导数与微分：从差商到局部线性模型

速度表之外：差商为何要收敛

汽车在十秒内行驶一百米，平均速度是每秒十米；这一数字没有说明第五秒那一瞬间的速度。若位置由 $s(t)$ 表示，第 $t$ 秒起一个长度为 $h$ 的时间段内，平均速度是

把 $h$ 缩短，只会得到一串候选平均速度。只有当正、负两侧的非零增量都趋于零时，这些比值收敛到同一个有限数，才得到可重复定义的瞬时速度。导数先在 $h\ne0$ 时形成比值，再考察该比值的极限；直接代入 $h=0$ 会得到没有定义的 $0/0$。

同样的结构适用于温度、浓度、成本和测量误差。若 $x$ 的单位是秒而 $f(x)$ 的单位是米，则 $f'(x)$ 的单位是米每秒；微分 $f'(a)h$ 又恢复为米。单位不能证明推导正确，却能及时揭示把变化率与函数值混为一谈的错误。本章沿着“差商极限—一阶线性模型—求导规则”的路线建立这些对象，区间上的中值定理、极值与泰勒误差留到下一章系统处理。

差商所需的函数与极限记号

先修内容包括函数、复合函数、极限、连续性、绝对值不等式和基本代数。使用三角函数求导时还要知道弧度制下 $\lim_{u\to0}\sin u/u=1$；若角度用度数，导数公式会多出换算因子，因此微积分默认角度采用弧度。

符号 $f'(a)$、$\mathrm df/\mathrm dx|_{x=a}$ 和 $D f(a)$ 都可表示导数。$\Delta x=h$ 表示实际输入增量，$\Delta f=f(a+h)-f(a)$ 表示实际输出增量；$\mathrm dx$ 与 $\mathrm df$ 将用于表示线性模型中的变量和输出。分式记号有助于记忆链式法则，但严格定义仍是差商极限，不能在没有说明的场合把两个微分符号当作普通实数任意约分。

割线携带的是区间信息

函数图像上连接 $(a,f(a))$ 与 $(a+h,f(a+h))$ 的割线斜率为

当 $h$ 逐渐接近零，第二个点沿图像靠近第一个点。若割线斜率收敛，极限给出切线斜率。几何图像只是其中一种解释；对成本函数，差商是区间平均边际成本；对实验数据拟合出的函数，它是单位输入变化对应的平均响应。导数只依赖任意小邻域内的函数行为，与远处图像无关。

差商同时包含两个变化：分子测量函数值变化，分母测量输入变化。只观察分子趋于零没有意义，因为连续函数通常都满足这一点；关键是两者比值是否趋向有限且唯一的结果。差商趋向 $+\infty$ 可以描述竖直切线的陡峭行为，但按本章的有限导数定义，这仍不算在该点可导。

一点处可导要求两侧的一阶比例一致

一点处的导数

设 $a$ 是函数定义域的内点。若极限

$$f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$

存在且为有限实数，则称 $f$ 在 $a$ 可导，并把该极限称为导数。若函数在开区间每一点都可导，导数值组成新函数 $f'$。

等价地，可令 $x=a+h$，写成

右导数和左导数分别限制 $h>0$ 与 $h<0$。内点的双侧导数存在，当且仅当两个单侧导数都存在且相等。闭区间端点只能从定义域内部接近，通常另称右导数或左导数；不能把单侧结论误写成实线上内点的双侧可导。

可导性比连续性多出一个线性尺度

可导性蕴含连续性

若 $f$ 在 $a$ 可导，则 $f$ 在 $a$ 连续。

证明

对 $h\ne0$，恒等式

$$f(a+h)-f(a) = h\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$

把函数增量分成输入增量与差商。令 $h\to0$，第一因子趋于零，第二因子趋于有限数 $f'(a)$，所以乘积趋于零，即 $f(a+h)\to f(a)$。这正是 $f$ 在 $a$ 连续。

逆命题不成立。连续性只要求 $f(a+h)-f(a)\to0$；可导性还要求这项增量与 $h$ 的比值稳定到同一个线性系数。绝对值函数在原点连续，左右差商却分别为 $-1$ 与 $1$。函数 $x^{1/3}$ 也在原点连续，但差商 $h^{-2/3}$ 趋向正无穷，按有限导数定义同样不可导。尖点与竖直切线的几何形态不同，诊断依据却都来自差商。

求导规则来自极限，而不是符号口诀

常数与幂函数可直接从定义处理。对 $f(x)=x^2$，

令 $h\to0$ 得 $f'(x)=2x$。对正整数 $n$，二项式展开给出 $(x^n)'=nx^{n-1}$；展开中除线性项外都含更高次 $h$，除以 $h$ 后在极限中消失。线性性直接来自极限的线性运算：对常数 $\alpha,\beta$，

乘积法则可通过添加并减去中间项推导：

可导函数连续，因此 $f(x+h)\to f(x)$。取极限得到

把乘积法则用于恒等式 $f=g(f/g)$，便得到商法则：若 $g(x)\ne0$，则

这里的非零条件属于原函数的定义域，不能在求完导后才补写。负整数幂可由商法则得到；有理数幂还要限制实数幂函数的定义域。常用初等函数在合法定义域内满足

这些公式仍建立在相应极限上。例如正弦差商拆分后使用 $\sin h/h\to1$ 与 $(\cos h-1)/h\to0$。公式表负责提高计算效率，定义负责处理分段点、绝对值和其他不能直接套表的边界。

例 1：从定义求倒数函数的导数

设 $f(x)=1/x$，固定 $a\ne0$。当 $h$ 足够小时 $a+h\ne0$，差商为

$$\frac{1/(a+h)-1/a}{h} =\frac{-h}{a(a+h)h} =-\frac1{a(a+h)}.$$

令 $h\to0$，得到 $f'(a)=-1/a^2$。约去 $h$ 的操作发生在 $h\ne0$ 的差商中；若一开始把 $h=0$ 代入，原比值没有定义。所得公式只在 $a\ne0$ 上成立，与原函数定义域一致。

链式法则追踪嵌套变量的一阶传递

链式法则的局部线性形式

若 $g$ 在 $x$ 可导，$f$ 在 $g(x)$ 可导，则复合函数 $f\circ g$ 在 $x$ 可导，并且

$$(f\circ g)'(x)=f'(g(x))g'(x).$$

这条法则也能从线性余项看清。令 $k=g(x+h)-g(x)$。内层可导给出

外层可导给出

因为可导的 $g$ 连续，所以 $h\to0$ 时 $k\to0$。把两式合并并除以 $h$，余项 $\eta(k)[g'(x)+\rho(h)]$ 趋于零，主项留下 $f'(g(x))g'(x)$。这个写法即使 $g'(x)=0$ 也成立，不需要把 $\Delta u$ 当作永远非零的量去约分。

计算多层复合函数时，先标出每一层的输入。例如 $F(x)=\ln(1+x^2)$ 可写成 $u=x^2$、$v=1+u$、$F=\ln v$，于是

外层对中间量的敏感度与各内层变化率依次相乘。定义域也要沿复合链检查；本例中 $1+x^2>0$ 对所有实数成立，导数公式因而在实线上处处有效。

隐式方程要先确认局部函数存在

曲线不一定以 $y=f(x)$ 的形式给出。例如圆满足 $F(x,y)=x^2+y^2-25=0$。若曲线附近确实可把 $y$ 写成 $x$ 的可导函数，对恒等式 $F(x,y(x))=0$ 使用链式法则，便有

当 $F$ 在点 $(a,b)$ 的邻域内具有连续一阶偏导数、 $F(a,b)=0$ 且 $F_y(a,b)\ne0$ 时，隐函数定理保证在该点附近存在唯一的可导函数 $y=y(x)$，并给出

$F_y\ne0$ 保证曲线在该点附近不以竖直方向折回，因而能用 $x$ 作局部自变量。若 $F_y=0$，上式不能使用；此时曲线仍可能存在并具有切线，需要改用 $x=x(y)$、参数方程，或进一步分析奇点。

例 2：隐式曲线上的切线

曲线

$$x^2+xy+y^2=7$$

经过点 $(1,2)$。令 $F(x,y)=x^2+xy+y^2-7$，则

$$F_x=2x+y, \qquad F_y=x+2y.$$

在 $(1,2)$ 处 $F_y=5\ne0$，所以局部可把 $y$ 看成 $x$ 的函数，且

$$y'(1)=-\frac{2(1)+2}{1+2(2)}=-\frac45.$$

切线方程是 $y-2=-\frac45(x-1)$。把切向量 $(5,-4)$ 与梯度 $\nabla F(1,2)=(4,5)$ 作点积，结果 $20-20=0$，也验证了切线与等值曲线的法向量正交。

微分把实际增量拆成主部与余项

微分与线性主部

函数在 $a$ 可导，等价于存在余项 $r(h)$ 使

$$f(a+h)=f(a)+f'(a)h+r(h), \qquad \frac{r(h)}{|h|}\to0.$$

把输入增量记为 $\mathrm dx=h$，线性主部记为 $\mathrm df=f'(a)\,\mathrm dx$。

线性化函数

是 $f$ 在 $a$ 附近的一阶近似。余项条件比“误差趋于零”更强：误差与输入增量相比还要更快趋于零，即

因此，局部放大图像时，可导函数与切线的差异会逐渐落到一阶尺度以下。反过来，若能找到常数 $A$ 使 $f(a+h)=f(a)+Ah+o(|h|)$，则差商趋于 $A$，所以 $f$ 在 $a$ 可导且 $f'(a)=A$。一阶展开与差商极限是同一事实的两种表述。

微分也提供误差传播估计。若测量量 $x$ 有小误差 $\Delta x$，实际输出变化是 $\Delta f=f(x+\Delta x)-f(x)$，一阶预测是 $\mathrm df=f'(x)\Delta x$。两者一般不相等，只满足

当 $f(x)\ne0$ 时，相对变化可近似为 $\Delta f/f(x)\approx[f'(x)/f(x)]\Delta x$。若变量和函数带单位，$f'(x)\Delta x$ 必须与 $f$ 同单位。增量不够小、考察点附近不可导或输入跨过定义域边界时，一阶估计都可能失效；下一章会用中值定理和泰勒余项把部分“足够小”改写成可计算的误差界。

若 $f'$ 仍可导，可定义 $f''$；继续下去得到 $f^{(n)}$。本章只把高阶导数作为后续工具的输入，不在这里用它系统判别凹凸、极值或构造泰勒多项式，从而保持“导数如何建立”与“导数如何控制整段函数”两章的边界。

把线性模型用于数值估算

在邻近的易算点估算 √4.1

取 $f(x)=\sqrt x$，在 $a=4$ 处 $f(4)=2$、$f'(4)=1/4$。线性化为

$$L(x)=2+\frac14(x-4).$$

因此

$$\sqrt{4.1}\approx L(4.1)=2.025.$$

误差的符号和大小可以直接核对。因为

$$2.025^2-4.1=0.000625>0,$$

所以估计偏大；再利用平方差，

$$2.025-\sqrt{4.1} =\frac{0.000625}{2.025+\sqrt{4.1}} \approx1.54\times10^{-4}.$$

这里选择 $a=4$ 是因为函数值和导数都容易计算，而 $4.1-4=0.1$ 足够小。若改用离目标很远的展开点，导数公式仍正确，线性估计却未必精确。

微分中的单位也参与检查

半径测量误差如何传到圆面积

圆的面积为 $A(r)=\pi r^2$。测得半径 $r=10.00\,\mathrm{cm}$，仪器误差的绝对值不超过 $0.02\,\mathrm{cm}$。在 $r=10$ 处，面积微分为

$$\mathrm dA=A'(10)\,\mathrm dr =20\pi\,\mathrm dr.$$

取 $|\mathrm dr|\le0.02\,\mathrm{cm}$，一阶绝对误差估计为

$$|\mathrm dA| \le20\pi\times0.02 =0.4\pi\,\mathrm{cm}^2 \approx1.257\,\mathrm{cm}^2.$$

相对误差近似为 $|\mathrm dA|/A=2|\mathrm dr|/r\le0.004$，即 $0.4\%$。单位检查中， $A'$ 的单位是厘米，乘上 $\mathrm dr$ 的厘米后得到平方厘米，与面积一致。精确最坏增量还含 $\pi(\Delta r)^2$；本题该项至多为 $0.0004\pi\,\mathrm{cm}^2$，远小于线性主部，但并非严格等于零。

尖点、端点与切线判断的边界

连续但不可导的尖点

$f(x)=|x|$ 在原点连续。右差商为 $1$，左差商为 $-1$，所以双侧导数不存在。图像在原点没有唯一切线方向。该反例表明连续性控制函数值，导数还要求一阶比例从两侧一致。

导数大就表示函数值大

导数描述局部变化率，与函数当前高度属于不同量。函数可以在很高的位置缓慢变化，也可以在接近零的位置快速变化。比较导数时还要核对输入、输出单位。

切线不必只在接触点碰到图像

切线由一点处的一阶近似定义，不要求它只与曲线相交一次，也不要求曲线始终位于切线同一侧。例如 $y=x^3$ 在原点的切线是横轴，曲线从切线一侧穿到另一侧，原点导数仍为零。

练习：逐步核对定义域、条件和余项

练习标记完成

从差商定义出发，求 $f(x)=\sqrt{x}$ 在 $a>0$ 处的导数。说明有理化步骤和定义域条件。

查看解答

当 $h$ 足够接近零时 $a+h>0$。对 $h\ne0$，

$$\frac{\sqrt{a+h}-\sqrt a}{h} =\frac{(a+h)-a}{h(\sqrt{a+h}+\sqrt a)} =\frac1{\sqrt{a+h}+\sqrt a}.$$

令 $h\to0$，分母趋于 $2\sqrt a$，所以 $f'(a)=1/(2\sqrt a)$。条件 $a>0$ 保证考察的是定义域内点；在端点 $a=0$ 只有右差商，且其值趋于正无穷，不是有限右导数。

练习标记完成

设

$$f(x)= \begin{cases} ax+b,&x<1,\\ x^2,&x\ge1. \end{cases}$$

求使 $f$ 在 $x=1$ 可导的 $a,b$，并先单独写出连续条件。

查看解答

左极限为 $a+b$，函数值和右极限都是 $1$，所以连续要求 $a+b=1$。左导数为 $a$，右导数为 $2$；可导还要求 $a=2$。联立得到 $a=2,b=-1$。只令两个导数相等而不检查函数值，会漏掉可导必连续这一条件。

练习标记完成

在 $x\ne1$ 上求

$$F(x)=e^x\frac{x^2+1}{x-1}$$

的导数，并化为单个分式。

查看解答

先由商法则得到

$$\left(\frac{x^2+1}{x-1}\right)' =\frac{2x(x-1)-(x^2+1)}{(x-1)^2} =\frac{x^2-2x-1}{(x-1)^2}.$$

再用乘积法则，并通分：

$$F'(x) =e^x\left[ \frac{x^2+1}{x-1} +\frac{x^2-2x-1}{(x-1)^2} \right] =e^x\frac{x^3-x-2}{(x-1)^2}.$$

分母说明导数公式与原函数一样排除 $x=1$。

练习标记完成

求 $G(x)=[\ln(1+x^2)]^3$ 的导数，并说明其在实数范围内的定义域。

查看解答

由于 $1+x^2>0$，原函数在所有实数上有定义。依次对立方、对数和平方应用链式法则：

$$G'(x) =3[\ln(1+x^2)]^2\frac1{1+x^2}(2x) =\frac{6x[\ln(1+x^2)]^2}{1+x^2}.$$

练习标记完成

曲线 $xe^y+y=1$ 经过 $(1,0)$。验证该点附近可把 $y$ 看成 $x$ 的函数，并求切线方程。

查看解答

令 $F(x,y)=xe^y+y-1$。在 $(1,0)$ 处 $F=0$，并且

$$F_y=xe^y+1=2\ne0,$$

所以隐函数定理的局部条件成立。对原等式关于 $x$ 求导：

$$e^y+xe^y y'+y'=0,$$

故 $y'=-e^y/(xe^y+1)$，在 $(1,0)$ 处为 $-1/2$。切线方程是 $y=-\frac12(x-1)$。

练习标记完成

球体积 $V=\frac43\pi r^3$。测得 $r=3.00\,\mathrm{cm}$，半径绝对误差不超过 $0.01\,\mathrm{cm}$。用微分估计体积的绝对误差与相对误差。

查看解答

$$\mathrm dV=4\pi r^2\,\mathrm dr.$$

在 $r=3$ 且 $|\mathrm dr|\le0.01\,\mathrm{cm}$ 时，

$$|\mathrm dV| \le4\pi\cdot9\cdot0.01 =0.36\pi\,\mathrm{cm}^3 \approx1.131\,\mathrm{cm}^3.$$

相对误差近似为 $|\mathrm dV|/V=3|\mathrm dr|/r\le0.01$，即 $1\%$。这是线性估计，不应把它写成实际误差的严格等号。

练习标记完成

在 $a=2$ 处线性化 $f(x)=1/x$，估算 $1/1.98$，并计算估计值与精确分数之间的差。

查看解答

$f(2)=1/2$、$f'(2)=-1/4$，所以

$$L(x)=\frac12-\frac14(x-2).$$

代入 $x=1.98$ 得 $L(1.98)=0.505=101/200$。精确值是 $1/1.98=50/99$，因此

$$\frac{50}{99}-\frac{101}{200} =\frac1{19800} \approx5.05\times10^{-5}.$$

实际值略大于线性估计，且误差远小于输入增量 $0.02$，符合一阶余项的尺度判断。

知识连接

• 极限与连续性 提供差商收敛和可导必连续的语言。
• 中值定理与导数应用 把逐点导数转成单调性、极值、凹凸与近似误差的区间结论。
• 梯度 把一元线性化推广为多变量全微分。
• 积分与累积 通过微积分基本定理与导数互相联系。
• 反向传播 在计算图上系统应用链式法则。

推荐资源

书籍 · 2016

Calculus Volume 1

Gilbert Strang, Edwin Herman

用于核对基础微积分定义、定理条件、分步例题与练习。

打开官方来源

OpenStax《Calculus Volume 1》第 3 章覆盖导数定义、初等函数求导、链式法则和隐函数求导，可用于逐项核对本章公式的条件与例题步骤。

课程 · 2010

MIT 18.01SC Single Variable Calculus

David Jerison

课程材料连接严格定义、计算技巧与应用，可作为完整学习序列。

打开官方来源

MIT OpenCourseWare 18.01SC 的 Differentiation 单元提供讲义、视频、例题及带解习题，适合按课程顺序继续练习复合函数和隐式曲线。

下一步

下一章

中值定理与导数应用 将回答本章暂时留下的问题：一点点导数信息何时足以控制整个区间，怎样据此判断单调性、极值与凹凸，以及怎样给局部多项式近似配上误差界。之后再进入 积分与累积 ，理解导数如何恢复累积函数的局部增长率。若希望把局部线性模型推广到多个输入方向，可转向 方向导数与梯度。