一条轮廓怎样进入三类方程
取长度为 L L L 0 < x < L 0<x<L 0 < x < L A A A
f ( x ) = { 2 A L x , 0 ≤ x ≤ L / 2 , 2 A L ( L − x ) , L / 2 ≤ x ≤ L . f(x)=
\begin{cases}
\dfrac{2A}{L}x,&0\le x\le L/2,\\[4pt]
\dfrac{2A}{L}(L-x),&L/2\le x\le L.
\end{cases} f ( x ) = ⎩ ⎨ ⎧ L 2 A x , L 2 A ( L − x ) , 0 ≤ x ≤ L /2 , L /2 ≤ x ≤ L . f ( 0 ) = f ( L ) = 0 f(0)=f(L)=0 f ( 0 ) = f ( L ) = 0
把它作为热扩散率为 κ \kappa κ u t = κ u x x u_t=\kappa u_{xx} u t = κ u xx
把它作为波速为 c c c u t t = c 2 u x x u_{tt}=c^2u_{xx} u tt = c 2 u xx
把它作为半无限条带 0 < x < L 0<x<L 0 < x < L y > 0 y>0 y > 0 U x x + U y y = 0 U_{xx}+U_{yy}=0 U xx + U yy = 0 y → ∞ y\to\infty y → ∞
三题共享区间、零端点和同一个 f f f
初边值问题的数据账本
开始展开前，依次写清区域、微分算子、边界数据、初始数据、参数单位和所求收敛意义。本章中 x , L x,L x , L κ \kappa κ c c c u u u u u u y y y
这个账本立刻排除几种误配。零 Dirichlet 端点应优先选正弦本征函数；若两端给零通量，则余弦基更自然。整条实线没有离散边界波数，适合傅里叶变换。有限个传感器值既不是连续函数，也不自动满足带限条件，不能未经处理便代入 Shannon 重建公式。
正交投影先把边界写进坐标
令
ϕ n ( x ) = sin ( k n x ) , k n = n π L , n = 1 , 2 , … . \phi_n(x)=\sin(k_nx),\qquad k_n=\frac{n\pi}{L},\qquad n=1,2,\ldots . ϕ n ( x ) = sin ( k n x ) , k n = L nπ , n = 1 , 2 , … . 每个 ϕ n \phi_n ϕ n − ϕ n ′ ′ = k n 2 ϕ n -\phi_n''=k_n^2\phi_n − ϕ n ′′ = k n 2 ϕ n
∫ 0 L ϕ m ( x ) ϕ n ( x ) d x = L 2 δ m n . \int_0^L\phi_m(x)\phi_n(x)\,\mathrm dx
=\frac L2\,\delta_{mn}. ∫ 0 L ϕ m ( x ) ϕ n ( x ) d x = 2 L δ mn . 因此 f f f
b n = 2 L ∫ 0 L f ( x ) sin ( k n x ) d x . b_n=\frac2L\int_0^Lf(x)\sin(k_nx)\,\mathrm dx. b n = L 2 ∫ 0 L f ( x ) sin ( k n x ) d x . 这里的“投影”不是把图形切成许多小段，而是选择 L 2 ( 0 , L ) L^2(0,L) L 2 ( 0 , L ) N N N P N f P_Nf P N f span { ϕ 1 , … , ϕ N } \operatorname{span}\{\phi_1,\ldots,\phi_N\} span { ϕ 1 , … , ϕ N }
例 1：三角形轮廓的系数与 Parseval 核验
由 f ( L − x ) = f ( x ) f(L-x)=f(x) f ( L − x ) = f ( x ) sin ( k n ( L − x ) ) = ( − 1 ) n + 1 sin ( k n x ) \sin(k_n(L-x))=(-1)^{n+1}\sin(k_nx) sin ( k n ( L − x )) = ( − 1 ) n + 1 sin ( k n x ) n n n n n n
b n = 4 L ∫ 0 L / 2 2 A x L sin ( k n x ) d x = 8 A L 2 [ − x cos ( k n x ) k n + sin ( k n x ) k n 2 ] 0 L / 2 = 8 A π 2 n 2 sin n π 2 . \begin{aligned}
b_n
&=\frac4L\int_0^{L/2}\frac{2Ax}{L}\sin(k_nx)\,\mathrm dx\\
&=\frac{8A}{L^2}
\left[-\frac{x\cos(k_nx)}{k_n}
+\frac{\sin(k_nx)}{k_n^2}\right]_0^{L/2}\\
&=\frac{8A}{\pi^2n^2}\sin\frac{n\pi}{2}.
\end{aligned} b n = L 4 ∫ 0 L /2 L 2 A x sin ( k n x ) d x = L 2 8 A [ − k n x cos ( k n x ) + k n 2 sin ( k n x ) ] 0 L /2 = π 2 n 2 8 A sin 2 nπ . 最后一个公式对偶数 n n n
f ( x ) = 8 A π 2 ∑ n ≥ 1 n o d d sin ( n π / 2 ) n 2 sin n π x L . f(x)=\frac{8A}{\pi^2}
\sum_{\substack{n\ge1\\n\ \mathrm{odd}}}
\frac{\sin(n\pi/2)}{n^2}\sin\frac{n\pi x}{L}. f ( x ) = π 2 8 A n ≥ 1 n odd ∑ n 2 sin ( nπ /2 ) sin L nπ x . 有两种独立核验。第一，在 x = L / 2 x=L/2 x = L /2 sin 2 ( n π / 2 ) = 1 \sin^2(n\pi/2)=1 sin 2 ( nπ /2 ) = 1 ∑ n o d d n − 2 = π 2 / 8 \sum_{n\ \mathrm{odd}}n^{-2}=\pi^2/8 ∑ n odd n − 2 = π 2 /8 A A A
∫ 0 L f ( x ) 2 d x = A 2 L 3 . \int_0^Lf(x)^2\,\mathrm dx=\frac{A^2L}{3}. ∫ 0 L f ( x ) 2 d x = 3 A 2 L . Parseval 等式的右侧为
L 2 ∑ n = 1 ∞ b n 2 = 32 A 2 L π 4 ∑ n o d d 1 n 4 = 32 A 2 L π 4 ⋅ π 4 96 = A 2 L 3 . \frac L2\sum_{n=1}^{\infty}b_n^2
=\frac{32A^2L}{\pi^4}
\sum_{n\ \mathrm{odd}}\frac1{n^4}
=\frac{32A^2L}{\pi^4}\cdot\frac{\pi^4}{96}
=\frac{A^2L}{3}. 2 L n = 1 ∑ ∞ b n 2 = π 4 32 A 2 L n odd ∑ n 4 1 = π 4 32 A 2 L ⋅ 96 π 4 = 3 A 2 L . 点值与能量两项都相符，也说明 1 / n 2 1/n^2 1/ n 2
相同谱坐标，不同的传播规律
把空间展开写成 ∑ q n ( t ) ϕ n ( x ) \sum q_n(t)\phi_n(x) ∑ q n ( t ) ϕ n ( x )
热方程给出 q n ′ = − κ k n 2 q n q_n'=-\kappa k_n^2q_n q n ′ = − κ k n 2 q n
u H ( x , t ) = ∑ n = 1 ∞ b n e − κ k n 2 t sin ( k n x ) . u_H(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}
b_ne^{-\kappa k_n^2t}\sin(k_nx). u H ( x , t ) = n = 1 ∑ ∞ b n e − κ k n 2 t sin ( k n x ) . 只要 t > 0 t>0 t > 0 t ↓ 0 t\downarrow0 t ↓ 0 L 2 L^2 L 2 f f f f f f
E H ( t ) = 1 2 ∫ 0 L u H ( x , t ) 2 d x E_H(t)=\frac12\int_0^Lu_H(x,t)^2\,\mathrm dx E H ( t ) = 2 1 ∫ 0 L u H ( x , t ) 2 d x 满足
E H ′ ( t ) = − κ ∫ 0 L ∣ u H , x ∣ 2 d x ≤ 0. E_H'(t)=-\kappa\int_0^L|u_{H,x}|^2\,\mathrm dx\le0. E H ′ ( t ) = − κ ∫ 0 L ∣ u H , x ∣ 2 d x ≤ 0. 这里衰减的是相对于零边界温度的平方温差；端点是热库，区间内总热量一般不守恒。
零初速度的波动方程给出 q n ′ ′ + c 2 k n 2 q n = 0 q_n''+c^2k_n^2q_n=0 q n ′′ + c 2 k n 2 q n = 0
u W ( x , t ) = ∑ n = 1 ∞ b n cos ( c k n t ) sin ( k n x ) . u_W(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}
b_n\cos(ck_nt)\sin(k_nx). u W ( x , t ) = n = 1 ∑ ∞ b n cos ( c k n t ) sin ( k n x ) . 单位线密度归一化后的理想弦能量
E W ( t ) = 1 2 ∫ 0 L ( u W , t 2 + c 2 u W , x 2 ) d x E_W(t)=\frac12\int_0^L
\left(u_{W,t}^2+c^2u_{W,x}^2\right)\,\mathrm dx E W ( t ) = 2 1 ∫ 0 L ( u W , t 2 + c 2 u W , x 2 ) d x 保持不变。系数没有随 n n n c k n t ck_nt c k n t c c c k n k_n k n t t t f f f H 0 1 ( 0 , L ) H_0^1(0,L) H 0 1 ( 0 , L )
Laplace 条带问题令 U = ∑ r n ( y ) ϕ n ( x ) U=\sum r_n(y)\phi_n(x) U = ∑ r n ( y ) ϕ n ( x ) r n ′ ′ − k n 2 r n = 0 r_n''-k_n^2r_n=0 r n ′′ − k n 2 r n = 0 y y y
U ( x , y ) = ∑ n = 1 ∞ b n e − k n y sin ( k n x ) . U(x,y)=\sum_{n=1}^{\infty}
b_ne^{-k_ny}\sin(k_nx). U ( x , y ) = n = 1 ∑ ∞ b n e − k n y sin ( k n x ) . 它的衰减指数是 k n y k_ny k n y κ \kappa κ c c c ∣ U ( x , y ) ∣ ≤ A |U(x,y)|\le A ∣ U ( x , y ) ∣ ≤ A
例 2：只保留第一模态时三种解怎样分开
取 L = 1 m L=1\,\mathrm m L = 1 m A = 10 K A=10\,\mathrm K A = 10 K A = 10 m m A=10\,\mathrm{mm} A = 10 mm A = 10 V A=10\,\mathrm V A = 10 V 80 / π 2 ≈ 8.106 80/\pi^2\approx8.106 80/ π 2 ≈ 8.106 κ = 0.01 m 2 / s \kappa=0.01\,\mathrm{m^2/s} κ = 0.01 m 2 /s t = 5 s t=5\,\mathrm s t = 5 s
u H ( x , 5 ) ≈ 8.106 e − 0.05 π 2 sin π x L K ≈ 4.949 sin π x L K . u_H(x,5)\approx8.106e^{-0.05\pi^2}\sin\frac{\pi x}{L}\,\mathrm K
\approx4.949\sin\frac{\pi x}{L}\,\mathrm K. u H ( x , 5 ) ≈ 8.106 e − 0.05 π 2 sin L π x K ≈ 4.949 sin L π x K . 若弦速 c = 2 m / s c=2\,\mathrm{m/s} c = 2 m/s c k 1 t = 10 π ck_1t=10\pi c k 1 t = 10 π u W ( x , 5 ) ≈ 8.106 sin ( π x / L ) m m u_W(x,5)\approx8.106\sin(\pi x/L)\,\mathrm{mm} u W ( x , 5 ) ≈ 8.106 sin ( π x / L ) mm y = 0.5 m y=0.5\,\mathrm m y = 0.5 m
U ( x , 0.5 ) ≈ 8.106 e − π / 2 sin π x L V ≈ 1.685 sin π x L V . U(x,0.5)\approx8.106e^{-\pi/2}\sin\frac{\pi x}{L}\,\mathrm V
\approx1.685\sin\frac{\pi x}{L}\,\mathrm V. U ( x , 0.5 ) ≈ 8.106 e − π /2 sin L π x V ≈ 1.685 sin L π x V . 核验不只看数值。把单项代回方程，热项两侧均为
− κ k 1 2 b 1 e − κ k 1 2 t sin ( k 1 x ) -\kappa k_1^2b_1e^{-\kappa k_1^2t}\sin(k_1x) − κ k 1 2 b 1 e − κ k 1 2 t sin ( k 1 x ) − c 2 k 1 2 b 1 cos ( c k 1 t ) sin ( k 1 x ) -c^2k_1^2b_1\cos(ck_1t)\sin(k_1x) − c 2 k 1 2 b 1 cos ( c k 1 t ) sin ( k 1 x ) x x x y y y x = 0 , L x=0,L x = 0 , L
从区间级数走向整线变换
若空间区域改成整条实线，就不再有离散波数 k n k_n k n
g ^ ( ξ ) = ∫ R g ( x ) e − i ξ x d x , g ( x ) = 1 2 π ∫ R g ^ ( ξ ) e i ξ x d ξ . \widehat g(\xi)=\int_{\mathbb R}g(x)e^{-i\xi x}\,\mathrm dx,
\qquad
g(x)=\frac1{2\pi}\int_{\mathbb R}\widehat g(\xi)e^{i\xi x}\,\mathrm d\xi. g ( ξ ) = ∫ R g ( x ) e − i ξ x d x , g ( x ) = 2 π 1 ∫ R g ( ξ ) e i ξ x d ξ . 在足以交换微分与积分的条件下，g ′ ′ ^ ( ξ ) = − ξ 2 g ^ ( ξ ) \widehat{g''}(\xi)=-\xi^2\widehat g(\xi) g ′′ ( ξ ) = − ξ 2 g ( ξ )
∂ t u ^ = − κ ξ 2 u ^ , u ^ ( ξ , t ) = e − κ ξ 2 t f ^ ( ξ ) . \partial_t\widehat u=-\kappa\xi^2\widehat u,
\qquad
\widehat u(\xi,t)=e^{-\kappa\xi^2t}\widehat f(\xi). ∂ t u = − κ ξ 2 u , u ( ξ , t ) = e − κ ξ 2 t f ( ξ ) . 频域乘法在时域对应卷积：
u ( x , t ) = ( G t ∗ f ) ( x ) , q q u a d G t ( x ) = 1 4 π κ t exp ( − x 2 4 κ t ) . u(x,t)=(G_t*f)(x),qquad
G_t(x)=\frac1{\sqrt{4\pi\kappa t}}
\exp\left(-\frac{x^2}{4\kappa t}\right). u ( x , t ) = ( G t ∗ f ) ( x ) , qq u a d G t ( x ) = 4 πκ t 1 exp ( − 4 κ t x 2 ) . 有界区间的问题并未因此失效。把本章的 f f f 2 L 2L 2 L f ~ \widetilde f f ( G t ∗ f ~ ) ( x ) (G_t*\widetilde f)(x) ( G t ∗ f ) ( x ) x = 0 , L x=0,L x = 0 , L
卷积还揭示不同方程怎样传递局部扰动。G t G_t G t x x x t > 0 t>0 t > 0
u ( x , t ) = 1 2 [ f ( x − c t ) + f ( x + c t ) ] , u(x,t)=\frac12\bigl[f(x-ct)+f(x+ct)\bigr], u ( x , t ) = 2 1 [ f ( x − c t ) + f ( x + c t ) ] , 只从距离不超过 c t ct c t
P y ( x ) = 1 π y x 2 + y 2 , U ( ⋅ , y ) = P y ∗ f , P_y(x)=\frac1\pi\frac{y}{x^2+y^2},
\qquad U(\cdot,y)=P_y*f, P y ( x ) = π 1 x 2 + y 2 y , U ( ⋅ , y ) = P y ∗ f , 它把边界数据平滑到内部，但 y y y
分布让点源成为合法数据
Dirac delta 不是在一点取无穷大的普通函数，而是由
⟨ δ 0 , φ ⟩ = φ ( 0 ) \langle\delta_0,\varphi\rangle=\varphi(0) ⟨ δ 0 , φ ⟩ = φ ( 0 ) Q δ 0 Q\delta_0 Q δ 0
u ( x , t ) = Q G t ( x ) . u(x,t)=QG_t(x). u ( x , t ) = Q G t ( x ) . 若 u u u Q Q Q G t G_t G t u u u t > 0 t>0 t > 0 φ \varphi φ
lim t ↓ 0 ∫ R Q G t ( x ) φ ( x ) d x = Q φ ( 0 ) . \lim_{t\downarrow0}\int_{\mathbb R}QG_t(x)\varphi(x)\,\mathrm dx
=Q\varphi(0). t ↓ 0 lim ∫ R Q G t ( x ) φ ( x ) d x = Qφ ( 0 ) . 三角形轮廓本身也提示为何需要分布。它在中点的左右导数从
2 A / L 2A/L 2 A / L − 2 A / L -2A/L − 2 A / L ( 0 , L ) (0,L) ( 0 , L )
f ′ ′ = − 4 A L δ L / 2 f''=-\frac{4A}{L}\,\delta_{L/2} f ′′ = − L 4 A δ L /2 以分布意义成立。若把 f f f
例 3：点热量的质量与扩散尺度核验
设 Q = 6 K m Q=6\,\mathrm{K\,m} Q = 6 K m κ = 0.5 m 2 / s \kappa=0.5\,\mathrm{m^2/s} κ = 0.5 m 2 /s t = 2 s t=2\,\mathrm s t = 2 s
u ( x , 2 ) = 6 4 π e − x 2 / 4 K . u(x,2)=\frac6{\sqrt{4\pi}}
e^{-x^2/4}\ \mathrm K. u ( x , 2 ) = 4 π 6 e − x 2 /4 K . 首先，Gaussian 积分给出
∫ R u ( x , 2 ) d x = 6 K m = Q , \int_{\mathbb R}u(x,2)\,\mathrm dx=6\,\mathrm{K\,m}=Q, ∫ R u ( x , 2 ) d x = 6 K m = Q , 所以整线无边界热流时总量守恒。其次，归一化密度 G t G_t G t 2 κ t = 2 m 2 2\kappa t=2\,\mathrm{m^2} 2 κ t = 2 m 2 2 m \sqrt{2}\,\mathrm m 2 m ∂ t G t = κ ∂ x x G t \partial_tG_t=\kappa\partial_{xx}G_t ∂ t G t = κ ∂ xx G t
采样先问有限模态，不能先假设带限
连续三角形轮廓的系数虽然按 1 / n 2 1/n^2 1/ n 2
V N = span { sin π x L , … , sin N π x L } , V_N=\operatorname{span}\left\{
\sin\frac{\pi x}{L},\ldots,
\sin\frac{N\pi x}{L}\right\}, V N = span { sin L π x , … , sin L N π x } , 再在内部节点 x j = j L / ( N + 1 ) x_j=jL/(N+1) x j = j L / ( N + 1 )
∑ j = 1 N sin n π j N + 1 sin m π j N + 1 = N + 1 2 δ m n \sum_{j=1}^N
\sin\frac{n\pi j}{N+1}
\sin\frac{m\pi j}{N+1}
=\frac{N+1}{2}\delta_{mn} j = 1 ∑ N sin N + 1 nπj sin N + 1 mπj = 2 N + 1 δ mn 给出精确系数
a n = 2 N + 1 ∑ j = 1 N v ( x j ) sin n π j N + 1 , v ∈ V N . a_n=\frac{2}{N+1}\sum_{j=1}^Nv(x_j)
\sin\frac{n\pi j}{N+1},
\qquad v\in V_N. a n = N + 1 2 j = 1 ∑ N v ( x j ) sin N + 1 nπj , v ∈ V N . 对原始 f f f L 2 L^2 L 2 P N f P_Nf P N f
例 4：三只内部传感器精确恢复三个模态
令 N = 3 N=3 N = 3
v ( x ) = 2 sin π x L − sin 3 π x L . v(x)=2\sin\frac{\pi x}{L}-\sin\frac{3\pi x}{L}. v ( x ) = 2 sin L π x − sin L 3 π x . 在 x = L / 4 , L / 2 , 3 L / 4 x=L/4,L/2,3L/4 x = L /4 , L /2 , 3 L /4
( 2 2 , 3 , 2 2 ) . \left(\frac{\sqrt2}{2},\ 3,\ \frac{\sqrt2}{2}\right). ( 2 2 , 3 , 2 2 ) . 代入离散系数公式，
a 1 = 1 2 ( 1 2 + 3 + 1 2 ) = 2 , a 2 = 1 2 ( 2 2 − 2 2 ) = 0 , a 3 = 1 2 ( 1 2 − 3 + 1 2 ) = − 1. \begin{aligned}
a_1&=\frac12\left(\frac12+3+\frac12\right)=2,\\
a_2&=\frac12\left(\frac{\sqrt2}{2}-\frac{\sqrt2}{2}\right)=0,\\
a_3&=\frac12\left(\frac12-3+\frac12\right)=-1.
\end{aligned} a 1 a 2 a 3 = 2 1 ( 2 1 + 3 + 2 1 ) = 2 , = 2 1 ( 2 2 − 2 2 ) = 0 , = 2 1 ( 2 1 − 3 + 2 1 ) = − 1. 恢复结果与定义中的三个系数一致。这个结论依赖 v ∈ V 3 v\in V_3 v ∈ V 3 sin ( 7 π x / L ) \sin(7\pi x/L) sin ( 7 π x / L )
选择方法时沿着数据走
面对新问题，可按以下顺序判断，而不是看到“波”字就立即写正弦级数。
先看区域。有界区间与齐次边界通常导向 Sturm–Liouville 本征函数级数；整线或平移不变区域更适合傅里叶变换与卷积；半空间常有由边界迹生成的 Poisson 核。再看边界：Dirichlet、Neumann 和周期条件选择不同基，非齐次边界宜先减去一个满足边界的辅助函数，否则展开出的每一项都不满足原边界。
随后看数据正则性。L 2 L^2 L 2 t > 0 t>0 t > 0
最后看想保留的物理性质。热方程应核对平滑、正性或最大值原理以及耗散；波动方程应核对有限传播与能量；Laplace 方程应核对最大值原理和边界唯一性。数值截断还要核对离散能量、采样频率和误差范数。一个在均方意义很准的近似，可能仍违反峰值约束；一个在采样点完全吻合的插值，可能在点间剧烈振荡。
把热核的指数照搬到波动方程
若写成 b n e − c k n t sin ( k n x ) b_ne^{-ck_nt}\sin(k_nx) b n e − c k n t sin ( k n x ) q n ′ ′ + c 2 k n 2 q n = 0 q_n''+c^2k_n^2q_n=0 q n ′′ + c 2 k n 2 q n = 0 cos ( c k n t ) \cos(ck_nt) cos ( c k n t )
级数收敛就可以任意逐项求导
L 2 L^2 L 2 1 / n 2 1/n^2 1/ n 2 k n 2 k_n^2 k n 2 t > 0 t>0 t > 0 t = 0 t=0 t = 0
有限样值足以证明原信号带限
不同连续函数可以在同一有限节点集上取相同值。精确离散正弦恢复证明的是“已知函数属于 V N V_N V N
练习：围绕同一数据继续核验
练习
对本章三角形轮廓，写出前三个非零正弦系数，并给出热方程的三模态近似。说明哪一项在 t > 0 t>0 t > 0
查看解答 非零模态为奇数。由
b n = 8 A sin ( n π / 2 ) / ( π 2 n 2 ) b_n=8A\sin(n\pi/2)/(\pi^2n^2) b n = 8 A sin ( nπ /2 ) / ( π 2 n 2 )
b 1 = 8 A π 2 , b 3 = − 8 A 9 π 2 , b 5 = 8 A 25 π 2 . b_1=\frac{8A}{\pi^2},\qquad
b_3=-\frac{8A}{9\pi^2},\qquad
b_5=\frac{8A}{25\pi^2}. b 1 = π 2 8 A , b 3 = − 9 π 2 8 A , b 5 = 25 π 2 8 A . 因此
u H ( 3 ) ( x , t ) = 8 A π 2 [ e − κ ( π / L ) 2 t sin π x L − e − κ ( 3 π / L ) 2 t 9 sin 3 π x L + e − κ ( 5 π / L ) 2 t 25 sin 5 π x L ] . u_H^{(3)}(x,t)=\frac{8A}{\pi^2}
\left[e^{-\kappa(\pi/L)^2t}\sin\frac{\pi x}{L}
-\frac{e^{-\kappa(3\pi/L)^2t}}9\sin\frac{3\pi x}{L}
+\frac{e^{-\kappa(5\pi/L)^2t}}{25}\sin\frac{5\pi x}{L}\right]. u H ( 3 ) ( x , t ) = π 2 8 A [ e − κ ( π / L ) 2 t sin L π x − 9 e − κ ( 3 π / L ) 2 t sin L 3 π x + 25 e − κ ( 5 π / L ) 2 t sin L 5 π x ] . 第五模态的指数率 25 κ ( π / L ) 2 25\kappa(\pi/L)^2 25 κ ( π / L ) 2
练习
证明零初速度波动解在 t = 0 t=0 t = 0 u ( x , 0 ) = f ( x ) u(x,0)=f(x) u ( x , 0 ) = f ( x )
查看解答 代入 t = 0 t=0 t = 0 cos ( c k n 0 ) = 1 \cos(ck_n0)=1 cos ( c k n 0 ) = 1 u W ( x , 0 ) = ∑ b n sin ( k n x ) = f ( x ) u_W(x,0)=\sum b_n\sin(k_nx)=f(x) u W ( x , 0 ) = ∑ b n sin ( k n x ) = f ( x )
u W , t ( x , t ) = − ∑ b n c k n sin ( c k n t ) sin ( k n x ) , u_{W,t}(x,t)=-\sum b_nck_n\sin(ck_nt)\sin(k_nx), u W , t ( x , t ) = − ∑ b n c k n sin ( c k n t ) sin ( k n x ) , 所以 u W , t ( x , 0 ) = 0 u_{W,t}(x,0)=0 u W , t ( x , 0 ) = 0 d n sin ( c k n t ) sin ( k n x ) d_n\sin(ck_nt)\sin(k_nx) d n sin ( c k n t ) sin ( k n x )
练习
上半平面 Laplace 问题的边界数据为 f ( x ) = cos ( a x ) f(x)=\cos(ax) f ( x ) = cos ( a x ) a > 0 a>0 a > 0 U ( x , y ) U(x,y) U ( x , y )
查看解答 cos ( a x ) \cos(ax) cos ( a x ) ± a \pm a ± a e − a y e^{-a y} e − a y
U ( x , y ) = e − a y cos ( a x ) . U(x,y)=e^{-ay}\cos(ax). U ( x , y ) = e − a y cos ( a x ) . 计算得 U x x = − a 2 e − a y cos ( a x ) U_{xx}=-a^2e^{-ay}\cos(ax) U xx = − a 2 e − a y cos ( a x ) U y y = a 2 e − a y cos ( a x ) U_{yy}=a^2e^{-ay}\cos(ax) U yy = a 2 e − a y cos ( a x ) y = 0 y=0 y = 0 ∣ U ( x , y ) ∣ ≤ e − a y ≤ 1 |U(x,y)|\le e^{-ay}\le1 ∣ U ( x , y ) ∣ ≤ e − a y ≤ 1
练习
整线热方程初值为 Q δ x 0 Q\delta_{x_0} Q δ x 0 Q Q Q
查看解答 平移不变性给出
u ( x , t ) = Q 4 π κ t exp [ − ( x − x 0 ) 2 4 κ t ] . u(x,t)=\frac{Q}{\sqrt{4\pi\kappa t}}
\exp\left[-\frac{(x-x_0)^2}{4\kappa t}\right]. u ( x , t ) = 4 πκ t Q exp [ − 4 κ t ( x − x 0 ) 2 ] . Gaussian 积分表明总量为 Q Q Q x 0 x_0 x 0 2 κ t 2\kappa t 2 κ t u u u Q Q Q
练习
在 N = 3 N=3 N = 3 sin ( π x / L ) \sin(\pi x/L) sin ( π x / L ) − sin ( 7 π x / L ) -\sin(7\pi x/L) − sin ( 7 π x / L )
查看解答 节点为 x j = j L / 4 x_j=jL/4 x j = j L /4
sin 7 π j 4 = − sin π j 4 , j = 1 , 2 , 3 , \sin\frac{7\pi j}{4}
=-\sin\frac{\pi j}{4},\qquad j=1,2,3, sin 4 7 πj = − sin 4 πj , j = 1 , 2 , 3 , 所以 − sin ( 7 π x j / L ) = sin ( π x j / L ) -\sin(7\pi x_j/L)=\sin(\pi x_j/L) − sin ( 7 π x j / L ) = sin ( π x j / L )
知识关系与继续使用
本章的三角形数据还可直接作为数值算法的基准。谱截断应复现
1 / n 2 1/n^2 1/ n 2
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