公式连同条件一起检索。

变量

$Y$

构成联合分布或条件分布的第二个变量，单位：不适用

$\varepsilon$

在“满列秩线性模型”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

成立条件

• 若 $\operatorname{rank}(X)=p$，称设计矩阵满列秩。
• 此时 $X^{\mathsf T}X$ 可逆，$\beta$ 在该设计下可识别，普通最小二乘解唯一。

相关概念

适用与边界

• 应用：把残差诊断、方差分析与显著性整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：三者不能互相替代：对任意数值矩阵都可以最小化残差平方和；只有把响应看成随机变量并说明条件均值与条件方差，才能讨论估计量的偏差和方差；要使用有限样本精确的 t、F 分布，还必须再加入正态误差条件。
• 推导：M06 · 线性模型中的统计推断

变量

$P$

在“命题逻辑的德摩根律”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$Q$

在“命题逻辑的德摩根律”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

成立条件

• 两个复合命题在所有基础真值组合下都取相同真值，称它们逻辑等价，记作 $A\equiv B$。
• 等价允许在证明中把一个命题换成结构更清楚的表达式。

相关概念

适用与边界

• 应用：把量词、否定与等价变形整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：这个例子同时说明，检验若干成功样例不能证明全称蕴含；直接代数推导覆盖了全部整数。
• 推导：M00 · 命题、量词与逻辑联结词

变量

$T$

在“挠元素与挠子模”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$M$

在“挠元素与挠子模”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$m$

在“挠元素与挠子模”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$r$

在“挠元素与挠子模”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$R$

在“挠元素与挠子模”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

成立条件

• 设 $R$ 是整环，$M$ 是 $R$-模。
• 若 $m\in M$ 满足存在非零 $r\in R$ 使 $rm=0$，则称 $m$ 为挠元素。

相关概念

适用与边界

• 应用：把有限生成模的矩阵表示整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：若 $R$ 是主理想整环，则有限生成模能被结构定理精确分成自由部分与挠部分；换成一般环，这个结论不再自动成立。
• 推导：M14 · 模、线性表示与结构定理

变量

$x$

在“内积空间与 Hilbert 空间”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

成立条件

• 内积是满足共轭对称、第一变量线性和正定性的映射 $\langle\cdot,\cdot\rangle:H\times H\to\mathbb F$。
• 若 $H$ 关于该范数完备，即每个范数 Cauchy 列都在 $H$ 中收敛，就称 $H$ 为 Hilbert 空间。

相关概念

适用与边界

• 应用：把最佳逼近和正交投影定理整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：若采用“第二个变量线性”的教材约定，Riesz 表示和伴随公式中的位置要相应交换，不能混用。
• 推导：M16 · Hilbert 空间、正交投影与对偶

变量

$x$

在“偏序集、格与布尔代数”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$y$

在“偏序集、格与布尔代数”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$z$

在“偏序集、格与布尔代数”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

成立条件

• 集合 $P$ 上的关系 $\preceq$ 若满足自反性、反对称性和传递性，就称 $(P,\preceq)$ 为偏序集。
• 对 $x,y\in P$，若存在最大下界，记为 $x\wedge y$；若存在最小上界，记为 $x\vee y$。

相关概念

适用与边界

• 应用：把布尔代数的运算和对偶律整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：格也不要求存在补元；即使一个有界格中的每个元素都有补元，缺少分配律时仍不能称为布尔代数。
• 推导：M07 · 偏序集、格与布尔代数

变量

$C$

在“频率学置信区间与覆盖率”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$X$

作为概率分布、期望或方差的对象，单位：不适用

$\vartheta$

在“频率学置信区间与覆盖率”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$L$

在“频率学置信区间与覆盖率”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$U$

在“频率学置信区间与覆盖率”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

成立条件

• 函数 $\theta\mapsto P_\theta\{\theta\in C(X)\}$ 称为覆盖率函数；若它对所有 $\theta$ 都恰等于 $1-\alpha$，则称区间具有精确的等覆盖率。
• 某次抽样得到 $[1.42,2.18]$ 后，频率学模型中的 $\theta$ 与两个端点都已经固定；此时应报告“该方法在给定模型下有 $95\%$ 的长期覆盖率”，不能改写成“$\theta$ 有 $95\%$ 的概率位于这个已实现区间”。

相关概念

适用与边界

• 应用：把正态总体均值和方差的区间整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：某次抽样得到 $[1.42,2.18]$ 后，频率学模型中的 $\theta$ 与两个端点都已经固定；此时应报告“该方法在给定模型下有 $95\%$ 的长期覆盖率”，不能改写成“$\theta$ 有 $95\%$ 的概率位于这个已实现区间”。
• 推导：M06 · 置信区间与枢轴量

变量

$x$

在“平衡点附近要比较整条未来轨线”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$f$

在“平衡点附近要比较整条未来轨线”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$n$

在“平衡点附近要比较整条未来轨线”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

成立条件

• 若 $f(x_*)=0$，则常值函数 $x(t)\equiv x_*$ 是一条轨线，$x_*$ 称为平衡点。
• 设 $x_*$ 是平衡点，并只考虑 $t\ge 0$。

相关概念

适用与边界

• 应用：把非线性系统的线性化判别整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：平面线性中心的邻近轨线围绕原点闭合，原点稳定却不吸引；一维方程 $\dot x=-x^3$ 的原点既稳定又吸引，但收敛是代数速度，不能由此断言指数稳定。
• 推导：M08 · 稳定性、Lyapunov 方法与分岔

变量

$y$

在“前向误差与后向误差”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$f$

在“前向误差与后向误差”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$x$

在“前向误差与后向误差”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

成立条件

• 设精确问题为 $y=f(x)$。
• 若一个算法对每个允许输入都能把计算结果解释为邻近问题的精确解，且相对后向误差与 $u$ 同阶，就称它后向稳定。

相关概念

适用与边界

• 应用：把前向误差、后向误差与条件数整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：大量正负项抵消时分母很小，求和问题本身就可能病态；改变求和次序、从小到大累加或补偿求和可以减少算法误差，却不能恢复输入中原本不存在的精度。
• 推导：M10 · 浮点数、条件数与误差传播

变量

$t$

在“切向量与切空间”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$\varphi$

在“切向量与切空间”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$\gamma_{1}$

用下标 1 区分 gamma 的分量、样本或离散状态，单位：不适用

$\gamma_{2}$

用下标 2 区分 gamma 的分量、样本或离散状态，单位：不适用

成立条件

• 若 $F$ 是双射且 $F,F^{-1}$ 都光滑，则称为微分同胚；它比同胚更强，因为还保持光滑结构。
• 设 $p\in M$，考虑所有满足 $\gamma(0)=p$ 的光滑曲线 $\gamma:(-\varepsilon,\varepsilon)\to M$。

相关概念

适用与边界

• 应用：把浸入、嵌入和子流形整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：不能因为 $S^1$ 没有全局参数就否定这些映射的光滑性：逐点选择局部图即可。
• 推导：M15 · 流形、坐标图与切空间

变量

$T_{pS}$

用下标 pS 区分 T 的分量、样本或离散状态，单位：不适用

$dF_{p}$

用下标 p 区分 dF 的分量、样本或离散状态，单位：不适用

$v$

在“球面的切空间”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$p$

在“球面的切空间”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

成立条件

• 同一结论也可由曲线得到：若 $\gamma(0)=p$ 且 $\gamma(t)\in S^2$，对 $\gamma(t)\cdot\gamma(t)=1$ 求导即有 $p\cdot\dot\gamma(0)=0$；反过来，每个 $v\perp p$ 都是某条球面曲线在 $p$ 的速度。
• $p$ 是临界点当且仅当 $e_3$ 与所有 $v\perp p$ 正交，即 $e_3\in(p^\perp)^\perp=\operatorname{span}\{p\}$。

相关概念

适用与边界

• 应用：把切空间、微分形式和积分的协同整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：这个结论来自紧致性，而不是因为经纬线“在极点挤在一起”；后者只说明某一套坐标失效，不能排除其他单图候选。
• 推导：M15 · 拓扑与微分几何综合复习

变量

$E$

在“全纯函数恒等定理”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$z$

在“全纯函数恒等定理”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$\Omega$

在“全纯函数恒等定理”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$f$

在“全纯函数恒等定理”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$g$

在“全纯函数恒等定理”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

成立条件

• 设 $\Omega\subset\mathbb C$ 是连通开集，$f,g$ 在 $\Omega$ 上全纯。
• 若零点列在 $a\in\Omega$ 聚集，便只能有 $h$ 在 $a$ 的某邻域恒为零。

相关概念

适用与边界

• 应用：把保角映射和边界对应整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：正实轴与正虚轴分别被送到单位圆的两段边界；原点只属于边界，不必用 $F'(0)=0$ 否定区域内部的保角性。
• 推导：M13 · 保角映射与解析延拓

变量

$f$

在“全微分和 Hessian 分层给出局部模型”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$a$

在“全微分和 Hessian 分层给出局部模型”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$h$

在“全微分和 Hessian 分层给出局部模型”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$o$

在“全微分和 Hessian 分层给出局部模型”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

成立条件

• 局部模型把点和小增量映到近似变化；多重积分把区域上的密度映到总量；标量曲线或曲面积分把几何载体上的密度映到总量；功、环流与通量积分把带方向的场和有向载体映到带符号结果；积分定理则在满足正则性与取向条件时，把边界结果改写为内部微分量的积分。
• 设 $f:\mathbb R^n\to\mathbb R$ 在点 $\mathbf a$ 可微。

相关概念

适用与边界

• 应用：把面积、体积和质量的多重积分模型整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：局部模型把点和小增量映到近似变化；多重积分把区域上的密度映到总量；标量曲线或曲面积分把几何载体上的密度映到总量；功、环流与通量积分把带方向的场和有向载体映到带符号结果；积分定理则在满足正则性与取向条件时，把边界结果改写为内部微分量的积分。
• 推导：M03 · 多变量微积分与向量分析综合复习

变量

$f$

在“权函数决定什么叫作正交”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$g$

在“权函数决定什么叫作正交”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$w$

在“权函数决定什么叫作正交”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$a$

在“权函数决定什么叫作正交”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$b$

在“权函数决定什么叫作正交”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$x$

在“权函数决定什么叫作正交”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

成立条件

• 在 $L^2[-\pi,\pi]$ 中，标准化正弦族 $\{\sin(nx)/\sqrt\pi\}_{n\ge1}$ 彼此正交，却不能表示非零偶函数。
• 同一对函数在普通内积下可能不正交，在带权内积下却正交。

相关概念

适用与边界

• 应用：把施密特正交化和最佳平方逼近整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：在 $L^2[-\pi,\pi]$ 中，标准化正弦族 $\{\sin(nx)/\sqrt\pi\}_{n\ge1}$ 彼此正交，却不能表示非零偶函数。
• 推导：M09 · 正交函数系与 Fourier 系数

变量

$G$

在“群作用、轨道与稳定子”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$X$

在“群作用、轨道与稳定子”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$g$

在“群作用、轨道与稳定子”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$x$

在“群作用、轨道与稳定子”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

成立条件

• 若 $\overline\varphi(gK)=e_H$，则 $g\in K$，所以 $gK=K$；核平凡使它单射。
• 满足 $e\cdot x=x$ 与 $(gh)\cdot x=g\cdot(h\cdot x)$。

相关概念

适用与边界

• 应用：把群作用、轨道与稳定子整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：正文未把极限情形单列为独立公式；适用边界以本小节声明的定义域、假设和边界条件为限。
• 推导：M14 · 群同态、商群与群作用

变量

$u_{t}$

用下标 t 区分 u 的分量、样本或离散状态，单位：不适用

$\kappa$

在“三个方程描述三种不同机制”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$u_{xx}$

用下标 xx 区分 u 的分量、样本或离散状态，单位：不适用

成立条件

• 把热方程写成 $\kappa u_{xx}-u_t=0$，在变量 $(x,t)$ 的二阶主部中没有 $u_{tt}$，故属于抛物型；波动方程的 $u_{tt}-c^2u_{xx}=0$ 为双曲型；Laplace 方程为椭圆型。
• 这三类方程最直观的差别体现在信息行为上：热扩散会平滑并衰减高频结构；波动以有限速度传播并在无耗散模型中保存能量；Laplace 方程没有时间方向，区域内部由整个边界共同约束。

相关概念

适用与边界

• 应用：把热方程的平滑与最大值原理整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：这三类方程最直观的差别体现在信息行为上：热扩散会平滑并衰减高频结构；波动以有限速度传播并在无耗散模型中保存能量；Laplace 方程没有时间方向，区域内部由整个边界共同约束。
• 推导：M09 · 热方程、波动方程与 Laplace 方程

变量

$Y_{n}$

用下标 n 区分 Y 的分量、样本或离散状态，单位：不适用

$Y$

构成联合分布或条件分布的第二个变量，单位：不适用

$\varepsilon$

在“三种随机收敛”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

成立条件

• 平方根规律描述重复试验中的典型尺度：若希望标准差缩小到原来的一半，样本量通常需要扩大到四倍，而不是两倍。
• 有一个重要特例：若依分布极限是常数 $c$，则 $Y_n\xrightarrow d c$ 会推出 $Y_n\xrightarrow{\mathbb P}c$。

相关概念

适用与边界

• 应用：把几乎处处收敛与强大数定律整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：有一个重要特例：若依分布极限是常数 $c$，则 $Y_n\xrightarrow d c$ 会推出 $Y_n\xrightarrow{\mathbb P}c$。
• 推导：M05 · 大数定律与中心极限定理

变量

$y_{n+1}$

用下标 n+1 区分 y 的分量、样本或离散状态，单位：不适用

$y_{n}$

用下标 n 区分 y 的分量、样本或离散状态，单位：不适用

$h$

在“三种显式单步方法”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$f$

在“三种显式单步方法”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$t_{n}$

用下标 n 区分 t 的分量、样本或离散状态，单位：不适用

成立条件

• “三种显式单步方法”采用该锚点正文给出的定义域、对象类型与记号约定。

相关概念

适用与边界

• 应用：把多步法、刚性方程与自适应控制整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：不能只按函数调用数判断优劣：达到同一精度时，高阶方法通常允许更大步长；遇到刚性问题时，扩大显式方法的阶数也未必解除稳定性限制。
• 推导：M10 · 常微分与偏微分方程数值方法

变量

$s$

在“上界、上确界与确界原理”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$A$

在“上界、上确界与确界原理”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

成立条件

• 设非空集合 $A\subseteq\mathbb R$。
• 若 $M\in\mathbb R$ 满足每个 $a\in A$ 都有 $a\le M$，则称 $M$ 是 $A$ 的上界。

相关概念

适用与边界

• 应用：把单调收敛、嵌套区间与柯西列整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：以有理数逐位截断 $\sqrt2$，所得数列的尾项可以任意接近，但极限不属于有理数。
• 推导：M12 · 实数完备性、紧致性与连续性

变量

$S$

在“生成子群与循环群”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$H$

在“生成子群与循环群”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$G$

在“生成子群与循环群”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

成立条件

• 集合包含 $0$，且若 $ma,mb\in m\mathbb Z$，则 $ma-mb=m(a-b)\in m\mathbb Z$，所以 $m\mathbb Z\le\mathbb Z$。
• 任意族子群的交仍是子群，因此包含给定集合 $S\subseteq G$ 的所有子群之交有意义。

相关概念

适用与边界

• 应用：把陪集、拉格朗日定理与指数整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：正文未把极限情形单列为独立公式；适用边界以本小节声明的定义域、假设和边界条件为限。
• 推导：M14 · 群、子群与循环结构

变量

$f$

在“实形式傅里叶级数”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$x$

在“实形式傅里叶级数”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$a_{0}$

用下标 0 区分 a 的分量、样本或离散状态，单位：不适用

$n$

在“实形式傅里叶级数”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$a_{n}$

用下标 n 区分 a 的分量、样本或离散状态，单位：不适用

$b_{n}$

用下标 n 区分 b 的分量、样本或离散状态，单位：不适用

成立条件

• 函数具有给定周期，并满足所采用收敛定理的条件。

相关概念

适用与边界

• 应用：傅里叶级数
• 应用：一维波动方程
• 边界：频率、振幅与相位共同决定波形，只有项数无法描述具体信号。
• 推导：M09 · 傅里叶级数、收敛与 Gibbs 现象

变量

$E_{a}$

用下标 a 区分 E 的分量、样本或离散状态，单位：不适用

$x$

在“实指数函数”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$a$

在“实指数函数”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

成立条件

• 当 $a>1$ 时，$E_a$ 严格递增。
• 当 $0 1$；于是 $a^x=b^{-x}$，$x$ 增大等价于 $-x$ 减小，函数严格递减。

相关概念

适用与边界

• 应用：把对数恒等式及换底公式整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：$a=1$ 时 $1^x$ 恒为 $1$，仍能形成常函数，但它没有覆盖正实数的反函数，不能作为对数的底。
• 推导：M01 · 指数函数、对数函数与复合函数

变量

$z_{0}$

用下标 0 区分 z 的分量、样本或离散状态，单位：不适用

$R$

在“收敛圆与解析函数”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$z$

在“收敛圆与解析函数”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

成立条件

• 若在某点 $z_1$ 收敛，则对所有 $|z-z_0|<|z_1-z_0|$ 都绝对收敛；若在某点发散，则更外侧不可能收敛。
• 若函数 $f$ 在每一点附近都能写成某个收敛复幂级数，就称 $f$ 解析。

相关概念

适用与边界

• 应用：把解析函数的泰勒展开整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：级数中心、半径和有效区域是表示的一部分；不能把圆内等式越过最近的奇点继续代入。
• 推导：M13 · 幂级数、初等复函数与局部表示

变量

$a_{n}$

用下标 n 区分 a 的分量、样本或离散状态，单位：不适用

$L$

在“数列收敛的 ε-N 定义”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$\varepsilon$

在“数列收敛的 ε-N 定义”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

成立条件

• 例如 $a_n=1/n$ 的前十项仍离零较远，但给定任意正误差，总能找到一个下标，从该项起所有项都落在零附近。
• 设 $(a_n)$ 为实数列。

相关概念

适用与边界

• 应用：把单调有界定理与极限夹逼整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：不存在有限极限的数列称为发散数列。
• 推导：M02 · 数列极限与收敛判据

变量

$L$

在“似然与最大似然估计”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$\theta$

在“似然与最大似然估计”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$x$

作为求和或积分中的取值变量，单位：不适用

$p_{\theta}$

用下标 theta 区分 p 的分量、样本或离散状态，单位：不适用

成立条件

• 若参数为 $k$ 维，常选 $k$ 个能识别参数的矩方程。
• 若 $\eta=h(\theta)$ 为参数空间之间的一一映射，且 $\widehat\theta$ 最大化原似然，则 $h(\widehat\theta)$ 最大化按 $\eta$ 改写的似然。

相关概念

适用与边界

• 应用：把估计量的偏差、方差与一致性整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：方法名称不能替代偏差计算。
• 推导：M06 · 点估计、充分性与信息量

变量

$T$

在“算子的图与闭图”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$x$

在“算子的图与闭图”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$X$

在“算子的图与闭图”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$Y$

在“算子的图与闭图”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

成立条件

• 若 $T$ 还是单射，它就是连续线性双射。
• 设 $X,Y$ 都是 Banach 空间，且线性算子 $T:X\to Y$ 定义在整个 $X$ 上。

相关概念

适用与边界

• 应用：把一致有界原理和算子族控制整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：两端 Banach 条件也不能随意删去。
• 推导：M16 · Hahn–Banach、开映射与一致有界原理

变量

$T$

在“随机样本、统计量与抽样分布”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$X_{1}$

用下标 1 区分 X 的分量、样本或离散状态，单位：不适用

$X_{n}$

用下标 n 区分 X 的分量、样本或离散状态，单位：不适用

成立条件

• 若 $X_1,\ldots,X_n$ 相对于同一 $P_\theta$ 独立同分布，则称它们为来自 $P_\theta$ 的容量为 $n$ 的随机样本。
• 当同一抽样机制反复执行时，$T$ 在 $P_\theta$ 下形成的概率分布称为 $T$ 的抽样分布；该分布通常随 $\theta$ 与样本量 $n$ 改变。

相关概念

适用与边界

• 应用：把经验分布、次序统计量与抽样分布整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：的可测函数，它只能含样本和已知常数，不能含未知参数。
• 推导：M06 · 样本、统计量与抽样分布

变量

$A$

方阵，单位：不适用

$\mathbf{v}$

非零特征向量，单位：不适用

$\lambda$

对应特征值，单位：不适用

成立条件

• A 为方阵，特征向量不为零。

相关概念

适用与边界

• 应用：特征值与特征向量
• 应用：矩阵
• 边界：定义排除零向量作为特征向量，因为零向量对任意 $\lambda$ 都满足等式，无法提供方向信息；特征空间为了保持子空间结构必须包含零向量。
• 推导：M04 · 特征值、特征向量、对角化与综合复习

变量

$\boldsymbol{\theta}$

第 k 次迭代的模型参数，单位：由上下文确定

$\eta$

更新步长，单位：由上下文确定

$L$

目标损失，单位：由上下文确定

$k$

标记当前或下一次更新，单位：不适用

成立条件

• 损失函数在当前位置可微，学习率与局部曲率相容。

相关概念

适用与边界

• 应用：梯度下降
• 应用：梯度
• 应用：损失函数
• 边界：训练损失、数据构造和模型结构决定目标究竟表达什么；优化器不能修复标签错误、数据泄漏或错误的任务定义。
• 推导：M11 · 一阶优化与梯度下降

变量

$\mathbf{y}$

输出向量，单位：不适用

$A$

变换矩阵，单位：不适用

$\mathbf{x}$

输入向量，单位：不适用

成立条件

• A 为有限维线性映射的矩阵表示。

相关概念

适用与边界

• 应用：线性变换
• 边界：同样的逻辑适用于多项式、函数和矩阵空间：只要一组基确定，记录基向量的像就足以恢复整个映射。
• 推导：M04 · 线性映射及其矩阵表示

变量

$I$

在“线性插值导出梯形公式”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$f$

在“线性插值导出梯形公式”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$T$

在“线性插值导出梯形公式”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$H$

在“线性插值导出梯形公式”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$\xi$

在“线性插值导出梯形公式”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

成立条件

• 凸函数满足 $f''\ge0$，弦位于图像上方，所以梯形面积偏大，即 $I-T\le0$，与误差公式符号一致。

相关概念

适用与边界

• 应用：把高斯求积和正交多项式整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：评价公式时不能只报告“理论阶数”，还要说明函数光滑性、步长、数据精度和误差测量方式。
• 推导：M10 · 数值积分与数值微分

变量

$a_{1}$

用下标 1 区分 a 的分量、样本或离散状态，单位：不适用

$v_{1}$

用下标 1 区分 v 的分量、样本或离散状态，单位：不适用

$a_{k}$

用下标 k 区分 a 的分量、样本或离散状态，单位：不适用

$v_{k}$

用下标 k 区分 v 的分量、样本或离散状态，单位：不适用

成立条件

• 在欧氏平面中，自由向量可画成允许平移的箭头。
• 若 $a_1\mathbf v_1+\cdots+a_k\mathbf v_k=\mathbf0$ 只能推出全部系数为零，这组向量线性无关；否则线性相关。

相关概念

适用与边界

• 应用：把线性组合、张成与线性无关整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：两个坐标数目相同但物理意义不同的记录不能自动相加；把位置与速度直接相加通常没有合理单位。
• 推导：M04 · 向量、坐标与线性组合

变量

$s$

在“一道题真正给出的五样东西”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$S$

在“一道题真正给出的五样东西”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$c$

在“一道题真正给出的五样东西”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$C$

在“一道题真正给出的五样东西”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$E$

在“一道题真正给出的五样东西”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$P$

在“一道题真正给出的五样东西”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

成立条件

• ”若不先说明学生集合、课程集合和“通过”关系，句子无法进入数学推理。
• 若题目给出“任意”“至少一个”“唯一”“只有”“除非”等词，写完符号后应反向读成一句完整中文，确认没有增强或削弱原命题。

相关概念

适用与边界

• 应用：把集合、映射与关系的串联整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：”若不先说明学生集合、课程集合和“通过”关系，句子无法进入数学推理。
• 推导：M00 · 数学语言与证明综合复习

变量

$x$

在“一点处与集合上的连续性”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$a$

在“一点处与集合上的连续性”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$f$

在“一点处与集合上的连续性”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

成立条件

• 设 $\mathbf a\in D$。
• 若它在 $D$ 的每一点都连续，则称它在 $D$ 上连续。

相关概念

适用与边界

• 应用：把路径极限、累次极限与联合极限整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：边界点的极限只沿 $D$ 内的点接近。
• 推导：M03 · 多变量函数、极限与连续

变量

$u_{t}$

用下标 t 区分 u 的分量、样本或离散状态，单位：不适用

$\kappa$

在“一根导热杆对应一条完整计算链”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$u_{xx}$

用下标 xx 区分 u 的分量、样本或离散状态，单位：不适用

$s$

在“一根导热杆对应一条完整计算链”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$x$

在“一根导热杆对应一条完整计算链”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$t$

在“一根导热杆对应一条完整计算链”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$L$

在“一根导热杆对应一条完整计算链”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

成立条件

• 制造解不是用解析答案替代数值计算，而是人为选择一个满足边界的数据，再反推源项。
• 若只把离散解再次代入同一段离散代码，最多证明程序内部自洽，不能证明它逼近原偏微分方程。

相关概念

适用与边界

• 应用：把离散化阶数与计算成本权衡整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：制造解不是用解析答案替代数值计算，而是人为选择一个满足边界的数据，再反推源项。
• 推导：M10 · 稳定性、收敛性与科学计算综合复习

变量

$F$

在“优化模型与可行域”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$p$

在“优化模型与可行域”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$x$

在“优化模型与可行域”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$X$

在“优化模型与可行域”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$g_{i}$

用下标 i 区分 g 的分量、样本或离散状态，单位：不适用

$h_{j}$

用下标 j 区分 h 的分量、样本或离散状态，单位：不适用

成立条件

• 参数 $\mathbf p$ 在一次求解中保持不变；若把参数误写成变量，求解器会改变本应固定的输入，问题也随之改变。
• 若 $\mathcal F(\mathbf p)\ne\varnothing$，模型称为可行。

相关概念

适用与边界

• 应用：把局部最优、全局最优与一阶条件整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：多个目标不能只并排列出后交给算法猜测优先级。
• 推导：M11 · 优化模型、可行域与最优性

变量

$E$

在“有限简单无向图、邻接与度数”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$u$

在“有限简单无向图、邻接与度数”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$v$

在“有限简单无向图、邻接与度数”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$V$

在“有限简单无向图、邻接与度数”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

成立条件

• 后续结论若依赖这些限制，会明确写出。
• 若 $\{u,v\}\in E$，称 $u,v$ 邻接，也称该边与两个端点关联。

相关概念

适用与边界

• 应用：把路径、回路与连通性分解整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：正文未把极限情形单列为独立公式；适用边界以本小节声明的定义域、假设和边界条件为限。
• 推导：M07 · 图、路径、连通性与树

变量

$T_{p}$

用下标 p 区分 T 的分量、样本或离散状态，单位：不适用

$M$

在“余切空间与微分形式”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$T_{pM}$

用下标 pM 区分 T 的分量、样本或离散状态，单位：不适用

成立条件

• 微分形式将它们统一成作用于若干切向量的交替多线性函数；“交替”保证重复方向不给有向面积或体积，也自动记录交换方向时的符号变化。
• 零形式就是光滑函数；当 $k>n$ 时，$\Omega^k(M)=\{0\}$。

相关概念

适用与边界

• 应用：把形式的拉回和坐标不变性整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：这些操作由广义 Stokes 定理联系：内部的外微分积分等于边界上的原形式积分。
• 推导：M15 · 微分形式、外微分与 Stokes 定理

变量

$R_{T}$

用下标 T 区分 R 的分量、样本或离散状态，单位：不适用

$\lambda$

在“预解集、谱与预解算子”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$T$

在“预解集、谱与预解算子”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$I$

在“预解集、谱与预解算子”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

成立条件

• 设 $X$ 是复 Banach 空间，$T\in\mathcal B(X)$。
• 若 $\ker(T-\lambda I)\ne\{0\}$，则 $\lambda$ 属于点谱 $\sigma_p(T)$，也就是特征值。

相关概念

适用与边界

• 应用：把连续函数演算和投影值测度整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：这个定义既包含普通特征值，也捕捉没有特征向量却仍不能稳定求解的连续谱现象。
• 推导：M16 · 谱、预解式与谱定理

变量

$\iota$

在“域与特征”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$F$

在“域与特征”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$n$

在“域与特征”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

成立条件

• 域 $F$ 是满足 $0\ne1$ 的交换环，并且每个 $a\ne0$ 都有逆元 $a^{-1}$。
• 若 $\iota$ 单射，定义 $\operatorname{char}F=0$；否则其核为某个 $(m)$，其中最小正整数 $m$ 称为 $F$ 的特征。

相关概念

适用与边界

• 应用：把多项式整除、不可约性与分裂域整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：正文未把极限情形单列为独立公式；适用边界以本小节声明的定义域、假设和边界条件为限。
• 推导：M14 · 域扩张、多项式与有限域

变量

$L$

在“域自同构群与 Galois 群”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$K$

在“域自同构群与 Galois 群”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

成立条件

• 若多项式没有重根，称其可分。
• 扩张 $L/K$ 的 $K$-自同构是域同构 $\sigma:L\to L$，满足对每个 $a\in K$ 都有 $\sigma(a)=a$。

相关概念

适用与边界

• 应用：把同态核像和同构定理族整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：反过来，不能随意置换根；一个排列只有在延拓成保持加法、乘法与基域的域自同构时才属于 Galois 群。
• 推导：M14 · 群、环、域与 Galois 思想综合复习

变量

$\omega$

在“正常顶点着色与染色数”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$G$

在“正常顶点着色与染色数”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$\chi$

在“正常顶点着色与染色数”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

成立条件

• 正常 $k$-着色是映射 $c:V\to\{1,\ldots,k\}$，满足每条边 $uv\in E$ 都有 $c(u)\ne c(v)$。
• 按任意顶点顺序逐个给当前顶点分配没有被已着色邻点使用的最小颜色，就是贪心着色。

相关概念

适用与边界

• 应用：把点覆盖、边覆盖与极值对偶整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：“不能直接加一条边”只说明极大。
• 推导：M07 · 匹配、覆盖与图着色

变量

$\phi_{n}$

用下标 n 区分 phi 的分量、样本或离散状态，单位：不适用

$x$

在“正交投影先把边界写进坐标”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$k_{nx}$

用下标 nx 区分 k 的分量、样本或离散状态，单位：不适用

$k_{n}$

用下标 n 区分 k 的分量、样本或离散状态，单位：不适用

$n$

在“正交投影先把边界写进坐标”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$p$

在“正交投影先把边界写进坐标”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$i$

在“正交投影先把边界写进坐标”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$L$

在“正交投影先把边界写进坐标”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

成立条件

• 零 Dirichlet 端点应优先选正弦本征函数；若两端给零通量，则余弦基更自然。
• 有限个传感器值既不是连续函数，也不自动满足带限条件，不能未经处理便代入 Shannon 重建公式。

相关概念

适用与边界

• 应用：把时域运算与频域乘子的对应整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：整条实线没有离散边界波数，适合傅里叶变换。
• 推导：M09 · 傅里叶方法与偏微分方程综合复习

变量

$x$

在“证明从命题结构开始”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$P$

在“证明从命题结构开始”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

成立条件

• 时，应任取 $x\in D$ 并假设 $P(x)$，随后推出 $Q(x)$。
• 若目标是 $A=B$，常把它拆成 $A\subseteq B$ 与 $B\subseteq A$；若目标是“当且仅当”，则拆成两个方向。

相关概念

适用与边界

• 应用：把反证法中的否定与矛盾整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：全称命题不能靠有限样例完成，存在命题却只需一个合法见证；否定全称命题只需反例，否定存在命题则要排除全部候选。
• 推导：M00 · 直接证明、反证法与构造法

变量

$f_{n}$

用下标 n 区分 f 的分量、样本或离散状态，单位：不适用

$x$

在“逐点收敛与一致收敛”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$f$

在“逐点收敛与一致收敛”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$\varepsilon$

在“逐点收敛与一致收敛”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

成立条件

• 设 $f_n:E\to\mathbb R$，$f:E\to\mathbb R$。
• 否定一致收敛的实用形式是：存在 $\varepsilon_0>0$，使对每个 $N$ 都能找到 $n\ge N$ 和依赖于 $n$ 的点 $x_n\in E$，满足 $|f_n(x_n)-f(x_n)|\ge\varepsilon_0$。

相关概念

适用与边界

• 应用：把一致范数下的连续性保持整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：一致收敛要求先选定阶段，再让该阶段之后的所有函数同时在整个定义域上接近极限。
• 推导：M12 · 函数列、一致收敛与交换极限

变量

$I$

在“子环与双边理想”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$a$

在“子环与双边理想”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$r$

在“子环与双边理想”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$R$

在“子环与双边理想”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

成立条件

• 加法子群 $I\le(R,+)$ 若对所有 $r\in R$、$a\in I$ 都有 $ra\in I$ 且 $ar\in I$，则称 $I$ 为双边理想，记作 $I\triangleleft R$。
• 整数环中每个理想都是 $n\mathbb Z=(n)$：若非零理想 $I$ 中最小正整数为 $n$，对任意 $a\in I$ 做带余除法 $a=qn+r$，其中 $0\le r<n$；由于 $r=a-qn\in I$，最小性迫使 $r=0$，故 $I\subseteq n\mathbb Z$，反向包含显然成立。

相关概念

适用与边界

• 应用：把理想、商环与同构定理整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：这解释了为什么真理想不能同时是共享单位元的子环。
• 推导：M14 · 环、理想与商环

变量

$\imath_{b}$

用下标 b 区分 imath 的分量、样本或离散状态，单位：不适用

$x$

作为求和或积分中的取值变量，单位：不适用

$b$

在“自信息与离散熵”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$p$

在“自信息与离散熵”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

成立条件

• 若事件的概率为 $p$，希望“信息量”把独立事件的概率乘法转成信息加法，就自然得到负对数。
• 当 $b=2$ 时单位是 bit；当 $b=e$ 时单位是 nat。

相关概念

适用与边界

• 应用：把KL 散度、互信息与数据处理不等式整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：对一个概率为零的不可能结果，单独写自信息会得到 $+\infty$；但它在期望中的权重为零，极限约定使熵项为零。
• 推导：M11 · 熵、互信息与散度

变量

$x$

在“自治系统、平衡点与轨道”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$f$

在“自治系统、平衡点与轨道”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

成立条件

• 满足 $\mathbf f(\mathbf x_*)=\mathbf0$ 的点称为平衡点。
• 给定初值 $\mathbf x(0)=\mathbf x_0$ 后，解 $\mathbf x(t)$ 在状态空间描出一条带时间方向的轨道。

相关概念

适用与边界

• 应用：把线性系统的矩阵指数整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：同一条非平衡轨道不能在有限时间内自交：若轨道在两个时刻到达同一点，自治初值问题的唯一性会迫使之后的演化完全相同。
• 推导：M08 · 线性系统、矩阵指数与相平面

变量

成立条件

• 若从十件产品中同时抽三件，三件的排列次序不属于结果，等可能样本点数为 $\binom{10}{3}$；若依次记录第一、第二、第三件，则有序结果数不同。

相关概念

适用与边界

• 应用：把条件化、独立性与联合分布整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：抽样是否放回决定独立性；工厂来源是否可见决定是否条件化；总缺陷数和缺陷比例虽然只差一个常数，却有不同单位；中心极限定理近似需要正确的中心与尺度，而整数计数用连续正态分布近似时还要处理半单位连续性校正。
• 推导：M05 · 概率模型、随机变量与极限定理综合复习

变量

$g$

在“坐标追踪给出平移、伸缩与反射”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$x$

在“坐标追踪给出平移、伸缩与反射”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$a$

在“坐标追踪给出平移、伸缩与反射”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$f$

在“坐标追踪给出平移、伸缩与反射”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$b$

在“坐标追踪给出平移、伸缩与反射”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$h$

在“坐标追踪给出平移、伸缩与反射”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$k$

在“坐标追踪给出平移、伸缩与反射”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

成立条件

• 设 $I$ 是定义域中的区间。
• 若任意 $x_1 0$ 的平移封闭，即 $D+T=D$，并且每个 $x\in D$ 都满足 $f(x+T)=f(x)$，则 $T$ 是周期；最小正周期存在时称为基本周期。

相关概念

适用与边界

• 应用：把图像变换、复合与反函数整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：定义域也随横坐标对应而改变，不能只移动几个特征点。
• 推导：M01 · 函数、变换与图像

变量

$u$

在“Dirichlet 问题的弱解”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$x$

在“Dirichlet 问题的弱解”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$v$

在“Dirichlet 问题的弱解”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$\alpha$

在“Dirichlet 问题的弱解”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$f$

在“Dirichlet 问题的弱解”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

成立条件

• 给定 $f\in L^2(0,1)$。
• 这一步就是 Hilbert 空间方法：求解被改写为在完备内积空间中表示一个连续线性泛函。

相关概念

适用与边界

• 应用：把对偶、投影与表示定理的联系整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：三个空间不能随意互换：$L^2$ 元素只是几乎处处等价类，点值 $u(0)$ 对一般 $L^2$ 元素没有定义；边界条件要通过 $H_0^1$ 的迹或由更光滑代表来解释。
• 推导：M16 · 泛函分析与算子理论综合复习