术语从定义进入关系。

使用十进数量级、区间上下界、幂律尺度和无量纲比进行可复核估算，以 Fermi 分解组织未知信息、识别主导项，并明确假设、误差边界与量纲方法的限制。

力 $\boldsymbol F(t)$ 在 $t_1$ 到 $t_2$ 内的冲量定义为 $\boldsymbol J=\int_{t_1}^{t_2}\boldsymbol F(t)\,\mathrm dt.$ 若只知道该区间平均力，则 $\boldsymbol J=\boldsymbol F_{\mathrm{avg}}\Delta t$ 。冲量方向由力的有向时间积分决定；力—时间图位于坐标轴下方的面积贡献为负。

纯态由 Hilbert 空间中的一维射线表示。若 $c\ne0$ ， $|\psi\rangle$ 与 $c|\psi\rangle$ 表示同一射线；计算时通常选择归一化代表元 $\langle\psi|\psi\rangle=1.$ 特别地， $|\psi\rangle$ 与 $e^{i\alpha}|\psi\rangle$ 的整体相位不产生不同物理预测。

从磁矩、交换耦合和自发对称性破缺建立磁序模型，再以 Meissner 效应、London 方程、Ginzburg–Landau 序参量和 BCS 弱耦合图景解释超导，并区分格点模型、连续近似与实验判据。

在外冲量可忽略的碰撞系统中，总动量守恒。若碰撞前后总动能也相等，称为弹性碰撞；若总动能减少并转为形变、内能、声等形式，称为非弹性碰撞；若物体碰后粘在一起并具有共同速度，称为完全非弹性碰撞。

从局部自由落体实验建立等效原理，用极值固有时和零协变加速度导出时间样与光样测地线，再由弱场极限、测地线偏离和静态时空频率守恒分析 Newton 引力、潮汐与引力红移。

在显式回路方向和曲面法向下推导 Faraday–Lenz 定律，统一变压器电动势与运动电动势，并用电感、RL/RLC 暂态和位移电流连接场与集总电路。

由静电场的路径无关性定义电势和电势能，推导 Poisson 与 Laplace 方程，并以导体边界、唯一性定理、分离变量和镜像法求解典型静电边值问题。

静电势差定义为 $V(B)-V(A)=-\int_A^B\boldsymbol E\cdot\mathrm d\boldsymbol\ell.$ 电势单位为伏特， $1\,\mathrm V=1\,\mathrm{J\,C^{-1}}$ 。选择参考点 $\boldsymbol r_0$ 和参考值 $V(\boldsymbol r_0)$ 后，其他点的电势由上式确定。整体加同一常数不会改变电场。

对有向曲面 $S$ ，面积矢量写成 $\mathrm d\boldsymbol A=\widehat{\boldsymbol n}\,\mathrm dA$ ，电通量为 $\Phi_E=\iint_S\boldsymbol E\cdot\mathrm d\boldsymbol A.$ 闭合曲面记作 $\oint_S$ ，法向统一取外法向。场线穿出曲面给正贡献，穿入给负贡献，切向场贡献为零。通量单位是 $\mathrm{N\,m^2\,C^{-1}}$ 。

说明线性方程解的线性组合仍是解，并用干涉现象展示振幅的相加与相消。

从系统边界与外力冲量推导总动量变化，使用质心系分析一维和二维碰撞，并严格区分弹性、非弹性、完全非弹性过程及其守恒条件。

从封闭系统内力成对抵消推导总动量守恒，并分析碰撞与质心运动。

不能等价化为有限个 $f_a(q,t)=0$ 的约束称为非完整约束。常见形式是速度关系 $\sum_i A_{ai}(q,t)\dot q_i+A_{a0}(q,t)=0,$ 但只有当该微分形式满足可积条件时，它才可还原成完整约束。不可积的无侧滑条件、允许区域不等式等属于非完整约束。

1. 划定系统与近似。 写明研究对象、参考系、时间区间、理想约束、外部驱动和忽略项。 2. 选择构型与约束。 从笛卡尔坐标出发核对约束独立性，再选能自动满足约束的广义坐标。 3. 构造 $L=T-V$ 或更一般的 Lagrangian。 每项必须有焦耳单位，并检查显含时间与速度依赖。 4. 实施容许变分。 写清固定端点和允许扰动，推导 Euler–Lagrange 方程，不跳过边界项。 5. 寻找对称与守恒。 识别循环坐标、时间平移和连续群作用，用 Noether 定理或直接求导核对守恒量。 6. 进入相空间并简化。 先检查速度 Hessian，再做 Legendre 变换；用 Poisson 括号检验正则变量。 7. 解析或数值诊断。 先利用积分降维；若仍非可积，再报告相图、Poincaré…

以统一建模流程串联作用量、约束、Noether 对称、Legendre 变换、Hamilton 方程、正则变换与非线性相空间诊断，并用圆环质点、中心力和耦合振子完成可复算的综合例题。

由势能梯度和 Newton 方程生成粒子轨迹，以周期边界、邻居表和速度 Verlet 实现稳定推进，再用恒温方案、维里压力、径向分布、均方位移和分块误差估计获得可复算的平衡与输运统计量。

从相干波的相位差推导双缝、薄膜和多源干涉，以孔径积分得到单缝衍射，并用明确的近轴与远场近似讨论条纹可见度和分辨率。

从刚体角运动学出发，以轴选择为主线推导转动惯量、力矩方程、角动量和转动能，分析平行轴定理、角动量守恒、无滑动滚动与简单进动，并用单位、方向和能量收支交叉核对结果。

用点源响应构造线性微分方程的受迫解，并把边界条件编码进核函数。

从力沿路径的积分推导动能定理，区分保守力与非保守力、状态量与路径量，并用势能、机械能和功率建立带系统边界与适用条件的能量账本。

由力沿路径的积分定义功，并用势能和动能追踪保守系统的状态变化。

与 $q_i$ 共轭的动量定义为 $p_i=\frac{\partial L}{\partial\dot q_i}.$ 若速度 Hessian $W_{ij}=\frac{\partial^2L}{\partial\dot q_i\partial\dot q_j}$ 在所研究区域可逆，就能局部把 $p_i=p_i(q,\dot q,t)$ 反解为 $\dot q_i=\dot q_i(q,p,t)$ 。此时定义 Hamiltonian $H(q,p,t)=\sum_{i=1}^{n}p_i\dot q_i-L(q,\dot q,t),$ 右侧所有速度最终都要用 $(q,p,t)$ 表示。 $p_i\dot q_i$ 与 $L$ 均为功率积分后的能量量纲，因此 $H$ 的 SI 单位为 $\mathrm J$ 。

系统在一个时刻的独立位置变量组成构型 $q=(q_1,\ldots,q_n)$ 。在时间区间 $[t_1,t_2]$ 上，一条路径是满足给定光滑性和约束的函数 $q(t)$ 。构型是一个瞬时状态，路径则是一整段时间历史；两者不能混称。

若自治系统在 $z_\ast$ 满足 $X_H(z_\ast)=0$ ，则 $z_\ast$ 是固定点。令小扰动为 $\xi=z-z_\ast$ ，一阶线性化为 $\dot\xi=A\xi+O(\lVert\xi\rVert^2), \qquad A=\left.\frac{\partial X_H}{\partial z}\right|_{z_\ast}.$ $A$ 的特征值决定足够小邻域内的一阶增长、衰减或振荡方向；它只给局部结论，不能单独决定远离固定点的全局轨道。

刚体绕固定轴转动时，所有质点在同一时间间隔内具有相同角位移 $\theta$ 、角速度 $\omega=\mathrm d\theta/\mathrm dt$ 和角加速度 $\alpha=\mathrm d\omega/\mathrm dt$ 。距轴垂直距离为 $r_\perp$ 的质点具有 $v=r_\perp|\omega|,\qquad a_t=r_\perp|\alpha|,\qquad a_n=r_\perp\omega^2,$ 其中切向加速度沿速度切线，法向加速度始终指向转轴。

离散质点系关于一条轴的转动惯量为 $I=\sum_i m_i r_{\perp i}^2,$ 连续刚体则为 $I=\int r_\perp^2\,\mathrm dm$ 。 $r_\perp$ 是质元到转轴的最短距离，不一定是它到原点的距离。 $I$ 的 SI 单位为 $\mathrm{kg,m^2}$ 。

若一个不受合外力的质点在某参考系中保持静止或做匀速直线运动，则该参考系称为惯性参考系。相对一个惯性系做恒定速度平移且不转动的参考系也是惯性系。

区分完整与非完整约束，用广义坐标或 Lagrange 乘子建立受约束运动方程，并从 Lagrangian 在连续无穷小变换下的不变性推导 Noether 守恒量。

若一组参数 $q_1,\ldots,q_n$ 能在局部唯一标记系统所有容许构型，并且彼此独立，就称为广义坐标； $n$ 是该区域内的自由度数。质点位置可写成 $\boldsymbol r_a=\boldsymbol r_a(q_1,\ldots,q_n,t).$ 广义坐标不一定是长度：转角以弧度表示且量纲为一，伸长量以米表示。广义速度 $\dot q_i$ 的单位相应为 $q_i$ 的单位每秒。

从全局 U(1) 到局域变换推导协变导数、规范联络和场强，推广到非 Abel Yang–Mills 场与规范玻色子自相互作用，再以 Higgs 机制和 SU(3)×SU(2)×U(1) 表示组织标准模型粒子与相互作用。

输入 $X_i$ 与 $X_j$ 的协方差记为 $u(x_i,x_j)=\operatorname{cov}(X_i,X_j)$ 。在一阶近似下， $u_c^2(y) =\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^m c_i c_j\,u(x_i,x_j).$ 等价地，若 $\boldsymbol c$ 是灵敏系数列向量， $\boldsymbol\Sigma$ 是输入协方差矩阵，则 $u_c^2(y)=\boldsymbol c^{\mathsf T}\boldsymbol\Sigma\boldsymbol c.$ 协方差 $u(x_i,x_j)$ 的单位是 $x_i$ 单位与 $x_j$ 单位的乘积。相关系数 $\rho_{ij}=u(x_i,x_j)/[u(x_i)u(x_j)]$ 无量纲，且 $-1\le\rho_{ij}\le1$ 。

从事件、时空间隔和四动量进入度量、曲率、测地线与 Einstein 场方程，比较黑洞视界、轨道与红移、引力波和 FLRW 宇宙的可观测量、坐标选择及模型适用域。

以二维 Ising 临界温度计算为可审计实验，串联物理假设、小系统确定性枚举、Metropolis 随机采样、有限尺寸与温度网格、统计和数值误差预算、验证与确认、并行性能、数据产物及失败诊断。

质量为 $m>0$ 、单位为千克（ $\mathrm{kg}$ ）的质点，若相对平衡点的位移 $x(t)$ （单位 $\mathrm m$ ）满足 $m\ddot x+kx=0,$ 其中刚度 $k>0$ 、单位 $\mathrm{N\,m^{-1}}=\mathrm{kg\,s^{-2}}$ ，就称为简谐振子。定义固有角频率 $\omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}},$ 单位为弧度每秒（ $\mathrm{rad\,s^{-1}}$ ）；弧度在量纲上为一，但保留“rad”可以提醒这是相位变化率。

从平衡点附近的线性回复力建立简谐振子，推导振幅、相位、能量与相轨道，再系统比较欠阻尼、临界阻尼、过阻尼和正弦受迫下的共振响应。

把线性系统的运动分解为独立本征振型，并由边界条件量化允许频率。

从旋转生成元建立角动量对易代数和升降算符，在固定 j 基中计算测量概率，以 Pauli 矩阵描述自旋二分之一，并用角动量加法、 singlet/triplet 分解及交换对称性处理复合与全同粒子。

以源、场、边界和能量账本为主线，联合静电势、稳恒磁场、电磁感应、介质极化磁化、Maxwell 方程及电磁波，建立可检查方向、单位与近似范围的综合解题流程。

在自然单位和固定 Minkowski 号型下，把粒子变分推广到场作用量，处理变分边界项、Euler–Lagrange 场方程、共轭动量与正则能动张量，并由连续对称性构造守恒 Noether 流。

从有限周期晶格的小振动方程推导单原子与双原子链色散，计数 Brillouin 区内正规模并量子化为声子，再由 Bose 占据、Einstein 与 Debye 模型建立晶格热容及连续近似边界。

区分 Bravais 点阵、基元与实际晶体结构，在有限周期边界下计数原胞和波矢，以倒易点阵、Miller 指数、结构因子及 Laue 条件分析衍射峰与系统消光。

从能量与粒子库展开推导巨正则权重，以巨配分函数生成平均能量、粒子数、压强与涨落，并用经典理想气体和单占据位点说明化学势的单位、符号与适用约束。

可观测量由 Hilbert 空间上的自伴算符 $A$ 表示。自伴要求 $A=A^\dagger$ 连同定义域一起成立： $D(A)=D(A^\dagger)$ ，且在该域上作用相同。有限维情形中这等价于矩阵 Hermitian，即 $A_{mn}=A_{nm}^*$ 。

定义无量纲快速度 $\varphi=\operatorname{artanh}\beta$ ，其中 $\beta=v/c$ ，则 $\gamma=\cosh\varphi$ 、 $\gamma\beta=\sinh\varphi$ 。同轴 Lorentz boost 的快速度直接相加，速度合成公式由双曲正切加法得到。这个参数化显示 boost 是 Minkowski 平面中的双曲旋转，而非欧氏旋转。

- $\Delta s^2>0$ 为类时间隔，存在惯性系使两事件发生在同一空间位置，但不存在使它们同时的惯性系。 - $\Delta s^2=0$ 为类光间隔，事件可由真空光信号连接。 - $\Delta s^2<0$ 为类空间隔，存在惯性系使两事件同时，但不存在速度低于 $c$ 的信号把它们连接。

把物理模型到数值结论的误差链逐层拆开，用一致性、稳定性、网格加密、守恒残差、制造解与独立基准验证实现，并区分数值 verification 与面向实验的 validation。

- 理想化规定模型世界里保留哪些对象和机制，例如把摆球看作质点、细线看作无质量且不可伸长。 - 近似把已选模型中的表达式替换为在某个小参数范围内更简单的表达式，例如在 $|\theta|\ll1\,\mathrm{rad}$ 时用 $\sin\theta\approx\theta$ 。 - 参数识别使用数据估计模型中的未知参数，例如由周期数据估计 $g$ 或阻尼系数。 - 模型验证用未用于识别的数据比较预先规定的预测和观测，寻找系统性偏差。 - 适用域声明变量、环境、材料、尺度和精度目标的范围；超出该范围属于外推，不能自动继承验证结论。

把系统边界、状态量、相互作用、理想化与近似写成可检验假设，区分参数识别和模型验证，并用量纲、无量纲比、残差与独立数据界定适用域。

质点沿有向路径 $C$ 从位置 $A$ 移到 $B$ 时，力 $\boldsymbol F$ 所做的功定义为 $W_{A\to B}[\boldsymbol F]=\int_C\boldsymbol F\mathbin\cdot\mathrm d\boldsymbol r.$ 微元功为 $\mathrm dW=\boldsymbol F\cdot\mathrm d\boldsymbol r$ 。若恒力与直线位移夹角为 $\theta$ ，则 $W=Fd\cos\theta$ 。功是标量，SI 单位为焦耳， $1\,\mathrm J=1\,\mathrm{N\,m}$ 。正功表示该力倾向于增加质点动能，负功表示倾向于减少动能，零功表示力始终垂直于瞬时位移或作用点没有位移。