公式连同条件一起检索。

变量

$C$

在“Green 定理的环流形式”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$P$

在“Green 定理的环流形式”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$x$

在“Green 定理的环流形式”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$Q$

在“Green 定理的环流形式”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$y$

在“Green 定理的环流形式”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$A$

在“Green 定理的环流形式”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

成立条件

• 设 $D\subset\mathbb R^2$ 是有界正则区域，边界 $C=\partial D$ 由有限条互不相交的简单闭分片光滑曲线组成，并按正向取向。
• 把边界方向反转时，左侧变号；右侧若仍使用原区域正向，则不会自行变号，所以应用公式前必须先统一取向。

相关概念

适用与边界

• 应用：把斯托克斯公式的边界定向整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：设 $D\subset\mathbb R^2$ 是有界正则区域，边界 $C=\partial D$ 由有限条互不相交的简单闭分片光滑曲线组成，并按正向取向。
• 推导：M03 · Green、Stokes 与 Gauss 定理

变量

$Xf_{n}$

用下标 n 区分 Xf 的分量、样本或离散状态，单位：不适用

$m$

在“MCT、Fatou 与 DCT”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$u$

在“MCT、Fatou 与 DCT”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$X$

在“MCT、Fatou 与 DCT”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$f$

在“MCT、Fatou 与 DCT”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

成立条件

• 若 $f_n\to f$ 几乎处处，可在例外零测集上重新定义 $f$，使它成为可测函数。
• 设 $(X,\Sigma,\mu)$ 为测度空间。

相关概念

适用与边界

• 应用：把函数收敛模式和积分换序条件整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：Fatou 不要求收敛和单调性，却只提供下极限方向的不等式。
• 推导：M12 · 实分析与测度论综合复习

变量

$i$

在“Riemann 型二重积分与三重积分”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$f$

在“Riemann 型二重积分与三重积分”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$\xi_{i}$

用下标 i 区分 xi 的分量、样本或离散状态，单位：不适用

$\Delta$

在“Riemann 型二重积分与三重积分”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$A_{i}$

用下标 i 区分 A 的分量、样本或离散状态，单位：不适用

成立条件

• 设 $D$ 是有界平面区域，$f:D\to\mathbb R$ 有界。
• 若 $D$ 的边界可以被总面积任意小的有限个矩形覆盖，就称它为 Jordan 可测区域；分片光滑边界围成的常见有界区域满足这一条件。

相关概念

适用与边界

• 应用：把三重积分的截面法和投影法整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：若 $D$ 的边界可以被总面积任意小的有限个矩形覆盖，就称它为 Jordan 可测区域；分片光滑边界围成的常见有界区域满足这一条件。
• 推导：M03 · 二重积分、三重积分与变量替换

变量

$\delta$

在“薄层尺度与方程”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：由上下文确定

$u$

在“薄层尺度与方程”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：米每秒（m·s⁻¹）

$U_{e}$

用下标 e 区分 U 的分量、样本或离散状态，单位：由上下文确定

$y$

在“薄层尺度与方程”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：由上下文确定

$\theta$

在“薄层尺度与方程”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：无量纲

$H$

在“薄层尺度与方程”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：由上下文确定

成立条件

• 推导假设稳态、二维、不可压、Newton 流体、光滑壁面且曲率相对 $\delta$ 可忽略。
• 工程数据中的 $\delta_{99}$ 是首次满足 $u/U_e=0.99$ 的法向位置，只在剖面平滑且外缘定义清楚时稳健；有回流或外流湍动时可能出现多个交点。

相关概念

适用与边界

• 应用：把相似解和阻力系数缩放整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：前缘 $x\to0$、尖角、强曲率或分离区会破坏这一尺度排序，不能把边界层方程外推到这些区域。
• 推导：P09 · 边界层、相似性与流动不稳定性

变量

$e$

在“被测量、示值、误差与修正”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：由上下文确定

$x$

在“被测量、示值、误差与修正”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：由上下文确定

成立条件

• “真值”在理想定义中可以存在，但实际测量通常无法精确知道它。
• 实验中应说明参考来自哪里，例如一只经校准的 $100.000\,\mathrm g$ 标准砝码，而不是把自己的读数当作真值。

相关概念

适用与边界

• 应用：把零点校准、响应曲线与溯源链整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：“真值”在理想定义中可以存在，但实际测量通常无法精确知道它。
• 推导：P00 · 测量误差、分辨率与校准

变量

$Y$

在“被测量与观测方程”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：由上下文确定

$f$

在“被测量与观测方程”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：由上下文确定

$X_{1}$

用下标 1 区分 X 的分量、样本或离散状态，单位：由上下文确定

$X_{n}$

用下标 n 区分 X 的分量、样本或离散状态，单位：由上下文确定

成立条件

• 一份报告若只有最终数字，即使数值碰巧正确，也无法区分可靠测量、单位抵消、校准偏差或模型误差。
• 若直接计量 $N$ 个周期的总时间 $t_N$，则 $T=t_N/N$，其中 $N$ 是无量纲计数。

相关概念

适用与边界

• 应用：把校准数据到参数估计的完整链路整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：方程中的修正项即使最佳估计为零，也可能贡献非零不确定度，不能因“未修正”而从清单中消失。
• 推导：P00 · 测量、量纲与数学建模综合复习

变量

$F$

在“变形梯度”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：由上下文确定

$X$

在“变形梯度”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：由上下文确定

$t$

在“变形梯度”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：由上下文确定

$\chi$

在“变形梯度”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：由上下文确定

$F_{iJ}$

用下标 iJ 区分 F 的分量、样本或离散状态，单位：由上下文确定

$x_{i}$

用下标 i 区分 x 的分量、样本或离散状态，单位：由上下文确定

$X_{J}$

用下标 J 区分 X 的分量、样本或离散状态，单位：由上下文确定

成立条件

• $F$ 无量纲，把参考线元映为当前线元：$\mathrm d\boldsymbol x=F\,\mathrm d\boldsymbol X$。
• 它们消除纯刚体转动：若 $F=R$ 且 $R^TR=I$，则 $E=0$。

相关概念

适用与边界

• 应用：把Cauchy 应力张量和牵引向量整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：有限变形不能只用位移梯度对称部分，因为二次项可能与线性项同阶。
• 推导：P09 · 连续介质运动学、应变与应力

变量

$Y$

在“测量方程”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：由上下文确定

$f$

在“测量方程”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：由上下文确定

$X_{1}$

用下标 1 区分 X 的分量、样本或离散状态，单位：由上下文确定

$X_{m}$

用下标 m 区分 X 的分量、样本或离散状态，单位：由上下文确定

成立条件

• 不确定度传播回答：若输入量只能确定到某种分散程度，测量方程的输出能确定到什么程度？

相关概念

适用与边界

• 应用：把加权最小二乘和参数置信区间整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：例如热膨胀不可忽略时，室温读出的长度不能只写成卡尺示值，还应包含温度修正。
• 推导：P00 · 不确定度传播与数据拟合

变量

$\mu$

在“磁矩、Zeeman 基与进动”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：由上下文确定

$\gamma$

在“磁矩、Zeeman 基与进动”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：由上下文确定

$S$

在“磁矩、Zeeman 基与进动”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：焦耳秒（J·s）

成立条件

• 若最后再次测 $S_x$，由于中间 $S_z$ 测量破坏了 $x$ 基相干，结果也各半。
• 不能把第一步已经获得的 $S_x$ 值跨过不对易测量继续当作确定属性。

相关概念

适用与边界

• 应用：把自旋一半测量与 Bloch 球整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：不能把第一步已经获得的 $S_x$ 值跨过不对易测量继续当作确定属性。
• 推导：P07 · 角动量、自旋与全同粒子

变量

$\tau$

在“磁偶极矩、力矩与势能”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：由上下文确定

$m$

在“磁偶极矩、力矩与势能”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：由上下文确定

$B$

在“磁偶极矩、力矩与势能”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：特斯拉（T）

$U$

在“磁偶极矩、力矩与势能”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：由上下文确定

成立条件

• 若先靠“对称”断定全部分量都消失，会错误地把轴向分量也删掉；对称性只让相反源元的横向分量抵消。
• 在 $B=0.300\,\mathrm T$ 的均匀场中，若两矢量夹角为 $30.0^\circ$，则 $\tau=0.0120\,\mathrm{N\,m}$， $U=-0.0208\,\mathrm J$。

相关概念

适用与边界

• 应用：把磁矢势、规范选择与磁通整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：非均匀场还可能产生净力；仅用 $\boldsymbol\tau$ 不能判断线圈是否平移。
• 推导：P04 · 稳恒电流、磁场与矢势

变量

$k_{BT}$

用下标 BT 区分 k 的分量、样本或离散状态，单位：由上下文确定

$T$

在“从材料到有效自由度：先列尺度账本”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：由上下文确定

成立条件

• 周期场满足 $V(\mathbf r+\mathbf R)=V(\mathbf r)$，其 Fourier 分量只出现在 $\mathbf G$。
• 晶体动量只在模倒易矢量意义下守恒：$\mathbf k$ 与 $\mathbf k+\mathbf G$ 标记等价 Bloch 条件。

相关概念

适用与边界

• 应用：把拓扑绝缘体的能隙反演整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：有效参数依赖能量窗口，不能把低能有效质量用于远离能带极值的整个 Brillouin 区。
• 推导：P10 · 拓扑相与凝聚态基础综合复习

变量

$\Xi_{B}$

用下标 B 区分 Xi 的分量、样本或离散状态，单位：由上下文确定

$i$

在“从单模巨配分函数推导两种分布”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：由上下文确定

$x_{i}$

用下标 i 区分 x 的分量、样本或离散状态，单位：由上下文确定

$\Xi_{F}$

用下标 F 区分 Xi 的分量、样本或离散状态，单位：由上下文确定

成立条件

• 若粒子之间有强相互作用，使能量不能写成 $\sum_i n_i\epsilon_i$，这一逐模乘积分解通常失效。
• 平均场或准粒子理论若重新得到有效独立模，必须说明有效能谱和适用温度区间。

相关概念

适用与边界

• 应用：把Bose–Einstein 凝聚和临界温度整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：若粒子之间有强相互作用，使能量不能写成 $\sum_i n_i\epsilon_i$，这一逐模乘积分解通常失效。
• 推导：P06 · Bose–Einstein 与 Fermi–Dirac 统计

变量

$A$

在“等间距多源：主极大变窄而不会凭空增能”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：由上下文确定

$A_{0}$

用下标 0 区分 A 的分量、样本或离散状态，单位：由上下文确定

$j$

在“等间距多源：主极大变窄而不会凭空增能”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：由上下文确定

$N$

在“等间距多源：主极大变窄而不会凭空增能”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：由上下文确定

$e$

在“等间距多源：主极大变窄而不会凭空增能”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：由上下文确定

$A_{0e}$

用下标 0e 区分 A 的分量、样本或离散状态，单位：由上下文确定

$i$

在“等间距多源：主极大变窄而不会凭空增能”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：由上下文确定

$\beta$

在“等间距多源：主极大变窄而不会凭空增能”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：由上下文确定

成立条件

• 若还希望两束反射振幅接近，理想单层减反条件要求 $n_f\approx\sqrt{n_0n_s}=1.23$；本题 $1.38$ 不满足，所以中心反射不会严格为零。
• 设 $N$ 个等强相干源相邻相位差为 $\beta$。

相关概念

适用与边界

• 应用：把Fraunhofer 衍射和孔径傅里叶变换整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：当 $\beta=2\pi m$ 时，各源同相，极限强度为 $N^2I_1$。
• 推导：P03 · 干涉、衍射与傅里叶光学

变量

$\phi$

在“等时对易关系固定模算符代数”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：由上下文确定

$t$

在“等时对易关系固定模算符代数”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：由上下文确定

$x$

在“等时对易关系固定模算符代数”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：由上下文确定

$\pi$

在“等时对易关系固定模算符代数”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：无量纲

$y$

在“等时对易关系固定模算符代数”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：由上下文确定

成立条件

• 由于实场满足 Fourier 系数的共轭条件，正频和负频部分不是两套独立自由度。
• 正频部分单独并不满足这一点；正、负频贡献共同恢复微观因果性。

相关概念

适用与边界

• 应用：把产生湮灭算符和 Fock 空间整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：$n$ 标记空间动量模，$r$ 标记该模中粒子数，两者不能混为一个量子数。
• 推导：P12 · 自由场量子化与粒子解释

变量

$V$

在“电势差与电势”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：伏特（V）

$B$

在“电势差与电势”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：特斯拉（T）

$A$

在“电势差与电势”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：由上下文确定

$E$

在“电势差与电势”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：牛顿每库仑（N·C⁻¹）

$\ell$

在“电势差与电势”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：由上下文确定

成立条件

• 以下约定路径从初点 $A$ 指向末点 $B$，$\mathrm d\boldsymbol\ell$ 沿积分方向；空间坐标采用右手系，曲面法向在每个边值问题中另行声明。
• 把电荷 $q$ 放入给定外场，其电势能定义为 $U=qV$。

相关概念

适用与边界

• 应用：把导体边界条件和唯一性定理整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：对负电荷，$U=qV$ 会反转高低关系：电子自发加速的方向仍由 $\boldsymbol F=q\boldsymbol E$ 决定，不能只看“电势高低”而遗漏电荷符号。
• 推导：P04 · 电势、Poisson 方程与边值问题

变量

$\Phi_{E}$

汇总电场在曲面法向上的通量，单位：伏特米（V·m）

$S$

在“电通量”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：由上下文确定

$E$

在“电通量”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：牛顿每库仑（N·C⁻¹）

$A$

在“电通量”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：由上下文确定

成立条件

• 若放入 $-1.00\,\mathrm{nC}$ 的试探电荷，受力为 $-\boldsymbol E_P\times10^{-9}\,\mathrm C$，方向与上面的合场相反。
• 连续模型并不消除奇点：若场点落在理想线电荷或点电荷上，模型会给出发散结果，真实有限半径结构需要更细的分布描述。

相关概念

适用与边界

• 应用：把电场通量和 Gauss 定律整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：点电荷处不能把普通函数意义下的散度简单设为零再宣称无源，其奇异性要由积分形式或三维 Dirac 分布表达。
• 推导：P04 · Coulomb 定律、电场与 Gauss 定律

变量

$u$

在“对象、法向和连续介质边界”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：米每秒（m·s⁻¹）

$W$

在“对象、法向和连续介质边界”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：由上下文确定

成立条件

• 连续介质假设观察尺度远大于分子平均间距与平均自由程，使密度、速度、温度可视为平滑场。
• 若 Knudsen 数 $Kn=\ell/L$ 不小，稀薄气体和边界滑移需用动理学模型。

相关概念

适用与边界

• 应用：把能量级联、Kolmogorov 尺度与湍流谱整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：控制体边界取外法向 $\hat{\mathbf n}$。
• 推导：P09 · 波、湍流与连续介质综合复习

变量

$\Delta$

在“对易、不确定性与统计含义”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：由上下文确定

$A$

在“对易、不确定性与统计含义”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：由上下文确定

$B$

在“对易、不确定性与统计含义”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：由上下文确定

成立条件

• 位置与动量满足 $[x,p_x]=i\hbar$，故 $\Delta x\Delta p_x\ge\hbar/2$。
• 若 $[A,B]=0$ 且处理好简并和定义域，二者可有共同本征基。

相关概念

适用与边界

• 应用：把Rayleigh–Ritz 变分上界整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：它约束同样制备态的统计宽度，与仪器读数误差不同，也不能解释为单次测量把已有精确值“扰乱”到该乘积。
• 推导：P07 · 微扰、变分与量子力学综合复习

变量

$D_{\mu}$

用下标 mu 区分 D 的分量、样本或离散状态，单位：由上下文确定

$F$

在“非 Abel 推广：矩阵联络和曲率”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：由上下文确定

$a$

在“非 Abel 推广：矩阵联络和曲率”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：由上下文确定

$g$

在“非 Abel 推广：矩阵联络和曲率”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：由上下文确定

$J$

在“非 Abel 推广：矩阵联络和曲率”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：由上下文确定

$n$

在“非 Abel 推广：矩阵联络和曲率”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：由上下文确定

$u$

在“非 Abel 推广：矩阵联络和曲率”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：由上下文确定

成立条件

• 若协变导数改取加号，$A_\mu$ 的变换号也必须同步改变。
• 其中 $D_\mu$ 在伴随表示中作用。

相关概念

适用与边界

• 应用：把SU(3)×SU(2)×U(1) 相互作用结构整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：Yang–Mills 自相互作用的强弱由群结构常数与能标相关耦合共同决定，不能只凭“非 Abel”判断任意能量下都强耦合。
• 推导：P12 · 规范对称性与标准模型结构

变量

$p_{i}$

用下标 i 区分 p 的分量、样本或离散状态，单位：千克米每秒（kg·m·s⁻¹）

$L$

在“共轭动量与正则 Legendre 映射”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：焦耳（J）

$q_{i}$

用下标 i 区分 q 的分量、样本或离散状态，单位：由上下文确定

成立条件

• 角坐标以弧度表示，弧度在 SI 中无量纲；其共轭角动量仍具有 $\mathrm{kg\,m^2\,s^{-1}}$ 的单位。
• 若 $L$ 对某个速度完全不含二次信息，多个速度可能给出同一个动量，$(q,p)$ 便不能作为独立坐标。

相关概念

适用与边界

• 应用：把Hamilton 正则方程的相空间流整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：不同广义坐标可以有不同单位，因此不能脱离具体坐标机械地给所有 $p_i$ 指定同一种单位。
• 推导：P02 · Legendre 变换与 Hamilton 方程

变量

$v$

在“固定轴角运动学”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：米每秒（m·s⁻¹）

$r$

在“固定轴角运动学”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：米（m）

$\omega$

在“固定轴角运动学”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：由上下文确定

$a_{t}$

用下标 t 区分 a 的分量、样本或离散状态，单位：米每二次方秒（m·s⁻²）

$\alpha$

在“固定轴角运动学”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：由上下文确定

$a_{n}$

用下标 n 区分 a 的分量、样本或离散状态，单位：米每二次方秒（m·s⁻²）

成立条件

• 弧度是角度的自然单位；虽然它在 SI 中无量纲，角速度仍写作 $mathrm{rad,s^{-1}}$，以免与普通频率混淆。
• 这里正负号服从选定轴向；不能把转速大小直接当作带方向的角速度。

相关概念

适用与边界

• 应用：把力矩方程和角动量守恒整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：除非另行说明，本章采用地面惯性系和右手直角坐标系，固定转轴沿 $+z$；从 $+z$ 端看，逆时针为角位移、角速度、角加速度和力矩的正方向。
• 推导：P01 · 刚体转动、角动量与转动惯量

变量

$r_{a}$

用下标 a 区分 r 的分量、样本或离散状态，单位：米（m）

$q_{1}$

用下标 1 区分 q 的分量、样本或离散状态，单位：由上下文确定

$q_{n}$

用下标 n 区分 q 的分量、样本或离散状态，单位：由上下文确定

$t$

在“广义坐标与自由度”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：秒（s）

成立条件

• 若一组参数 $q_1,\ldots,q_n$ 能在局部唯一标记系统所有容许构型，并且彼此独立，就称为广义坐标；$n$ 是该区域内的自由度数。
• 后者自动满足 $x=\ell\sin\theta$、$y=-\ell\cos\theta$，把两个直角坐标和一个独立几何方程约化成一个自由度。

相关概念

适用与边界

• 应用：把Lagrange 乘子给出的约束反力整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：若把不能积分的位置—速度关系误当成普通几何方程，可能得到错误的自由度和运动方程。
• 推导：P02 · 广义坐标、约束与 Noether 定理

变量

$D_{L}$

用下标 L 区分 D 的分量、样本或离散状态，单位：由上下文确定

$z$

在“黑洞和宇宙学观测不是单一坐标读数”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：由上下文确定

$D_{A}$

用下标 A 区分 D 的分量、样本或离散状态，单位：由上下文确定

成立条件

• 设 $r_s=30\,\mathrm{km}$。
• 径向光满足 $c\mathrm dt=a\mathrm d\chi$，共动距离由背景 $H(z)$ 积分得到。

相关概念

适用与边界

• 应用：把Friedmann 方程与宇宙膨胀整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：线性远区模板不能描述视界附近几何全貌；参数推断还包含噪声概率模型。
• 推导：P08 · 黑洞、宇宙学与相对论综合复习

变量

$P$

在“计时、剖析与 roofline 上界”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：由上下文确定

$P$

在“计时、剖析与 roofline 上界”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：由上下文确定

$B$

在“计时、剖析与 roofline 上界”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：由上下文确定

$I$

在“计时、剖析与 roofline 上界”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：由上下文确定

成立条件

• 端到端测量要在起点前完成必要预热，在终点显式等待设备完成，并说明数据传输是否计入。
• 某内核运算强度 $I=0.25\,\mathrm{FLOP\,B^{-1}}$，实测可持续内存带宽 $B_{\mathrm{mem}}=200\,\mathrm{GB\,s^{-1}}$，设备峰值为 $2.0\,\mathrm{TFLOP\,s^{-1}}$。

相关概念

适用与边界

• 应用：把强缩放、弱缩放和 roofline 测量整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：若简单令每个进程从相邻种子开始，不能自动保证子流独立；改变进程数还会改变哪些样本收到哪些随机数。
• 推导：P11 · 并行计算、可复现性与性能测量

变量

$m$

在“简谐振子”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：由上下文确定

$x$

在“简谐振子”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：米（m）

$k$

在“简谐振子”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：每米（m⁻¹）

成立条件

• 若恒定重力只把竖直弹簧的静态平衡位置下移，那么以新平衡点为原点后，重力常数项与静态伸长相消，角频率仍由 $k/m$ 决定；若把位移误从弹簧原长量起却仍写齐次方程，就会漏掉恒力项。
• 反之，若 $U''(0)<0$，扰动受到的不是回复力而是离开平衡点的力，指数增长不能称为简谐振动。

相关概念

适用与边界

• 应用：把阻尼比、临界阻尼和衰减包络整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：反之，若 $U''(0)<0$，扰动受到的不是回复力而是离开平衡点的力，指数增长不能称为简谐振动。
• 推导：P03 · 简谐振子、阻尼与受迫振动

变量

$k$

在“紧束缚：局域轨道展宽成带”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：由上下文确定

$N_{c}$

用下标 c 区分 N 的分量、样本或离散状态，单位：由上下文确定

$j$

在“紧束缚：局域轨道展宽成带”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：由上下文确定

$e$

在“紧束缚：局域轨道展宽成带”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：由上下文确定

$ikR_{j}$

用下标 j 区分 ikR 的分量、样本或离散状态，单位：由上下文确定

成立条件

• 若 $|V_G|=0.200\,\mathrm{eV}$，上下两支在边界为 $1.30$ 与 $1.70\,\mathrm{eV}$，带隙 $0.400\,\mathrm{eV}$。
• $V_G$ 用 eV 时应直接在 eV 中相加，动能若由 SI 算出则先完成 J 到 eV 转换。

相关概念

适用与边界

• 应用：把有效质量、空穴与半导体掺杂整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：另一极限从每个原胞的局域轨道 $|j\rangle$ 出发。
• 推导：P10 · 能带理论、半导体与费米面

变量

$R$

在“局部实验与等效原理”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：由上下文确定

$\rho$

在“局部实验与等效原理”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：由上下文确定

$\rho_{nusigma}$

用下标 nusigma 区分 rho 的分量、样本或离散状态，单位：由上下文确定

$\rho_{musigma}$

用下标 musigma 区分 rho 的分量、样本或离散状态，单位：由上下文确定

$\Gamma$

在“局部实验与等效原理”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：由上下文确定

$\rho_{mulambda}$

用下标 mulambda 区分 rho 的分量、样本或离散状态，单位：由上下文确定

$\lambda_{nusigma}$

用下标 nusigma 区分 lambda 的分量、样本或离散状态，单位：由上下文确定

$\rho_{nulambda}$

用下标 nulambda 区分 rho 的分量、样本或离散状态，单位：由上下文确定

$\lambda_{musigma}$

用下标 musigma 区分 lambda 的分量、样本或离散状态，单位：由上下文确定

成立条件

• 质量为 $m$ 的人静止在地面电梯中，地板法向力约为 $N=mg$，秤读数非零。
• 若电梯高度为 $L$，地球径向引力在上下端相差约 $2gL/R_\oplus$。

相关概念

适用与边界

• 应用：把测地线方程和自由落体整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：正文未把极限情形单列为独立公式；适用边界以本小节声明的定义域、假设和边界条件为限。
• 推导：P08 · 等效原理、测地线与引力红移

变量

$\Xi$

在“巨配分函数与归一化”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：由上下文确定

$T$

在“巨配分函数与归一化”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：开尔文（K）

$V$

在“巨配分函数与归一化”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：立方米（m³）

$\mu$

在“巨配分函数与归一化”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：由上下文确定

$N$

在“巨配分函数与归一化”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：无量纲

$\alpha$

在“巨配分函数与归一化”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：由上下文确定

$\beta$

将能量转换为无量纲指数，单位：每焦耳（J⁻¹）

$E_{alphaN}$

用下标 alphaN 区分 E 的分量、样本或离散状态，单位：焦耳（J）

成立条件

• 能量较高压低权重；若 $\mu$ 较大，含更多粒子的状态相对有利。
• 求和必须只覆盖物理允许状态，并满足收敛条件。

相关概念

适用与边界

• 应用：把粒子数涨落和压强势整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：对均匀、可加、热力学极限中的系统， $\Omega=-pV$；有限系统、表面项显著或长程相互作用存在时，使用这一等式要重新检查齐次性假设。
• 推导：P06 · 巨正则系综与化学势

变量

$v$

在“均匀介质与平面界面”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：由上下文确定

成立条件

• 在线性、各向同性、无色散介质中可写 $\mathbf D=\varepsilon\mathbf E$、$\mathbf B=\mu\mathbf H$。
• 波阻抗为 $Z=\sqrt{\mu/\varepsilon}$，且平面波满足 $E/H=Z$。

相关概念

适用与边界

• 应用：把真空波动方程与横波约束整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：此时相速度、群速度和能量传输速度需要分别判断，不能把 $c/n$ 当作所有脉冲的唯一速度。
• 推导：P04 · Maxwell 方程与电磁波

变量

$A$

在“可观测量与自伴算符”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：由上下文确定

成立条件

• 概率密度关于 $L/2$ 对称，所以粒子在左半区与右半区的概率各为 $1/2$；但密度并不均匀，在边界为零、中心最大。
• 动量算符 $P=-i\hbar\,\mathrm d/\mathrm dx$ 需要波函数具有适当弱导数和边界行为。

相关概念

适用与边界

• 应用：把Hermitian 算符和谱分解整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：概率密度关于 $L/2$ 对称，所以粒子在左半区与右半区的概率各为 $1/2$；但密度并不均匀，在边界为零、中心最大。
• 推导：P07 · Hilbert 空间、量子态与可观测量

变量

$p$

在“可逆绝热”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：帕斯卡（Pa）

$V$

在“可逆绝热”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：立方米（m³）

$\gamma$

在“可逆绝热”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：由上下文确定

$T$

在“可逆绝热”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：开尔文（K）

成立条件

• $2.00\,\mathrm{mol}$ 理想气体在 $350\,\mathrm K$ 下准静态等温压缩，体积从 $0.0400\,\mathrm{m^3}$ 变为 $0.0150\,\mathrm{m^3}$。
• 若边界绝热，就不可能同时满足这条等温路径。

相关概念

适用与边界

• 应用：把闭合系统第一定律和焓整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：这些幂律还要求准静态、无摩擦和理想气体；“绝热”本身并不能推出它们。
• 推导：P05 · 热力学第一定律与能量传递

变量

$S$

在“理想气体熵变与自由膨胀”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：由上下文确定

$nC_{V}$

用下标 V 区分 nC 的分量、样本或离散状态，单位：由上下文确定

$T$

在“理想气体熵变与自由膨胀”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：开尔文（K）

$n$

在“理想气体熵变与自由膨胀”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：摩尔（mol）

$R$

在“理想气体熵变与自由膨胀”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：由上下文确定

$V$

在“理想气体熵变与自由膨胀”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：立方米（m³）

成立条件

• 温差趋零时，每单位热量的熵产生趋零；但在有限传热系数和面积下，热流率也趋零。
• 工程优化需要同时考虑不可逆损失、设备面积和过程时间，不能只把温差设为零。

相关概念

适用与边界

• 应用：把热传导、混合与自由膨胀的熵产生整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：对整个容器边界， $Q=0$；向真空的边界功 $W=0$，第一定律给理想气体 $\Delta U=0$，故 $T_2=T_1$。
• 推导：P05 · 熵、不可逆过程与熵产生

变量

$W_{AB}$

用下标 AB 区分 W 的分量、样本或离散状态，单位：由上下文确定

$F$

在“力沿路径所做的功”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：牛顿（N）

$C$

在“力沿路径所做的功”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：由上下文确定

$r$

在“力沿路径所做的功”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：米（m）

成立条件

• 若问题只问“从起点到终点速度怎样变化”，沿路径累积力的作用通常更短。
• 若恒力与直线位移夹角为 $\theta$，则 $W=Fd\cos\theta$。

相关概念

适用与边界

• 应用：把保守力、势能和路径无关性整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：能量方法不会消除系统边界。
• 推导：P01 · 功、势能与机械能守恒

变量

$r_{p}$

用下标 p 区分 r 的分量、样本或离散状态，单位：由上下文确定

$t$

在“两种状态表示与单位”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：由上下文确定

$v_{p}$

用下标 p 区分 v 的分量、样本或离散状态，单位：由上下文确定

$m_{p}$

用下标 p 区分 m 的分量、样本或离散状态，单位：由上下文确定

$q_{p}$

用下标 p 区分 q 的分量、样本或离散状态，单位：由上下文确定

$p$

在“两种状态表示与单位”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：由上下文确定

$N_{p}$

用下标 p 区分 N 的分量、样本或离散状态，单位：由上下文确定

成立条件

• 对位置只用前向 Euler 虽简单，却会在振子和轨道问题中系统漂移能量。

相关概念

适用与边界

• 应用：把Poisson 方程的有限元离散整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：正文未把极限情形单列为独立公式；适用边界以本小节声明的定义域、假设和边界条件为限。
• 推导：P11 · 粒子系统与场方程计算

变量

$n$

在“模型、晶格尺度与单位”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：由上下文确定

$N$

在“模型、晶格尺度与单位”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：由上下文确定

$V$

在“模型、晶格尺度与单位”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：由上下文确定

$z$

在“模型、晶格尺度与单位”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：由上下文确定

$\Omega_{c}$

用下标 c 区分 Omega 的分量、样本或离散状态，单位：由上下文确定

成立条件

• 这里用的是含四个格点的常规胞；若换用含一个格点的原胞，体积也缩为四分之一，所得密度不变。

相关概念

适用与边界

• 应用：把Sommerfeld 自由电子气与 Fermi 面整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：它能解释金属电子的简并尺度、热容数量级和部分输运关系，却不能产生能带隙，也不能可靠描述多带、强关联或显著各向异性材料。
• 推导：P10 · 自由电子气与输运

变量

$\hbar$

在“模型、能量零点与解的分类”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：焦耳秒（J·s）

$m$

在“模型、能量零点与解的分类”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：由上下文确定

$\phi$

在“模型、能量零点与解的分类”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：由上下文确定

$x$

在“模型、能量零点与解的分类”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：米（m）

$V$

在“模型、能量零点与解的分类”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：由上下文确定

成立条件

• 若 $E>V_0$，定义 $k=\sqrt{2m(E-V_0)}/\hbar$，单位 $\mathrm{m^{-1}}$，解为 $Ae^{ikx}+Be^{-ikx}$。
• 若 $E<V_0$，定义 $\kappa=\sqrt{2m(V_0-E)}/\hbar$，单位 $\mathrm{m^{-1}}$，解为 $Ce^{\kappa x}+De^{-\kappa x}$。

相关概念

适用与边界

• 应用：把势垒隧穿的透射系数整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：若 $E=V_0$，方程给 $\phi''=0$，解为线性函数，不能把 $k=0$ 直接塞入只保留一项的平面波表达而丢失第二个独立解。
• 推导：P07 · 一维势阱、隧穿与散射

变量

$M$

在“耦合、简正模与连续极限”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：由上下文确定

$q$

在“耦合、简正模与连续极限”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：由上下文确定

$K$

在“耦合、简正模与连续极限”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：由上下文确定

成立条件

• 若弹簧的线性工作范围只有 $|x|\le0.020\,\mathrm m$，所得稳态振幅已经越界，公式虽算术正确，物理近似却不合格；应减小驱动力或改用实测非线性恢复力模型。
• 在 $\mathbf M$ 正定、$\mathbf K$ 对称的保守系统中，不同本征频率对应的模态可按质量内积正交化。

相关概念

适用与边界

• 应用：把Jones 向量、偏振器与波片整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：正文未把极限情形单列为独立公式；适用边界以本小节声明的定义域、假设和边界条件为限。
• 推导：P03 · 几何光学、偏振与波动综合复习

变量

$\mu$

在“散度、体积元与边界通量”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：由上下文确定

$V$

在“散度、体积元与边界通量”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：由上下文确定

$g$

在“散度、体积元与边界通量”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：由上下文确定

成立条件

• 观察者四速度 $u^\mu$ 满足 $u_\mu u^\mu=-c^2$；其局部空间标架 $e_{\hat i}{}^\mu$ 与 $u^\mu$ 正交并彼此单位归一。
• 若只算 $\partial_\mu V^\mu$，即使几何向量场没有源，也可能因弯曲坐标网格的扩张得到假源项。

相关概念

适用与边界

• 应用：把Levi-Civita 联络和测地偏离整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：帽指标表示正交标架分量，不按坐标 Jacobian 直接变换，也不能与普通坐标指标混写。
• 推导：P08 · 张量、联络与曲率

变量

$x$

在“十进数量级”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：由上下文确定

$a$

在“十进数量级”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：由上下文确定

$n$

在“十进数量级”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：由上下文确定

成立条件

• 一个写明“约 $10^3\,\mathrm{kg}$，在这些假设下可能相差两倍”的答案，通常比没有误差说明的 $1037.428\,\mathrm{kg}$ 更诚实也更有用。
• 若把“数量级”定义为最接近 $x$ 的 $10$ 的整数幂，则当 $a<\sqrt{10}\approx3.16$ 时数量级为 $10^n$，当 $a\ge\sqrt{10}$ 时数量级为 $10^{n+1}$。

相关概念

适用与边界

• 应用：把Fermi 估算中的主导量级整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：它是一条缩短但闭合的推理链：保持单位和量纲一致，用简单模型连接输入与目标，给出中心值和边界，再用另一种观察方式核对。
• 推导：P00 · 尺度分析、数量级与估算

变量

$t$

在“守恒量先给结构，本构关系再补闭合”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：由上下文确定

成立条件

• 对装水的容器，若边界固定且无水流进出，质量近似不变；若打开阀门，流量就必须进入质量平衡。
• 若储存量是质量，单位为 $mathrm{kg}$，等式各项单位都必须是 $\mathrm{kg\,s^{-1}}$；若储存量是能量，单位为 $mathrm J$，各项单位必须是 $\mathrm W=\mathrm{J\,s^{-1}}$。

相关概念

适用与边界

• 应用：把对称性如何筛选候选守恒量整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：对装水的容器，若边界固定且无水流进出，质量近似不变；若打开阀门，流量就必须进入质量平衡。
• 推导：P00 · 理想化、守恒量与模型边界

变量

$F_{1}$

用下标 1 区分 F 的分量、样本或离散状态，单位：由上下文确定

$q$

在“四类生成函数的导数规则”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：由上下文确定

$Q$

在“四类生成函数的导数规则”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：由上下文确定

$t$

在“四类生成函数的导数规则”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：秒（s）

$p_{i}$

用下标 i 区分 p 的分量、样本或离散状态，单位：千克米每秒（kg·m·s⁻¹）

$q_{i}$

用下标 i 区分 q 的分量、样本或离散状态，单位：由上下文确定

$P_{i}$

用下标 i 区分 P 的分量、样本或离散状态，单位：由上下文确定

$Q_{i}$

用下标 i 区分 Q 的分量、样本或离散状态，单位：由上下文确定

$F_{2}$

用下标 2 区分 F 的分量、样本或离散状态，单位：由上下文确定

$P$

在“四类生成函数的导数规则”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：由上下文确定

$F_{3}$

用下标 3 区分 F 的分量、样本或离散状态，单位：由上下文确定

$p$

在“四类生成函数的导数规则”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：千克米每秒（kg·m·s⁻¹）

$F_{4}$

用下标 4 区分 F 的分量、样本或离散状态，单位：由上下文确定

成立条件

• 若只令 $Q=2q$ 却保持 $P=p$，则 $\{Q,P\}=2$，不是正则变换，直接套用正则方程会把时间尺度算错。
• 四种情形都满足 $K=H+\partial F_a/\partial t$。

相关概念

适用与边界

• 应用：把生成函数构造正则变换整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：角度增加 $2\pi$ 后代表同一点，却可能使作用量函数改变一个常数；这不破坏局部导数关系，但说明不能把 $S$ 当作全局单值普通函数。
• 推导：P02 · Poisson 括号与正则变换

变量

$U$

在“四速度”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：由上下文确定

$\mu$

在“四速度”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：由上下文确定

$x$

在“四速度”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：米（m）

$\tau$

在“四速度”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：秒（s）

$\gamma$

在“四速度”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：无量纲

$c$

在“四速度”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：米每秒（m·s⁻¹）

$v$

在“四速度”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：米每秒（m·s⁻¹）

成立条件

• “四速度”采用该锚点正文给出的定义域、对象类型与记号约定。

相关概念

适用与边界

• 应用：把相对论碰撞中的不变量质量整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：光的固有时为零，不能用同一公式定义光子四速度。
• 推导：P08 · 四矢量、相对论动力学与电磁场

变量

$U$

在“万有引力、势能与圆轨道的推导”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：焦耳（J）

$r$

在“万有引力、势能与圆轨道的推导”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：米（m）

$G$

在“万有引力、势能与圆轨道的推导”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：由上下文确定

$M$

在“万有引力、势能与圆轨道的推导”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：千克（kg）

$m$

在“万有引力、势能与圆轨道的推导”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：千克（kg）

$\mu$

在“万有引力、势能与圆轨道的推导”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：由上下文确定

成立条件

• 若 $M$ 为球对称天体，外部场等效于质量集中在中心。
• 它不代表发动机必须瞬间加速，也不计大气阻力和天体自转；它是给定中心引力模型中的能量阈值。

相关概念

适用与边界

• 应用：把Kepler 轨道、有效势与逃逸条件整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：从半径 $r$ 处以恰好到达无穷远且末速趋于零为边界条件，得到逃逸速度 $v_{\rm esc}=\sqrt{2\mu/r}=\sqrt2\,v_c$。
• 推导：P01 · 引力、轨道与经典力学综合复习

变量

$L$

在“微扰阶数、树图和回路”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：由上下文确定

$I$

在“微扰阶数、树图和回路”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：由上下文确定

$V$

在“微扰阶数、树图和回路”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：由上下文确定

成立条件

• 对高于阈值的相同质量标量散射，树级 $\phi^4$ 振幅满足 $|\mathcal M|^2=\lambda^2$。
• 若每个 $\phi^4$ 顶点贡献一次 $\lambda$，一个顶点的二到二振幅为 $O(\lambda)$，其领先截面为 $O(\lambda^2)$。

相关概念

适用与边界

• 应用：把散射振幅、截面与相空间因子整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：该式只含树级接触图；接近强耦合、阈值束缚或回路修正显著时不能视为精确预测。
• 推导：P12 · 相互作用、散射与 Feynman 图

变量

$S$

在“微正则：从态数到温度”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：由上下文确定

$E$

在“微正则：从态数到温度”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：焦耳（J）

$V$

在“微正则：从态数到温度”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：立方米（m³）

$N$

在“微正则：从态数到温度”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：无量纲

$k_{B}$

连接温度与能量尺度，单位：焦耳每开尔文（J·K⁻¹）

$\Omega$

在“微正则：从态数到温度”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：由上下文确定

成立条件

• 在短程相互作用、稳定单相和热力学极限中，它们对体密度平均量常给出相同结果；小系统、长程相互作用、相共存或临界有限尺寸处，涨落和大偏差可能保留明显系综差异。
• 其中 $\Omega$ 是无量纲态数；连续经典相空间需要用适当相空间单元和能壳宽度使对数自变量无量纲。

相关概念

适用与边界

• 应用：把Langevin 方程和扩散系数整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：在短程相互作用、稳定单相和热力学极限中，它们对体密度平均量常给出相同结果；小系统、长程相互作用、相共存或临界有限尺寸处，涨落和大偏差可能保留明显系综差异。
• 推导：P06 · 输运、涨落与统计物理综合复习

变量

$\alpha$

在“为什么要把时间导数线性化”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：由上下文确定

$i$

在“为什么要把时间导数线性化”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：由上下文确定

$j$

在“为什么要把时间导数线性化”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：由上下文确定

$\delta$

在“为什么要把时间导数线性化”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：由上下文确定

$I$

在“为什么要把时间导数线性化”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：由上下文确定

$\beta$

在“为什么要把时间导数线性化”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：由上下文确定

成立条件

• 普通数不能同时满足这些关系，$\psi$ 必须有多个分量。
• 在本章号型下可选 $(\gamma^0)^\dagger=\gamma^0$、 $(\gamma^i)^\dagger=-\gamma^i$。

相关概念

适用与边界

• 应用：把Dirac 矩阵、旋量与反粒子整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：普通数不能同时满足这些关系，$\psi$ 必须有多个分量。
• 推导：P12 · Klein–Gordon 场与 Dirac 场

变量

$\Delta$

在“位置、位移与路程”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：由上下文确定

$r$

在“位置、位移与路程”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：米（m）

$t_{2}$

用下标 2 区分 t 的分量、样本或离散状态，单位：秒（s）

$t_{1}$

用下标 1 区分 t 的分量、样本或离散状态，单位：秒（s）

成立条件

• 矢量是几何对象，分量是它在所选基底下的坐标。
• 若跑者沿 $400\,\mathrm m$ 环形跑道恰好一周，路程为 $400\,\mathrm m$，位移却为零。

相关概念

适用与边界

• 应用：把曲线运动的切向—法向分解整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：除非另行说明，本章使用地面惯性参考系；二维坐标取水平向右为 $+x$、竖直向上为 $+y$，时钟读数以秒为单位。
• 推导：P01 · 质点运动学与参考系