术语从定义进入关系。

把观测数据在模型参数下的概率视为目标函数，并求使其最大的参数。

把不相容线性方程转化为残差平方最小问题，并由投影推导正规方程。

给定 $A\in\mathbb R^{m\times n}$ 与 $\mathbf b\in\mathbb R^m$ ，最小二乘解是使欧氏残差平方 $\lVert A\mathbf x-\mathbf b\rVert_2^2$ 达到最小的向量。若有多个最小化向量，它们都是最小二乘解；除非另加最小范数等条件，定义不指定其中一个。

以概率单纯形上的约束优化为主线，联合使用凸性、次梯度、梯度法、KKT 条件、对偶性、熵、互信息与 KL 散度，并比较最大熵、KL 正则化、欧氏投影和镜像几何。

设 $R$ 是有单位环。左 $R$ -模是一个阿贝尔群 $(M,+)$ ，配有标量作用 $R\times M\longrightarrow M, \qquad (r,m)\longmapsto rm,$ 使任意 $r,s\in R$ 与 $m,n\in M$ 满足 $r(m+n)=rm+rn, \quad (r+s)m=rm+sm, \quad (rs)m=r(sm), \quad 1_Rm=m.$ 若 $M,N$ 是左 $R$ -模，映射 $f:M\to N$ 若保持加法并满足 $f(rm)=rf(m)$ ，就称为 $R$ -模同态。

将条件概率方向反转，用先验、似然和证据计算后验概率。

拓扑空间 $X$ 上由全部开集生成的 sigma 代数称为 Borel sigma 代数，记作 $\mathcal B(X)$ 。其中的集合称为 Borel 集。

从有向复曲线积分、原函数与路径无关性出发，在明确区域拓扑条件下建立 Cauchy–Goursat 定理和 Cauchy 积分公式，并由此控制全纯函数的各阶导数。

若对每个 $\varepsilon>0$ ，都存在正整数 $N$ ，使任意 $m,n\ge N$ 都满足 $|a_m-a_n|<\varepsilon,$ 则称 $(a_n)$ 为 Cauchy 数列。

对 $2\pi$ 周期 Fourier 部分和，Dirichlet 核定义为 $D_N(t)=\sum_{n=-N}^{N}e^{int} =\frac{\sin\bigl((N+\tfrac12)t\bigr)}{\sin(t/2)}.$ 在本章复系数约定下，部分和满足 $S_Nf(x)=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x-t)D_N(t)\,\mathrm dt.$

给定 $f\in L^2(0,1)$ 。若 $u\in H_0^1(0,1)$ 满足对每个 $v\in H_0^1(0,1)$ 都有 $\int_0^1u'(x)\overline{v'(x)}\,dx -\alpha\int_0^1u(x)\overline{v(x)}\,dx =\int_0^1f(x)\overline{v(x)}\,dx,$ 则称 $u$ 为该边值问题的弱解。

逐步移除已有方向分量，把线性无关向量组转化为正交或标准正交基。

在明确区域正则性、边界取向和向量场光滑性的前提下，建立平面 Green 定理、空间 Stokes 定理与 Gauss 散度定理，并用直接计算和奇点反例检验其边界。

从实与复 Hahn–Banach 延拓出发，以 Baire 范畴定理为共同引擎证明一致有界原理和开映射定理，再由开映射推出有界逆与闭图定理，并逐条辨明完备、满射和闭图假设。

用二阶偏导矩阵描述标量函数的局部曲率，并分析极值点附近的方向结构。

设标量函数 $f:\mathbb R^n\to\mathbb R$ 在 $\mathbf a$ 附近具有二阶偏导数。Hessian 定义为 $H_f(\mathbf a) = \begin{bmatrix} \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_1^2}&\cdots&\dfrac{\partial^2 f}{\partial x_1\partial x_n}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_n\partial x_1}&\cdots&\dfrac{\partial^2 f}{\partial x_n^2} \end{bmatrix}_{\mathbf x=\mathbf a}.$ 若二阶偏导数在 $\mathbf a$ 的某邻域内连续，则 Clairaut 定理给出混合偏导相等，Hessian 对称。没有这些正则性条件时，不应直接把两个混合偏导视为相同。

在明确实、复内积约定的前提下，从 Cauchy–Schwarz 不等式和完备性出发，证明闭凸集的最佳逼近与闭子空间的正交投影，建立正交规范基、Bessel 不等式、Parseval 等式和 Riesz 表示定理。

用一阶偏导矩阵表示多输入多输出映射的最佳局部线性近似。

$D_{b,\mathrm{KL}}(P\Vert Q) =\sum_{i:p_i>0}p_i\log_b\frac{p_i}{q_i} =H_b(P,Q)-H_b(P).$ 若存在 $p_i>0,q_i=0$ ，定义 $D_{b,\mathrm{KL}}(P\Vert Q)=+\infty$ ；当 $p_i=0$ 时，相应项按极限记为零。

用乘子把等式约束并入目标函数，并从梯度平行关系推导候选解。

用复频率积分把微分方程转化为代数方程，并系统处理初始条件。

Laurent 展开必须连同中心和圆环一起陈述。圆环边界通常由离中心最近的其他奇点决定。同一函数以同一中心、但在不同圆环中可以有不同级数；这不违反唯一性，因为唯一性只在固定圆环内成立。

从非负简单函数的加权测度定义积分，再以单调逼近处理非负可测函数，并用正负部分刻画可积函数；逐项比较单调收敛、Fatou 引理和控制收敛的条件、结论与失效反例。

把可测函数按几乎处处相等组成等价类，在其上建立 Lp 范数、Hölder 与 Minkowski 不等式及完备性，再由乘积测度严格区分非负函数的 Tonelli 定理与绝对可积函数的 Fubini 定理。

用状态转移矩阵描述无记忆随机演化，并分析平稳分布和长期行为。

通过随机采样近似期望和积分，并用方差与有效样本量评价误差。

利用 Hessian 曲率修正梯度方向，理解二次收敛、阻尼和矩阵求解成本。

设 $M$ 是 $n$ 维光滑流形。Riemann 度量是对每个 $p\in M$ 给定一个正定对称双线性型 $g_p:T_pM\times T_pM\longrightarrow\mathbb R,$ 并要求对任意光滑向量场 $X,Y$ ，函数 $p\mapsto g_p(X_p,Y_p)$ 光滑。二元组 $(M,g)$ 称为 Riemann 流形。

在光滑流形的每个切空间上配置光滑内积，由此定义曲线长度与能量；再由唯一的 Levi-Civita 联络得到测地线方程和 Riemann 曲率，并严格区分截面曲率、Ricci 曲率与标量曲率。

若当分割的最大直径趋于零时，取样和 $\sum_i f(\boldsymbol\xi_i)\,\Delta A_i$ 对任意允许的分割与取样点都趋于同一有限数，则称 $f$ 在 $D$ 上 Riemann 可积，并把极限记作 $\iint_D f(x,y)\,\mathrm dA.$ 三维情形把小矩形换成小长方体，把 $\Delta A_i$ 换成 $\Delta V_i$ ，所得极限记作 $\iiint_\Omega f(x,y,z)\,\mathrm dV$ 。

设 $X$ 为非空集合。集合族 $\mathcal A\subseteq\mathcal P(X)$ 称为 $X$ 上的 sigma 代数，若满足： 1. $X\in\mathcal A$ ； 2. $A\in\mathcal A$ 时，补集 $A^{\mathrm c}=X\setminus A\in\mathcal A$ ； 3. $A_1,A_2,\ldots\in\mathcal A$ 时， $\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n\in\mathcal A$ 。 二元组 $(X,\mathcal A)$ 称为可测空间， $\mathcal A$ 中的集合称为可测集。

研究带权自伴二阶边值问题，建立正交本征函数、实本征值和函数展开。

设 $X$ 为拓扑空间。 - $X$ 满足 T1，若对任意不同点 $x,y$ ，分别存在含 $x$ 不含 $y$ 、含 $y$ 不含 $x$ 的开集；等价地，每个单点集闭。 - $X$ 是 Hausdorff（T2），若不同点 $x,y$ 有互不相交的开邻域。 - $X$ 具有正则分离性质，若点 $x$ 与不含它的闭集 $F$ 可由互不相交的开集分别包住。本文把“正则且 T1”称为 T3 空间。 - $X$ 具有正规分离性质，若任意两个不交闭集可由互不相交的开集分别包住。本文把“正规且 T1”称为 T4 空间。

以一点处的导数构造多项式局部近似，并用余项控制截断误差。

若某个力从 $A$ 到 $B$ 的功只依赖端点而与路径无关，等价地，它沿任意闭合路径的功为零，则称其为保守力。可以定义势能 $U$ ，使 $\Delta U=U_B-U_A=-W_{A\to B}[\boldsymbol F_c].$ 在一维中 $F_x=-\mathrm dU/\mathrm dx$ ；在三维直角坐标中 $\boldsymbol F_c=-\boldsymbol\nabla U$ 。势能零点可以任意选择，只有势能差进入可观测的能量收支。

被测量是打算测量的量，必须连同条件定义。例如“室温下金属棒的长度”还应说明端点、温度和受力状态。仪器给出的读数称为示值 $x_{\mathrm{ind}}$ 。若有可接受的参考量值 $x_{\mathrm{ref}}$ ，测量误差可写成 $e=x_{\mathrm{ind}}-x_{\mathrm{ref}}.$ 用于补偿已知系统影响的修正值为 $C=-e, \qquad x_{\mathrm{corr}}=x_{\mathrm{ind}}+C.$ $e$ 、 $C$ 与 $x$ 具有相同单位。参考量值本身通常也有不确定度，因此修正后不等于获得了无误差的“真值”。

被测量是要报告的特定量，必须连同对象、条件和定义说明。观测方程把被测量 $Y$ 与可直接测量或由外部资料给定的输入量 $X_1,\ldots,X_n$ 联系起来： $Y=f(X_1,\ldots,X_n).$ 输入量的估计值、单位、标准不确定度和相关性共同决定输出结果。方程中的修正项即使最佳估计为零，也可能贡献非零不确定度，不能因“未修正”而从清单中消失。

从 Navier–Stokes 无量纲化和高 Reynolds 数奇异极限推导薄边界层尺度，固定壁面法向与边界条件，分析 Blasius 相似解、压强梯度和分离，并区分线性模态增长、瞬态增长与实际转捩。

$\boldsymbol F(\boldsymbol X,t) =\frac{\partial\boldsymbol\chi}{\partial\boldsymbol X}, \qquad F_{iJ}=\frac{\partial x_i}{\partial X_J}.$ $F$ 无量纲，把参考线元映为当前线元： $\mathrm d\boldsymbol x=F\,\mathrm d\boldsymbol X$ 。Jacobian $J=\det F$ 给局部有向体积比 $\mathrm dV=J\,\mathrm dV_0$ 。物理连续运动通常要求 $J>0$ ，避免局部体积塌缩或取向翻转。

从任务依赖图、数据局部性和通信模型设计并行计算，以强弱扩展、Amdahl 与 Gustafson 定律、吞吐和延迟及 roofline 剖析性能，并记录随机流、输入、版本、环境与硬件，限定浮点归约下的可复算标准。

从连续介质运动学、应力和守恒定律出发，比较 Euler、Bernoulli 与 Navier–Stokes 模型，贯通涡量、边界层、表面波、稳定性和湍流统计，并明确本构、尺度、边界和数值验证范围。

把复杂波形分解为单频模式，并观察频谱如何控制传播、干涉和色散。

用振幅、周期、频率、波长、相位和波速定量描述行波的时空结构。

区分固定端、自由端和周期边界，并判断反射相位与允许解族。

从测量方程的一阶线性化推导含协方差的不确定度传播，区分标准与扩展不确定度，并以加权最小二乘、残差和 Monte Carlo 检查拟合及非线性边界。

一个参考系包含用于标记空间位置的参考物、坐标系和时钟。一个事件在该系中由时间 $t$ 与位置矢量 $\boldsymbol r(t)$ 描述。改变原点或坐标轴会改变分量数值；改变参考物还可能改变速度与加速度的观测值，但事件本身并未因此发生两次。

用 Born 规则、谱投影和密度算符给出测量概率与测后态，区分纯态和混合态，并由 Cauchy–Schwarz 不等式推导 Robertson 不确定关系。

以单摆测定重力加速度为贯穿案例，从问题定义、单位和尺度估算出发，联合处理校准、重复测量、不确定度传播、加权拟合、残差诊断、模型修订与适用域报告。

把被测量 $Y$ 与输入量 $X_1,\ldots,X_m$ 的关系写成 $Y=f(X_1,\ldots,X_m).$ 代入输入估计值 $x_1,\ldots,x_m$ 得输出估计值 $y=f(x_1,\ldots,x_m)$ 。方程必须保持单位一致，并包含足以影响目标精度的修正项。例如热膨胀不可忽略时，室温读出的长度不能只写成卡尺示值，还应包含温度修正。

区分随机误差、系统误差、分辨率和测量不确定度，使用重复观测、残差、修正与溯源校准组织可复核的测量结果。