术语从定义进入关系。

沿着作用量到可观测散射与衰变率的链条，串联 Noether 流、Klein–Gordon 与 Dirac 场、自由场量子化、Dyson 展开、Wick 收缩、Feynman 图和规范对称性，并以量纲、守恒律及有效理论截断限制实验解释。

比较 Lagrange 粒子推进和 Euler 网格场求解，以时间积分、空间离散、边界条件、邻域搜索与稳定限制组织算法，并用一致的沉积插值连接粒子和场、监控守恒量与复杂度。

从物质描述和空间描述建立运动映射、变形梯度与速度梯度，把局部运动分解为应变率和旋转，并以 Cauchy 应力张量连接法向、牵引、正应力与剪应力。

物理量 $Q$ 的量纲记为 $[Q]$ 。若只涉及质量、长度和时间，可写成 $[Q]=\mathsf M^a\mathsf L^b\mathsf T^c.$ 指数三元组 $(a,b,c)$ 称为相对于所选基本量纲的量纲向量。量相乘时向量相加，相除时向量相减，乘方时向量乘相同指数。纯数、同类量的比和角度的量纲向量为零，称为无量纲量。

用投影概率和测后态更新描述理想测量，并区分统计预测与单次结果。

用复向量或波函数表示量子系统状态，并以归一化和相位等价约束物理预测。

用升降算符或微分方程求离散能谱，连接经典振动与量子零点能。

若三维原胞含 $r$ 个原子，每个波矢有 $3r$ 个位移自由度，故有 $3r$ 条色散支。平移不变性在 $\boldsymbol q\to0$ 给三条频率趋零的声学支；其余 $3r-3$ 条通常为光学支。有限周期晶体每条支有 $N_c$ 个独立波矢，总模式数为 $3rN_c$ ，等于原子坐标自由度数。

一般量子态由密度算符 $\rho$ 表示，满足 $\rho^\dagger=\rho, \qquad \rho\ge0, \qquad \operatorname{Tr}\rho=1.$ 测量概率和期望值为 $p(a)=\operatorname{Tr}(\rho\Pi_a), \qquad \langle A\rangle=\operatorname{Tr}(\rho A).$ 纯态满足 $\rho=|\psi\rangle\langle\psi|$ 与 $\operatorname{Tr}\rho^2=1$ ；非纯混合态有 $\operatorname{Tr}\rho^2<1$ 。

若在给定范围内 $y=Cx^\alpha,$ 则称 $y$ 对 $x$ 服从指数为 $\alpha$ 的幂律尺度。把 $x$ 放大 $\lambda$ 倍时， $y$ 放大 $\lambda^\alpha$ 倍： $\frac{y(\lambda x)}{y(x)}=\lambda^\alpha.$ $\alpha$ 是无量纲的尺度指数；常数 $C$ 一般带单位，使等式量纲齐次。

从周期势的 Bloch 定理与第一 Brillouin 区建立能带态计数，以近自由电子和紧束缚两种极限解释带隙、带宽、群速度与有效质量，再由填充、态密度归一和费米面区分金属、绝缘体与半导体。

把多个相互作用振子的方程写成矩阵系统，并用本征向量分解简正模。

把多自由度线性振动写成质量矩阵与刚度矩阵方程，将固有频率归结为广义本征值问题，并用简正坐标、拍频和初值投影解释模态叠加与能量交换。

从系统边界和宏观状态量定义热力学平衡，区分广延量、强度量与过程量，并以理想气体状态方程、准静态路径和弛豫尺度组织可测的宏观过程。

时间区间 $\Delta t$ 内的平均功率为 $P_{\mathrm{avg}}=\frac{\Delta W}{\Delta t}.$ 力作用点速度为 $\boldsymbol v$ 时，瞬时机械功率为 $P=\frac{\mathrm dW}{\mathrm dt} =\boldsymbol F\cdot\boldsymbol v.$ 功率单位为瓦特， $1\,\mathrm W=1\,\mathrm{J\,s^{-1}}$ 。 $P>0$ 表示该力向所考察对象输入机械能， $P<0$ 表示从对象取走机械能。

在固定热功符号和系统边界下，对照 Kelvin–Planck 与 Clausius 表述，证明可逆热机的 Carnot 上限，并用循环方向、热库温度和 Clausius 不等式识别不可能过程。

若系统 $A$ 与系统 $C$ 分别达到热平衡，系统 $B$ 与同一个 $C$ 也达到热平衡，则 $A$ 与 $B$ 彼此处于热平衡。热平衡关系的这种传递性允许用温度这一状态量标记热平衡类别。

在固定热与功符号约定下建立封闭系统能量守恒，区分内能、热和功，并用边界功、热容与焓分析定容、定压、等温及绝热过程。

若系统的宏观性质在给定外部约束下不随时间变化，且内部不存在能够驱动可观测宏观流动的温度、压强或化学势差，则系统处于热力学平衡态。完整平衡通常同时要求热平衡、力学平衡与化学平衡。

- 随机误差是在规定重复条件下，误差中不可预知地改变符号或大小的部分。它使读数散开，可由重复观测研究。 - 系统误差是在重复测量中保持不变或按可预测方式变化的误差部分，例如未修正的零点偏移或温度相关灵敏度偏差。 - 测量不确定度是根据已有信息表征被测量量值分散性的非负参数。以标准差表示时称为标准不确定度 $u(x)$ ，单位与 $x$ 相同。

用频率与波数之间的关系判断相速度、群速度以及波包是否发生展宽。

由可逆热交换定义状态函数熵，在闭口系统、开放控制体和局部连续介质中区分熵储存、热与质量携带的熵流以及非负熵产生，并量化有限温差传热、自由膨胀和耗散损失。

任意正数可唯一写成 $x=a\times10^n, \qquad 1\le a<10,$ 其中 $n$ 为整数。若把“数量级”定义为最接近 $x$ 的 $10$ 的整数幂，则当 $a<\sqrt{10}\approx3.16$ 时数量级为 $10^n$ ，当 $a\ge\sqrt{10}$ 时数量级为 $10^{n+1}$ 。也有资料只把指数 $n$ 称为数量级，因此报告时应说明约定。

以系统与环境交换约束选择微正则、正则或巨正则系综，由配分函数连接热力学势、平均量和涨落，比较量子占据统计，并把 Boltzmann 输运、涨落响应和临界有限尺寸纳入统一框架。

对静质量 $m$ 的粒子， $P^\mu=mU^\mu =\left(\frac Ec,\boldsymbol p\right),$ 其中 $E=\gamma mc^2, \qquad \boldsymbol p=\gamma m\boldsymbol v.$ $E$ 的单位为焦耳， $\boldsymbol p$ 为 $\mathrm{kg\,m\,s^{-1}}$ ，所以四动量每个分量都可用 $\mathrm{kg\,m\,s^{-1}}$ 表示。

$\begin{array}{c|cc} \text{类型}&\text{旧变量关系}&\text{新变量关系}\\ \hline F_1(q,Q,t)&p_i=\partial F_1/\partial q_i&P_i=-\partial F_1/\partial Q_i\\ F_2(q,P,t)&p_i=\partial F_2/\partial q_i&Q_i=\partial F_2/\partial P_i\\ F_3(p,Q,t)&q_i=-\partial F_3/\partial p_i&P_i=-\partial F_3/\partial Q_i\\ F_4(p,P,t)&q_i=-\partial F_4/\partial p_i&Q_i=\partial F_4/\partial P_i \end{array}$ 四种情形都满足 $K=H+\partial F_a/\partial t$ 。生成函数的混合二阶导数还必须允许局部反解；写出一个可微函数并不自动得到全局可逆变换。

以四速度和四动量建立协变动力学，用能量—动量不变量处理加速、碰撞和衰变，并以电磁场张量统一不同惯性系中的电场与磁场。

$U^\mu=\frac{\mathrm dx^\mu}{\mathrm d\tau} =\gamma(c,\boldsymbol v).$ 它的单位为 $\mathrm{m\,s^{-1}}$ ，并满足 $U^\mu U_\mu=\gamma^2(c^2-v^2)=c^2.$

时间区间 $\Delta t=t_2-t_1>0$ 上的平均速度为 $\overline{\boldsymbol v}=\frac{\Delta\boldsymbol r}{\Delta t}.$ 瞬时速度与加速度分别定义为 $\boldsymbol v(t)=\frac{\mathrm d\boldsymbol r}{\mathrm dt}, \qquad \boldsymbol a(t)=\frac{\mathrm d\boldsymbol v}{\mathrm dt} =\frac{\mathrm d^2\boldsymbol r}{\mathrm dt^2}.$ 瞬时速率为 $v=\lVert\boldsymbol v\rVert$ 。加速度描述速度矢量每单位时间的变化，既可能改变速率，也可能只改变方向。

用自伴线性算符表示可观测量，并由本征值和期望值连接测量结果。

串联晶格与倒易空间、声子、自由电子、Bloch 能带、输运、磁性和超导序参量，再以 Berry 曲率、Chern 数、量子 Hall 效应和体边对应区分对称性破缺相与拓扑相，并明确有效模型和实验判据。

能够写成 $f_a(q_1,\ldots,q_N,t)=0, \qquad a=1,\ldots,m,$ 的独立约束称为完整约束。若约束 Jacobian 在考察区域秩为 $m$ ，通常可把 $N$ 个坐标减少为 $N-m$ 个局部自由度。 $f_a$ 的单位可自行选择，但一个方程中的各项必须同量纲。

围绕态、可观测量、投影测量、幺正演化、一维边值问题、角动量和全同粒子，建立完整计算流程，并以定态微扰、简并子空间、变分原理与选择定则处理不能精确求解的 Hamilton 算符。

对一个近似孤立、体积 $V$ 和粒子数 $N$ 固定的平衡系统，取能量壳 $E\le H<E+\Delta E,$ 其中 $\Delta E$ 远小于宏观能量尺度，却大到包含大量微观态。微正则系综由该能量壳内全部可及微观态组成，并在无其他信息时赋予等概率。

在固定能量、体积和粒子数约束下用等概率先验描述孤立系统，以可及微观态数定义熵，并由复合系统的最概然条件导出温度、压强和热平衡。

质点在时刻 $t$ 的位置为 $\boldsymbol r(t)$ 。从 $t_1$ 到 $t_2$ 的位移是 $\Delta\boldsymbol r=\boldsymbol r(t_2)-\boldsymbol r(t_1),$ 它只依赖起点和终点，是单位为米的矢量。路程 $s$ 是实际轨迹长度，是非负标量；一般有 $s\ge\lVert\Delta\boldsymbol r\rVert$ ，只有运动方向始终不折返且轨迹为直线时才取等号。

在统一的回路、法向和右手定则约定下，从 Lorentz 力、Biot–Savart 定律和 Ampère 定律计算稳恒磁场，并连接电流密度、磁通、矢势、载流导线受力和磁偶极矩。

在零边界波函数条件下求解定态 Schrödinger 方程，得到离散能级和正弦本征态。

区分物理量、数值、单位和量纲，使用 SI 基本量与导出单位完整表达测量结果，以量纲向量、齐次性和无量纲群检查公式、换算与物理模型。

选定单位 $u$ 后，一个标量物理量 $Q$ 可写成 $Q=\{Q\}_u\,u,$ 其中 $\{Q\}_u$ 是以 $u$ 为单位时的数值。更换单位会改变数值，却不改变物理量。例如同一段长度可以写成 $1.25\,\mathrm{m}=125\,\mathrm{cm}.$ 左、右两边表示同一个长度； $1.25$ 与 $125$ 只是两种尺度下的数值。

一份可复核的模型至少包含：研究问题；系统边界；状态量；外部输入；待预测输出；带单位的参数；初始与边界条件；守恒或本构关系；理想化与近似；参数来源；验证数据；适用域。 状态量描述系统随时间或位置变化的状态，例如温度 $T(t)$ ，单位 $mathrm K$ ；参数描述模型在一次研究中视为固定的性质，例如质量 $m$ ，单位 $mathrm{kg}$ ；输入是外界规定的作用，例如加热功率 $P(t)$ ，单位 $mathrm W$ ；输出是要与观测比较的量。一个量属于哪一类取决于问题，不由符号永久决定。

系统边界规定哪些物体及其内部自由度被纳入记账；穿过边界的作用必须记录为外力、外冲量、外力矩、外功、热或物质交换。过程阶段是一段模型假设和约束保持不变的时间区间。边界或约束一旦改变，就应结束上一阶段并为下一阶段重新列方程。

设广义位移 $\boldsymbol x(t)\in\mathbb R^n$ 的每个分量以米（ $\mathrm m$ ）计， $M$ 是对称正定质量矩阵， $K$ 是对称刚度矩阵。无阻尼自由系统满足 $M\ddot{\boldsymbol x}+K\boldsymbol x=\boldsymbol0.$ 若存在非零向量 $\boldsymbol a$ 和角频率 $\omega\ge0\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$ ，使 $K\boldsymbol a=\omega^2M\boldsymbol a,$ 则 $\boldsymbol x(t)=\boldsymbol a\cos(\omega t+\phi)$ 是一种所有坐标以同一频率、固定振幅比和固定相对相位运动的简正模。 $\boldsymbol a$ 的整体倍数任意，只有分量比例…

以序参量和 Landau 自由能描述连续与一级相变，定义关联长度和临界指数，区分有限系统与热力学极限，并用尺度律、有限尺寸标度及重整化群图景解释普适性。

相轨道是初始状态在相流下生成的集合 $\Gamma(z_0)=\{\Phi^t(z_0):t\in I\}.$ 相流是把一整片初始状态同时推进的映射。轨道是一条状态历史，流则说明所有允许初始状态怎样共同演化；两者不能混用。

在相互作用表象中以 Dyson 级数展开 S 矩阵，用 Wick 收缩把算符乘积组织成 Feynman 图，再从外腿、顶点、内线和回路构造不变振幅，并结合通量、相空间、对称因子得到截面和衰变率。

从 Hamilton 相流、固定点与线性稳定性出发，构造 Poincaré 截面和最大 Lyapunov 指数，比较可积与非可积系统，并明确有限步长、有限时间数值证据能够支持和不能证明的结论。

围绕明确系统边界和约束的完整问题，贯通平衡态、状态方程、第一定律、第二定律、熵产生、热机与制冷机、热力学势、响应函数及 Clapeyron 相平衡关系。

以辛二形式和 Poisson 括号保持性定义正则变换，使用生成函数构造含时变量替换，并由 Hamilton–Jacobi 方程与作用量—角变量简化可积动力学。

从正弦行波的振幅、相位、频率和波数出发，推导相速度、相干叠加、拍频与波包群速度，并明确线性模型和色散近似的适用边界。