公式连同条件一起检索。

变量

$T$

在“伴随、自伴与正算子”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$x$

在“伴随、自伴与正算子”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$y$

在“伴随、自伴与正算子”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$H$

在“伴随、自伴与正算子”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

成立条件

• 设 $H,K$ 为 Hilbert 空间，$T:H\to K$ 有界。
• 若 $H=K$ 且 $T=T^*$，称 $T$ 自伴。

相关概念

适用与边界

• 应用：把自伴算子的实谱和正交性整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：这条定理常用于变分问题：弱收敛提供有界列的候选极限，紧算子再把观测量或低阶项提升为强收敛。
• 推导：M16 · 紧算子与自伴算子

变量

$\pi$

在“贝叶斯后验与贝叶斯行动”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$\theta$

在“贝叶斯后验与贝叶斯行动”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$x$

作为求和或积分中的取值变量，单位：不适用

$L$

在“贝叶斯后验与贝叶斯行动”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$\Theta$

在“贝叶斯后验与贝叶斯行动”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$u$

在“贝叶斯后验与贝叶斯行动”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

成立条件

• 功效约 86% 的含义是：若真实通过率始终为 0.65，重复运行同一百次设计和同一检验，约 86% 的研究会拒绝 $p=0.5$。
• 先验不是把二项似然“归一化一下”后自动产生的；不同先验会形成不同后验，特别是在小样本或弱信息问题中。

相关概念

适用与边界

• 应用：把似然、信息与区间构造的统一整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：为了展示这一点，在同一二项案例上加入一套明确的贝叶斯模型；这一步新增了先验，不能假装是前面频率检验的自然等价改写。
• 推导：M06 · 估计、检验与统计决策综合复习

变量

$x$

在“标准式中的焦点、准线与离心率”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$a$

在“标准式中的焦点、准线与离心率”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$y$

在“标准式中的焦点、准线与离心率”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$b$

在“标准式中的焦点、准线与离心率”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

成立条件

• 点 $(2,4)$ 满足 $4^2=8\cdot2$。
• 设 $a>b>0$，并令 $c^2=a^2-b^2$。

相关概念

适用与边界

• 应用：把圆锥曲线的焦点准线刻画整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：圆 $x^2+y^2=a^2$ 对应 $a=b$、$c=0$；此时两个焦点合并在圆心，有限准线表示退化，因此通常直接用定心定半径定义圆。
• 推导：M01 · 直线、圆锥曲线与参数方程

变量

$\mu$

在“测度与概率测度”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$A$

在“测度与概率测度”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

成立条件

• 设 $(X,\mathcal A)$ 为可测空间。
• 若 $\mu(X)=1$，则 $\mu$ 是概率测度，常记作 $P$。

相关概念

适用与边界

• 应用：把可测函数和简单函数逼近整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：测度允许取 $\infty$，所以一般不能随意做 $\infty-\infty$。
• 推导：M12 · 测度、可测集与可测函数

变量

$X$

在“常见误区与拓扑粗细实验”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$P$

在“常见误区与拓扑粗细实验”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

成立条件

• 若同一集合上 $\tau_1\subseteq\tau_2$，称 $\tau_2$ 比 $\tau_1$ 细。
• 连续，但当 $|X|>1$ 时逆映射不连续。

相关概念

适用与边界

• 应用：把连续映射、开集原像与同胚整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：相反，长度、角度与曲率并非纯拓扑量，不能仅由同胚推出。
• 推导：M15 · 拓扑空间、基与连续映射

变量

$f$

在“次梯度与次微分”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$y$

在“次梯度与次微分”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$x$

在“次梯度与次微分”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$g$

在“次梯度与次微分”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$C$

在“次梯度与次微分”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

成立条件

• 设 $f:C\to\mathbb R$ 为凸函数。
• 若 $f$ 在内点 $\mathbf x$ 可微，则 $\partial f(\mathbf x)=\{\nabla f(\mathbf x)\}$。

相关概念

适用与边界

• 应用：把次梯度、分离超平面与支撑函数整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：带约束问题则需把次微分与可行域法锥合并，不能机械要求 $\mathbf0\in\partial f$。
• 推导：M11 · 凸集、凸函数与次梯度

变量

$\Delta$

在“从两条坐标方向推导 Cauchy–Riemann 方程”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$u$

在“从两条坐标方向推导 Cauchy–Riemann 方程”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$u_{xDelta}$

用下标 xDelta 区分 u 的分量、样本或离散状态，单位：不适用

$x$

在“从两条坐标方向推导 Cauchy–Riemann 方程”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$u_{yDelta}$

用下标 yDelta 区分 u 的分量、样本或离散状态，单位：不适用

$y$

在“从两条坐标方向推导 Cauchy–Riemann 方程”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$o$

在“从两条坐标方向推导 Cauchy–Riemann 方程”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$h$

在“从两条坐标方向推导 Cauchy–Riemann 方程”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$v$

在“从两条坐标方向推导 Cauchy–Riemann 方程”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$v_{xDelta}$

用下标 xDelta 区分 v 的分量、样本或离散状态，单位：不适用

$v_{yDelta}$

用下标 yDelta 区分 v 的分量、样本或离散状态，单位：不适用

成立条件

• 1. 若 $f$ 在 $z_0$ 复可微，则 $u,v$ 的四个坐标偏导在该点存在，并满足 CR 方程。
• 2. 若 $u,v$ 作为从 $\mathbb R^2$ 到 $\mathbb R$ 的函数在 $(x_0,y_0)$ 实可微，并在该点满足 CR 方程，则 $f$ 在 $z_0$ 复可微。

相关概念

适用与边界

• 应用：把解析函数的调和实部和虚部整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：除以 $h$ 后余项趋于零，因此复差商趋于 $u_x+iv_x$。
• 推导：M13 · 复微分、Cauchy–Riemann 方程与全纯函数

变量

$C_{ij}$

用下标 ij 区分 C 的分量、样本或离散状态，单位：不适用

$i$

在“代数余子式与伴随矩阵”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$j$

在“代数余子式与伴随矩阵”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$M_{ij}$

用下标 ij 区分 M 的分量、样本或离散状态，单位：不适用

成立条件

• 当 $B$ 可逆时，可用只加倍行的分块消元把 $C$ 清除为零，行列式不变；若 $B$ 奇异，可从置换公式看出，任何非零项必须分别在两个对角方块中选择完整的行列匹配，结论仍成立。
• 普通分块矩阵若左下角不为零，不能不加条件地套用对角方块乘积。

相关概念

适用与边界

• 应用：把体积缩放、方向与可逆性整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：普通分块矩阵若左下角不为零，不能不加条件地套用对角方块乘积。
• 推导：M04 · 行列式与体积缩放

变量

$x$

求导位置，单位：不适用

$h$

非零输入增量，单位：不适用

$f$

在“导数的差商定义”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

成立条件

• 差商极限存在且有限。

相关概念

适用与边界

• 应用：导数与微分
• 应用：极限与连续性
• 边界：存在且为有限实数，则称 $f$ 在 $a$ 可导，并把该极限称为导数。
• 推导：M02 · 导数与微分

变量

$x$

在“等价无穷小”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$a$

在“等价无穷小”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$\alpha$

在“等价无穷小”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$\beta$

在“等价无穷小”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

成立条件

• 当 $x\to a$ 时，极限为零的函数称为该过程中的无穷小。
• 若 $\alpha(x)\to0$，则对每个正阈值，$|\alpha(x)|$ 在充分靠近 $a$ 时都低于该阈值。

相关概念

适用与边界

• 应用：把连续、间断点与介值性质整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：当 $x\to a$ 时，极限为零的函数称为该过程中的无穷小。
• 推导：M02 · 函数极限与连续性

变量

$a_{n}$

用下标 n 区分 a 的分量、样本或离散状态，单位：不适用

$F$

在“递推关系、阶数与初始条件”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$n$

在“递推关系、阶数与初始条件”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$a_{n-1}$

用下标 n-1 区分 a 的分量、样本或离散状态，单位：不适用

$a_{n-k}$

用下标 n-k 区分 a 的分量、样本或离散状态，单位：不适用

$k$

在“递推关系、阶数与初始条件”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

成立条件

• 则称它满足一个 $k$ 阶递推关系。
• 从初始项向前计算可用于数值核对，也说明唯一性：若两个数列满足相同递推和相同的前 $k$ 项，逐项比较即可证明它们处处相等。

相关概念

适用与边界

• 应用：把普通生成函数与系数提取整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：单独一条递推式通常不能确定唯一数列；递推开始的下标、所需的初始值以及参数范围都属于定义。
• 推导：M07 · 递推关系与生成函数

变量

$S$

在“第四步：保角映射需要像域、逆映射和导数三重核验”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$w$

在“第四步：保角映射需要像域、逆映射和导数三重核验”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$\pi$

在“第四步：保角映射需要像域、逆映射和导数三重核验”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

成立条件

• 上半圆弧长为 $\pi R$，弧上当 $R>a$ 时有 $|z^2+a^2|\ge R^2-a^2$，故弧积分绝对值不超过 $\pi R/(R^2-a^2)\to0$。
• 当 $w\in S$ 时 $e^w$ 位于右半平面，分母不为零，逆式确实回到圆盘。

相关概念

适用与边界

• 应用：把局部级数决定奇点和全局积分整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：参数条件 $a>0$ 决定极点位置和最终符号；圆弧积分趋零需要估计，不能只凭图形省略。
• 推导：M13 · 复分析方法综合复习

变量

$\rho$

在“定常迭代的谱半径判据”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$G$

在“定常迭代的谱半径判据”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$\lambda$

在“定常迭代的谱半径判据”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$\sigma$

在“定常迭代的谱半径判据”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

成立条件

• 若 $\rho(G)<1$，Jordan 标准形中的每个块都由 $\lambda^k$ 乘至多关于 $k$ 的多项式，故 $G^k\to0$，于是所有初始误差趋于零。
• 反之，若存在特征值 $|\lambda|\ge1$，取相应特征向量为初始误差，则 $G^k\mathbf e^{(0)}=\lambda^k\mathbf e^{(0)}$ 不趋于零。

相关概念

适用与边界

• 应用：把Jacobi、Gauss-Seidel 与迭代收敛整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：若 $\rho(G)<1$，Jordan 标准形中的每个块都由 $\lambda^k$ 乘至多关于 $k$ 的多项式，故 $G^k\to0$，于是所有初始误差趋于零。
• 推导：M10 · 线性方程组的直接与迭代解法

变量

$v$

在“度数、树和搜索算法各有可核对的不变量”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$V$

在“度数、树和搜索算法各有可核对的不变量”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$E$

在“度数、树和搜索算法各有可核对的不变量”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

成立条件

• 对有向无环图 $D=(V,A)$，定义 $u\preceq v$ 当且仅当 $u=v$ 或存在从 $u$ 到 $v$ 的有向路径。
• 若有向图含环，可达关系仍自反、传递，却可能不反对称，只是预序。

相关概念

适用与边界

• 应用：把图结构中的连通、匹配与着色整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：算法名称不能替代所保持的不变量。
• 推导：M07 · 组合、图论与离散证明综合复习

变量

$f$

在“对状态变量局部 Lipschitz”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$t$

在“对状态变量局部 Lipschitz”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$y_{1}$

用下标 1 区分 y 的分量、样本或离散状态，单位：不适用

$y_{2}$

用下标 2 区分 y 的分量、样本或离散状态，单位：不适用

$L$

在“对状态变量局部 Lipschitz”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

成立条件

• 更准确地说，Peano 局部存在定理断言：若 $f$ 在包含 $(t_0,y_0)$ 的矩形上连续，则初值问题在初始时刻两侧某个足够短的区间内至少有一条解。
• 若偏导 $\partial f/\partial y$ 在一个矩形上连续，则它在较小闭矩形上有界，由中值定理可推出这一 Lipschitz 条件。

相关概念

适用与边界

• 应用：把利普希茨条件与解的唯一性整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：连续性使右端在闭矩形上有界，从而限制短时间内的竖直位移；紧性论证再从近似曲线中取得一条满足积分方程的极限。
• 推导：M08 · 初值问题、存在唯一性与方向场

变量

$p_{n}$

用下标 n 区分 p 的分量、样本或离散状态，单位：不适用

$x_{i}$

用下标 i 区分 x 的分量、样本或离散状态，单位：不适用

$y_{i}$

用下标 i 区分 y 的分量、样本或离散状态，单位：不适用

$i$

在“多项式插值的存在唯一性”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$n$

在“多项式插值的存在唯一性”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

成立条件

• 存在性可由下一节的 Lagrange 公式直接构造。
• 为证唯一性，设 $p_n$ 与 $q_n$ 都满足插值条件，则差 $r=p_n-q_n$ 的次数不超过 $n$，却在 $n+1$ 个互异节点上为零。

相关概念

适用与边界

• 应用：把分段多项式、样条与光滑拼接整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：正文未把极限情形单列为独立公式；适用边界以本小节声明的定义域、假设和边界条件为限。
• 推导：M10 · 插值、多项式逼近与样条

变量

$x$

在“二元关系及其复合”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$S$

在“二元关系及其复合”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$R$

在“二元关系及其复合”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$z$

在“二元关系及其复合”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$y$

在“二元关系及其复合”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$Y$

在“二元关系及其复合”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

成立条件

• 实数上的等号既对称又反对称；严格小于关系既不自反也不对称，却满足传递性；“不是朋友”之类的日常说法若没有明确定义论域和规则，不能直接搬入证明。
• 它没有把“存在中间点”误写成“存在唯一中间点”。

相关概念

适用与边界

• 应用：把偏序、哈斯图与极值元整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：实数上的等号既对称又反对称；严格小于关系既不自反也不对称，却满足传递性；“不是朋友”之类的日常说法若没有明确定义论域和规则，不能直接搬入证明。
• 推导：M00 · 等价关系、序关系与数学归纳法

变量

$R$

在“反常积分及其收敛”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$a$

在“反常积分及其收敛”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$f$

在“反常积分及其收敛”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$x$

在“反常积分及其收敛”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

成立条件

• 被积函数在区间上非负且不超过一，积分值应位于 $[0,\pi/2]$；$2/3$ 满足该界。
• 当且仅当 $p>1$ 时，$R^{1-p}\to0$，故 $\int_1^\infty x^{-p}\,\mathrm dx=1/(p-1)$。

相关概念

适用与边界

• 应用：把反常积分与级数收敛判别整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：存在，则称 $\int_a^\infty f(x)\,\mathrm dx$ 收敛，并把该极限作为积分值。
• 推导：M02 · 积分方法、无穷级数与单变量微积分复习

变量

$x$

在“范数、Cauchy 列与 Banach 空间”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$\alpha$

在“范数、Cauchy 列与 Banach 空间”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$y$

在“范数、Cauchy 列与 Banach 空间”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

成立条件

• 设 $X$ 是实或复向量空间。
• 序列 $(x_n)$ 若对每个 $\varepsilon>0$ 都存在 $N$，使 $m,n\ge N$ 时 $\|x_m-x_n\|<\varepsilon$，就称为 Cauchy 列。

相关概念

适用与边界

• 应用：把有界线性算子及算子范数整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：有限维线性代数主要研究代数运算；只要坐标有限，许多极限问题会被欧氏空间的良好性质自动解决。
• 推导：M16 · 赋范空间、Banach 空间与有界算子

变量

$X$

具有有限二阶矩的随机变量，单位：不适用

成立条件

• 随机变量的二阶矩有限。

相关概念

适用与边界

• 应用：期望、方差与协方差
• 边界：方差计算式中的两个大数 $\mathbb E[X^2]$ 与 $\mu_X^2$ 可能非常接近，浮点实现宜使用中心化或稳定的在线更新，不能把灾难性消减误认为真实的负方差。
• 推导：M05 · 期望、方差与协方差

变量

$\nabla f$

函数在当前位置的梯度，单位：不适用

$\mathbf{u}$

考察方向，单位：不适用

$x$

在“方向导数与梯度”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

成立条件

• 函数在该点可微，方向向量使用同一欧氏内积。

相关概念

适用与边界

• 应用：梯度
• 应用：导数与微分
• 边界：第二式来自令 $\mathbf h=t\mathbf u$ 后除以 $t$ 并取极限。
• 推导：M03 · 偏导数、方向导数与梯度

变量

$\gamma$

在“仿射参数测地线”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

成立条件

• 联络给出沿方向 $X$ 对向量场 $Y$ 求协变导数 $\nabla_XY$ 的规则：它对 $X$ 是函数线性的，对 $Y$ 满足 Leibniz 法则。
• 非仿射重参数可能保留同一条几何轨迹，却不再满足右端为零的方程。

相关概念

适用与边界

• 应用：把联络、协变导数与测地线整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：$\Gamma^k_{ij}$ 不是张量分量：在一个点可选正规坐标使它们全为零，但不能由此推出附近曲率为零。
• 推导：M15 · Riemann 度量、测地线与曲率

变量

$X$

在“非负简单函数的积分”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$s$

在“非负简单函数的积分”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$\mu$

在“非负简单函数的积分”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$k$

在“非负简单函数的积分”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$r$

在“非负简单函数的积分”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$a_{kmu}$

用下标 kmu 区分 a 的分量、样本或离散状态，单位：不适用

$A_{k}$

用下标 k 区分 A 的分量、样本或离散状态，单位：不适用

成立条件

• 设 $(X,\mathcal A,\mu)$ 为测度空间。
• 若某个 $a_k=0$ 而 $\mu(A_k)=\infty$，约定该项为零。

相关概念

适用与边界

• 应用：把单调收敛、Fatou 引理与控制收敛整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：Lebesgue 理论先处理只取有限多个值的可测函数，再用单调极限逼近一般非负可测函数。
• 推导：M12 · Lebesgue 积分与收敛定理

变量

$T$

在“分布导数”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$\varphi$

在“分布导数”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

成立条件

• 物理系数必须保留单位：若 $F(t)=J\delta_0(t)$ 表示冲量，$J$ 的单位是牛顿秒，而 $\delta_0(t)$ 对时间积分后无量纲地给出一。
• 把 delta 当作普通无量纲函数会丢失这一单位关系。

相关概念

适用与边界

• 应用：把冲激梳、Poisson 求和与频谱周期化整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：因为测试函数在远处为零，边界项消失。
• 推导：M09 · 广义函数、采样与 Poisson 求和

变量

$L$

在“分段光滑有向曲线及其积分”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$\gamma$

在“分段光滑有向曲线及其积分”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$a$

在“分段光滑有向曲线及其积分”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$b$

在“分段光滑有向曲线及其积分”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$t$

在“分段光滑有向曲线及其积分”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

成立条件

• 设 $gamma:[a,b]\to\mathbb C$ 是分段连续可微曲线。
• 若 $gamma_1$ 的终点等于 $gamma_2$ 的起点，拼接曲线写作 $\gamma_1*\gamma_2$，积分满足可加性。

相关概念

适用与边界

• 应用：把柯西积分定理及单连通性整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：本章的逻辑顺序不能颠倒。
• 推导：M13 · Cauchy 定理与积分公式

变量

$F$

在“概率测度的三条公理”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

成立条件

• 1. $\Omega\in\mathcal F$； 2. 若 $A\in\mathcal F$，则 $A^c\in\mathcal F$； 3. 若 $A_1,A_2,\ldots\in\mathcal F$，则 $\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i\in\mathcal F$。
• 有限等可能计数只是满足公理的一类模型，不是公理本身。

相关概念

适用与边界

• 应用：把加法公式、容斥与有限可加性整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：这一区分也解释了为什么不能把结果值直接当作概率。
• 推导：M05 · 概率公理与组合概率

变量

$p_{X}$

给取值 x 分配概率权重，单位：不适用

$x$

作为求和或积分中的取值变量，单位：不适用

$X$

作为概率分布、期望或方差的对象，单位：不适用

$S_{X}$

用下标 X 区分 S 的分量、样本或离散状态，单位：不适用

成立条件

• 反过来，任何满足单调不减、右连续以及两端极限为零和一的实函数，都唯一确定一个实值概率分布。
• 若 $X$ 的取值落在至多可数集合 $S_X$ 中，则 $X$ 是离散随机变量。

相关概念

适用与边界

• 应用：把离散分布、连续密度与变量变换整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：反过来，任何满足单调不减、右连续以及两端极限为零和一的实函数，都唯一确定一个实值概率分布。
• 推导：M05 · 随机变量与分布

变量

$a_{n}$

用下标 n 区分 a 的分量、样本或离散状态，单位：不适用

$t$

在“高阶线性微分方程”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$y$

在“高阶线性微分方程”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$n$

在“高阶线性微分方程”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$a_{n-1}$

用下标 n-1 区分 a 的分量、样本或离散状态，单位：不适用

$a_{1}$

用下标 1 区分 a 的分量、样本或离散状态，单位：不适用

$a_{0}$

用下标 0 区分 a 的分量、样本或离散状态，单位：不适用

$g$

在“高阶线性微分方程”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

成立条件

• 若 $g=0$，方程称为齐次；若 $g\ne0$，称为非齐次。
• 若首项系数在某点为零，该点可能是奇点，不能直接套用普通点附近的结论。

相关概念

适用与边界

• 应用：把常系数方程的特征根整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：若首项系数在某点为零，该点可能是奇点，不能直接套用普通点附近的结论。
• 推导：M08 · 高阶线性方程与常系数方法

变量

$p$

在“根与重数”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$x$

在“根与重数”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$a$

在“根与重数”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$m$

在“根与重数”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$g$

在“根与重数”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

成立条件

• 特别地，$p(a)=0$ 当且仅当余式为零，也当且仅当 $x-a$ 整除 $p(x)$；这条等价关系称为因式定理。
• 若 $p(a)=0$，实数 $a$ 是 $p$ 的根。

相关概念

适用与边界

• 应用：把因式分解、根与重数整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：只试若干数值不能证明两个高次多项式恒等；系数比较或完整展开才覆盖所有实数输入。
• 推导：M01 · 多项式、因式分解与有理式

变量

$f$

在“孤立奇点处的留数”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$a$

在“孤立奇点处的留数”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$c_{-1}$

用下标 -1 区分 c 的分量、样本或离散状态，单位：不适用

成立条件

• 若 $a$ 是简单极点，则 $\operatorname{Res}(f,a)=\lim_{z\to a}(z-a)f(z)$。
• 若 $f=g/h$，$g,h$ 在 $a$ 全纯，$h(a)=0$、$h'(a)\ne0$，则 $\operatorname{Res}(f,a)=g(a)/h'(a)$。

相关概念

适用与边界

• 应用：把留数定理与闭合路径选择整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：挖去每个奇点周围的小圆，剩余多连通区域上可用 Cauchy 定理；内边界相对该区域取顺时针方向。
• 推导：M13 · 孤立奇点、Laurent 级数与留数

变量

$L$

在“弧长与弧长元”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$C$

在“弧长与弧长元”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$a$

在“弧长与弧长元”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$b$

在“弧长与弧长元”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$r$

在“弧长与弧长元”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$t$

在“弧长与弧长元”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

成立条件

• 若 $\mathbf r'(t)=\mathbf0$ 只发生在有限个接点，而曲线可改写成有限段正则参数化，积分可分段定义。
• 若一整段参数都映到同一点，或者在正长度参数区间上无限次回扫，就不能直接套用正则曲线公式。

相关概念

适用与边界

• 应用：把第一类与第二类曲线积分整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：若一整段参数都映到同一点，或者在正长度参数区间上无限次回扫，就不能直接套用正则曲线公式。
• 推导：M03 · 曲线积分与曲面积分

变量

$A$

在“集合的外延相等”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$B$

在“集合的外延相等”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$x$

在“集合的外延相等”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

成立条件

• 若顺序或重复次数重要，应改用序列、多重集或其他结构，而不是暗中改变“集合”的含义。

相关概念

适用与边界

• 应用：把映射的单射、满射与双射整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：成员关系与子集关系不能互换。
• 推导：M00 · 集合、映射与关系

变量

$f$

在“几乎处处等价与 Lp 空间”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$g$

在“几乎处处等价与 Lp 空间”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$\mu$

在“几乎处处等价与 Lp 空间”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

成立条件

• Lebesgue 积分看不见零测集上的改动：若可测函数 $f,g$ 只在零测集上不同，则 $\int |f|^p\,d\mu$ 与 $\int |g|^p\,d\mu$ 相同。
• 直接把单个函数当作空间元素会造成一个缺陷：非零函数也可能具有“长度”零。

相关概念

适用与边界

• 应用：把乘积测度、Tonelli 与 Fubini 定理整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：正文未把极限情形单列为独立公式；适用边界以本小节声明的定义域、假设和边界条件为限。
• 推导：M12 · Lp 空间、乘积测度与 Fubini 定理

变量

$i$

在“加法原理、乘法原理与双射计数”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$m$

在“加法原理、乘法原理与双射计数”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$A_{i}$

用下标 i 区分 A 的分量、样本或离散状态，单位：不适用

成立条件

• 若存在双射 $f:A\to B$，即每个 $A$ 中元素对应唯一的 $B$ 中元素，且每个 $B$ 中元素恰好被对应一次，则 $|A|=|B|$。
• 若经乙城中转，甲到乙有两条线路，乙到丙有四条线路。

相关概念

适用与边界

• 应用：把排列、组合与多重集合整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：正文未把极限情形单列为独立公式；适用边界以本小节声明的定义域、假设和边界条件为限。
• 推导：M07 · 计数原理、容斥与鸽巢原理

变量

$\theta$

在“检验函数、两类错误与功效”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$\Theta_{0}$

用下标 0 区分 Theta 的分量、样本或离散状态，单位：不适用

$E_{\theta}$

用下标 theta 区分 E 的分量、样本或离散状态，单位：不适用

$\varphi$

在“检验函数、两类错误与功效”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$X$

作为概率分布、期望或方差的对象，单位：不适用

成立条件

• 两集合应互斥；在常见设定中还覆盖当前模型内要比较的参数值。
• 当 $\theta\in\Theta_0$ 却拒绝 $H_0$，发生第一类错误。

相关概念

适用与边界

• 应用：把第一类错误、第二类错误与功效整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：离散样本空间可能无法仅靠一个普通拒绝域恰好达到 $\alpha$，此时边界随机化负责填补概率差。
• 推导：M06 · 假设检验、功效与多重比较

变量

$h$

在“解集、符号区间和图像交点是同一信息的三种表示”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$x$

在“解集、符号区间和图像交点是同一信息的三种表示”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$C$

在“解集、符号区间和图像交点是同一信息的三种表示”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$i$

在“解集、符号区间和图像交点是同一信息的三种表示”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$a_{i}$

用下标 i 区分 a 的分量、样本或离散状态，单位：不适用

$m_{i}$

用下标 i 区分 m 的分量、样本或离散状态，单位：不适用

$j$

在“解集、符号区间和图像交点是同一信息的三种表示”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$b_{j}$

用下标 j 区分 b 的分量、样本或离散状态，单位：不适用

$n_{j}$

用下标 j 区分 n 的分量、样本或离散状态，单位：不适用

成立条件

• 若命题 $P(x)$ 与 $Q(x)$ 对定义域中每个 $x$ 满足 $P(x)\Longleftrightarrow Q(x)$，则二者等价，变形保持解集。
• 若只能证明 $P(x)\Longrightarrow Q(x)$，新方程的解只构成候选集合；最终解集是候选中通过原式检验的元素。

相关概念

适用与边界

• 应用：把函数图像和方程解的互译整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：$-2$ 和 $2$ 使分子为零，可以纳入；$1$ 使原式无定义，不能纳入。
• 推导：M01 · 代数、函数与解析几何综合复习

变量

$A$

在“矩阵乘法”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$B$

在“矩阵乘法”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$i$

在“矩阵乘法”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$j$

在“矩阵乘法”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$k$

在“矩阵乘法”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$n$

在“矩阵乘法”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$a_{ik}$

用下标 ik 区分 a 的分量、样本或离散状态，单位：不适用

$b_{kj}$

用下标 kj 区分 b 的分量、样本或离散状态，单位：不适用

成立条件

• 设 $A\in\mathbb R^{m\times n}$、 $B\in\mathbb R^{n\times p}$。
• 这个复合解释同时说明乘法顺序：在 $AB\mathbf x$ 中，右侧的 $B$ 先作用。

相关概念

适用与边界

• 应用：把矩阵乘法、列组合与映射复合整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：正文未把极限情形单列为独立公式；适用边界以本小节声明的定义域、假设和边界条件为限。
• 推导：M04 · 矩阵及其运算

变量

$N$

在“矩阵的零空间与零化度”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$A$

在“矩阵的零空间与零化度”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$x$

在“矩阵的零空间与零化度”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$n$

在“矩阵的零空间与零化度”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

成立条件

• 非齐次系统若有一个特解 $\mathbf x_p$，则全部解恰为 $\mathbf x_p+\mathcal N(A)$。
• 初等行变换保持行空间和零空间，却通常不保持列空间本身：左乘可逆矩阵会同时变换所有列在 $\mathbb R^m$ 中的位置。

相关概念

适用与边界

• 应用：把解空间、零空间与秩-零化度整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：阶梯形的主元列位置能告诉我们应从原矩阵选择哪些列作为 $\operatorname{Col}(A)$ 的基；不能拿最简阶梯形中的主元列替代原列。
• 推导：M04 · 线性方程组的解结构

变量

$x$

在“卷积近似恒等族”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$\delta$

在“卷积近似恒等族”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$k_{\varepsilon}$

用下标 varepsilon 区分 k 的分量、样本或离散状态，单位：不适用

$\varepsilon$

在“卷积近似恒等族”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

成立条件

• 在信号处理中，线性平移不变系统的输出常写成 $y=h*x$，频域关系为 $\widehat y=\widehat h\,\widehat x$。
• 它把质量逐步集中到原点；在适当的 $L^p$ 或连续性条件下，$k_\varepsilon*f$ 逼近 $f$。

相关概念

适用与边界

• 应用：把卷积定理、相关与滤波整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：由有限采样计算离散卷积时，还需区分线性卷积、循环卷积和边界填充；连续定理本身不替代离散实现的索引检查。
• 推导：M09 · 傅里叶变换与卷积

变量

$u$

在“绝对值与距离”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

成立条件

• 这个核验同时检查候选值是否满足平方根的非负条件。
• 当绝对值内部是 $u(x)$ 时，零点 $u(x)=0$ 把数轴分成符号不变的区间。

相关概念

适用与边界

• 应用：把绝对值方程的分区求解整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：先判断右侧常数的符号，能够避免套用不适用的区间公式。
• 推导：M01 · 方程、不等式与绝对值

变量

$X$

在“开覆盖、子覆盖与紧致空间”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$U_{i}$

用下标 i 区分 U 的分量、样本或离散状态，单位：不适用

$U_{i}$

用下标 i 区分 U 的分量、样本或离散状态，单位：不适用

成立条件

• 若开集族 $\mathcal U=\{U_i:i\in I\}$ 满足 $X=\bigcup_{i\in I}U_i$，则称它是 $X$ 的开覆盖。
• 若 $X$ 的每个开覆盖都有有限子覆盖，就称 $X$ 紧致。

相关概念

适用与边界

• 应用：把序列紧致、局部紧致与度量条件整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：无限集合是否紧致不能由“大小”判断。
• 推导：M15 · 紧致性、连通性与分离公理

变量

$y$

在“可分离方程”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$g$

在“可分离方程”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$t$

在“可分离方程”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$h$

在“可分离方程”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

成立条件

• $y'=g(t)h(y)$ 具有自变量与状态变量的乘积结构，是可分离方程； $y'+p(t)y=q(t)$ 对 $y$ 与 $y'$ 都是一次，是一阶线性方程； $M(t,y)\,\mathrm dt+N(t,y)\,\mathrm dy=0$ 若来自某个势函数的全微分，就是恰当方程； 非线性式 $y'+p(t)y=q(t)y^\alpha$ 可用幂代换化为线性方程； $y'=F(y/t)$ 在 $t\ne0$ 的区间上可用比例 $v=y/t$ 降为可分离方程。
• 每个满足 $h(y_*)=0$ 的常值函数 $y\equiv y_*$ 都应在除以 $h(y)$ 前单独记录。

相关概念

适用与边界

• 应用：把恰当方程和势函数整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：这个论证也明确了 $h(y)\ne0$ 的适用范围。
• 推导：M08 · 可分离、线性与恰当方程

变量

$L$

提供需要最小化的标量目标，单位：不适用

$x$

在“拉格朗日函数与对偶函数”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$\lambda$

在“拉格朗日函数与对偶函数”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$\nu$

在“拉格朗日函数与对偶函数”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$f$

在“拉格朗日函数与对偶函数”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$i$

在“拉格朗日函数与对偶函数”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$mlambda_{i}$

用下标 i 区分 mlambda 的分量、样本或离散状态，单位：不适用

$g_{i}$

用下标 i 区分 g 的分量、样本或离散状态，单位：不适用

$j$

在“拉格朗日函数与对偶函数”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$rnu_{j}$

用下标 j 区分 rnu 的分量、样本或离散状态，单位：不适用

$h_{j}$

用下标 j 区分 h 的分量、样本或离散状态，单位：不适用

成立条件

• 在线性化锥准确描述局部可行几何的约束资格下，这句话等价于：负目标梯度属于活跃不等式外法向量生成的锥，加上等式法向量生成的线性空间。
• 若 $g_i(x^\star)<0$，点到该边界尚有余量，足够小的局部移动不会首先撞上它；互补松弛于是迫使对应乘子为零。

相关概念

适用与边界

• 应用：把拉格朗日对偶、弱对偶与强对偶整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：若 $g_i(x^\star)<0$，点到该边界尚有余量，足够小的局部移动不会首先撞上它；互补松弛于是迫使对应乘子为零。
• 推导：M11 · 约束优化、KKT 条件与对偶性

变量

$f$

在“拉格朗日中值定理”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$c$

在“拉格朗日中值定理”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$b$

在“拉格朗日中值定理”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$a$

在“拉格朗日中值定理”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

成立条件

• 它满足 $f(-1)=f(1)=1$，并在 $(-1,1)$ 上可导且恒有 $f'=1$，但在左端点不连续，因此没有水平切线。
• 罗尔定理给出某个内点 $c$ 满足 $\phi'(c)=0$，即 $f'(c)=m$。

相关概念

适用与边界

• 应用：把导数符号、单调区间与极值整理为可检查的关系、判据或算法步骤；涉及定量模型时写出公式，并说明符号、适用条件，以及需要时的单位或复杂度。
• 边界：证明的实质是从原函数中减去连接端点的直线，使问题退化为相同端点值的情形。
• 推导：M02 · 中值定理与导数应用

变量

$X$

离散随机变量，单位：不适用

$x$

作为求和或积分中的取值变量，单位：不适用

$p_{X}$

给取值 x 分配概率权重，单位：不适用

成立条件

• 绝对矩存在，即各项绝对值的加权和收敛。

相关概念

适用与边界

• 应用：随机变量与概率分布
• 应用：期望、方差与协方差
• 边界：对称截断积分的主值为零，不能替代有限期望。
• 推导：M05 · 期望、方差与协方差

变量

$i$

在“黎曼定积分”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$n$

在“黎曼定积分”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$f$

在“黎曼定积分”中作为等号左侧的目标量参与关系计算，单位：不适用

$\xi_{i}$

用下标 i 区分 xi 的分量、样本或离散状态，单位：不适用

$\Delta$

在“黎曼定积分”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$x_{i}$

用下标 i 区分 x 的分量、样本或离散状态，单位：不适用

$I$

在“黎曼定积分”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

$\varepsilon$

在“黎曼定积分”中作为等号右侧的输入量或系数参与关系计算，单位：不适用

成立条件

• 若 $f$ 表示速度，$f(\xi_i)\Delta x_i$ 是第 $i$ 段的近似位移；若 $f\ge0$ 表示高度，则该项是一个矩形面积。
• 给定 ε，可选足够细的分割，使每个子区间内函数振幅都很小；上和与下和之差因此小于 ε。