公式连同条件一起检索。

变量

$K$

在“线性耦合振子与简正模”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：由上下文确定

$a$

在“线性耦合振子与简正模”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：由上下文确定

$\omega$

在“线性耦合振子与简正模”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：赫兹（Hz）

$M$

在“线性耦合振子与简正模”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：由上下文确定

成立条件

• 设广义位移 $\boldsymbol x(t)\in\mathbb R^n$ 的每个分量以米（$\mathrm m$）计，$M$ 是对称正定质量矩阵，$K$ 是对称刚度矩阵。
• 设 $\boldsymbol x(t)=\boldsymbol a\cos(\omega t)$。

相关概念

适用与边界

• 应用：把广义特征值问题和简正坐标整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：正文未把极限情形单列为独立公式；适用边界以本小节声明的定义域、假设和边界条件为限。
• 推导：P03 · 耦合振子与简正模

变量

$\Gamma$

在“相轨道与相流”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：由上下文确定

$z_{0}$

用下标 0 区分 z 的分量、样本或离散状态，单位：米（m）

$\Phi$

在“相轨道与相流”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：由上下文确定

$t$

在“相轨道与相流”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：秒（s）

$I$

在“相轨道与相流”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：由上下文确定

成立条件

• 若方程满足常微分方程局部存在唯一性的条件，从初始点 $z_0$ 出发的解定义相流 $\Phi^t(z_0)$。
• 自治系统的相流满足 $\Phi^{t+s}=\Phi^t\circ\Phi^s$。

相关概念

适用与边界

• 应用：把Poincaré 截面和周期轨道整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：轨道是一条状态历史，流则说明所有允许初始状态怎样共同演化；两者不能混用。
• 推导：P02 · 相空间、Poincaré 截面与混沌

变量

$C$

在“响应与平均场临界指数”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：由上下文确定

$t$

在“响应与平均场临界指数”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：由上下文确定

$\alpha$

在“响应与平均场临界指数”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：由上下文确定

$m$

在“响应与平均场临界指数”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：由上下文确定

$h$

在“响应与平均场临界指数”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：由上下文确定

$\beta$

将能量转换为无量纲指数，单位：每焦耳（J⁻¹）

成立条件

• “响应与平均场临界指数”采用该锚点正文给出的定义域、对象类型与记号约定。

相关概念

适用与边界

• 应用：把临界指数、标度律和关联长度整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：有限尺寸、修正标度和参数协方差会让各关系出现偏差；超标度还可能在高于上临界维数时失效。
• 推导：P06 · 相变、序参量与临界现象

变量

$u$

在“压力驱动的 Poiseuille 流”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：米每秒（m·s⁻¹）

$r$

在“压力驱动的 Poiseuille 流”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：由上下文确定

$\Delta$

在“压力驱动的 Poiseuille 流”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：由上下文确定

$p$

在“压力驱动的 Poiseuille 流”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：帕斯卡（Pa）

$\mu$

在“压力驱动的 Poiseuille 流”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：帕斯卡秒（Pa·s）

$L$

在“压力驱动的 Poiseuille 流”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：由上下文确定

$R$

在“压力驱动的 Poiseuille 流”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：由上下文确定

$Q$

在“压力驱动的 Poiseuille 流”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：由上下文确定

$\pi$

在“压力驱动的 Poiseuille 流”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：无量纲

成立条件

• 以直径为长度，$\mathrm{Re}=\rho\bar u(2R)/\mu\approx31$，与层流假设相容。
• 若计算所得 Re 已进入强惯性区，就应回头否定 Poiseuille 前提，而不是只保留流量数字。

相关概念

适用与边界

• 应用：把平面 Poiseuille 流与剪切应力整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：结果依赖入口已充分发展、平板足够宽且黏度恒定；短通道入口段不能直接采用抛物线分布。
• 推导：P09 · Navier–Stokes 方程与黏性流

变量

$c$

在“沿 x 方向的标准 Lorentz boost”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：米每秒（m·s⁻¹）

$t$

在“沿 x 方向的标准 Lorentz boost”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：秒（s）

$\gamma$

在“沿 x 方向的标准 Lorentz boost”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：无量纲

$\beta$

在“沿 x 方向的标准 Lorentz boost”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：无量纲

$x$

在“沿 x 方向的标准 Lorentz boost”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：米（m）

$y$

在“沿 x 方向的标准 Lorentz boost”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：由上下文确定

$z$

在“沿 x 方向的标准 Lorentz boost”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：由上下文确定

成立条件

• 使用另一常见号型 $(-,+,+,+)$ 会使所有间隔符号反转；只要全程一致，物理结论相同，但不能在同一推导中混用。
• 假设时空均匀、空间各向同性，惯性系之间的坐标变换应为线性。

相关概念

适用与边界

• 应用：把固有时、时空间隔与因果锥整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：使用另一常见号型 $(-,+,+,+)$ 会使所有间隔符号反转；只要全程一致，物理结论相同，但不能在同一推导中混用。
• 推导：P08 · Lorentz 变换与时空间隔

变量

$u$

在“沿流线积分得到 Bernoulli 关系”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：米每秒（m·s⁻¹）

$\rho$

在“沿流线积分得到 Bernoulli 关系”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：千克每立方米（kg·m⁻³）

$p$

在“沿流线积分得到 Bernoulli 关系”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：帕斯卡（Pa）

$\Phi$

在“沿流线积分得到 Bernoulli 关系”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：由上下文确定

成立条件

• 面积 $0.20\,\mathrm{m^2}$ 的小平板若各点深度近似相同，水的表压合力大小为 $5.89\,\mathrm{kN}$，方向垂直板面并压向板。
• 设流动稳态，体力保守且 $\boldsymbol b=-\nabla\Phi$，其中 $\Phi$ 是单位质量势能，单位 $\mathrm{J\,kg^{-1}}=\mathrm{m^2\,s^{-2}}$。

相关概念

适用与边界

• 应用：把Bernoulli 积分的适用条件整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：大面积板深度变化明显时，应积分 $\int p\boldsymbol n\,\mathrm dA$，不能用中心压力乘面积而不检查压力分布。
• 推导：P09 · Euler 方程、Bernoulli 定理与涡量

变量

$T_{c}$

用下标 c 区分 T 的分量、样本或离散状态，单位：由上下文确定

$k_{BT}$

用下标 BT 区分 k 的分量、样本或离散状态，单位：由上下文确定

$c$

在“一个明确、可失败的计算问题”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：由上下文确定

$J$

在“一个明确、可失败的计算问题”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：由上下文确定

成立条件

• 若最后只给一张磁化彩图或一个没有误差的峰位置，实验未完成。
• 若映射到材料，还需给晶格常数 $a$ 用 m、每格点磁矩用 $\mathrm{A\,m^2}$，并说明为何忽略远程交换、各向异性、缺陷、层间耦合和外场。

相关概念

适用与边界

• 应用：把N 体积分的精度—性能权衡整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：本章不逐项复述算法，而是完成一个可审计实验：估计二维正方格最近邻零场 Ising 模型在热力学极限的无量纲临界温度，并说明结果能否代表真实磁性材料。
• 推导：P11 · 计算物理综合项目与复习

变量

$u(x,t)$

弦或介质的横向位移，单位：米（m）

$c$

介质中的波速，单位：米每秒（m·s⁻¹）

$t$

在“一维波动方程”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：秒（s）

$x$

在“一维波动方程”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：米（m）

成立条件

• 介质均匀、线性，且波速 c 为常数。

相关概念

适用与边界

• 应用：一维波动方程
• 边界：记号 $u_{tt}$ 与 $u_{xx}$ 分别表示对时间和位置的二阶偏导，不能互换。
• 推导：P03 · 一维波动方程与边界条件

变量

$t$

在“移动控制体的 Reynolds 输运定理”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：由上下文确定

$V_{m}$

用下标 m 区分 V 的分量、样本或离散状态，单位：由上下文确定

$\rho$

在“移动控制体的 Reynolds 输运定理”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：千克每立方米（kg·m⁻³）

$b$

在“移动控制体的 Reynolds 输运定理”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：由上下文确定

$V$

在“移动控制体的 Reynolds 输运定理”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：由上下文确定

$V_{c}$

用下标 c 区分 V 的分量、样本或离散状态，单位：由上下文确定

$v$

在“移动控制体的 Reynolds 输运定理”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：米每秒（m·s⁻¹）

$w$

在“移动控制体的 Reynolds 输运定理”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：由上下文确定

$n$

在“移动控制体的 Reynolds 输运定理”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：由上下文确定

$A$

在“移动控制体的 Reynolds 输运定理”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：由上下文确定

成立条件

• 设 $b(\boldsymbol x,t)$ 是单位质量携带的某个量，$\rho b$ 是单位体积量。
• 若控制体本身变形，$\boldsymbol w$ 只需给出边界法向速度；切向重参数化不改变穿越通量。

相关概念

适用与边界

• 应用：把Cauchy 动量方程与体力整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：物质体 $V_m(t)$ 始终包含同一批粒子，其边界速度等于物质速度 $\boldsymbol v$，没有质量穿越。
• 推导：P09 · 质量、动量与能量守恒方程

变量

$Q_{H}$

用下标 H 区分 Q 的分量、样本或离散状态，单位：由上下文确定

$W_{12}$

用下标 12 区分 W 的分量、样本或离散状态，单位：由上下文确定

$nRT_{H}$

用下标 H 区分 nRT 的分量、样本或离散状态，单位：由上下文确定

$V_{2}$

用下标 2 区分 V 的分量、样本或离散状态，单位：由上下文确定

$V_{1}$

用下标 1 区分 V 的分量、样本或离散状态，单位：由上下文确定

成立条件

• 若四步完全反向，得到逆 Carnot 制冷机，图上逆时针，净功由环境输入。
• 绝热不必然等于等熵；只有可逆绝热过程才同时满足熵不变，真实绝热膨胀仍可能有摩擦或湍流。

相关概念

适用与边界

• 应用：把Carnot 循环效率和绝对温标整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：例如气体内部没有摩擦和有限梯度，只能称内部可逆；若它从温度不同的外部热库吸热，系统内部路径再平滑也不能使系统加热过程完全可逆。
• 推导：P05 · 热力学第二定律与 Carnot 循环

变量

$\Omega_{c}$

用下标 c 区分 Omega 的分量、样本或离散状态，单位：由上下文确定

$a_{1}$

用下标 1 区分 a 的分量、样本或离散状态，单位：由上下文确定

$a_{2}$

用下标 2 区分 a 的分量、样本或离散状态，单位：由上下文确定

$a_{3}$

用下标 3 区分 a 的分量、样本或离散状态，单位：由上下文确定

成立条件

• 常规晶胞为突出对称性可选得更大，可能含多个点阵点，不能把它的体积自动当作原胞体积。
• 若整数矩阵 $M$ 满足 $\det M=\pm1$，用 $\boldsymbol a_i'=\sum_jM_{ji}\boldsymbol a_j$ 得到的新基仍生成同一个点阵，原胞体积绝对值不变。

相关概念

适用与边界

• 应用：把倒易点阵和第一 Brillouin 区整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：常规晶胞为突出对称性可选得更大，可能含多个点阵点，不能把它的体积自动当作原胞体积。
• 推导：P10 · 晶体结构、倒易点阵与衍射

变量

$\varepsilon_{0}$

用下标 0 区分 varepsilon 的分量、样本或离散状态，单位：由上下文确定

$E$

在“真空量与介质量不能混用”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：牛顿每库仑（N·C⁻¹）

$P$

在“真空量与介质量不能混用”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：由上下文确定

$H$

在“真空量与介质量不能混用”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：由上下文确定

$B$

在“真空量与介质量不能混用”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：特斯拉（T）

$\mu_{0}$

用下标 0 区分 mu 的分量、样本或离散状态，单位：由上下文确定

$M$

在“真空量与介质量不能混用”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：由上下文确定

成立条件

• 把相对介电常数直接代入真空 Coulomb 定律，只在特定均匀线性介质和相应自由源定义下有效。

相关概念

适用与边界

• 应用：把Poynting 定理和场能输运整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：开曲面的边界环路按右手定则与法向配对。
• 推导：P04 · 介质、能流与电磁学综合复习

变量

$H$

在“正规模量子化与声子占据”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：由上下文确定

$q$

在“正规模量子化与声子占据”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：由上下文确定

$s$

在“正规模量子化与声子占据”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：由上下文确定

$P_{qs}$

用下标 qs 区分 P 的分量、样本或离散状态，单位：由上下文确定

$\omega_{qs}$

用下标 qs 区分 omega 的分量、样本或离散状态，单位：由上下文确定

$Q_{qs}$

用下标 qs 区分 Q 的分量、样本或离散状态，单位：由上下文确定

成立条件

• 稳定平衡要求所有 $\omega^2\ge0$；若计算得到负本征值，常把频率画成“虚频”，它表示所选结构沿该模式并非局部能量极小，而不是原子以虚数频率振动。
• 增加一个量子称为产生一个声子，能量为 $\hbar\omega$，晶体动量标签为 $\hbar\boldsymbol q$，但只在模倒易矢量意义下守恒。

相关概念

适用与边界

• 应用：把正则模量子化和声子占据整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：$x\ll1$ 时每个模式贡献趋于 $k_B$，对应经典均分；$x\gg1$ 时占据和热容指数压低，常称该高频模式“冻结”。
• 推导：P10 · 晶格振动、声子与热容

变量

$u$

在“正弦行波的参数与单位”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：米（m）

$x$

在“正弦行波的参数与单位”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：米（m）

$t$

在“正弦行波的参数与单位”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：秒（s）

$A$

在“正弦行波的参数与单位”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：由上下文确定

$k$

在“正弦行波的参数与单位”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：每米（m⁻¹）

$\omega$

在“正弦行波的参数与单位”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：赫兹（Hz）

$\phi_{0}$

用下标 0 区分 phi 的分量、样本或离散状态，单位：由上下文确定

成立条件

• 观察一根长弦时，仅说“它在振动”并不足以预测下一时刻的形状。
• 若状态量是弦的横向位移，振幅单位为米；若状态量是声压扰动，振幅单位为帕；若状态量是电场，振幅单位为伏特每米。

相关概念

适用与边界

• 应用：把叠加原理、波包和群速度整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：公式结构可以相同，但振幅的物理单位、能量表达式和边界条件不能跨系统照搬。
• 推导：P03 · 行波、相位、叠加与色散

变量

$p_{i}$

作为统计平均中的归一化权重，单位：无量纲

$e$

在“正则分布与配分函数”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：由上下文确定

$\beta$

将能量转换为无量纲指数，单位：每焦耳（J⁻¹）

$E_{i}$

决定该状态的玻尔兹曼权重，单位：焦耳（J）

$Z$

归一化全部微观状态的统计权重，单位：无量纲

$V$

在“正则分布与配分函数”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：立方米（m³）

$N$

在“正则分布与配分函数”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：无量纲

$i$

在“正则分布与配分函数”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：由上下文确定

成立条件

• 若能级 $E_r$ 有简并度 $g_r$，则按能级求和写成 $Z=\sum_r g_r e^{-\beta E_r}$。

相关概念

适用与边界

• 应用：把配分函数导出能量和热容整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：有限热库会因交换能量而改变温度，分布不再是精确指数形式；系统与热库耦合能也必须相对体能量可忽略，才能把总能量近似拆成两部分。
• 推导：P06 · 正则系综、配分函数与涨落

变量

$p$

在“质点动量与系统总动量”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：千克米每秒（kg·m·s⁻¹）

$m$

在“质点动量与系统总动量”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：千克（kg）

$v$

在“质点动量与系统总动量”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：米每秒（m·s⁻¹）

成立条件

• 若我们关心的是碰撞前后的速度，就不必重建力的每个瞬时细节；只需知道力—时间曲线的有向面积，即冲量。
• 若只知道该区间平均力，则 $\boldsymbol J=\boldsymbol F_{\mathrm{avg}}\Delta t$。

相关概念

适用与边界

• 应用：把弹性和非弹性碰撞的守恒方程整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：不能把各物体动量大小相加来代替矢量和。
• 推导：P01 · 动量、冲量与碰撞

变量

$\mu$

在“重要性采样：把样本放到贡献大的区域”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：由上下文确定

$f$

在“重要性采样：把样本放到贡献大的区域”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：由上下文确定

$c$

在“重要性采样：把样本放到贡献大的区域”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：由上下文确定

$h$

在“重要性采样：把样本放到贡献大的区域”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：由上下文确定

成立条件

• 分层采样则把区域拆成若干层，按每层概率加权独立均值，确保小而重要的区域获得样本。
• 无论采用哪种方法，误差公式都应对应实际抽样设计，不能继续套用原始简单随机样本方差。

相关概念

适用与边界

• 应用：把Metropolis–Hastings 重要性采样整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：无论采用哪种方法，误差公式都应对应实际抽样设计，不能继续套用原始简单随机样本方差。
• 推导：P11 · Monte Carlo、重要性采样与误差估计

变量

$\varepsilon$

在“驻作用量条件”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：由上下文确定

$S$

在“驻作用量条件”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：焦耳秒（J·s）

$q$

在“驻作用量条件”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：由上下文确定

成立条件

• 把 $L$ 在时间上积分以后，数值会依赖整段路径；仅比较某一时刻的 $L$ 不能判断哪条路径满足驻作用量条件。
• 若给 $L$ 加上全时间导数 $\mathrm dF(q,t)/\mathrm dt$，在固定端点下作用量只改变端点值 $F(t_2)-F(t_1)$，运动方程不变。

相关概念

适用与边界

• 应用：把Euler–Lagrange 方程从一阶变分导出整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：把 $L$ 在时间上积分以后，数值会依赖整段路径；仅比较某一时刻的 $L$ 不能判断哪条路径满足驻作用量条件。
• 推导：P02 · 最小作用量原理与 Euler–Lagrange 方程

变量

$f$

在“状态方程”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：由上下文确定

$p$

在“状态方程”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：帕斯卡（Pa）

$V$

在“状态方程”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：立方米（m³）

$T$

在“状态方程”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：开尔文（K）

$n$

在“状态方程”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：摩尔（mol）

成立条件

• 状态方程是在给定物质、相态和适用范围内约束平衡态变量的关系。
• 给定物质的量后，四个变量并非都独立；在单相区域通常指定两个合适的强度或比状态变量即可确定其余量。

相关概念

适用与边界

• 应用：把p–V–T 状态方程和热膨胀系数整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：状态方程是在给定物质、相态和适用范围内约束平衡态变量的关系。
• 推导：P05 · 平衡态、状态方程与准静态过程

变量

$\Delta_{F}$

用下标 F 区分 Delta 的分量、样本或离散状态，单位：由上下文确定

$x$

在“自由场量子化与传播子”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：由上下文确定

$y$

在“自由场量子化与传播子”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：由上下文确定

$\phi$

在“自由场量子化与传播子”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：由上下文确定

成立条件

• 产生算符作用于真空建立 Fock 态，粒子数只在存在稳定自由或渐近模的背景下清楚。
• 内部线动量一般 off shell，不满足 $p^2=m^2$；把内部传播子画成“暂时违反能量守恒的真实粒子”是误导，顶角四动量仍严格守恒。

相关概念

适用与边界

• 应用：把离散对称性 C、P、T 的检验整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：是自由 Klein–Gordon 算子的带边界处方逆。
• 推导：P12 · 粒子物理与场论导论综合复习

变量

$S$

在“Boltzmann 熵”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：由上下文确定

$E$

在“Boltzmann 熵”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：焦耳（J）

$V$

在“Boltzmann 熵”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：立方米（m³）

$N$

在“Boltzmann 熵”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：无量纲

$k_{B}$

连接温度与能量尺度，单位：焦耳每开尔文（J·K⁻¹）

$\Omega$

在“Boltzmann 熵”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：由上下文确定

成立条件

• 若 $\varepsilon=2.00\times10^{-21}\,\mathrm J$，总能量为 $6.00\times10^{-21}\,\mathrm J$；态数仍无量纲。
• 两个弱耦合系统在给定各自宏观约束时，复合微观态由一对微观态组成，故态数相乘：$\Omega_{AB}=\Omega_A\Omega_B$。

相关概念

适用与边界

• 应用：把Boltzmann 熵和最概然宏观态整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：这给出熵在短程相互作用、边界贡献可忽略时的可加性。
• 推导：P06 · 微正则系综与熵的统计解释

变量

$L$

在“Euler–Lagrange 场方程”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：由上下文确定

$\phi_{a}$

用下标 a 区分 phi 的分量、样本或离散状态，单位：由上下文确定

$\mu$

在“Euler–Lagrange 场方程”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：由上下文确定

$muphi_{a}$

用下标 a 区分 muphi 的分量、样本或离散状态，单位：由上下文确定

成立条件

• 固定边界值时取 $\delta\phi_a|_{\partial\Omega}=0$；若边界值自由，驻值条件会给自然边界条件。
• 这个推导假设 $\mathcal L$ 至多含场的一阶导数。

相关概念

适用与边界

• 应用：把时空平移对应的能动量张量整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：边界项不是可以静默删除的装饰。
• 推导：P12 · 经典场、作用量与 Noether 流

变量

$F$

在“Ginzburg–Landau 泛函、磁通量子与两类超导”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：由上下文确定

$x$

在“Ginzburg–Landau 泛函、磁通量子与两类超导”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：由上下文确定

$\alpha$

在“Ginzburg–Landau 泛函、磁通量子与两类超导”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：由上下文确定

$\psi$

在“Ginzburg–Landau 泛函、磁通量子与两类超导”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：由上下文确定

$\beta$

在“Ginzburg–Landau 泛函、磁通量子与两类超导”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：由上下文确定

$m$

在“Ginzburg–Landau 泛函、磁通量子与两类超导”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：由上下文确定

$q$

在“Ginzburg–Landau 泛函、磁通量子与两类超导”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：由上下文确定

$A$

在“Ginzburg–Landau 泛函、磁通量子与两类超导”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：由上下文确定

$B$

在“Ginzburg–Landau 泛函、磁通量子与两类超导”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：由上下文确定

$\mu_{0}$

用下标 0 区分 mu 的分量、样本或离散状态，单位：由上下文确定

成立条件

• 若资料改报 $H_c$，则在真空边界约定下 $B_c=\mu_0H_c$；混用 T 与 $\mathrm{A\,m^{-1}}$ 会差一个 $\mu_0$。
• 由测得的 $B_c(T)$ 可求熵差 $s_n-s_s=-\partial(f_n-f_s)/\partial T$ 和比热差，因而磁学与量热数据应满足同一热力学预算。

相关概念

适用与边界

• 应用：把Ginzburg–Landau 序参量和磁通穿透整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：$\kappa=\lambda/\xi$ 无量纲；在 GL 适用的理想界限，$\kappa 1/\sqrt2$ 为第二类。
• 推导：P10 · 磁性、超导与序参量

变量

$\phi$

在“Hamilton 算符的定义域与边界”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：由上下文确定

$\psi$

在“Hamilton 算符的定义域与边界”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：由上下文确定

$\hbar$

在“Hamilton 算符的定义域与边界”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：焦耳秒（J·s）

$m$

在“Hamilton 算符的定义域与边界”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：由上下文确定

成立条件

• 方程对 $\psi$ 线性：若 $\psi_1,\psi_2$ 在相同势和相同齐次边界条件下是解，则 $a\psi_1+b\psi_2$ 也是解。
• 无限直线上平方可积态在无穷远充分衰减； 有限区间硬壁条件 $\psi(a)=\psi(b)=0$； 周期条件 $\psi(a)=\psi(b)$、 $\psi'(a)=\psi'(b)$； 其他满足自伴扩张条件的成对边界关系。

相关概念

适用与边界

• 应用：把定态分离与能量本征方程整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：方程对 $\psi$ 线性：若 $\psi_1,\psi_2$ 在相同势和相同齐次边界条件下是解，则 $a\psi_1+b\psi_2$ 也是解。
• 推导：P07 · Schrödinger 方程与时间演化

变量

$L$

在“LC 与 RLC：能量交换和阻尼”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：由上下文确定

$q$

在“LC 与 RLC：能量交换和阻尼”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：库仑（C）

$t$

在“LC 与 RLC：能量交换和阻尼”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：由上下文确定

$R$

在“LC 与 RLC：能量交换和阻尼”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：由上下文确定

$C$

在“LC 与 RLC：能量交换和阻尼”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：由上下文确定

成立条件

• 当 $R^2<4L/C$ 时为欠阻尼振荡；等号是临界阻尼；大于时为过阻尼。
• 稳恒 Ampère 定律若直接用于正在充电的电容器，会遇到曲面选择矛盾：同一边界回路可以选一张穿过导线的曲面，也可选一张鼓入极板间隙、不穿过导线的曲面。

相关概念

适用与边界

• 应用：把Maxwell 位移电流和电荷连续性整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：电源已提供的能量还包括电阻耗散，不能把全部输入都等同于磁能。
• 推导：P04 · 电磁感应、位移电流与电路响应

变量

$W_{ij}$

用下标 ij 区分 W 的分量、样本或离散状态，单位：由上下文确定

$L$

在“Legendre 变换：检查可逆性以后再进入相空间”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：焦耳（J）

$q_{i}$

用下标 i 区分 q 的分量、样本或离散状态，单位：由上下文确定

$q_{j}$

用下标 j 区分 q 的分量、样本或离散状态，单位：由上下文确定

成立条件

• 若 $W$ 奇异，动量之间出现约束；强行反解会制造虚假的自由度，需要另行处理约束 Hamilton 系统。
• 因此一个不显含时间的量 $F$ 守恒，当且仅当它与 $H$ 的 Poisson 括号为零。

相关概念

适用与边界

• 应用：把Hamilton 流中的可积性和共振整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：线性变换也不能仅凭形式对称就认定正则；必须计算括号或验证辛矩阵条件。
• 推导：P02 · 分析力学与非线性动力学综合复习

变量

$S$

在“Maxwell 关系、响应函数与相变”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：由上下文确定

$p$

在“Maxwell 关系、响应函数与相变”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：帕斯卡（Pa）

$T$

在“Maxwell 关系、响应函数与相变”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：开尔文（K）

$V$

在“Maxwell 关系、响应函数与相变”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：立方米（m³）

成立条件

• 若计算得到负值，应先检查热量方向、能量守恒和绝对温度。
• 环境约束不满足时，应回到总系统第一、第二定律。

相关概念

适用与边界

• 应用：把Clapeyron 方程与一级相变曲线整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：相共存、不稳定分支或响应函数发散处不能把一个光滑单相势外推到底。
• 推导：P05 · 响应函数、相变与热力学综合复习

变量

$T$

在“Maxwell 关系：混合偏导的物理用途”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：开尔文（K）

$V$

在“Maxwell 关系：混合偏导的物理用途”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：立方米（m³）

$S$

在“Maxwell 关系：混合偏导的物理用途”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：由上下文确定

$N$

在“Maxwell 关系：混合偏导的物理用途”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：由上下文确定

$p$

在“Maxwell 关系：混合偏导的物理用途”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：帕斯卡（Pa）

成立条件

• 若膨胀不可逆，系统仍有相同初末态 $\Delta F$，但实际功小于该可逆上限，差额与熵产生有关。
• 若势函数在所研究单相区域具有连续二阶偏导，则混合偏导次序可交换。

相关概念

适用与边界

• 应用：把Maxwell 关系由热力学势导出整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：符号来自势函数全微分，不能仅凭记忆排列。
• 推导：P05 · 自由能、Maxwell 关系与相平衡

变量

$F_{AB}$

用下标 AB 区分 F 的分量、样本或离散状态，单位：牛顿（N）

$F_{BA}$

用下标 BA 区分 F 的分量、样本或离散状态，单位：牛顿（N）

成立条件

• 只有先把两个物体合并为系统，内部作用反作用力才会在系统总动量方程中成对抵消。
• 6. 另写约束方程，再联立求未知量；最后检查接触、绳张紧和摩擦状态假设是否自洽。

相关概念

适用与边界

• 应用：把自由体图、约束力与摩擦模型整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：质量可变化的系统需要谨慎界定系统边界。
• 推导：P01 · Newton 定律、受力分析与约束

变量

$x$

在“Poisson 极限的可复算链条”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：米（m）

$i$

在“Poisson 极限的可复算链条”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：由上下文确定

$t$

在“Poisson 极限的可复算链条”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：秒（s）

$c$

在“Poisson 极限的可复算链条”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：米每秒（m·s⁻¹）

$\Gamma$

在“Poisson 极限的可复算链条”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：由上下文确定

$i_{00}$

用下标 00 区分 i 的分量、样本或离散状态，单位：由上下文确定

$h_{00}$

用下标 00 区分 h 的分量、样本或离散状态，单位：由上下文确定

成立条件

• 若误把 $T_{00}$ 写成质量密度 $\mathrm{kg\,m^{-3}}$ 而不补 $c^2$，右侧会少能量单位。

相关概念

适用与边界

• 应用：把场方程的 Newton 极限整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：致密星内部可能压强显著，即使外部轨道仍近似弱场，也不能把内部源只写成质量密度。
• 推导：P08 · Einstein 场方程与典型解

变量

$\Delta$

在“Robertson 不确定关系”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：由上下文确定

$A$

在“Robertson 不确定关系”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：由上下文确定

$B$

在“Robertson 不确定关系”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：由上下文确定

成立条件

• 若 $A,B$ 为自伴算符，定义中心化算符 $\widetilde A=A-\langle A\rangle$、 $\widetilde B=B-\langle B\rangle$。
• 推导要求相关向量与乘积期望存在；对无界算符，$|\psi\rangle$ 必须处在足以定义 $A\psi,B\psi,AB\psi,BA\psi$ 的共同定义域中。

相关概念

适用与边界

• 应用：把对易子、兼容观测量与共同本征态整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：三者在特定模型中可相关，但不能用同一符号替代。
• 推导：P07 · 测量、对易关系与不确定性