术语从定义进入关系。

若 $L$ 不显含某个广义坐标 $q_k$ ，即 $\partial L/\partial q_k=0$ ，则 $q_k$ 是循环坐标。Euler–Lagrange 方程立即给出 $\dot p_k=0, \qquad p_k=\frac{\partial L}{\partial\dot q_k}.$ 这正是沿 $q_k$ 方向连续平移对称的 Noether 守恒量。

$\begin{aligned} ct'&=\gamma(ct-\beta x),\\ x'&=\gamma(x-\beta ct),\\ y'&=y,\\ z'&=z. \end{aligned}$ 逆变换由 $v\to-v$ 得到： $ct=\gamma(ct'+\beta x')$ 、 $x=\gamma(x'+\beta ct')$ 。

从均匀受张力弦推导一维波动方程，严格区分初值、边界与解析采样，并用行波、固定端基频和周期高斯脉冲核验模型。

在分段势和自伴边界条件下求解一维定态 Schrödinger 方程，以概率流匹配区分束缚态与散射态，推导无限与有限势阱、势阶、矩形势垒、δ 势和 WKB 经典极限。

分辨率是能引起示值可察觉变化的最小被测量变化。数字仪表的显示步进若为 $\Delta=0.1\,\mathrm{V}$ ，读数 $3.4\,\mathrm V$ 通常代表某个量化区间，而不是电压恰好等于无限精确的 $3.400\ldots\,\mathrm V$ 。

$\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \int_{V_m(t)}\rho b\,\mathrm dV = \frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \int_{V_c(t)}\rho b\,\mathrm dV +\oint_{\partial V_c(t)} \rho b(\boldsymbol v-\boldsymbol w) \cdot\boldsymbol n\,\mathrm dA.$ 右侧第一项是控制体内存量变化，第二项是相对控制面的净流出通量。

以参考系、时间分段和系统边界为统一框架，串联运动学、Newton 定律、功—能、冲量—动量与刚体转动，并从万有引力推导圆轨道、逃逸条件和有效势，用多阶段例题训练方法选择与交叉核对。

原胞是由平移点阵铺满空间、每胞恰含一个 Bravais 点阵点的体积区域。由一组原始矢量张成的平行六面体体积为 $\Omega_c= \left|\boldsymbol a_1\cdot (\boldsymbol a_2\times\boldsymbol a_3)\right|,$ 单位 $\mathrm{m^3}$ 。常规晶胞为突出对称性可选得更大，可能含多个点阵点，不能把它的体积自动当作原胞体积。

从坐标变换下的张量分量规律出发，以度量完成升降指标和长度测量，以 Levi-Civita 联络定义协变微分和平行移动，再用 Riemann、Ricci 与标量曲率区分坐标效应和真实几何。

两个点电荷 $q_1$ 、 $q_2$ 位于 $\boldsymbol r_1$ 、 $\boldsymbol r_2$ 。电荷 1 对电荷 2 的力为 $\boldsymbol F_{1\to2} =k_e\frac{q_1q_2}{\lVert\boldsymbol r_2-\boldsymbol r_1\rVert^3} (\boldsymbol r_2-\boldsymbol r_1).$ 若 $q_1q_2>0$ ，力从电荷 1 指向电荷 2，表现为排斥；若 $q_1q_2<0$ ，方向相反，表现为吸引。交换下标会使位移矢量反向，所以 $\boldsymbol F_{2\to1}=-\boldsymbol F_{1\to2}$ 。

任意闭合曲面 $S=\partial V$ 满足 $\oint_{\partial V}\boldsymbol E\cdot\mathrm d\boldsymbol A =\frac{Q_{\mathrm{enc}}}{\varepsilon_0} =\frac{1}{\varepsilon_0}\iiint_V\rho\,\mathrm dV.$ $Q_{\mathrm{enc}}$ 是曲面内部的代数净电荷。曲面外电荷会影响曲面各处的 $\boldsymbol E$ ，但其场线进入和离开所给的净通量相消。

以线性振子为局部单元，贯通受迫响应、耦合简正模、连续介质波动方程、波包色散以及远场干涉与衍射，并用量纲、极限和近似条件建立统一的解题流程。

光滑可逆变换 $(q,p)\mapsto(Q,P)$ 若满足下列任一等价条件，就称为正则变换： 1. 保持辛二形式： $\sum_i\mathrm dQ_i\wedge\mathrm dP_i=\sum_i\mathrm dq_i\wedge\mathrm dp_i$ ； 2. 保持基本 Poisson 括号： $\{Q_i,Q_j\}=0$ 、 $\{P_i,P_j\}=0$ 、 $\{Q_i,P_j\}=\delta_{ij}$ ； 3. 对线性变换 $Z=Mz$ ，矩阵满足 $M^{\mathsf T}JM=J$ 。

$p_i=\frac{e^{-\beta E_i}}{Z(\beta,V,N)}, \qquad Z=\sum_i e^{-\beta E_i}.$ $Z$ 称为正则配分函数，是无量纲归一化因子。若能级 $E_r$ 有简并度 $g_r$ ，则按能级求和写成 $Z=\sum_r g_r e^{-\beta E_r}$ 。

从小系统与大热库组成的微正则整体导出 Gibbs 权重，以正则配分函数计算自由能、平均能量、熵和压强，并建立热容与能量涨落的定量关系。

质量恒定为 $m$ 、在指定参考系中速度为 $\boldsymbol v$ 的质点，其线动量为 $\boldsymbol p=m\boldsymbol v.$ 由多个质点组成的系统，总动量为矢量和 $\boldsymbol P=\sum_i\boldsymbol p_i=\sum_i m_i\boldsymbol v_i.$ 动量有方向，且依赖参考系。不能把各物体动量大小相加来代替矢量和。

质量恒定为 $m$ 、在所选参考系中速率为 $v$ 的质点，其平动动能为 $K=\frac12mv^2.$ $K$ 的单位是 $\mathrm{kg\,m^2\,s^{-2}}=\mathrm J$ 。动能依赖参考系：同一物体相对地面运动、相对同速列车静止时，两个观察者给出的 $K$ 不同。

在明确参考系、原点、坐标轴与时钟约定后，用位置、位移、路程、速度和加速度描述一维与二维质点运动，并通过导数、积分、图像和相对运动在不同表示之间互相核对。

由物质体平衡和 Reynolds 输运定理建立固定及移动控制体的质量、动量与能量方程，并明确对流通量、应力牵引、体力、热流和源项的符号及单位。

总质量 $M=\sum_i m_i$ 固定时，系统质心位置和速度为 $\boldsymbol R_{\mathrm{cm}}= \frac{1}{M}\sum_i m_i\boldsymbol r_i, \qquad \boldsymbol V_{\mathrm{cm}}= \frac{1}{M}\sum_i m_i\boldsymbol v_i =\frac{\boldsymbol P}{M}.$ 因此 $M\frac{\mathrm d\boldsymbol V_{\mathrm{cm}}}{\mathrm dt} =\boldsymbol F_{\mathrm{ext}}.$ 内力能改变物体彼此间的运动，却不能单独改变固定质量系统质心的运动。

由相向传播的同频波叠加得到节点和腹点固定的空间振型。

若对所有满足问题约束的容许 $\eta_i(t)$ ，都有 $\left.\frac{\mathrm d}{\mathrm d\varepsilon}S[q+\varepsilon\eta] \right|_{\varepsilon=0}=0,$ 则路径 $q(t)$ 是作用量的驻值路径。该条件只断言一阶变分为零；二阶变分可能为正、负或不定，所以驻值未必是最小值。

状态方程是在给定物质、相态和适用范围内约束平衡态变量的关系。简单可压缩系统常写作 $f(p,V,T,n)=0.$ 给定物质的量后，四个变量并非都独立；在单相区域通常指定两个合适的强度或比状态变量即可确定其余量。

若外部约束变化得足够慢，使系统经过一串无限接近平衡的状态，则称过程为准静态。它允许用平衡状态变量描述路径，但并不保证过程没有耗散。

把自由标量场和 Dirac 场分解为独立动量模，以等时对易或反对易关系建立产生湮灭算符与 Fock 空间，处理真空零点能和正规序，并由时间有序二点函数得到自由传播子及粒子解释的适用边界。

在有限体积周期边界下计数电子波矢态，建立费米波矢、费米能和按体积归一的三维态密度，再以弛豫时间近似连接费米面附近载流子、漂移、电导、热容与热导，并明确模型边界。

从简单可压缩系统的基本热力学关系出发，以 Legendre 变换构造焓、Helmholtz 自由能和 Gibbs 自由能，辨认自然变量，推导 Maxwell 关系、响应函数、自发判据、化学势及 Clapeyron 相界斜率。

把力学轨迹视为固定端点路径空间中的作用量驻值点，从一阶变分和分部积分推导 Euler–Lagrange 方程，并以自由粒子、均匀重力和简谐振子检验边界条件、量纲与经典运动方程。

微正则熵定义为 $S(E,V,N)=k_B\ln\Omega(E,V,N), \qquad k_B=1.380649\times10^{-23}\,\mathrm{J\,K^{-1}}.$ $\Omega$ 无量纲，因此对数有定义； $S$ 的 SI 单位为 $\mathrm{J\,K^{-1}}$ 。

对归一化纯态 $|\psi\rangle$ ，测得 $A$ 的结果落在本征值 $a$ 对应子空间的概率为 $p(a)=\langle\psi|\Pi_a|\psi\rangle =\|\Pi_a|\psi\rangle\|^2.$ 概率无量纲、非负，且 $\sum_ap(a)=1$ 。若谱不简并， $\Pi_a=|a\rangle\langle a|$ ，于是 $p(a)=|\langle a|\psi\rangle|^2$ 。

从单能级允许占据数推导 Bose–Einstein 与 Fermi–Dirac 分布，比较经典极限、模涨落、玻色凝聚和费米能，并明确化学势、态密度、简并条件与非相互作用近似。

存在二阶 Cauchy 应力张量 $\boldsymbol\sigma$ ，使任意法向上的牵引满足 $\boldsymbol t(\boldsymbol n)=\boldsymbol\sigma\boldsymbol n, \qquad t_i=\sigma_{ij}n_j.$ 分量 $\sigma_{ij}$ 表示法向为坐标基 $\boldsymbol e_j$ 的面上，牵引沿 $\boldsymbol e_i$ 的分量。

从点电荷之间的 Coulomb 力建立电场与叠加原理，把离散电荷推广到连续分布，并以定向通量和 Gauss 定律求解球、柱、平面对称的静电场。

固定度规号型与曲率约定，核对 Einstein 张量和应力能张量单位，由 Bianchi 恒等式连接协变守恒，并在弱场、球对称、均匀宇宙及线性引力波边界下分析典型解。

从固定控制体的质量和动量收支得到无黏 Euler 方程，明确压力、密度、体力与通量方向，在稳态保守体力条件下沿流线推导 Bernoulli 关系，并用涡量、环量和无量纲数判断势流模型的适用域。

在边界项按选定条件消失后，对任意内部变分要求 $\delta S=0$ ，得到 $\boxed{ \frac{\partial\mathcal L}{\partial\phi_a} -\partial_\mu \frac{\partial\mathcal L} {\partial(\partial_\mu\phi_a)} =0 }.$

用广义坐标和共轭动量的一阶方程描述相空间演化，并连接守恒量。

$\boxed{\dot q_i=\frac{\partial H}{\partial p_i}}, \qquad \boxed{\dot p_i=-\frac{\partial H}{\partial q_i}}, \qquad \frac{\partial H}{\partial t}=-\frac{\partial L}{\partial t}.$ 第一式把动量转换为广义速度，第二式把坐标依赖转换为广义力。二者共同给出 $2n$ 维相空间中的一阶初值问题。

$\boxed{ H\left(q_1,\ldots,q_n, \frac{\partial S}{\partial q_1},\ldots, \frac{\partial S}{\partial q_n},t\right) +\frac{\partial S}{\partial t}=0 }.$ $S$ 称为 Hamilton 主函数，单位为 $\mathrm{J\,s}$ 。若 $S(q,\alpha,t)$ 含 $n$ 个独立常数 $\alpha_i$ ，且 $\det[\partial^2S/(\partial q_i\partial\alpha_j)]\ne0$ ，它构成局部完整积分。此时新动量 $P_i=\alpha_i$ 与新坐标 $Q_i=\partial S/\partial\alpha_i$ 都是常数，反解这些代数关系即可得到轨道。

把纯态表示为复 Hilbert 空间中的射线，以归一化内积计算概率振幅，并用自伴算符的谱分解、定义域、期望值和方差描述可观测量。

从相对论能量动量关系建立 Klein–Gordon 方程，再以 Clifford 代数把时间演化线性化为 Dirac 方程，分析 Lorentz 协变、守恒流、平面波、自旋与反粒子解释及单粒子概率边界。

以作用量驻值推导广义坐标方程，把约束和对称性纳入力学描述。

Lagrangian 是构型、广义速度和时间的函数 $L(q,\dot q,t).$ 在普通保守质点系统中常取 $L=T-V$ ，其中动能 $T$ 与势能 $V$ 的 SI 单位都是焦耳，所以 $L$ 的单位也是焦耳。路径 $q(t)$ 上的作用量定义为 $S[q]=\int_{t_1}^{t_2}L(q(t),\dot q(t),t)\,\mathrm dt.$ $S$ 是路径的泛函，而不是某个时刻的普通函数。其 SI 单位为焦耳秒，即 $\mathrm{J\,s}=\mathrm{kg\,m^2\,s^{-1}}$ 。

从非退化 Lagrangian 的 Legendre 变换构造 Hamiltonian，推导相空间中的正则一阶方程，并用 Poisson 括号统一表达时间演化、对称性与守恒量。

一个 $n$ 自由度自治 Hamilton 系统若在所研究区域存在 $n$ 个函数独立、两两 Poisson 对易的运动常数 $F_1=H,F_2,\ldots,F_n$ ，即 $\{F_i,F_j\}=0,$ 则称其在 Liouville 意义下可积。对规则紧致能级，局部可引入作用量—角变量，轨道位于不变环面上。

从相对性原理和光速不变建立标准 Lorentz 变换，以不变时空间隔、固有时和光锥分析同时性、时间膨胀、长度收缩、速度合成与因果结构。

统一 Maxwell 方程的积分与微分形式，核对曲面法向、环路方向和源项符号，并从真空场方程推导横向电磁波、波速、场幅关系、能量密度与 Poynting 能流。

从独立随机样本的期望估计和标准误出发，以重要性分布降低方差，再用 Metropolis–Hastings 详细平衡构造相关样本，并以自相关时间、有效样本量、独立重复和完整随机流记录量化误差与复现性。

以 Newton 流体应力闭合控制体动量守恒，区分动力与运动黏度及其单位，建立不可压缩 Navier–Stokes 方程、边界条件和能量耗散，再由无量纲化与 Couette、Poiseuille、Stokes 流判断惯性、黏性和数值尺度。

在惯性参考系中，质点所受合外力等于其动量对时间的变化率： $\sum\boldsymbol F_{\mathrm{ext}}= \frac{\mathrm d\boldsymbol p}{\mathrm dt}.$ 当研究对象质量 $m$ 恒定且速度远低于光速时， $\boldsymbol p=m\boldsymbol v$ ，于是 $\sum\boldsymbol F_{\mathrm{ext}}=m\boldsymbol a.$ 这是一个矢量方程；在直角坐标系中等价于每个分量分别满足 $\sum F_x=ma_x$ 、 $\sum F_y=ma_y$ 。