耦合振子、简正模与拍频

本章路线

把两个相同摆放在同一根可轻微扭动的支架上，只推动其中一个，常会看到振幅逐渐转移到另一个，再转移回来。若只盯着单个摆，这种变化似乎比简谐运动复杂；若换一组坐标，把两者“同向动”和“反向动”分开，系统又会化成两个互不耦合的振子。这组特殊运动就是简正模。

本章从两个质量块的受力图出发，建立矩阵方程，推导本征频率、质量正交和初值投影。重点不是记住某个对称装置的两个答案，而是掌握可迁移流程：选广义坐标，组装质量矩阵 $M$ 与刚度矩阵 $K$，解 $K\boldsymbol a=\omega^2M\boldsymbol a$，最后把真实初值分解到模态基。MIT OpenCourseWare 8.03SC 把耦合振子作为从单振子走向连续波的桥梁，本章沿用这一顺序并把每一步的单位与初值计算展开。¹

从受力图到矩阵方程

考虑沿水平直线运动的两个质量块，位移为 $x_1(t),x_2(t)$，单位均为米（$\mathrm m$）。两个质量都为 $m$，单位千克（$\mathrm{kg}$）；每个质量通过刚度 $k$、单位牛顿每米（$\mathrm{N\,m^{-1}}$）的弹簧连接固定墙，两质量之间再由刚度 $\kappa$、单位 $\mathrm{N\,m^{-1}}$ 的耦合弹簧连接。所有位移都从静态平衡位置测量，弹簧质量、摩擦与横向运动暂时忽略。

对第一个质量，墙弹簧给出 $-kx_1$，耦合弹簧的伸长是 $x_1-x_2$，因而给出 $-\kappa(x_1-x_2)$。第二个质量同理：

每一项单位都是牛顿（$\mathrm N$）。令

则方程压缩为

$M$ 的矩阵元单位为 $\mathrm{kg}$，$K$ 的矩阵元单位为 $\mathrm{N\,m^{-1}}=\mathrm{kg\,s^{-2}}$；因此两项都以牛顿为单位。矩阵写法不是装饰：它把“每个自由度的惯性”和“所有坐标之间的线性回复”分开，使方法能直接推广到不等质量、更多弹簧和小振动结构。

线性耦合振子与简正模

设广义位移 $\boldsymbol x(t)\in\mathbb R^n$ 的每个分量以米（$\mathrm m$）计，$M$ 是对称正定质量矩阵，$K$ 是对称刚度矩阵。无阻尼自由系统满足

$$M\ddot{\boldsymbol x}+K\boldsymbol x=\boldsymbol0.$$

若存在非零向量 $\boldsymbol a$ 和角频率 $\omega\ge0\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$，使

$$K\boldsymbol a=\omega^2M\boldsymbol a,$$

则 $\boldsymbol x(t)=\boldsymbol a\cos(\omega t+\phi)$ 是一种所有坐标以同一频率、固定振幅比和固定相对相位运动的简正模。$\boldsymbol a$ 的整体倍数任意，只有分量比例代表振型。

本征频率怎样从方程中出现

设 $\boldsymbol x(t)=\boldsymbol a\cos(\omega t)$。代入矩阵方程得

要有非零振型，必须满足

这是关于 $\omega^2$ 的广义特征方程。对上述相同质量模型，显然有两种对称性确定的候选向量：

同相模中 $x_1=x_2$，耦合弹簧长度不变，所以

反相模中 $x_1=-x_2$，耦合弹簧的伸长是单个坐标的两倍，所以

只要 $\kappa>0\,\mathrm{N\,m^{-1}}$，就有 $\omega_a>\omega_s$。这个大小关系来自反相运动要额外拉伸耦合弹簧，而不是来自“反相”这个标签本身；换一种耦合机构，频率顺序必须重新从势能或刚度矩阵判断。

例 1：求相同双振子的两个频率

取 $m=0.50\,\mathrm{kg}$、$k=8.0\,\mathrm{N\,m^{-1}}$、$\kappa=2.0\,\mathrm{N\,m^{-1}}$。同相角频率为

$$\omega_s=\sqrt{8.0/0.50}=4.00\,\mathrm{rad\,s^{-1}},$$

反相角频率为

$$\omega_a=\sqrt{(8.0+2\times2.0)/0.50} =\sqrt{24}=4.90\,\mathrm{rad\,s^{-1}}.$$

相应周期为 $T_s=2\pi/\omega_s=1.57\,\mathrm s$ 与 $T_a=2\pi/\omega_a=1.28\,\mathrm s$。将同相向量代入时，$K\boldsymbol a_s=k\boldsymbol a_s$；将反相向量代入时，$K\boldsymbol a_a=(k+2\kappa)\boldsymbol a_a$。两次直接代入都复现上述频率，避免只凭图形猜测。

质量内积、正交性与解耦

普通点积并不总能正确衡量模态正交。对一般质量矩阵，定义质量内积

若 $K\boldsymbol a_i=\omega_i^2M\boldsymbol a_i$、 $K\boldsymbol a_j=\omega_j^2M\boldsymbol a_j$，且 $K,M$ 都对称，则

交换 $i,j$ 并利用对称性，又有

两式相减：

所以不同本征频率对应的模态满足 $\boldsymbol a_i^{\mathsf T}M\boldsymbol a_j=0$。若频率简并，特征子空间内仍可进行质量正交化，但物理系统本身不唯一指定某一组基。

把模态向量组成矩阵 $A=[\boldsymbol a_1\ \cdots\ \boldsymbol a_n]$，并令 $\boldsymbol x=A\boldsymbol q$。若将模态归一化为 $A^{\mathsf T}MA=I$，就有

原方程化为

每个 $q_j$ 都是一个独立的 简谐振子。这就是“耦合被解开”的准确含义：真实坐标仍可能同时运动，但简正坐标之间不交换能量。

任意初值怎样投影到模态

对未归一化但质量正交的模态，给定初始位移 $\boldsymbol x_0$（分量单位 $\mathrm m$）和初始速度 $\boldsymbol v_0$（分量单位 $\mathrm{m\,s^{-1}}$），解可写为

其中

若 $\boldsymbol a_j$ 取无量纲，$\alpha_j,\beta_j$ 的单位均为米。第一个公式重建初始位移，第二个公式通过时间求导重建初始速度。跳过速度投影会漏掉一半初值信息。

总机械能为

单位为焦耳（$\mathrm J$）。在质量归一化模态中，它变成各模态能量之和：

这里若 $q_j$ 采用质量归一化坐标，其单位随归一化约定变化；物理能量仍由原坐标公式确定。因此报告模态振幅时必须同时说明归一化方式。

例 2：只拉开一个质量为何产生拍频

沿用例 1 的参数，并取 $x_1(0)=0.10\,\mathrm m$、$x_2(0)=0\,\mathrm m$、 $\dot x_1(0)=\dot x_2(0)=0\,\mathrm{m\,s^{-1}}$。使用未归一化的同相、反相向量，可写

$$\begin{bmatrix}0.10\\0\end{bmatrix}\mathrm m =0.050\,\mathrm m \begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix} +0.050\,\mathrm m \begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}.$$

因此

$$x_1(t)=0.050[\cos(\omega_st)+\cos(\omega_at)]\,\mathrm m,$$

$$x_2(t)=0.050[\cos(\omega_st)-\cos(\omega_at)]\,\mathrm m.$$

用和差化积，

$$x_1(t)=0.10 \cos\!\left(\frac{\omega_s+\omega_a}{2}t\right) \cos\!\left(\frac{\omega_a-\omega_s}{2}t\right)\,\mathrm m.$$

两频率差为 $\Delta\omega=0.899\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$。第一个质量的包络首次为零约在

$$t_{\mathrm{transfer}}=\frac{\pi}{\Delta\omega}=3.49\,\mathrm s,$$

此时运动主要转移到第二个质量；完整回到相似初始分配的拍周期为 $2\pi/\Delta\omega=6.99\,\mathrm s$。总机械能并未按包络消失，它只在两个真实坐标的运动之间重新分配。

不等质量：为什么必须解广义本征问题

当质量不同，不能先把 $M$ 当作单位矩阵。设

令 $y=\omega^2$，其单位为 $\mathrm{s^{-2}}$，特征方程为

数值系数在代入所列 SI 单位后计算，展开得 $y^2-10y+22=0$，所以

由第一行 $(6-y)a_1-2a_2=0$，可取 $\boldsymbol a_1=(1,1.366)^{\mathsf T}$、 $\boldsymbol a_2=(1,-0.366)^{\mathsf T}$。它们在普通点积下并不正交，因为点积约为 $0.500$；但

在舍入误差内满足质量正交。

例 3：复核不等质量系统的频率与正交性

对上面的 $M,K$，先用迹与行列式做数值检查：两个 $y$ 的和为 $10\,\mathrm{s^{-2}}$，积为 $22\,\mathrm{s^{-4}}$，与二次方程一致。再把低频模向量代入第一行：

$$(6.0-3.268)(1)-2.0(1.366)=0$$

在三位小数精度下成立。代入第二行：

$$-2.0(1)+(8.0-2\times3.268)(1.366)\approx0.$$

高频模同样可复算。由于两个频率不同且矩阵对称，质量正交不是数值巧合，而是前述定理的结果。若直接对 $M^{-1}K$ 使用普通欧氏正交性，会发现该矩阵一般不对称；正确做法是保留广义本征问题，或先用 $M^{1/2}$ 变换成对称标准问题。

拍频、能量交换与阻尼的区别

两个相近角频率 $\omega_1,\omega_2$ 叠加时，快速振荡由平均角频率 $(\omega_1+\omega_2)/2$ 控制，慢包络由差频 $|\omega_2-\omega_1|/2$ 控制。拍频是线性叠加结果，即使没有耗散也会出现；它不意味着总能量减少。真正的阻尼会使所有包络的整体尺度随时间下降，并满足负的机械能变化率。

只观察一个坐标时，拍频可能被误判为“振幅时大时小的外力”。判断方法是同时测量两个坐标和总能量：理想双振子中，一个坐标振幅下降时另一个通常上升，总能量保持；阻尼系统中二者的机械能总和随时间下降。若两个模态的阻尼率不同，真实信号会同时具有拍频和衰减，需要用含阻尼的矩阵方程

建模，其中 $C$ 的矩阵元单位为 $\mathrm{kg\,s^{-1}}$。只有当 $C$ 能被同一模态基近似对角化时，各模态才保持近似独立衰减。

从两个振子到多振子和连续波

对 $N$ 个质量块，矩阵方程仍是 $M\ddot{\boldsymbol x}+K\boldsymbol x=0$，只是维数变为 $N$。每个本征向量给出一个空间振型，每个本征值给出一个 $\omega_j^2$。边界固定、自由还是周期连接会改变 $K$ 的首尾结构，从而改变允许频率。

当质量间距趋近于零、数量趋近于无穷，并保持单位长度质量和弹性参数有限时，离散坐标列转化为位移场，矩阵差分转化为空间导数，最终得到 一维波动方程。有限维本征向量对应连续系统的本征函数；有限个模态系数对应傅里叶型展开系数。连续极限需要明确缩放，不能只说“质量块很多”就自动得到偏微分方程。

常见误区

常见误区

“简正模意味着只有一个质量在动。”简正模要求所有参与坐标具有固定振幅比和固定相对相位；某个分量可以恰为零，但那是特定振型的节点，不是定义本身。

常见误区

“任何初始状态都是一个简正模。”一般初值是多个模态的叠加。只有初始位移和速度都沿同一个模态方向，系统才始终保持该固定振型。

常见误区

“不同模态的向量必定在普通点积下正交。”对不等质量系统，正确的是质量内积正交。忽略 $M$ 会得到错误的投影系数和能量分解。

常见误区

“拍频包络下降就是能量耗散。”理想耦合系统中，总能量守恒；单个坐标的振幅下降表示能量转移到另一个坐标或另一个模态组合。

参数探索：从对称系统逐步破坏对称性

先用理想双振子作可复算扫描。固定 $m=0.50\,\mathrm{kg}$、$k=8.0\,\mathrm{N\,m^{-1}}$，让 $\kappa$ 从 $0.20\,\mathrm{N\,m^{-1}}$ 增至 $4.0\,\mathrm{N\,m^{-1}}$，步长为 $0.20\,\mathrm{N\,m^{-1}}$。对每个参数记录 $\omega_s$、$\omega_a$（$\mathrm{rad\,s^{-1}}$）、差频 $\Delta\omega$（$\mathrm{rad\,s^{-1}}$）和首次能量转移时间 $\pi/\Delta\omega$（$\mathrm s$）。应看到同相频率保持不变，而反相频率升高、转移时间缩短。

随后把第二个质量改为 $0.55\,\mathrm{kg}$，重新组装 $M$，不要沿用 $(1,1)$ 与 $(1,-1)$。比较新模态的分量比，并核对 $\boldsymbol a_1^{\mathsf T}M\boldsymbol a_2$。再给初值 $\boldsymbol x_0=(0.10,0)^{\mathsf T}\,\mathrm m$、 $\boldsymbol v_0=(0,0)^{\mathsf T}\,\mathrm{m\,s^{-1}}$，用投影公式重建前 $15\,\mathrm s$ 的轨迹。时间步长可先取 $0.002\,\mathrm s$，再减半到 $0.001\,\mathrm s$；报告两个步长下峰值时间差，而不是只比较曲线外观。

若搭建双摆实验，可用小振幅角度换算水平位移，并用米尺测摆长（$\mathrm m$）、电子秤测摆球质量（$\mathrm{kg}$）、计时器测周期（$\mathrm s$）。同时录像两个摆，逐帧提取同方向和反方向组合。支架柔性、空气阻力、摆长差和大角度效应都会破坏理想对称性；应把它们列为模型偏差来源，不伪造“完全能量转移”的观测。

练习

练习 1：从受力式找出两个对称模态标记完成

所属知识

矩阵建模

难度

2/5

从本章双振子的两条标量方程出发，不使用行列式，推导同相与反相模态的角频率，并说明每个结果中耦合弹簧的作用。

查看提示

分别代入 $x_{1}=x_{2}$ 与 $x_{1}=-x_{2}$，观察耦合弹簧是否伸长。

查看解答

核验：同相时耦合弹簧不伸长，方程化为 $m \ddot{x}+kx=0$，故 $\omega_s=\sqrt{k/m}$。反相时 $x_{2}=-x_{1}$，第一式化为 $m \ddot{x}+(k+2\kappa)x=0$，故 $\omega_a=\sqrt{(k+2\kappa)/m}$。

练习 2：分解不对称初始位移标记完成

所属知识

初值投影

难度

3/5

相同双振子的初值为 $x_1(0)=0.080\,\mathrm m$、$x_2(0)=-0.020\,\mathrm m$，两初速度均为 $0\,\mathrm{m\,s^{-1}}$。求同相与反相模态的初始系数，并写出 $x_1(t),x_2(t)$。

查看提示

写成 $[x_{1},x_{2}]^{\mathsf T}=q_s[1,1]^{\mathsf T}+q_a[1,-1]^{\mathsf T}$，先解 t=0 的两个系数。

查看解答

核验：$q_s(0)=(0.080-0.020)/2=0.030\,\mathrm{m}$，$q_a(0)=(0.080+0.020)/2=0.050\,\mathrm{m}$；初速度均为零，所以两模态的正弦系数为零。于是 $x_{1}=0.030 \cos(\omega_s t)+0.050 \cos(\omega_a t) m$，$x_{2}=0.030 \cos(\omega_s t)-0.050 \cos(\omega_a t) m$。

练习 3：由频率反推耦合刚度标记完成

所属知识

参数辨识

难度

3/5

两个相同质量均为 $m=0.25\,\mathrm{kg}$。实验测得同相与反相角频率分别为 $4.0\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$ 和 $5.0\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$。求耦合刚度 $\kappa$ 与首次能量转移时间。

查看提示

使用 $\kappa=m(\omega_a^{2}-\omega_s^{2})/2$，并先核对单位。

查看解答

核验：$\kappa=0.25\times(5.0^{2}-4.0^{2})/2=1.125 N\cdot m^{-1}$。因为 $kg\cdot s^{-2}=N\cdot m^{-1}$，单位正确。差频为 $1.0 rad\cdot s^{-1}$，首次近似完整转移时间为 $\pi/1.0=3.14\,\mathrm{s}$。

练习 4：验证质量正交而非普通正交标记完成

所属知识

广义本征向量

难度

4/5

使用正文不等质量例中的 $M=\operatorname{diag}(1.0,2.0)\,\mathrm{kg}$、 $\boldsymbol a_1=(1,1.366)^{\mathsf T}$、 $\boldsymbol a_2=(1,-0.366)^{\mathsf T}$，比较普通点积与质量内积，并解释小的非零余量。

查看提示

分别计算 $a_{1}^{\mathsf T}a_{2}$ 和 $a_{1}^{\mathsf T}Ma_{2}$；保留至少四位小数。

查看解答

核验：普通点积为 $1+1.366\times(-0.366)=0.5000$，明显不为零。质量内积为 $1+2\times 1.366\times(-0.366)\approx 0.0001$，偏离零来自振型分量只保留三位小数。使用精确根时结果为零。

练习 5：检验是否为单一简正模标记完成

所属知识

模态判别

难度

4/5

相同双振子的初始位移为 $\boldsymbol x_0=(0.040,0.040)^{\mathsf T}\,\mathrm m$，初始速度为 $\boldsymbol v_0=(0.10,-0.10)^{\mathsf T}\,\mathrm{m\,s^{-1}}$。判断运动是否为单一简正模，并给出理由。

查看提示

单模态要求初始位移和初始速度都与同一个本征向量平行；只检查位移不够。

查看解答

核验：位移 $[0.040,0.040]^{\mathsf T} m$ 沿同相向量 $[1,1]^{\mathsf T}$，但速度 $[0.10,-0.10]^{\mathsf T} m\cdot s^{-1}$ 沿反相向量 $[1,-1]^{\mathsf T}$。因此两种模态都被激发，之后振型不会保持固定比例。若要纯同相模，速度也应满足 $v_{1}=v_{2}$。

与其他知识的关系

• 简谐振子 是每个简正坐标的时间方程，也是阻尼和受迫模态分析的基础。
• 特征值与特征向量 把固定振型条件转化为 $K\boldsymbol a=\omega^2M\boldsymbol a$。
• 简正模 是有限维振子、连续弦、声腔和电磁腔共享的结构语言。
• 叠加原理 保证各模态解可以线性组合并匹配任意小振动初值。
• 驻波 是连续波系统中具有固定节点和腹点的简正振型。
• 一维波动方程 可视为自由度趋于连续时的模态问题。

资源

课程 · 2016

MIT 8.03SC Physics III: Vibrations and Waves

Yen-Jie Lee

连接波动方程的数学解、边界条件、驻波和物理观测。

打开官方来源

MIT OpenCourseWare 8.03SC 的官方课程材料提供耦合振子、简正模和机械波之间的连续教学路线。阅读时可将课程中的装置图与本章矩阵方程逐项对应：每个惯性元件进入 $M$，每个二次势能项进入 $K$，边界与连接方式决定矩阵结构。

后续学习

接下来学习 行波、相位、叠加与色散，把有限个模态的频率与相位推广到连续空间。随后回到 一维波动方程，通过边界条件求无限维本征函数，并用 驻波 识别节点、腹点和允许频率。更一般的阻尼、非对称与受迫结构则需要继续研究矩阵微分方程和频率响应。

Footnotes

1. MIT OpenCourseWare, 8.03SC Physics III: Vibrations and Waves，课程官方页面提供耦合振动、简正模与波动主题的讲义和题集；访问于 2026-07-14。 ↩