动量、冲量与碰撞

本章路线

本章研究力在一段时间内的累积效应，以及多个物体发生短时相互作用时系统运动如何改变。除非另行说明，使用地面惯性参考系；一维问题取向右为 $+x$，二维问题取向右为 $+x$、向上为 $+y$。质量用千克，速度用米每秒，动量用 $\mathrm{kg\,m\,s^{-1}}$，力用牛顿，冲量用 $\mathrm{N\,s}$。因为 $1\,\mathrm{N\,s}=1\,\mathrm{kg\,m\,s^{-1}}$，冲量可以直接与动量变化比较。

任何守恒判断都从系统边界开始。选择“两辆车”为系统，车之间的碰撞力是内力，路面对车的摩擦与地球重力是外力；只选其中一辆车，另一辆车的接触力就跨边界成为外力。动量守恒不是一句脱离边界的口号，而是“所选系统在指定时间区间内总外冲量为零或相对很小”的结论。

动量为何适合短时相互作用

碰撞力可能在几毫秒内迅速变化，峰值难以直接测量。若我们关心的是碰撞前后的速度，就不必重建力的每个瞬时细节；只需知道力—时间曲线的有向面积，即冲量。碰撞持续时间很短时，重力等外力虽未消失，但其冲量可能远小于物体彼此施加的接触冲量，于是系统总动量可近似守恒。

质点动量与系统总动量

质量恒定为 $m$、在指定参考系中速度为 $\boldsymbol v$ 的质点，其线动量为

$$\boldsymbol p=m\boldsymbol v.$$

由多个质点组成的系统，总动量为矢量和

$$\boldsymbol P=\sum_i\boldsymbol p_i=\sum_i m_i\boldsymbol v_i.$$

动量有方向，且依赖参考系。不能把各物体动量大小相加来代替矢量和。

冲量—动量定理

冲量

力 $\boldsymbol F(t)$ 在 $t_1$ 到 $t_2$ 内的冲量定义为

$$\boldsymbol J=\int_{t_1}^{t_2}\boldsymbol F(t)\,\mathrm dt.$$

若只知道该区间平均力，则 $\boldsymbol J=\boldsymbol F_{\mathrm{avg}}\Delta t$。冲量方向由力的有向时间积分决定；力—时间图位于坐标轴下方的面积贡献为负。

对质量恒定的质点，Newton 第二定律可写成

在时间上积分得到

这就是冲量—动量定理。左侧是所有外加于该质点的力的净冲量，不是某个峰值力乘一个猜测时间。若力曲线为三角形、梯形或分段函数，应计算有向面积；平均力是产生相同冲量的等效恒力，并不表示真实力始终等于该值。

例 1：反弹使动量变化大于只停下

质量 $m=0.150\,\mathrm{kg}$ 的球相对地面以 $20.0\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 沿 $+x$ 方向飞来，与墙接触 $0.0120\,\mathrm s$ 后以 $15.0\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 沿 $-x$ 方向离开。忽略接触期间重力在水平方向的冲量。

球的动量变化为

$$\Delta p_x=m(v_{2x}-v_{1x}) =(0.150)(-15.0-20.0) =-5.25\,\mathrm{kg\,m\,s^{-1}}.$$

因此墙对球的水平冲量是 $J_x=-5.25\,\mathrm{N\,s}$，平均水平力为

$$F_{\mathrm{avg},x}=\frac{J_x}{\Delta t} =-438\,\mathrm N.$$

负号表示方向向左。若球只减速到静止，动量变化将是 $-3.00\,\mathrm{kg\,m\,s^{-1}}$；反弹还要建立反向动量，所以冲量绝对值更大。

多质点系统、内力抵消与外冲量

对系统内第 $i$ 个质点，受力可分为外力与来自其他系统成员的内力。若内力满足成对、同时、等大反向的 Newton 第三定律形式，则对所有质点求和时内力相消：

在时间区间内积分：

因此严格守恒条件是 $\boldsymbol J_{\mathrm{ext}}=\boldsymbol 0$。实验中常使用近似条件 $\lVert\boldsymbol J_{\mathrm{ext}}\rVert\ll\lVert\Delta\boldsymbol p_i\rVert$。例如水平气垫导轨上的两滑块碰撞时，竖直方向支持力与重力大致抵消，水平方向轨道阻力在短碰撞内冲量很小；于是只对水平分量使用近似守恒。若碰撞时间很长或外推力很强，这个近似就可能失效。

系统边界还决定“质量是否固定”。若物质跨边界流入或流出，如火箭喷气、漏沙车或雨滴落入小车，不能仅对剩余物体写 $\boldsymbol P_2=\boldsymbol P_1$；必须把越过边界的动量通量纳入账本，或扩大系统使总质量固定。

质心与质心参考系

质心位置与质心速度

总质量 $M=\sum_i m_i$ 固定时，系统质心位置和速度为

$$\boldsymbol R_{\mathrm{cm}}= \frac{1}{M}\sum_i m_i\boldsymbol r_i, \qquad \boldsymbol V_{\mathrm{cm}}= \frac{1}{M}\sum_i m_i\boldsymbol v_i =\frac{\boldsymbol P}{M}.$$

因此

$$M\frac{\mathrm d\boldsymbol V_{\mathrm{cm}}}{\mathrm dt} =\boldsymbol F_{\mathrm{ext}}.$$

内力能改变物体彼此间的运动，却不能单独改变固定质量系统质心的运动。

在以 $\boldsymbol V_{\mathrm{cm}}$ 匀速平移的质心惯性系中，各粒子速度为 $\boldsymbol v_i'=\boldsymbol v_i-\boldsymbol V_{\mathrm{cm}}$，总动量为

碰撞前后若外冲量为零，质心系保持同一个惯性系，总动量始终为零。这个视角把整体平移与相对运动分开：碰撞可以重排质心系中的动能和方向，却不影响质心匀速运动。

碰撞分类：动量守恒不等于动能守恒

弹性、非弹性与完全非弹性碰撞

在外冲量可忽略的碰撞系统中，总动量守恒。若碰撞前后总动能也相等，称为弹性碰撞；若总动能减少并转为形变、内能、声等形式，称为非弹性碰撞；若物体碰后粘在一起并具有共同速度，称为完全非弹性碰撞。

完全非弹性并不意味着“动量损失最多”，也不表示所有能量消失。它是在给定初始总动量和总质量下，碰后共同平移的动能最小、转入内部自由度的动能最多。总能量仍然守恒，只是宏观平动动能不守恒。

一维碰撞还常用恢复系数刻画沿碰撞法线的相对分离速度：

其中 $u_1,u_2$ 是碰前速度分量，$v_1,v_2$ 是碰后速度分量，坐标正方向必须统一。$e=1$ 对应理想弹性，$e=0$ 对应共同法向速度。恢复系数只是特定接触条件下的经验参数，不应在二维斜碰中把速率大小直接代入。

例 2：一维弹性碰撞同时使用两条守恒式

光滑水平轨道上，质量 $m_1=1.50\,\mathrm{kg}$ 的滑块以 $u_1=+4.00\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 撞向静止的 $m_2=2.50\,\mathrm{kg}$ 滑块。碰撞为理想弹性，向右为 $+x$。由一维弹性碰撞结果

$$v_1=\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}u_1=-1.00\,\mathrm{m\,s^{-1}},$$

$$v_2=\frac{2m_1}{m_1+m_2}u_1=+3.00\,\mathrm{m\,s^{-1}}.$$

代回核对动量：初态 $P_x=(1.50)(4.00)=6.00\,\mathrm{kg\,m\,s^{-1}}$；末态 $P_x=(1.50)(-1.00)+(2.50)(3.00)=6.00\,\mathrm{kg\,m\,s^{-1}}$。初动能为 $12.0\,\mathrm J$，末动能为 $0.750+11.25=12.0\,\mathrm J$。较轻滑块反弹不是负能量，而是速度方向改变。

质心速度为 $V_{\mathrm{cm}}=P/M=1.50\,\mathrm{m\,s^{-1}}$。在质心系中，碰前速度为 $+2.50$ 和 $-1.50\,\mathrm{m\,s^{-1}}$，碰后恰好反向为 $-2.50$ 和 $+1.50\,\mathrm{m\,s^{-1}}$，清楚显示理想一维弹性碰撞的相对运动反向。

例 3：相向车辆粘连后的共同速度与动能损失

在水平直路的地面参考系中，质量 $m_1=1.00\times10^3\,\mathrm{kg}$ 的车以 $u_1=+20.0\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 向东行驶，质量 $m_2=1.50\times10^3\,\mathrm{kg}$ 的车以 $u_2=-10.0\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 向西行驶。碰后两车锁在一起。假设碰撞时间很短，水平外冲量相对接触冲量可忽略。

共同速度为

$$v=\frac{m_1u_1+m_2u_2}{m_1+m_2} =\frac{2.00\times10^4-1.50\times10^4}{2.50\times10^3} =+2.00\,\mathrm{m\,s^{-1}}.$$

正号表示向东。初始总动能为

$$K_i=\frac12(1000)(20.0)^2+ \frac12(1500)(10.0)^2=2.75\times10^5\,\mathrm J,$$

末态共同平动动能为

$$K_f=\frac12(2500)(2.00)^2=5.00\times10^3\,\mathrm J.$$

减少的 $2.70\times10^5\,\mathrm J$ 转入车辆形变、内能和声等通道。不能用能量守恒把 $K_i$ 直接等于 $K_f$；这里守恒的是完整系统总能量，而不是宏观平动动能。

二维碰撞必须按分量守恒

若水平面内总外冲量可忽略，动量守恒是一条矢量方程，相当于

不能只守恒动量大小，也不能把各速度的夹角丢掉。二维弹性碰撞除两个动量分量外还有总动能守恒，但未知量数量仍可能多于方程数；常需给出一个散射角、碰撞几何或接触法线。

例 4：二维等质量弹性碰撞的分量核对

两个质量均为 $0.200\,\mathrm{kg}$ 的小球在水平光滑桌面上碰撞。球 A 初速度为 $(5.00,0)\,\mathrm{m\,s^{-1}}$，球 B 初始静止。碰后 A 的速度大小为 $3.00\,\mathrm{m\,s^{-1}}$，方向相对 $+x$ 轴向上 $53.1^\circ$。求 B 的速度，并判断是否与弹性碰撞相容。

A 的末动量为

$$\boldsymbol p_{A,f}=0.200(3.00)(\cos53.1^\circ,\sin53.1^\circ) =(0.360,0.480)\,\mathrm{kg\,m\,s^{-1}}.$$

初总动量为 $(1.00,0)\,\mathrm{kg\,m\,s^{-1}}$，故

$$\boldsymbol p_{B,f}=(0.640,-0.480)\,\mathrm{kg\,m\,s^{-1}},$$

$$\boldsymbol v_{B,f}=(3.20,-2.40)\,\mathrm{m\,s^{-1}}.$$

B 的速率为 $4.00\,\mathrm{m\,s^{-1}}$，方向相对 $+x$ 轴向下 $36.9^\circ$。初动能为 $\tfrac12(0.200)(5.00)^2=2.50\,\mathrm J$；末动能为 $\tfrac12(0.200)(3.00)^2+\tfrac12(0.200)(4.00)^2=2.50\,\mathrm J$，因此数据与理想弹性碰撞相容。两个末速度还互相垂直，这是等质量、一个初静止的理想弹性特例，不可推广到任意质量。

爆炸、反冲与“内力不能改变总动量”

爆炸是碰撞的时间反演式问题：内部储存的化学能或弹性能转为各部分动能。若外冲量可忽略，碎片总动量仍等于爆炸前总动量。一个初始静止的系统爆炸后，各碎片动量矢量和为零，但总动能可以增加。增加的动能来自内部能量，不违反能量守恒。

枪械反冲、人在无摩擦小车上行走和宇航员抛出工具都体现同一原则。内力能改变成员速度和相对运动，但固定质量封闭系统的质心仍保持匀速。若把枪单独作为系统，子弹对枪的作用是外力；若把枪与子弹合为系统，发射力是内力，初始总动量近似为零。

常见误区与适用边界

常见误区

“只要发生碰撞，动量一定守恒。”只有所选系统的总外冲量为零或可忽略时才成立；系统边界或时间区间改变，结论也可能改变。

常见误区

“动量守恒就说明动能守恒。”非弹性碰撞保持总动量，却把部分平动动能转入内部自由度。

常见误区

“碰撞力很大，所以两个物体受力不同。”一对接触力在同一时刻等大反向；两物体加速度不同通常来自质量不同。

常见误区

“完全非弹性碰撞后物体一定静止。”它们只需具有共同速度；共同速度由初始总动量决定，可以不为零。

常见误区

“质心系就是实验室里某个固定点。”质心系以 $\boldsymbol V_{\mathrm{cm}}$ 平移。只有总动量为零时，它才与当前实验室系静止重合。

分析碰撞时先画系统边界和坐标轴，写出碰前、碰后的有向速度；估算外力冲量与内部动量改变量之比；再按分量写动量方程。只有题目明确为弹性或给出恢复系数时，才能增加相应方程。最后核对动量单位、方向、动能是否非负，以及非弹性过程是否错误地产生了平动动能。

探索实验：低摩擦小车的碰撞账本

在水平轨道上放置两辆质量不同的小车，分别贴上可跟踪标记。用电子秤记录 $m_1,m_2$，单位为千克；相机固定在轨道侧面，光轴尽量垂直于运动平面，画面中保留米制标尺，并记录帧率，例如 $120\,\mathrm{frame\,s^{-1}}$。取轨道向右为 $+x$，地面为参考系。

分别安排磁性缓冲近弹性碰撞与粘扣带完全非弹性碰撞。用碰撞前后各一段位置—时间数据拟合速度，避免用接触期间模糊帧直接求瞬时速度。计算

以及 $K_i,K_f$。报告相对动量差 $|P_f-P_i|/\max(|P_i|,m_1|u_1|+m_2|u_2|)$，避免在 $P_i$ 接近零时用它作分母造成虚高。再用碰撞时长上界 $\Delta t$ 和轨道阻力上界 $F_r$ 估算外冲量 $F_r\Delta t$，判断动量差是否能由外部作用与测速不确定度解释。

近弹性组应比较 $K_f/K_i$ 是否接近 1；粘连组应核对两车末速度是否在不确定度内相同，并比较共同速度与动量守恒预测。实验不应把“磁铁看起来弹开”直接当成弹性证明，也不应因为动量差很小就宣称机械能守恒。

练习

练习标记完成

所属知识

冲量

难度

1/5

沿 $+x$ 方向的力在前 $0.0200\,\mathrm s$ 内由零线性升至 $300\,\mathrm N$，随后在 $0.0100\,\mathrm s$ 内保持 $300\,\mathrm N$，再瞬间撤去。求总冲量。

查看提示

冲量是力—时间图的有向面积；矩形和三角形分别计算。

查看解答

上升段冲量为三角形面积 $\tfrac12(0.0200)(300)=3.00\,\mathrm{N\,s}$；恒力段为 $(0.0100)(300)=3.00\,\mathrm{N\,s}$。总冲量为 $+6.00\,\mathrm{N\,s}$，方向沿 $+x$。

练习标记完成

所属知识

外冲量

难度

2/5

质量 $4.00\,\mathrm{kg}$ 的小车在 $+x$ 方向的速度由 $1.50\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 变为 $5.00\,\mathrm{m\,s^{-1}}$，历时 $2.00\,\mathrm s$。求净外冲量和平均净外力。

查看提示

先算系统动量变化，再由 $J_{ext}=\Delta P$ 求平均外力。

查看解答

$\Delta p_x=4.00(5.00-1.50)=+14.0\,\mathrm{kg\,m\,s^{-1}}$，故净外冲量为 $+14.0\,\mathrm{N\,s}$。平均净外力为 $14.0/2.00=+7.00\,\mathrm N$。

练习标记完成

所属知识

完全非弹性碰撞

难度

2/5

水平光滑轨道上，$0.500\,\mathrm{kg}$ 滑块以 $+6.00\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 撞上静止的 $1.00\,\mathrm{kg}$ 滑块并粘住。求共同速度和损失的平动动能。

查看提示

碰后共同速度相同；只对两滑块系统写总动量守恒。

查看解答

共同速度 $v=(0.500)(6.00)/(1.50)=+2.00\,\mathrm{m\,s^{-1}}$。初动能为 $9.00\,\mathrm J$，末动能为 $\tfrac12(1.50)(2.00)^2=3.00\,\mathrm J$，所以 $6.00\,\mathrm J$ 转入内能、形变和声等通道。

练习标记完成

所属知识

质心系

难度

3/5

质量 $2.00\,\mathrm{kg}$ 的物体以 $+5.00\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 运动，质量 $3.00\,\mathrm{kg}$ 的物体以 $-1.00\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 运动。求质心速度及两物体在质心系中的速度，并核对质心系总动量。

查看提示

先用 $V_{cm}=P/M$，再从每个实验室系速度减去 $V_{cm}$。

查看解答

实验室系总动量为 $2.00(5.00)+3.00(-1.00)=7.00\,\mathrm{kg\,m\,s^{-1}}$，故 $V_{\mathrm{cm}}=7.00/5.00=+1.40\,\mathrm{m\,s^{-1}}$。质心系速度分别为 $+3.60$ 与 $-2.40\,\mathrm{m\,s^{-1}}$；总动量 $2.00(3.60)+3.00(-2.40)=0$。

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所属知识

一维弹性碰撞

难度

3/5

两个质量均为 $0.250\,\mathrm{kg}$ 的小球在一维光滑轨道上碰撞。A 初速度为 $+8.00\,\mathrm{m\,s^{-1}}$，B 静止，碰撞理想弹性。求两球末速度并核对总动量和总动能。

查看提示

等质量且一个初始静止的理想一维弹性碰撞会交换速度，也可联立动量和动能方程验证。

查看解答

等质量特例中两球交换速度，所以 $v_A=0$、$v_B=+8.00\,\mathrm{m\,s^{-1}}$。碰前后总动量均为 $2.00\,\mathrm{kg\,m\,s^{-1}}$，总动能均为 $8.00\,\mathrm J$。这依赖一维、等质量、一个初静止和理想弹性四个条件。

练习标记完成

所属知识

二维动量

难度

3/5

质量 $0.100\,\mathrm{kg}$ 的冰球初速度为 $(6.00,2.00)\,\mathrm{m\,s^{-1}}$，与同质量静止冰球碰撞后，第一球速度变为 $(2.00,3.00)\,\mathrm{m\,s^{-1}}$。若水平外冲量可忽略，求第二球末速度，并判断平动动能是否守恒。

查看提示

分别写 x、y 两个动量分量；不要守恒速度大小。

查看解答

等质量使速度矢量可直接按动量差求得：$\boldsymbol v_{2f}=(6.00,2.00)-(2.00,3.00)=(4.00,-1.00)\,\mathrm{m\,s^{-1}}$。初动能为 $\tfrac12(0.100)(6.00^2+2.00^2)=2.00\,\mathrm J$；末动能为 $\tfrac12(0.100)[2.00^2+3.00^2+4.00^2+(-1.00)^2]=1.50\,\mathrm J$，减少 $0.500\,\mathrm J$，故该过程非弹性。

关系、资源与后续学习

• 质点运动学与参考系 提供有向速度和相对运动；所有动量分量都依赖同一参考系。
• Newton 运动定律 给出动量变化率和系统内外力的划分。
• 向量 支撑二维碰撞的分量守恒与方向检查。
• 功、势能与机械能守恒 用能量分类补充动量方程，并解释非弹性碰撞中的动能去向。
• 刚体转动、角动量与转动惯量 将质心平动扩展到绕质心的转动与角动量守恒。

课程 · 2016

Classical Mechanics

Deepto Chakrabarty, Peter Dourmashkin, Michelle Tomasik, Anna Frebel, Vladan Vuletic

用于核对 P01 的受力模型、守恒定律、参考系约定、转动公式、完整例题和练习。

打开官方来源

MIT OpenCourseWare 8.01SC《Classical Mechanics》系统覆盖动量、冲量、质心、碰撞与相关守恒定律。本章依据该经典力学范围组织推导和例题，同时显式补充系统边界、参考系、SI 单位、外冲量近似与弹性边界；资源卡用于追溯课程来源，不代替正文的守恒条件核对。

接下来学习 刚体转动、角动量与转动惯量：线动量决定质心平移，角动量则描述相对选定原点或质心的转动。完成两者后，在 引力、轨道与经典力学综合复习 中联合选择受力、能量或动量方法，并说明每条守恒定律各自依赖的系统边界和外界通量条件。