 15.0 s 15.0\,\mathrm s 15.0 s 1.80 × 10 − 5 1.80\times10^{-5} 1.80 × 1 0 − 5 e e e
查看提示 使用
λ ^ = t − 1 ln [ d ( t ) / d ( 0 ) ] \hat{\lambda}=t^{-1} \ln[d(t)/d(0)] λ ^ = t − 1 ln [ d ( t ) / d ( 0 )] ，时间必须以秒代入。
查看解答 距离比为 90.0 90.0 90.0
λ ^ = ln 90.0 15.0 s = 0.300 s − 1 . \widehat\lambda=\frac{\ln90.0}{15.0\,\mathrm s}
=0.300\,\mathrm{s^{-1}}. λ = 15.0 s ln 90.0 = 0.300 s − 1 . e e e 1 / λ ^ = 3.33 s 1/\widehat\lambda=3.33\,\mathrm s 1/ λ = 3.33 s
练习 5：判断一自由度自治系统的证据
所属知识 可积性
难度 4/5 一个光滑的一自由度自治 Hamiltonian 为
H = p 2 / ( 2 m ) + V ( q ) H=p^2/(2m)+V(q) H = p 2 / ( 2 m ) + V ( q ) V ( q ) V(q) V ( q )
查看提示 先数自由度，再数已知独立、对易的运动常数；最后区分鞍点与全局混沌。
查看解答 一自由度 Liouville 可积只需要一个独立积分，自治系统的 H H H
练习 6：识别数值假阳性
所属知识 数值证据
难度 4/5 某自治 Hamilton 系统用步长 h = 0.0200 s h=0.0200\,\mathrm s h = 0.0200 s 100 s 100\,\mathrm s 100 s 10.0 J 10.0\,\mathrm J 10.0 J 16.0 J 16.0\,\mathrm J 16.0 J
查看提示 比较步长减半前后的截面、守恒误差和指数平台，而不只看一张图。
查看解答 首先，改用适合 Hamilton 系统的高精度或辛积分方法，并将步长依次减半，检查点云是否收敛。其次，单独报告能量误差；6.0 J 6.0\,\mathrm J 6.0 J
关系、资源与后续学习
课程 · 2014 Classical Mechanics III Iain Stewart
用于核对 P02 的变分条件、约束处理、Hamilton 形式、Poisson 括号、正则变换和混沌例题。
打开官方来源 MIT OpenCourseWare 8.09《Classical Mechanics III》可用于复核 Hamilton 动力学、正则结构和非线性运动的课程脉络。本章的参数化例题、有限时间指数数据与复现实验方案均在正文中独立给出，不把课程资源未明确给出的数值结果归于该资源。
下一步进入综合复习：面对一个新系统，先从自由度与约束建立 Lagrangian，再由对称性寻找守恒量，检查 Legendre 变换后构造 Hamilton 流；只有当解析积分不足时，才在说明数值误差和证据边界的前提下使用截面与 Lyapunov 指数。