P08 · 第 4 章 · 第二编时空几何

等效原理、测地线与引力红移

从局部自由落体实验建立等效原理，用极值固有时和零协变加速度导出时间样与光样测地线，再由弱场极限、测地线偏离和静态时空频率守恒分析 Newton 引力、潮汐与引力红移。

难度 5/5约 185 分钟最近修订 2026-07-14

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预备知识张量、联络与曲率最小作用量原理与 Euler–Lagrange 方程 Lorentz 变换与时空间隔

本章目标

区分局部等效、全局坐标变换和可测潮汐，并说明等效原理的尺度条件。
在固定号型与指标约定下由固有时作用量得到测地线方程。
区分坐标加速度、固有加速度和邻近自由落体的相对加速度。
从静态弱场度规恢复 Newton 运动方程并列出近似条件。
使用测地线偏离和静态观察者频率比计算潮汐与引力红移。

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局部实验与等效原理

沿用 $x^0=ct$ 、度规号型 $(-,+,+,+)$ 和

R^\rho{}_{\sigma\mu\nu} =\partial_\mu\Gamma^\rho_{\nu\sigma}-\partial_\nu\Gamma^\rho_{\mu\sigma} +\Gamma^\rho_{\mu\lambda}\Gamma^\lambda_{\nu\sigma} -\Gamma^\rho_{\nu\lambda}\Gamma^\lambda_{\mu\sigma}.

希腊指标取四维，四坐标都用 m；固有时用 s，四速度用 $\mathrm{m\,s^{-1}}$ ，四加速度用 $\mathrm{m\,s^{-2}}$ 。明确约定后，才可比较自由落体、加速坐标与弯曲几何中的公式。

弱等效原理说，在忽略空气阻力、电磁力和自旋耦合等非引力作用后，尺寸足够小的测试物体具有相同自由落体轨迹，与组成和质量无关。Einstein 等效原理进一步指出，在任一自由落体事件附近可选局部惯性坐标，使非引力物理定律恢复狭义相对论形式。这里的“局部”同时限制空间尺度和实验持续时间。

等效原理不声称匀加速实验室与真实引力场在任意大区域完全相同。单个封闭小舱可把均匀重力效应与舱体加速混淆；把小舱扩大后，不同位置自由落体轨迹的会聚、发散或剪切暴露潮汐。曲率给出这种不可由坐标整体消除的差异。

例 1：电梯秤读数区分支撑与自由落体

质量为 $m$ 的人静止在地面电梯中，地板法向力约为 $N=mg$ ，秤读数非零。电梯和人一起自由落体时，二者都沿近似相同轨迹运动，接触力趋近零，秤显示失重。人的重力并未“消失”；仪器测到的是地板造成的固有加速度。

若电梯高度为 $L$ ，地球径向引力在上下端相差约 $2gL/R_\oplus$ 。因此足够精密的两个加速度计能在自由落体舱内测到相对加速度。单点失重与有限区域无引力不是同一命题。

局部惯性坐标的精度可以量化。以事件为原点的正规坐标中，度量展开以二阶曲率项开始，结构为

g_{\mu\nu}(x)=\eta_{\mu\nu} -\frac13R_{\mu\alpha\nu\beta}(0)x^\alpha x^\beta +O(x^3).

若典型曲率为 $\mathcal R$ 、实验室尺度为 $L$ ，忽略潮汐的相对几何误差约为 $\mathcal R L^2$ 。等效原理的应用应附带 $\mathcal R L^2\ll1$ ，而不是把“局部”当作没有大小的口号。对持续时间很长的实验，还需把 $L$ 换成光在该时间内覆盖的相应时空尺度，并检查曲率沿中心世界线是否变化。

匀加速坐标给出的局部引力模型

平直时空中，以 $z=0$ 处固有加速度为 $a$ 的 Rindler 型坐标可写成

\mathrm ds^2 =-\left(1+\frac{az}{c^2}\right)^2(\mathrm dX^0)^2 +\mathrm dz^2+\mathrm dx^2+\mathrm dy^2, \qquad X^0=ct.

这里 Riemann 张量处处为零，但固定 $z$ 的观察者需要火箭推力维持，且不同高度的固有加速度不同。固定位置的钟满足

\mathrm d\tau=\left(1+\frac{az}{c^2}\right)\mathrm dt.

在 $|az|/c^2\ll1$ 的小舱内，两高度钟的分数速率差约为 $a\Delta z/c^2$ ，与弱均匀引力场的结果相同。这是等效原理对红移的直接预言。把坐标延伸到 $1+az/c^2=0$ 会遇到 Rindler 视界，但那是加速坐标覆盖范围的边界，不是平直时空曲率奇点。

例 2：加速飞船两端的钟

飞船参考点以 $a=9.81\,\mathrm{m\,s^{-2}}$ 加速，首尾沿加速方向相距 $L=20\,\mathrm m$ 。两端静止于 Rindler 坐标时，分数钟速差近似

\frac{\Delta\nu}{\nu}\approx\frac{aL}{c^2} \approx2.18\times10^{-15}.

较前端、也就是较高 Rindler 势的位置，钟走得更快。若要求整艘飞船保持恒定固有长度，各点不能具有完全相同的固有加速度；否则会产生内部伸缩，这也是“刚体匀加速”必须说明的位置依赖。

固有加速度与坐标加速度

有质量粒子的四速度为 $u^\mu=\mathrm dx^\mu/\mathrm d\tau$ ，满足 $u_\mu u^\mu=-c^2$ 。四加速度定义为

a^\mu=\frac{Du^\mu}{D\tau} =\frac{\mathrm du^\mu}{\mathrm d\tau} +\Gamma^\mu_{\alpha\beta}u^\alpha u^\beta.

自由测试粒子只有引力作用时满足 $a^\mu=0$ 。这不等于每个坐标中的二阶导数都为零；在球坐标、旋转坐标或弯曲时空中， $\mathrm d^2x^\mu/\mathrm d\tau^2$ 可非零并由联络补偿。加速度计测得固有加速度大小 $\sqrt{a_\mu a^\mu}$ ，它是观察者自身可测的标量。悬停在地面的人坐标位置不变却有非零固有加速度，自由落体者坐标速度变化却可有零固有加速度。

由极值固有时得到测地线

自由有质量粒子的作用量取

S=-mc^2\int \mathrm d\tau.

在固定端点间，真实时间样世界线使固有时驻值；在足够小的正常邻域内通常是局部极大。为便于变分，可用仿射参数 $\lambda$ 和等价 Lagrangian

L=\frac12g_{\mu\nu}(x)\dot x^\mu\dot x^\nu, \qquad \dot x^\mu=\frac{\mathrm dx^\mu}{\mathrm d\lambda}.

Euler–Lagrange 方程给

\frac{\mathrm d^2x^\rho}{\mathrm d\lambda^2} +\Gamma^\rho_{\mu\nu} \frac{\mathrm dx^\mu}{\mathrm d\lambda} \frac{\mathrm dx^\nu}{\mathrm d\lambda}=0.

对时间样曲线可选 $\lambda=\tau$ 。光的固有时恒为零，不能用 $\tau$ 参数化；光线仍满足同一形式的光样测地线方程，但要选仿射参数，并保持 $g_{\mu\nu}k^\mu k^\nu=0$ 。若使用非仿射参数，方程右侧会出现与切向量平行的项，它改变参数速度而不改变几何轨迹。

例 3：直线在极坐标中有坐标加速度

平面极坐标的线元为 $\mathrm d\ell^2=\mathrm dr^2+r^2\mathrm d\phi^2$ 。测地线方程是

\ddot r-r\dot\phi^2=0, \qquad \ddot\phi+\frac2r\dot r\dot\phi=0.

第二式给 $r^2\dot\phi=\ell$ 为常数。即使几何轨迹是笛卡尔坐标中的直线， $r$ 和 $\phi$ 的二阶导数一般也不为零。项 $-r\dot\phi^2$ 来自极坐标联络，不代表平面有曲率或存在真实力。

对称性给出的测地线守恒量

若度规不显含某坐标 $q$ ，则共轭量

p_q=g_{q\nu}\dot x^\nu

沿仿射测地线守恒。更几何地，若 $K^\mu$ 是 Killing 矢量，满足 $\nabla_{(\mu}K_{\nu)}=0$ ，则

K_\mu u^\mu=\text{常量}.

静态时空的时间平移对称给测试粒子或光子的能量参数，轴对称给角动量参数。它们是相对于特定对称生成元定义的量；一般随时间变化的时空没有全局守恒能量。写“能量守恒”之前要指出对应的 Killing 对称和参数归一化。

测地线是二阶常微分方程。给定起点和满足归一化条件的初始切向量后，在度规足够光滑且坐标图不退化的邻域内，轨迹局部唯一。时间样初值满足 $u_\mu u^\mu=-c^2$ ，光样初值满足 $k_\mu k^\mu=0$ ；任意四个初始分量并非彼此独立。数值积分时还要监控这个范数和 Killing 守恒量，漂移通常暴露时间步过大、联络录入错误或跨越坐标奇异。

局部唯一不保证测地线能延伸到任意仿射参数。测地线不完备可能指示真实奇异，也可能是人为删去流形区域；必须结合曲率、可延拓坐标和边界条件判断。坐标值在有限参数处发散本身不能证明粒子遇到物理奇点。

Newton 引力是静态弱场极限

取缓慢变化、弱引力度规

g_{00}=-(1+2\Phi/c^2), \qquad |\Phi|/c^2\ll1,

并假设粒子三速度 $v\ll c$ 、空间度规接近欧氏、度规时间导数可忽略。此时

\Gamma^i_{00}\approx\frac1{c^2}\partial_i\Phi.

以坐标时间 $t$ 参数化并保留最低阶，空间测地线方程化为

\frac{\mathrm d^2x^i}{\mathrm dt^2} \approx-c^2\Gamma^i_{00} =-\partial_i\Phi.

这正是 Newton 运动方程。恢复它不仅要求“引力弱”，还要求慢速、静态或缓变、测试物体反作用可忽略。高速光线即使处于弱场，也要保留空间度规和相对论运动学贡献。

例 4：弱场度规恢复向下加速度

近地面取竖直坐标 $z$ 向上，势 $\Phi=gz$ 。于是 $\partial_z\Phi=g$ ，

\Gamma^z_{00}\approx\frac g{c^2}, \qquad \frac{\mathrm d^2z}{\mathrm dt^2}\approx-g.

$g/c^2$ 单位为 $\mathrm{m^{-1}}$ ，符合四坐标均用 m 时联络的单位。坐标加速度向下；理想自由落体加速度计仍读零，因为联络项与坐标二阶导数组合成 $a^\mu=0$ 。

测地线偏离：引力的潮汐内容

设一族邻近测地线的切向量为 $u^\mu$ ，连接相邻轨迹的分离向量为 $\xi^\mu$ ，并令二者参数流可交换。按本章 Riemann 约定，

\frac{D^2\xi^\mu}{D\tau^2} =R^\mu{}_{\alpha\beta\gamma} u^\alpha u^\beta\xi^\gamma =-R^\mu{}_{\alpha\nu\beta} u^\alpha\xi^\nu u^\beta.

两种写法由 Riemann 后两指标反对称性等价。换用整体相反的 Riemann 定义时，右侧符号也要改变。局部自由落体坐标能在中心事件令 $\Gamma=0$ ，却不能让这里的曲率项消失。

Newton 极限中，空间分离满足

\frac{\mathrm d^2\xi^i}{\mathrm dt^2} \approx-\partial_i\partial_j\Phi\,\xi^j.

势的一阶梯度给共同下落，Hessian 给相对拉伸和压缩。球对称源外部的径向邻点趋于拉开，横向邻点趋于靠拢；真空中这些方向效应的迹可为零，却仍有非零 Riemann 曲率。

例 5：两米自由落体杆的径向潮汐

球形地球外 $g=GM/R^2$ ，径向梯度绝对值约 $2g/R$ 。取 $R=6.37\times10^6\,\mathrm m$ 、 $g=9.81\,\mathrm{m\,s^{-2}}$ ，两端径向间距 $L=2.0\,\mathrm m$ ，相对加速度量级

\Delta a_r\approx\frac{2gL}{R} \approx6.2\times10^{-6}\,\mathrm{m\,s^{-2}}.

两端共同的约 $g$ 加速度可在自由落体框架中消去，这个微小差值不能。计算假设 $L\ll R$ ，忽略地球自转和非球形修正。

静态观察者与引力红移

在静态度规、无交叉时间空间项的坐标中，固定空间坐标的观察者有

\mathrm d\tau=\sqrt{-g_{00}}\,\mathrm dt.

静态时间平移对称使光子的协变时间分量 $k_0$ 沿光样测地线守恒。观察者测得角频率为 $\omega=-k_\mu u^\mu$ ，所以两个静态观察者在发射点 $1$ 和接收点 $2$ 比较同一束光时

\frac{\nu_2}{\nu_1} =\sqrt{\frac{-g_{00}(1)}{-g_{00}(2)}}.

弱场代入 $g_{00}=-(1+2\Phi/c^2)$ 得

\frac{\nu_2-\nu_1}{\nu_1} \approx\frac{\Phi_1-\Phi_2}{c^2}.

若光从低势处向高势处传播， $\Phi_2>\Phi_1$ ，接收频率相对当地静态钟降低。反过来说，高处静态钟相对低处静态钟走得更快。发射者或接收者运动时还要加入 Doppler 因子；非静态时空也不能直接套用只含 $g_{00}$ 的公式。

例 6：百米高度的弱场频率差

近地面两静态钟高度差 $h=100\,\mathrm m$ ，势差约 $gh$ 。高处钟相对低处钟的分数速率差为

\frac{\Delta\nu}{\nu}\approx\frac{gh}{c^2} \approx\frac{9.81\times100}{(2.998\times10^8)^2} \approx1.09\times10^{-14}.

一天 $86400\,\mathrm s$ 累积的固有时差约 $0.94\,\mathrm{ns}$ 。这个结果忽略地球自转、地形和局部质量分布；比较高精度钟时必须统一参考势面和运动状态。

适用边界与常见误解

测地线描述测试粒子的自由运动。带电粒子受电磁力时有 $a^\mu=(q/m)F^\mu{}_{\nu}u^\nu$ ；有压流体的单个流元还受压强梯度；有自旋或有限尺寸的物体可与曲率耦合。它们偏离测地线不表示等效原理失效，而是模型中存在非引力作用或超出点粒子近似。

自由落体没有加速度

自由落体的固有加速度为零，但指定坐标中的速度可改变，邻近自由落体间也可有潮汐相对加速度。

引力红移是光在途中损失一种绝对能量

频率是光四波矢与观察者四速度的缩并；比较结果依赖发射者、接收者和时空对称。

等效原理能在整个区域消除引力

局部坐标可消去一点的联络，不能消去有限区域的 Riemann 曲率。

练习

练习 1：三种加速度

所属知识: 观察者
难度: 2/5

比较地面观察者、单个自由落体者和一对邻近自由落体者的加速度。

查看提示

分别问坐标位置是否变、加速度计是否读数、邻点是否相对运动。

查看解答

地面悬停者坐标加速度可为零而固有加速度非零；自由落体者坐标加速度可非零而固有加速度为零；两条自由落体线还可因曲率有相对加速度。

练习 2：非仿射参数

所属知识: 测地线
难度: 3/5

说明为什么任意参数下测地线方程可能出现切向项。

查看提示

把仿射参数

\lambda

改成一般单调参数 s，并对链式法则求二阶导。

查看解答

轨迹方程变为

d^{2}x^\mu/ds^{2}+\Gamma^\mu_\alpha \beta dx^\alpha/ds dx^\beta/ds=f(s)dx^\mu/ds

；右侧平行于切向量，只反映参数速度变化。

练习 3：弱场联络

所属知识: Newton 极限
难度: 3/5

从弱场度规推导 Newton 加速度。

查看提示

由

g_{00}=-(1+2\Phi/c^{2})

计算

\Gamma^i_{00}

，并保留一阶项。

查看解答

\Gamma^i_{00}=-(1/2)\delta^{ij}\partial_j g_{00}\approx \partial_i\Phi/c^{2}

；慢速静态测地线给

d^{2}x^i/dt^{2}\approx-\partial_i\Phi

。

练习 4：高度钟差

所属知识: 引力红移
难度: 3/5

估算相差十米的两只近地静态钟一天后的读数差。

查看提示

使用

\Delta \nu/\nu \approx gh/c^{2}

，并把分数差乘测量时长。

查看解答

h=10\,\mathrm{m}

时分数差约

1.09\times 10^{-15}

，一天累积约

9.4\times 10^{-11} s

，即 94 ps；高处钟较快。

练习 5：潮汐随半径变化

所属知识: 测地线偏离
难度: 3/5

球形源外径向距离加倍时，共同加速度和潮汐系数各如何变化？

查看提示

球形源径向潮汐系数为

2GM/r^{3}

。

查看解答

在质量不变时潮汐系数按

r^{-3}

衰减；半径加倍后变为八分之一，而共同引力加速度只变为四分之一。

练习 6：光线参数与守恒量

所属知识: 光样测地线
难度: 4/5

解释光子为何既没有固有时参数，又能定义沿途守恒的能量参数。

查看提示

光的

d\tau=0

，改用仿射参数；静态 Killing 矢量给

k_0

守恒。

查看解答

不能用固有时参数化光线；应选仿射参数

\lambda

。静态时空中

k_0

沿光线守恒，但不同静态观察者的

u^0

不同，故测得频率仍发生引力频移。

关系与资源

张量、联络与曲率给出测地线与偏离方程所需的几何对象。
变分原理提供从作用量到 Euler–Lagrange 方程的方法。
Lorentz 变换与时空间隔描述每个局部惯性系中的因果结构。
Einstein 场方程与典型解决定产生测地线和潮汐的时空几何。
黑洞、宇宙学与相对论综合复习将红移、轨道和曲率用于典型模型。

课程 · 2024

Introduction to Relativity and Spacetime Physics

Scott Hughes

用于核对 P08 的 Lorentz 变换、时空间隔、四动量、相对论电磁学、等效原理和弱场观测例题。

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课程 · 2020

General Relativity

Scott Hughes

用于核对 P08 的张量与曲率约定、测地线、场方程、Schwarzschild 时空和宇宙学解的推导边界。

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MIT OpenCourseWare 8.033 可用于核对局部等效、弱场频移与相对论观察者，8.962 覆盖测地线、Killing 守恒量和测地线偏离。比较资料时应先统一号型和 Riemann 符号约定。