直线、圆锥曲线与参数方程

直线由方向或法向量确定

平面点写成 $P=(x,y)$。给定点 $P_0=(x_0,y_0)$ 和非零方向向量 $\boldsymbol v=(u,w)$，经过 $P_0$ 且沿 $\boldsymbol v$ 的直线可写成

这就是直线的参数方程。参数 $t$ 没有固定几何单位；若 $\boldsymbol v$ 带长度单位，$t$ 的单位应使乘积 $t\boldsymbol v$ 与坐标单位一致。更换为任意非零倍数 $\lambda\boldsymbol v$ 只改变参数速度，不改变点集。

取非零向量 $\boldsymbol n=(A,B)$ 与 $\boldsymbol v$ 正交，即 $Au+Bw=0$。直线上任意点 $P$ 都满足

展开得到

令 $C=-Ax_0-By_0$，便得到一般式

直线的方向向量与法向量

直线的方向向量平行于直线，法向量垂直于直线。对一般式 $Ax+By+C=0$，$\boldsymbol n=(A,B)$ 是法向量，$\boldsymbol v=(-B,A)$ 是一个方向向量。

当 $B\ne0$ 时，一般式可改写为

斜率是 $m=-A/B$。当 $B=0$ 时，直线为 $x=-C/A$，它是竖直直线，没有有限实数斜率；法向量和参数式仍然有效。因此一般式比斜截式覆盖更完整。

两条直线 $A_1x+B_1y+C_1=0$ 与 $A_2x+B_2y+C_2=0$ 的方向平行，当且仅当 $A_1B_2-A_2B_1=0$；此时两条直线可能重合，也可能是两条不相交的平行线。若这个行列式非零，联立两个一次方程得到唯一交点。行列式为零时，取使 $(A_2,B_2)=\lambda(A_1,B_1)$ 的非零常数 $\lambda$：若 $C_2=\lambda C_1$，两式表示同一条直线；否则两条直线平行且不重合。

点到直线距离来自正交投影

设直线

的法向量为 $\boldsymbol n=(A,B)$，点 $P=(x_p,y_p)$。在 $L$ 上任取一点 $Q=(x_q,y_q)$。向量 $P-Q$ 在单位法向量 $\boldsymbol n/\|\boldsymbol n\|$ 上的有向投影为

由于 $Q$ 在直线上，$Ax_q+By_q=-C$，分子化为 $Ax_p+By_p+C$。距离取投影长度的绝对值，所以

把一般式整体乘以非零常数不会改变结果：分子和分母同时乘以该常数的绝对值。这一不变性也核验了公式只依赖直线点集，而不依赖系数的具体缩放。

例 1：由两点写直线并计算距离

直线经过 $P=(2,-1)$ 与 $Q=(-1,5)$。方向向量为

$$\overrightarrow{PQ}=(-3,6)=3(-1,2).$$

取方向向量 $(-1,2)$，与之正交的法向量可取 $(2,1)$。点法式为

$$2(x-2)+(y+1)=0,$$

即

$$2x+y-3=0.$$

代入 $Q$ 得 $-2+5-3=0$，说明第二个已知点也在直线上。由于 $B=1$，斜率为 $-A/B=-2$，与两点斜率 $(5-(-1))/(-1-2)=-2$ 一致。

原点 $O=(0,0)$ 到直线的距离为

$$d(O,L)=\frac{|2\cdot0+0-3|}{\sqrt{2^2+1^2}} =\frac{3}{\sqrt5}.$$

方向、斜率和距离三种计算给出了相互独立的核验。

焦点—准线距离比统一三类曲线

点到点的距离采用欧氏距离，点到直线的距离采用上一节的正交距离。固定点 $F$、不经过 $F$ 的直线 $\ell$ 和常数 $e>0$，考虑满足

的全部点 $P$。

圆锥曲线的焦点—准线定义

固定点 $F$ 称为焦点，固定直线 $\ell$ 称为准线，正数 $e$ 称为离心率。距离比点集在 $0<e<1$ 时是椭圆，在 $e=1$ 时是抛物线，在 $e>1$ 时是双曲线；这里排除退化情形。

抛物线的标准式可直接从定义推出。取焦点 $F=(p,0)$、准线 $x=-p$，其中 $p>0$。点 $P=(x,y)$ 满足

两侧平方并展开：

所以

反过来，标准式上的点满足 $x=y^2/(4p)\ge0$，因而 $x+p>0$；从平方等式恢复距离等式时没有引入负号歧义。顶点是原点，对称轴是 $x$ 轴，焦点到顶点和顶点到准线的距离都为 $p$。

例 2：从焦点和准线得到抛物线

焦点为 $(2,0)$、准线为 $x=-2$。与标准配置比较得 $p=2$，因此曲线方程为

$$y^2=8x.$$

点 $(2,4)$ 满足 $4^2=8\cdot2$。它到焦点的距离是 $4$，到准线的距离是 $|2-(-2)|=4$，焦点—准线条件也成立。两种核验分别使用代数方程与几何定义。

标准式中的焦点、准线与离心率

设 $a>b>0$，并令 $c^2=a^2-b^2$。椭圆

的焦点为 $(\pm c,0)$，离心率为 $e=c/a\in(0,1)$，对应准线为 $x=\pm a^2/c$。以右焦点 $F=(c,0)$ 和右准线 $x=a^2/c$ 为例，焦点—准线关系平方后写成

展开并消去两侧的 $-2cx$，再用 $a^2-c^2=b^2$，得到

也就是椭圆标准式。圆 $x^2+y^2=a^2$ 对应 $a=b$、$c=0$；此时两个焦点合并在圆心，有限准线表示退化，因此通常直接用定心定半径定义圆。

双曲线采用 $a,b>0$ 和 $c^2=a^2+b^2$。标准式

的焦点为 $(\pm c,0)$，离心率 $e=c/a>1$，准线为 $x=\pm a^2/c$。把同一焦点—准线平方关系展开，这次 $a^2-c^2=-b^2$，便得到

等价于双曲线标准式。由方程保留最高次项可读出渐近线 $y=\pm(b/a)x$；渐近线描述远离中心时的方向，不属于双曲线本身。

平移中心到 $(h,k)$ 时，只需用 $x-h$、$y-k$ 代替 $x$、$y$。例如横轴椭圆写成

焦点、顶点和准线也随中心一起平移，半轴长度和离心率不变。把平移后的焦点坐标代回距离比定义，还会得到与标准位置相同的离心率；平移改变位置，不改变曲线形状。

参数方程逐点满足曲线约束

隐式方程把 $x$、$y$ 绑在同一条件中；参数方程用一个新变量同时生成两个坐标。合格的参数化至少要满足两项：每个参数值生成曲线上的点，并说明它是否覆盖整条曲线。

• 直线：$(x,y)=P_0+t\boldsymbol v$，$t\in\mathbb R$，覆盖整条直线。
• 抛物线 $y^2=4px$：取 $x=pt^2,\ y=2pt$，$t\in\mathbb R$。代入后两侧都等于 $4p^2t^2$，且每个纵坐标对应唯一的 $t=y/(2p)$，所以覆盖整条曲线。
• 椭圆 $x^2/a^2+y^2/b^2=1$：取 $x=a\cos t,\ y=b\sin t$，$0\le t<2\pi$。恒等式 $\cos^2t+\sin^2t=1$ 保证点始终在椭圆上；半开代表区间覆盖整条曲线，并避免重复起点。
• 双曲线 $x^2/a^2-y^2/b^2=1$：一个有理参数化是

代入得到

有限参数覆盖双曲线除左顶点 $(-a,0)$ 外的全部点；该点是 $|t|\to\infty$ 的极限，也可由另一张参数图覆盖。参数化不是自动等同于完整曲线，覆盖范围必须单独说明。

配方把平移曲线还原为标准位置

例 3：平移二次曲线并写参数方程

分析曲线

$$x^2-4x+4y^2+8y-8=0.$$

分别对 $x$ 与 $y$ 配方：

$$\begin{aligned} x^2-4x&=(x-2)^2-4,\\ 4y^2+8y&=4(y+1)^2-4. \end{aligned}$$

代回原式得到

$$(x-2)^2+4(y+1)^2=16,$$

即

$$\frac{(x-2)^2}{16}+\frac{(y+1)^2}{4}=1.$$

这是中心 $(2,-1)$、水平半长轴 $a=4$、竖直半短轴 $b=2$ 的椭圆。 $c=\sqrt{a^2-b^2}=2\sqrt3$，所以焦点为 $(2\pm2\sqrt3,-1)$。参数方程可写成

$$x=2+4\cos t,\qquad y=-1+2\sin t,\qquad 0\le t<2\pi.$$

代回平移后的标准式，左侧为 $\cos^2t+\sin^2t=1$。中心、焦点和参数方程三项都由同一次配方得到。

一般二次方程写成

当 $B=0$ 时，分别对 $x,y$ 配方常能通过平移得到标准式；平方项缺失时还可能得到抛物线。当 $B\ne0$ 时，交叉项通常需要旋转坐标轴。旋转属于二次型与线性变换的内容，不能靠平移消去。系数还可能产生单点、两条直线、空集等退化情形，因此看到二次式后不能立即断言它是非退化椭圆、抛物线或双曲线。

竖直直线的斜率是无穷大

斜率是实数比值 $\Delta y/\Delta x$。竖直直线满足 $\Delta x=0$，该比值未定义；“无穷大”不是这里的实数斜率。一般式、法向量和参数式都能无歧义地表示竖直直线。

平方后的方程必然与距离条件等价

平方会消去符号信息。由距离定义推到代数式通常安全，因为距离非负；从平方后的式子返回时仍要检查绝对值、分母、参数范围和退化点。抛物线推导中用 $x\ge0$ 恢复 $|x+p|=x+p$，正是这一步核验。

参数方程中的参数一定是弧长

参数只负责标记曲线点。直线参数的缩放、椭圆的角参数和抛物线的代数参数具有不同几何意义；除非另有证明，参数增量不等于沿曲线走过的长度。

坐标与圆锥曲线练习

练习标记完成

求经过 $A=(-2,1)$、$B=(4,4)$ 的直线一般式，并计算原点到该直线的距离。

查看解答

方向向量为 $(6,3)=3(2,1)$，可取法向量 $(1,-2)$。由点 $A$ 得

$$(x+2)-2(y-1)=0,$$

所以一般式为 $x-2y+4=0$。代入 $B$ 得 $4-8+4=0$。原点到直线的距离是

$$\frac{|4|}{\sqrt{1^2+(-2)^2}}=\frac4{\sqrt5}.$$

练习标记完成

焦点为 $(0,3)$、准线为 $y=-3$。求抛物线方程和一个覆盖整条曲线的参数方程，并核验点 $(6,3)$。

查看解答

这是标准式 $x^2=4py$，其中 $p=3$，故

$$x^2=12y.$$

取 $x=2pt=6t,\ y=pt^2=3t^2$，$t\in\mathbb R$。点 $(6,3)$ 对应 $t=1$，满足 $36=12\cdot3$；它到焦点的距离为 $6$，到直线 $y=-3$ 的距离也为 $6$。

练习标记完成

对椭圆 $9x^2+4y^2=36$，求中心、半轴长度、焦点、离心率和准线。

查看解答

标准化得到

$$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1.$$

中心是 $(0,0)$，长轴竖直，半长轴 $a=3$，半短轴 $b=2$。 $c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt5$，焦点为 $(0,\pm\sqrt5)$，离心率为 $e=\sqrt5/3$。与竖直长轴对应的准线为

$$y=\pm\frac{a^2}{c}=\pm\frac9{\sqrt5}.$$

练习标记完成

双曲线 $x^2/9-y^2/4=1$ 使用有理参数式。取 $t=2$，求对应点并代回核验。

查看解答

这里 $a=3,b=2$。代入

$$x=3\frac{1+t^2}{1-t^2},\qquad y=2\frac{2t}{1-t^2}$$

得到

$$x=-5,\qquad y=-\frac83.$$

核验：

$$\frac{(-5)^2}{9}-\frac{(-8/3)^2}{4} =\frac{25}{9}-\frac{16}{9}=1.$$

因此该参数点位于左支上。

练习标记完成

把 $4x^2+y^2-16x+6y+9=0$ 化为标准式，并求中心与焦点。

查看解答

配方得到

$$4\bigl((x-2)^2-4\bigr) +(y+3)^2-9+9=0,$$

所以

$$\frac{(x-2)^2}{4}+\frac{(y+3)^2}{16}=1.$$

中心为 $(2,-3)$，竖直半长轴 $a=4$，水平半短轴 $b=2$。 $c=\sqrt{16-4}=2\sqrt3$，焦点为 $(2,-3\pm2\sqrt3)$。把中心代入原式得到 $16+9-32-18+9=-16$，并不需要等于零，因为中心通常不是椭圆上的点；代入顶点 $(2,1)$ 则得到零，可作为方程核验。

几何对象与后续章节

• 函数与图像 解释为什么圆和双曲线整体通常不能写成单值的 $y=f(x)$，而参数方程仍能描述完整曲线。
• 三角函数 从单位圆参数化建立正弦、余弦、周期与角度。
• 复数与复平面 把代数运算解释为平面上的伸缩与旋转。
• 线性变换 用矩阵统一坐标旋转、二次型和主轴方向。

这些连接共享坐标表示，但问题层次不同：函数章节关心输入是否对应唯一输出，三角函数章节用参数绕过竖线检验，复数章节给平面坐标增加乘法结构，线性变换章节则研究坐标变化后哪些几何量保持不变。区分点集、参数化和坐标变换，能避免把同一幅图上的不同数学对象混为一谈。

解析几何教材资源

书籍 · 2021

Precalculus 2e

Jay Abramson

用于核对 M01 的定义域、函数变换、方程求解、圆锥曲线与分步练习。

打开官方来源

《Precalculus 2e》把直线、函数图像和圆锥曲线放在大学预备数学的连续脉络中。复核外部算例时，可先把曲线移到标准位置，再分别检查中心或顶点、焦点、准线、离心率和参数覆盖范围。

书籍 · 2021

Algebra and Trigonometry 2e

Jay Abramson

用于逐项复核 M01 的代数规则、图像性质、参数问题与完整例题。

打开官方来源

《Algebra and Trigonometry 2e》提供解析几何与圆锥曲线的代数练习。使用其答案前，宜独立完成配方并把结果代回原方程；直线题则同时用法向量正交性、已知点代入和距离缩放不变性复算。后续 三角函数 将进一步解释单位圆参数与周期结构。