不确定度传播与数据拟合

学习目标：让最终结果继承所有输入信息

密度不是仪器直接显示的量，而是由质量和体积算出的；速度可能来自位置—时间直线的斜率；电阻可能由电压与电流之比得到。每个输入都有分辨率、重复性、校准和环境影响，最终结果不能只保留计算器给出的中心值。不确定度传播回答：若输入量只能确定到某种分散程度，测量方程的输出能确定到什么程度？

这不是把所有“$\pm$”机械相加。必须先说清输入给的是标准差、区间半宽还是最大允许偏差；输入是否相关；测量函数在不确定度覆盖的区域内是否近似线性。只有这些语义明确，平方和、协方差矩阵或 Monte Carlo 才是可解释的工具。

测量方程与四种不确定度表达

测量方程

把被测量 $Y$ 与输入量 $X_1,\ldots,X_m$ 的关系写成

$$Y=f(X_1,\ldots,X_m).$$

代入输入估计值 $x_1,\ldots,x_m$ 得输出估计值 $y=f(x_1,\ldots,x_m)$。方程必须保持单位一致，并包含足以影响目标精度的修正项。例如热膨胀不可忽略时，室温读出的长度不能只写成卡尺示值，还应包含温度修正。

以下四个量不可混称：

1. 输入量 $x_i$ 的标准不确定度 $u(x_i)$ 以标准差表示，单位与 $x_i$ 相同。
2. 多个输入经模型合成后，输出的合成标准不确定度记作 $u_c(y)$，单位与 $y$ 相同。
3. 扩展不确定度定义为 $U=k u_c(y)$，其中覆盖因子 $k$ 无量纲。报告必须同时写出 $k$ 及覆盖解释。
4. 最坏情况界是在每个输入都落在规定界内时对输出偏差的保守上界。它不是标准差，也不自动对应某个覆盖概率。

结果可写成

但只有在输出分布、有效自由度和覆盖方法支持时，才能进一步说明其近似覆盖概率。把 $k=2$ 一概称为“严格 $95\%$ 置信区间”并不可靠：测量不确定度的覆盖区间与重复抽样定义的统计置信区间有关联，但概念和条件不完全相同。

一阶线性化：灵敏系数从哪里来

在输入估计值附近令偏离为 $\delta x_i=X_i-x_i$。若 $f$ 可微，且输入分散区域内高阶项可以忽略，一阶 Taylor 展开给出

$c_i$ 称为灵敏系数，其单位为“输出单位除以第 $i$ 个输入单位”。因此 $c_i u(x_i)$ 总与输出 $y$ 同单位，量纲检查能发现漏导数、单位换算和错误幂次。

含协方差的一阶传播公式

输入 $X_i$ 与 $X_j$ 的协方差记为 $u(x_i,x_j)=\operatorname{cov}(X_i,X_j)$。在一阶近似下，

$$u_c^2(y) =\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^m c_i c_j\,u(x_i,x_j).$$

等价地，若 $\boldsymbol c$ 是灵敏系数列向量， $\boldsymbol\Sigma$ 是输入协方差矩阵，则

$$u_c^2(y)=\boldsymbol c^{\mathsf T}\boldsymbol\Sigma\boldsymbol c.$$

协方差 $u(x_i,x_j)$ 的单位是 $x_i$ 单位与 $x_j$ 单位的乘积。相关系数 $\rho_{ij}=u(x_i,x_j)/[u(x_i)u(x_j)]$ 无量纲，且 $-1\le\rho_{ij}\le1$。

展开双重求和可得

只有当输入可视为不相关，即所有 $i\ne j$ 的协方差可忽略时，才能使用熟悉的平方和

“由不同变量表示”不等于“不相关”。若两个长度使用同一把有零点不确定度的尺，它们共享校准影响；若总长与其中一段来自同一批读数，也会产生相关性。忽略相关可能高估，也可能低估输出不确定度，方向由灵敏系数符号和协方差符号共同决定。

和、差、乘积与幂律的常用形式

对 $y=aX+bZ$，其中 $a,b$ 为带适当单位或无量纲的已知常数，

因此做差时，正相关的共同偏移可能抵消；做和时，同一正相关影响会叠加。

若

且输入不相关、相对不确定度足够小，则由对数微分得到

指数的符号在平方后消失，但其大小不能省略。例如球体体积 $V=\pi d^3/6$，直径的相对标准不确定度会被放大约三倍，而不是保持不变。

例 1：质量与体积独立时的密度不确定度

某样品质量与体积的估计值为

$$m=125.0\,\mathrm g,\quad u(m)=0.2\,\mathrm g,$$

$$V=50.0\,\mathrm{cm^3},\quad u(V)=0.3\,\mathrm{cm^3},$$

两者可视为不相关。密度 $\rho=m/V=2.500\,\mathrm{g\,cm^{-3}}$。一阶相对传播为

$$\frac{u_c(\rho)}{\rho} =\sqrt{ \left(\frac{0.2\,\mathrm g}{125.0\,\mathrm g}\right)^2 +\left(\frac{0.3\,\mathrm{cm^3}}{50.0\,\mathrm{cm^3}}\right)^2 } \approx0.00621.$$

因此

$$u_c(\rho)=2.500\,\mathrm{g\,cm^{-3}}\times0.00621 \approx0.016\,\mathrm{g\,cm^{-3}}.$$

可按标准不确定度报告为 $\rho=(2.500\pm0.016)\,\mathrm{g\,cm^{-3}}$，并注明“$\pm$”表示 $k=1$ 的合成标准不确定度，而不是最大可能误差。体积的相对项约为 $0.60\%$，大于质量的 $0.16\%$，所以改进体积测量更有效。

例 2：相关性为何能让长度差更稳定

同一坐标尺上两点的位置为

$$x_1=120.0\,\mathrm{mm},\quad u(x_1)=0.4\,\mathrm{mm},$$

$$x_2=80.0\,\mathrm{mm},\quad u(x_2)=0.3\,\mathrm{mm},$$

共享标尺零点使相关系数估计为 $\rho_{12}=0.75$。间距 $L=x_1-x_2=40.0\,\mathrm{mm}$，灵敏系数为 $c_1=1$、$c_2=-1$，所以

$$u_c^2(L) =(0.4\,\mathrm{mm})^2+(0.3\,\mathrm{mm})^2 -2(0.75)(0.4\,\mathrm{mm})(0.3\,\mathrm{mm}) =0.070\,\mathrm{mm^2}.$$

故 $u_c(L)=0.265\,\mathrm{mm}$。若错误地假设不相关，会得到 $0.500\,\mathrm{mm}$。正相关的共同零点成分在做差时抵消；若计算 $x_1+x_2$，同一相关项符号变正，结果反而更不确定。

最坏界与标准不确定度不能混算

若只知道每个输入满足确定界 $|\delta x_i|\le a_i$，一阶最坏界为

它假设各项可能同时沿最不利方向达到边界。标准不确定度平方和则描述一个概率或信息模型下的分散。若把一个厂家“最大允许误差 $\pm0.5\,\mathrm K$”直接当作标准不确定度 $0.5\,\mathrm K$，通常会改变含义。只有进一步假设该影响在 $[-0.5,0.5],\mathrm K$ 内均匀分布，才有 $u=0.5/\sqrt3\,\mathrm K\approx0.289\,\mathrm K$；若规格代表其他分布或保守限值，转换也不同。

同一不确定度预算中应先把每项统一成标准不确定度，再用协方差公式合成。预算表至少列出来源、估计值、单位、分布或评定方法、标准不确定度、灵敏系数、输出贡献和相关关系。这样别人才能重算，而不是只看到一个来历不明的总“误差”。

加权最小二乘：从散点估计物理参数

设数据满足直线模型

其中 $y_i$ 的标准不确定度为 $u_i$，$x_i$ 的不确定度可忽略，且各 $\varepsilon_i$ 独立、均值为零。加权最小二乘最小化

权重 $w_i=1/u_i^2$ 的单位是 $y$ 单位的倒平方；它不是任意“可信度分数”。定义

则

残差 $r_i=y_i-a-bx_i$ 与 $y_i$ 单位相同，标准化残差 $r_i/u_i$ 无量纲。拟合完成后必须画残差随 $x_i$ 和测量顺序的图。弯曲结构说明直线模型可能错误；扇形散布说明方差模型可能错误；连续同号区段提示相关或漂移。若模型有两个参数，有效数据点为 $n-2$，约化统计量 $\chi_\nu^2=\chi^2/(n-2)$ 可作诊断，但只有在不确定度与独立正态近似可信时，才可按标准卡方分布解释。

例 3：位置—时间直线的参数与残差

物体在 $t=0.0\,\mathrm s$、$1.0\,\mathrm s$、$2.0\,\mathrm s$ 时的位置分别为 $0.10\,\mathrm m$、$1.90\,\mathrm m$、$4.20\,\mathrm m$，每个位置的独立标准不确定度均为 $u_x=0.10\,\mathrm m$；时间不确定度暂可忽略。拟合 $x(t)=a+vt$。由于权重相等， $\bar t=1.0\,\mathrm s$、$\bar x=2.0667\,\mathrm m$，于是

$$v=\frac{\sum_i(t_i-\bar t)(x_i-\bar x)} {\sum_i(t_i-\bar t)^2} =2.05\,\mathrm{m\,s^{-1}},$$

$$a=\bar x-v\bar t=0.0167\,\mathrm m.$$

三个残差依次为 $0.0833\,\mathrm m$、$-0.1667\,\mathrm m$、$0.0833\,\mathrm m$。所以

$$\chi^2 =\left(\frac{0.0833\,\mathrm m}{0.10\,\mathrm m}\right)^2 +\left(\frac{-0.1667\,\mathrm m}{0.10\,\mathrm m}\right)^2 +\left(\frac{0.0833\,\mathrm m}{0.10\,\mathrm m}\right)^2 \approx4.17.$$

自由度只有 $1$，故 $\chi_\nu^2\approx4.17$，提示给定不确定度、独立性或匀速模型中至少一项值得检查。若把 $u_x=0.10\,\mathrm m$ 当作已知标准差，斜率的标准不确定度为

$$u(v)=\frac{0.10\,\mathrm m} {\sqrt{2.0\,\mathrm{s^2}}} =0.071\,\mathrm{m\,s^{-1}}.$$

这个数不应掩盖残差诊断；若中间点偏离来自真实加速度，直线参数再精确也不是正确运动模型。

一阶传播何时失效

一阶公式有明确边界：

1. $f$ 在输入分散覆盖区域内必须可微且近似线性。若 $y=1/x$ 而 $x$ 的分布接近零，输出可能有长尾甚至无有限方差。
2. 输入标准不确定度与协方差必须有可信来源。把“未知相关”直接设为零不是证据。
3. 输入分布被物理边界截断时，输出可能偏态。例如浓度不能为负，接近零时对称区间不合适。
4. 模型选择的不确定性不能只靠参数协方差代表。直线与二次曲线都合理时，函数形式本身就是额外来源。
5. 若自变量 $x_i$ 的不确定度不可忽略，普通纵向加权最小二乘会产生偏差，应使用同时处理两轴或完整观测方程的方法。

Monte Carlo 传播提供直接检查：为每个输入指定带单位的联合分布，保持相关结构，反复抽样并计算 $y=f(x_1,\ldots,x_m)$，再从输出样本估计均值、标准差和覆盖区间。它不自动修复错误模型；抽样分布、相关矩阵和测量方程仍需物理依据。若 Monte Carlo 结果与一阶公式一致，可视为线性化的数值核对；若明显偏态或出现边界堆积，应报告分位数区间而非强行写对称 $y\pm U$。

探索实验：用手工抽样检验非线性传播

研究电阻 $R=U/I$。设电压估计为 $U=5.00\,\mathrm V$、标准不确定度 $u(U)=0.05\,\mathrm V$；先比较两种电流情形： $I=1.00\,\mathrm A$、$u(I)=0.02\,\mathrm A$，以及 $I=0.10\,\mathrm A$、$u(I)=0.08\,\mathrm A$。假设两输入暂时独立。

第一种情形先用一阶公式计算 $u_c(R)$。随后准备二十组标准化扰动数，例如从公开随机数表或固定种子生成器取得，构造 $U_j=5.00\,\mathrm V+0.05\,\mathrm V\,z_{U,j}$、 $I_j=I+u(I)z_{I,j}$，逐组计算 $R_j=U_j/I_j$。记录种子或完整扰动表，使结果可复现。比较输出均值、标准差、中位数和最小电流。

第二种情形中，抽样电流可能接近或跨过 $0\,\mathrm A$，电阻分布会极度偏斜，一阶对称不确定度失去代表性。此时首先应质疑电流模型：真实仪器量程、检出限和电流符号是否允许所设正态分布？探索的目的不是制造一个更复杂数字，而是发现测量设计在低信噪比区域缺少信息。

常见误区

1. 见到“$\pm$”就平方相加。 必须先确认每项是否为标准不确定度，以及是否相关。
2. 把相关系数设零当作保守。 对差量，忽略正相关会高估；对和量则可能低估，没有统一的保守方向。
3. 漏掉灵敏系数和单位。 温度不确定度只有经热膨胀系数转换后才能与长度项合成。
4. 把扩展不确定度再传播。 通常先把输入统一还原为标准不确定度，合成后才选覆盖因子。
5. 只看 $R^2$ 不看残差。 很大的动态范围可让错误模型也有高 $R^2$；单位完整的残差结构更能暴露曲率和漂移。
6. 认为 Monte Carlo 不需要假设。 它只是传播所给模型；错误的输入分布和相关结构会被更精确地传播成错误结果。

练习

练习标记完成

所属知识

独立和差

难度

2/5

两段独立测得的长度为 $L_1=12.0\,\mathrm{cm}$、$u(L_1)=0.2\,\mathrm{cm}$， $L_2=8.0\,\mathrm{cm}$、$u(L_2)=0.1\,\mathrm{cm}$。求总长 $L=L_1+L_2$ 的合成标准不确定度。

查看提示

对不相关输入，先写两个灵敏系数，再对输出贡献做平方和。

查看解答

灵敏系数均为 $1$，且协方差为零，因此

$$u_c(L)=\sqrt{(0.2\,\mathrm{cm})^2+(0.1\,\mathrm{cm})^2} =0.224\,\mathrm{cm}.$$

总长估计为 $20.0\,\mathrm{cm}$，可按 $k=1$ 写成 $L=(20.0\pm0.22)\,\mathrm{cm}$。不能把两个标准不确定度线性相加成 $0.3\,\mathrm{cm}$，除非求的是相应的最坏界。

练习标记完成

所属知识

幂律

难度

2/5

圆片直径为 $d=40.0\,\mathrm{mm}$，标准不确定度 $u(d)=0.2\,\mathrm{mm}$。由 $A=\pi d^2/4$ 求面积及一阶标准不确定度。

查看提示

面积对直径是二次幂，先计算相对标准不确定度。

查看解答

面积为 $A=400\pi\,\mathrm{mm^2}\approx1256.6\,\mathrm{mm^2}$。相对标准不确定度为

$$\frac{u(A)}A\approx2\frac{u(d)}d =2\frac{0.2\,\mathrm{mm}}{40.0\,\mathrm{mm}}=0.010.$$

故 $u(A)\approx12.6\,\mathrm{mm^2}$，可报告为 $A=(1257\pm13)\,\mathrm{mm^2}$，其中“$\pm$”表示 $k=1$。

练习标记完成

所属知识

相关输入

难度

3/5

两个电压为 $U_1=2.00\,\mathrm V$、$u(U_1)=0.05\,\mathrm V$ 与 $U_2=3.00\,\mathrm V$、$u(U_2)=0.04\,\mathrm V$，相关系数 $\rho=0.60$。求串联总电压的合成标准不确定度。

查看提示

对 $y=x_1+x_2$，协方差项取正号；使用 $\operatorname{cov}=\rho u_1u_2$。

查看解答

总电压为 $5.00\,\mathrm V$，且

$$u_c^2(U)= (0.05\,\mathrm V)^2+(0.04\,\mathrm V)^2 +2(0.60)(0.05\,\mathrm V)(0.04\,\mathrm V) =0.0065\,\mathrm{V^2}.$$

所以 $u_c(U)=0.0806\,\mathrm V\approx0.081\,\mathrm V$。若忽略正相关，只会得到 $0.064\,\mathrm V$，在这个求和问题中低估了不确定度。

练习标记完成

所属知识

规格转换

难度

2/5

温度影响只知道位于 $[-0.6,+0.6],{}^\circ\mathrm C$，并采用区间内均匀分布。求对应标准不确定度；若最后采用 $k=2$，仅由此项产生的扩展不确定度是多少？

查看提示

均匀分布在对称半宽 a 内的标准差为 a 除以根号三。

查看解答

半宽为 $a=0.6\,{}^\circ\mathrm C$，所以

$$u(T)=\frac{0.6\,{}^\circ\mathrm C}{\sqrt3} \approx0.346\,{}^\circ\mathrm C.$$

若它是唯一输入贡献，则 $U=2u(T)\approx0.693\,{}^\circ\mathrm C$。报告时仍须写明均匀分布假设和 $k=2$；不能把原半宽 $0.6\,{}^\circ\mathrm C$ 与扩展不确定度混为一谈。

练习标记完成

所属知识

加权平均

难度

3/5

两个实验给出同一加速度 $a_1=9.7\,\mathrm{m\,s^{-2}}$、$u_1=0.2\,\mathrm{m\,s^{-2}}$， $a_2=10.1\,\mathrm{m\,s^{-2}}$、$u_2=0.1\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。在独立且标准不确定度可信时，求加权平均及其标准不确定度。

查看提示

使用权重 $w=1/u^{2}$；先计算权重比，再求加权中心。

查看解答

权重为 $w_1=25\,\mathrm{s^4\,m^{-2}}$、 $w_2=100\,\mathrm{s^4\,m^{-2}}$，所以

$$\bar a_w=\frac{25(9.7)+100(10.1)}{125} \,\mathrm{m\,s^{-2}} =10.02\,\mathrm{m\,s^{-2}}.$$

独立测量加权平均的标准不确定度为

$$u(\bar a_w)=\frac1{\sqrt{w_1+w_2}} =0.089\,\mathrm{m\,s^{-2}}.$$

若两个实验共享同一校准标准，必须加入协方差，不能继续使用这个独立公式。

练习标记完成

所属知识

线性化边界

难度

3/5

有人对 $R=U/I$ 使用一阶公式，其中 $U=1.00\,\mathrm V$、$u(U)=0.01\,\mathrm V$， $I=0.020\,\mathrm A$、$u(I)=0.015\,\mathrm A$。说明为何对称的一阶结果可能失真，并提出更合适的下一步。

查看提示

检查分母离零点有多少个标准不确定度，并思考一除以接近零的量会产生怎样的分布。

查看解答

电流均值距离 $0\,\mathrm A$ 仅约 $0.020/0.015\approx1.33$ 个标准不确定度。若仍用未截断正态模型，输入会给接近零甚至负电流显著概率；映射 $R=U/I$ 在 $I=0\,\mathrm A$ 处奇异，输出强烈偏态并可能有极长尾。一阶局部线性化不能用一个对称标准差代表这种形状。应先根据仪器量程和物理方向重新建立电流分布，再用保持边界的 Monte Carlo 或直接报告输出分位数；更根本的改进是提高电流信噪比。

关系、资源与后续学习

• 测量误差、分辨率与校准 提供每个输入项的来源、修正和标准不确定度语义。
• 函数与图像 提供测量方程、斜率和局部线性近似的基础语言。
• 期望、方差与协方差 给出线性组合方差和相关矩阵的概率基础。
• 线性回归 将把加权拟合扩展到统计估计、模型比较与预测。
• 理想化、守恒量与模型边界 用物理尺度和极限情形审查测量函数是否可信。

书籍 · 2016

University Physics Volume 1

Samuel J. Ling, Jeff Sanny, William Moebs

用于核对 P00 的基础术语、量纲规则、估算步骤、测量报告和入门不确定度计算。

打开官方来源

论文 · 2007

Assessment of Measurement Uncertainty via Observation Equations

Antonio M. Possolo, Blaza Toman

用于核对 P00 中测量方程、相关输入、统计模型和不确定度报告的严格边界。

打开官方来源

OpenStax 资源适合复核入门的百分不确定度和有效数字；NIST 的观测方程资料则把校准、相关输入和统计模型放入更严格的测量不确定度框架。学习时应始终从明确的测量方程和单位出发，而不是先挑一个传播口诀。

下一章将进一步追问模型本身：系统边界怎样选，哪些项可忽略，守恒关系如何约束候选方程，残差何时说明需要修改模型。届时本章的不确定度预算不只是结果尾部的“误差棒”，而是决定数据能否区分两个物理模型的核心信息。